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qui peut être écrite à l’aide des règles d'opération que nous avons étudiées,
DER Cy
log f = logh(E) — = f f I du, D
où A(C) est une fonction holomorphe dans D.
On en tire 1 ? A(p) —— — du) f—=h(Le Je
Revenons à l'équation initiale. Supposons que (£) soit une fonction holomorphe (x), et tächons de la déterminer de façon que l’équation soit vérifiée par la valeur de f (0) ci-dessus.
Cela conduit, tout de suite, à la condition
DR rh Ed
Des
Il vient, par suite,
Or, le second membre étant connu, on en déduit
ln ere Cru: ds
où o(©) désigne une fonction holomorphe.
L'intégrale générale de (4°) sera donc
Dre au
es MO!
HQE A] v Lo: [fé "| fo D p— 0
Pour déterminer l'intégrale demandée, remarquons que si l’on désigne par c(0) la partie réelle de (0) sur le contour C, par w(0) et (0) les parties réelle et imaginaire de ©(0) sur la même courbe, on obtient une relation de la forme
où a(0) et b(0) sont des fonctions continues. La recherche de la fonction
o(S)—=u(E, n)+iv(E, n),
holomorphe dans D et satisfaisant à la relation ci-dessus, constitue un
LAPS problème de Hilbert dont la solution dépend de deux constantes arbitraire (').
Il est évident que si l’on demandait la solution de l’équation (4°), satisfaisant elle-même à une relation de ce genre, le problème serait le même. Enfin, en supposant que f(Q) ainsi trouvée reste sur le contour C bornée et intégrable, on arrive à la formule
k : 1 PP À 1 A4) ae en dt) ee lu 0] 3 aff ra Fe) ee se 1 fie “0 p(P)err®: SAP 217 Je z —€ WT à p — €
Les cas particuliers intéressants compris dans cette équation sont :
Celui des fonctions holomorphes (x) pour À — 0; Celui d'une équation envisagée par M. Pompeiu pour À=1, 4 — 0. Cette dernière équation Dies 5° A (5°) .
généralise la fonction exponentielle. L'intégrale peut être mise sous la forme
Il n’est pas inutile de considérer aussi quelques types linéaires d’ordre supérieur, où les coefficients soient des fonctions holomorphes. Par exemple
0 Df ES (6°) pas + 24(0)p, +2) JC) — 0.
Déterminons une fonction holomorphe r(£), telle que l'expression ere soit une intégrale de (6°).
On obtient une équation caractéristique
TU 00 qui donne a) Na b.
Supposons que a°—b;<o dans D; dans ces conditions r(C) sera holomorphe.
(:) Voir à ce sujet H. Vizcar, Leçons sur l’Hydrodynamique, p. 226.
THÉODORESCO. 11
On peut prendre une intégrale de la forme TOC Jet + C,(t)e#,
où C,(C) et C,(0) sont holomorphes et arbitraires. Si l’on connaît les valeurs de /(£) et de sa première dérivée aréolaire le long de C, on en tire sans difficulté la formule suivante :
+ ts [7 1e as l'a(2)3 7e erQË=ritz)z | .
fo = done . Lx 2ÛT M ToNe G
4] pe hi + a — D/( = tr sh: eragt-rate |
De + e de.
AREA (TIEET, )(2== 0)
Le cas où r, —r, n’est pas difficile.
Citons parmi les cas particuliers les deux suivants, généralisant les lignes trigonométriques (naturelles et hyperboliques),
ne Dre Das ete
Une première application des équations aux dérivées aréolaires est à l’intégration de certains systèmes d'équations aux dérivées partielles. Insistons en particulier sur l'équation P
supposons que ®(Ù) soit continue et satis fasse à une condition de Hôlder dans le domaine D.
Dans ces conditions la fonction g(£) admet, on le sait, des dérivées partielles du premier ordre continues dans tout le domaine. Posons p(E)— A(x, y)+iB(x, y).
Dans les conditions posées, l'équation ci-dessus conduit au système
(4 ES NUE PRE en de Pr SE dx DV 2A(X, y); y MQUE dy US A
Inversement, un système de cette forme se ramène aisément à une équation de la forme considérée. Alors, intégrer ce système revient à chercher une certaine fonction holomorphe (x).
Le problème le plus intéressant est Le suivant :
LOT Me
Trouver l'intégrale du système ci-joint, qui sausfait sur le contour simple C, à la relation
A(t)P(4)+B(4)Q(1)—=C(t), où À, B, C désignent trois fonctions continues d’un paramètre lé au contour.
Or, on connaît une intégrale particulière de ce système. Elle est
g(E) = Pi+ iQ =— “je. PT} da.
Celui-ci se ramène donc à l'intégration de l'équation
D FO Meet EC qui donne J=8+A(), h(£) étant hclomorphe.
