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En écrivant
Nes D) ee | de ) x co É dp ) vas d (2)
0x \ 0x dy CN OMS OU LIEL ES OT :
ne o) ( ) 1d (FE : Se )=— d q
0x \ ox dy dy \ dx OVER TO (£)
le système nous conduit à
OP OY OpALOTANE "PE Pt De CEE ES") JC ou
De do none Vopet dE
Or, le premier montre que la fonction p + ig de variable complexe & + 1v a pour dérivée aréolaire =(X +1Y).
Dans ces conditions, on a = (X +iY) PTE ES) TE c DE Fe
RE) = hr, y) Fékie, »), 'ADETACNAEAT AE SA
Posons
Le long de C, on en déduira la relation | AOEITOES TO)
qui fait connaître h,(4).
On est ramené à la recherche d’une fonction holomorphe dans un domaine, en connaissant sa partie réelle le long de son contour, ce qui fournit une solution unique (à une constante près).
La connaissance de h(©) entraine celle de p +1g.
Par conséquent, la recherche de « et v devient facile. Le second système
ci-dessus montre que la fonction — L est la dérivée aréolaire de la fonc- AN
tion 6 + zu.
On aura aisément :
ere p+iu—=H({) = Ed D
H(£)=H,(z, y) +iH,(z, y)
Posons
et notons par G(E)= Go(x, y) +1G(x, y) l'intégrale double.
La relation donnée sur C conduit à la suivante :
a(t)H,(t) + b(t)H,(é)=c(t) — a(t) Gt) — b(E) G(6).
Le second membre étant parfaitement connu, on arrive à un problème de Hilbert, auquel on a fait appel assez souvent dans ce qui prècède.
Le problème proposé admet une solution unique à trois constantes près si, bien entendu, # £ 0.
On peut établir cette dernière proposition en examinant un problème particulier où X=0, Ÿ =0o dans Det p,—0,
TORAOEMOIAUOUEC sur C.
Dans ces conditions, la fonction p + 1q est holomorphe et, puisque p, —0, elle se réduit à une constante qu'on peut prendre nulle (à l’aide d’une condition ponctuelle supplémentaire).
Passons au deuxième système. La fonction 6 + zu doit être holomorphe dans D et satisfaire à une condition de la forme
a(t)us(t) + b(E) #5(t) = 0.
A l’aide d’une autre condition ponctuelle, on peut s'arranger de sorte que cette fonction soit identiquement nulle aussi.
Le cas général peut y être ramené par un raisonnement bien simple et assez fréquent dans les questions de cette nature (').
En ce qui concerne les conditions aux limites, elles sont des plus naturelles, car la seconde peut exprimer, par exemple, que la vitesse normale est nulle à la paroi, ou qu'on y connaît la vitesse tangentielle.
Enfin faisons la même remarque que plus haut sur la généralité des données, car il est bien naturel de soupçonner que la restriction faite par la condition de Hôülder s'attache plutôt à l'instrument analytique employé qu’à la nature du problème.
6. Examinons enfin un problème de la théorie des tourbillons : {a déter-
1) Voir notre Note aux Comptes rendus, 1. 189, 1920, p. 060. 1. , 929; P: 999
PPÉOTE munation des vitesses en fonction des tourbillons dans le cas d'un fluide à deux dimensions (").
Supposons que, dans un fluide à deux dimensions, on connaisse à l’instant donné t les tourbillons €, représentés par des fonctions continues satisfaisant à une condition de Hôülder dans les régions contiguës qui constituent l’ensemble de ce fluide. (On peut, d’ailleurs, avoir à côtè de telles régions d’autres où les tourbillons soient nuls).
Le vase à deux dimensions, un domaine D, simplement connexe, limité par un contour simple C, est animé d’un mouvement donné.
Sur le contour, supposons donnée une relation linéaire
entre les composantes ue de la vitesse, a, b, c désignant les fontions conüunues sur C.
Les notations étant celles habituelles, /e problème consiste en l'intégration du système
dP OH dx dE dy cr 26, du DC
er or 0
avec la relation ci-dessus comme conduion aux limutes.
Dans les conditions de l’énoncé le système ci-joint montre que la fonction e(æ, y) + tu(x, y) a pour dérivée aréolaire la fonction Ü(x, y).
Il vient donc |
o&»)+iate = ha) à [ (2 A D
