CHAPITRE V
A. Ce dernier chapitre est consacré aux applications physiques des fonctions monogènes (x).
Le langage de la variable complexe rend parfois très claires et naturelles des questions difficiles à traiter directement.
RS
On connaît, en particulier, les grands services que l'introduction des fonctions analytiques rend à l'hydrodynamique des fluides parfaits.
Malheureusement, il n’est pas toujours possible de s’en servir, précisément à cause du fait que ces fonctions ne forment qu'une classe particulière, le premier terme d’une théorie générale.
Les applications physiques montrent que la dérivée aréolaire n’est pas seulement un agent de passage, mais surtout un instrument actif de mise en équations.
L'opération inverse est une véritable quadrature, qui s’introduit naturellement dès que la mise en équations est réalisée.
Si parfois ces caractères ne se révèlent pas immédiatement, c'est parce que la forme donnée aux équations qui se présentent dans les problèmes n’est pas la plus naturelle à ce point de vue.
Nous montrerons que les équations générales, telles qu’on les obtient en appliquant les théorèmes généraux, sont souvent plus maniables que les équations aux dérivées partielles qui s’en déduisent.
2. Il n’est pas sans intérêt d’analyser Le rôle des différents éléments physiques qui entrent dans les problèmes de la Mécanique des milieux continus.
Prenons le cas le plus simple, celui d’un fil flexible et inextensible à une dimension, c’est-à-dire étendu sur un segment de droite.
Appelons T(æ) la tension en un point x de ce fil, X(x) la force massique exercée, p (æ) la densité linéaire.
En tout point intérieur, l’équation unique d'équilibre est
—p(x) X(x), d’où l’on tire PRET) + f p(s)X(s) ds,
si l’on suppose, bien entendu, p(æ) X(æ) intégrable, ou en particulier continu.
La statique de ce fil est équivalente à la théorie de l'intégrale indéfinie et de la dérivée.
La force massique est en chaque point la dérivée de la tension, son régulateur de vartation ().
(*) Selon la désignation de M. D. Pompeiu dont nous rééditons dans ce paragraphe des idées exposées dans ses conférences à l'Université de Bucarest en 1020.
Neue
Prenons un deuxième exemple : celui d'un fluide incompressible à deux dimensions, dont l'équilibre est assuré par les équations
X, dy
à condition que X et Y admettent des dérivées partielles du premier ordre, qui satisfassent à la relation OX ON
dy 0 Supposons remplie cette condition, auquel cas on aura dp = p(X dx + Y dy), d’où
M p=r+ |. p(X dx + Y dy).
Il est clair que la force massique intervient de la méme manière que dans le cas précédent, quoique l'instrument analytique ne soit plus parfaitement le même.
La statique d’un milieu continu à deux dimensions montrera que cette analogie se poursuit, à condition qu'on y adopte des instruments de recherche de plus en plus compliqués.
En effet, si l’on prend un mulieu continu paruculier où N, = — N, = U, les équations de l'équilibre intérieur
ANS A TRES Fr T5y ip, DIN ONE mt deviennent OU OT es —ApX dx dy (9 == Const):
Ro à LEP CE p
Considérons la fonction F(z)—T(x, y)+:U(x, y), et supposons que la fonction 5(Y +:X) satisfasse à une condition de Hülder dans un domaine D.
Dans ces conditions, le système ci-dessus s'intègre immédiatement par la
THÉODORESCO. 12
es
o(Y x AO Om En à
formule
* YD
En comparant les trois formules obtenues dans ces trois cas envisagés, on voit clairement qu'il y a une analogie poussée très loin entre les opérations qui résolvent ce même problème de l’équilibre, et que la dérivation aréolaire devient d'un emploi naturel, au moins dans ce cas bien précis.
5. Le principe de d'Alembert affirme que dans un système matériel en mouvement, les forces appliquées se décomposent : la première composante, la force effective, agit comme si le système était sans liaisons, tandis que la deuxième, la force complémentaire, doit équilibrer le système des forces de réaction produit par les liaisons.
Montrons que cette décompositionse fait d'une manière uniqne et déterminée, et prenons à cet effet un cas particulier : un fluide parfait à deux dimensions et incompresstble (').
Supposons qu'il soit enfermé dans un vase limité par un contour simple fermé C, les forces appliquées étant exprimées par des fonctions continues 29X,20 Ÿ, satisfaisant à une condition de Hôlder dans le domaine D.
Soient oX,,0Y, la force effective, © X,, © Y, la force complémentaire.
Sur le contour, supposons connue la pression p(t), donnée par une fonction continue d’un paramètre £.
Le principe de d'Alembert exprime le fait que les forces complémentaires se font équilibre en vertu des liaisons. On aura