De même, si l’on pose h(É)=u(x, y) +1v(x, y), la relation à vérifier le long de C devient A(t)u(t) + B(i)p(e) = C(E) — A(E)P, (4) — B(4)Q(E).
Or, le second membre est bien connu et continu. Le nouveau problème, concernant la fonction holomorphe A(©) est un problème de Hilbert, qu’on sait résoudre.
Nous allons, d’ailleurs, insister sur ces considérations dans le chapitre
suivant.
L’équation D De =/
conduit aisément au système
OLLCTOON *
de de ?
de) DER
dx | dy — 4e
De plus, les fonctions P et Q satisfont en particulier à l'équation
920 d0 a dx? fe dy?
nr — La connaissance d’une relation de la forme
le long d’un contour C, entraîne celle de l'intégrale du système qui y satisfait.
En particulier, si l'on donne sur C la partie réelle de /, c’est-à-dire P, on détermine à la fois l'intégrale du système obtenu et celle de l'équation aux dérivées partielles ci-dessus.
Réciproquement, on peut intégrer l’équation (42) à l’aide du système (41).
En effet, attachons à la fonction P(x, y) une autre Q(x, y) de telle façon qu'elles satisfassent au système (41), qui est parfaitement équivalent à l'équation aux dérivées aréolaires
LUE Do 7%
Or, on a une intégrale en écrivant
+ D FA Us Ds log fx, d ou UC se
Déterminons h(£) de manière que sur C on connaisse à l'avance les valeurs de P(x, y), exprimées par une fonction continue P(+). Soit R(E)=u(x, y)+iv(x, y).
On arrivera facilement à une relation de la forme P(t)—=A(tjhu(t)+B(t}r(t).
La détermination de la fonction holomorphe A(T), telle que w et » satis-
fassent à cette relation, est un problème de Hilbert.
On connaitra de cette façon la foncuion f({) (à deux constantes près) et par suite P(x, y).
L'unicité de l'intégrale est assurée par un raisonnement regardant directement l'équation aux dérivées aréolaires, donc la fonction RU 7 h(©). Terminons ces considérations en remarquant que les équations
QUE 3 D° f Le MONET que, 2 AS AS
ns ve
conduisent aux systèmes
f a RE FAQ dP LEUR (4!) dx? # 5x0 Open dy ?
ERA OEPe SR ge dx? 0x dy dy?
et à l'équation A0 — (SE —° — D )+ 9 —=.0.
5. On peut se proposer aussi d’autres applications des équations aux dérivées aréolaires, en particulier d'en étudier aussi la nature analytique des intégrales.
Il est possible de faire un rapprochement entre certaines fonctions complexes et les fonctions à champ réel autonome.
M. G. Bouligand appelle fonction à champ réel autonome toute fonction uniforme ®(P), qui au voisinage d’un point régulier quelconque du champ réel se développe en une série de polynomes homogènes par rapport aux com-
—> posantes de P,P, cette série étant absolument convergente dans la sphère de centre P,, passant par le point singulier réel le plus rapproché de P,.
Les polynomes aréolaires conduisent à de telles fonctions, puisque les composantes P et Q en sont polyharmoniques.
Mais on peut en donner encore d’autres exemples plus compliqués. Prenons par exemple une équation linéaire à coefficients constants. Pour l'intégrer on est amené à faire les calculs comme s’il s'agissait d’une véritable équation différentielle ordinaire.
L'intégrale générale sera de la forme
EC(t)eré,
où les r; sont les racines de l’équation caractéristique.
Or, il est clair qu’on peut développer cette fonction autour d’un point z, en une série de polynomes homogènes, absolument convergente dans le cercle de centre 3, et passant par le point singulier le plus rapproché de 3, et appartenant à l'ensemble des points singuliers des coefficients C;(£).
(:) G. BouLicann, Sur un problème de la théorie des fonctions analytiques de plusieurs variables et sur divers points de la théorie des fonctions harmoniques (Journal de Mathématiques pures et appliquées, t. IX, fasc. IV, 1930).
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En prenant respectivement les parties réelle et imaginaire, les fonctions obtenues sont à champ réel autonome.
Un autre exemple :
Considérons l'équation
IR r D f
Le Fe SA Dar mire pi(E) Dar +, + ES
où les fonctions ®,, 2, ..., ©, sont des fonctions entières de £,
Si l’on en cherche les intégrales régulières. en négligeant la présence de 3, on peut la considérer comme une équation différentielle ordinaire. Or on sait qu'une telle équation où les coefficients sont des fonctions entières a des intégrales entières aussi.
L'intégrale générale étant de la forme
DCE) NCE),
il s'ensuit qu’elle est à champ réel autonome, l’ensemble des points singuliers étant fourni seulement par les coefficients holomorphes C;(©). On pourrait être tenté de croire que toute série de fonctions de la forme
