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Trouver les fonctions holomorphes (x) à dérivée aréolaire connue, qui est à la base de toute recherche sur les équations aux dérivées aréolaires.

Nous montrons qu'il existe un parallélisme entre certains systèmes d'équations aux dérivées partielles et les équations aux dérivées aréolaires, ce qui nous permet de les envisager sous une forme condensée et de les intégrer dans des conditions aux limites convenables.

Dans le dernier chapitre nous avons rassemblé les applications que nous avons trouvées en appliquant la dérivée à des questions se rattachant à la Physique mathématique.

A vrai dire, c'est à la suite de ces résultats que nous avons cru utile d'entreprendre une étude sérieuse de la dérivée aréolaire et de l’envisager en elle-même, c’est-à-dire comme opération indépendante de la dérivée partielle, ce qui nous a permis de remonter souvent des forces massiques données à la distribution des tensions ou des vitesses.

La dernière question traitée pose un problème nouveau et montre qu'il est possible de se proposer de trouver l'équilibre d’un milieu continu à l’aide des équations générales, sans passer par les équations aux dérivées partielles, passage qui oblige à des particularisations contraires à la nature des choses.

La dérivée aréolaire, conçue comme dérivée extérieure de M. Cartan, conduit à l'intégration de l'équation fonctionnelle qui s’y introduit, d’une manière naturelle et immédiate.

Quelle que soit la portée de ces idées, il serait regrettable si les problèmes analogues dans l’espace à trois dimensions ne pouvaient être abordés de la mème façon.

Heureusement, les idées de Cauchy-Pompeiu ont été reprises récemment par M. Gr. C. Moisil qui a réussi d'étendre les résultats fondamentaux aux systèmes d'équations aux dérivées partielles dont les intégrales sont des fonctions harmoniques d’un nombre quelconque de variables (!).

En particulier, nous avons montré que ces considérations conduisent à l'intégration des systèmes dont nous nous sommes occupés, dans le cas de l’espace à trois dimensions.

L'accueil si bienveillant que M. H. Villat à fait à nos recherches nous a beaucoup encouragé.

Nous profitons de cette occasion pour lui renouveler l'expression de notre profonde reconnaissance.

(1) Comptes rendus, 1. 191, 1930, p. 984 et 1192.

LA ee

M. G. Bouligand a bien voulu s'intéresser de tres près à ce travail. Grâce à ses précieux conseils nous avons pu éclaircir quelques points délicats de la théorie.

Nous lui exprimons ici notre profonde gratitude.

Quant à notre Maitre, M. D. Pompeiu, qui nous a guidé dès nos premiers pas, il nous serait très difficile de lui exprimer toute notre reconnaissance pour ses conseils, pour ses encouragements, ainsi que pour l'honneur qu'il nous a fait d'accepter l'invitation de M. H. Villat de faire partie du Jury de notre Thèse.