DEL); 2 = Y, + Y
\ Op 0p
2— 9x” LE or dy
Les accélérations effectives X,, Y, et les vitesses w, 6 satisfont, dans le cas d’un fluide incompressible, à la relation suivante :
| du. du aX, < CPE : dx dy os dx dy Der 0e" 0 CERN | 0x dy
(') Cette question forme lobjet d’une Note de M. D. Pompeiu dans les Comptes rendus, t. A8T, p. 1121. Nous la reprenons ici pour préciser les données, pour introduire des conditions aux limites et pour montrer l'unicité des résultats.
RTE Es
si le fluide part du repos, à l'instant initial, elle devient
ox ot, dx CIS d’ Al l’ hd £ où l'on tire tout de suite PE 07 9q Z SA Er VE Ve dx?
g étant une fonction arbitraire admettant des dérivées partielles du premier
ordre continues.
Les relations ci-dessus conduisent donc au système
OU IE ee 0p , 0q Hors de
qui, dans les conditions posées, s'intègre facilement à l’aide de la fonction g(0). Posons à cet effet
X + Y, pig: ff D a
ED p,; Or
On arrive facilement aux relations
OP EAOQ 0x dy ra dP. 0Q CADRES
qui montrent que la fonction P + :Q est holomorphe dans D. Le long de C,
on a P(E)=p(t)— po(t);
donc on en connaît la partie réelle. Le problème est maintenant simple : il
s’agit de déterminer une fonction holomorphe dont on connaît la partie
réelle le long de C.
Il y a une solution unique (à une constante imaginaire près). La connaissance de P et de Q entraîne celle de p et get, par suite, celle de X, et Y,. La constante introduite disparaissant par dérivation, on peut affirmer qu’en connaissant p sur le contour, la distribution des forces selon le principe de d’Alembert est parfaitement déterminée en chaque point intérieur.
202 PÀ 4. Les équations d'équilibre pour une plaque plane élastique, homogène et isotrope sont :
Au+ET 2vX, A Y:
A4 10) “2 où l’on pose 2-0n- #0 AOL M nn CE ARTE A Un
Posons, pour simplifier ces équations,
RÉ à On a RUE DV OU OP DAOPE OUN SOUPE MAO “= Gx\0x | 0y) 0y\0x dy] 0x dy’ Ho drfopvatou Ô {de du\ 00 à 09, FT 9x (& dy F dy\0y 0x] 0y ‘ 0x” de sorte que le système ci-dessus devient 00 6, GE) Tr: dy —2vX, 09 00, CNRS ee Harris av Y
Supposons que la plaque soit limitée par un contour simple C, et notons (1+€)0 —0,.
On obtient
Ce système s'intègre facilement à l’aide de la fonction g(©). Supposons que l’on connaisse le long de C une relation de la forme
a(t)0,(4)+ b(4)(t)—c(t), où a(t), b(t), c(t) sont des fonctions continues de £.
On aura aisément, en supposant que les fonctions X et Ÿ soient continues et satisfassent à une condition de Hôlder :
B,(æ, y)+i8,(æ, y) = (6) - ef fe +iY) |
Notons h($)=p(x,y)+iq(x, y) el 8(K)= gr, Yi, y).
a re
La relation le long du contour peut s’écrire : a(t)p(t)+b(t)q(t)=c(t) — a(t) 8(t) — b(E) 816).
Le second membre étant connu, on est ramené à un problème de Hilbert qui conduit à une fonction .(©) unique (à deux constantes près). La connaissance de L(C) entraine celle de 0,(x, y} et 0,(x, y). Dans ces conditions, le système ou dP ô, dp du
4 | CR Rec
ë < | À PE — ZE 0 dx dy 1+E OYAOUOE
nous fera connaître u(x, y) et (x, y) par un artifice analogue. D Emte tion de Hôlder, car les deux composantes admettent des dérivées partielles du premier ordre continues.
Supposons connue le long de C une nouvelle relation de la forme
En effet, la fonction : [0 ET | est continue et satisfait à une condi-
à 1 ro 1 [a+ | PEN) EEE CR, ET) = = ee SJ do.
En suivant une voie analogue à la précédente, on arrivera à un problème de Hilbert pour trouver H(0) (à deux constantes près).
Le problème posé admet donc une solution, sauf pour £——1, quand il n’en admet plus aucune, en général.
Cette solution est unique (à quatre constantes près).
Pour obtenir une solution tout à fait unique, il faut se donner les valeurs de 0,,0,,u, v en un certain point du domaine ou bien d’autres conditions ponctuelles.
On peut donc affirmer que le problème de l’élasticité plane admet une solution pour une plaque limitée par un contour simple, lorsqu'on se donne le long de ce contour deux relations linéaires entre les fonctions 0, et 6, d'une part et w, e de l’autre (").
On aura
(2) Dans une Note aux Comptes rendus, t. 189, p. 565, nous avons résolu ce même problème, en supposant connues sur C les fonctions 0(4) et u(t).
C'est un problème un peu plus particulier, mais ne différant pas essentiellement de celui qu'on traite ici.
Cette solution est unique (à quatre constantes près).
Il faut toutefois remarquer que l’application de la méthode suivie exige une certaine restriction relative à la continuité des fonctions X, Ÿ, restriction qui est d’ailleurs d’un usage très fréquent dans les problèmes d’intégration, quelle que soit leur nature.
En même temps, on peut se demander si le problème naturel n’est pas possible avec des données bien plus générales.
Nous allons résoudre cette question par l’affirmative dans ce qui va suivre, mais pour le moment nous nous contentons d’en faire la remarque et d'examiner un autre exemple de la même nature.
5. Il s'agit du mouvement stationnaire d'un liquide doué de frottement.
Le Mémoire de A. Korn | Sur l'équilibre des plaques élastiques (*) (prix Vaillant, 1907)] traite aussi cette question en la rattachant à un problème
d'intégration de l’élasticité.
Nous allons la reprendre en suivant une voie tout à fait différente.
Le problème consiste en l'intégration du système
RU DRE RS k Au Er de == ; tan O k A: = dy = de UE ARTS DOUCE
à l’intérieur d'un domaine D limité par un contour simple C, en connaissant le long de celui-ci les valeurs de la fonction p exprimées par une foncuon p,(t), et une relation de la forme
entre les valeurs limites des fonctions u et ». Les fonctions X, YŸ sont supposées continues et satis faisant à des conditions
de Hôlder dans le domaine D (°).
+ du a) q — À dy — dx, .
(1) Voir Annales de l'Ecole Normale, 3° série, t. 25, 1908, p. 529. (?) Le problème de Korn suppose connues les se limites de w et ».
Introduisons la fonction
