PREMIÈRE PARTIE
CHAPIPRE--
LES POLYNOMES ARÉOLAIRES.
1. Soit : — zx + 1y l’affixe d'un point du plan; une fonction de ce point, ou une fonction de la variable complexe 3 sera, dans ce qui suit, de la forme
J()=P(a, y) +iQ (x, y),
c'est-à-dire une relation, aussi générale que l’on veut, entre deux ensembles de valeurs complexes.
Une telle fonction, sur laquelle on ne suppose rien de particulier a priori, sera bien différente d’une fonction analytique et pourra passer pour une fonction de deux variables réelles æ, y.
Or, les propriétés fondamentales als fonctions analytiques se le het à l'intégrale de Cauchy.
On peut dire qu’une fonction est holomorphe dans un domaine si :
1° Elle y est continue;
2° Elle satisfait à la relation f fs) ds = 0 pour tout contour fermé €
rectifiable, tracé dans ce domaine.
Il est donc naturel de se demander si la condition 2° ne peut être remplacée par une autre de la même nature, mais plus générale, afin d'obtenir des fonctions qui jouissent des propriétés générales des fonctions holomorphes, convenablement étendues.
C'est M. D. Pompeiu le premier qui a eu l’idée de considérer de telles fonctions, en adoptant l'intégrale de Cauchy comme instrument de recherche.
Supposons qu’une fonction ne soit pas holomorphe, mais qu’elle est continue.
hey
L'intégrale de Cauchy ne sera plus nulle, mais elle existera pour chaque contour rectifiable fermé C, tracé dans un domaine borné D, sa valeur étant une fonction de cette ligne.
Considérons le rapport (') I »
ue JF) LE
affa Fr Ô
Il y a des cas où ce rapport a une limite unique et déterminée, lorsque la courbe y se resserre indéfiniment autour d'un point x, + y,, de manière que le domaine © puisse être enfermé dans un cercle de centre +,, Ya et de rayon aussi petit que l’on veut.
Cette limite, lorsqu'elle existe, est appelée la dérivée aréolaire de la fonction f(z) au point 3,.
D'une manière précise, nous dirons qu'une fonction f(z) a une dérivée aréolatre au point 3, lorsque, à un nombre positif e, arbitrairement donné, on peut faire correspondre un nombre positif r, tel que pour tout contour fermé Y, limitant un domaine à entièrement en fermé dans le cercle de centre x,, Yo et
de rayon r, on ait ee. (3) dz 1e
= do) T 5
le nombre 9(2,) étant fini et déterminé.
Si une fonction admet une dérivée aréolaire en chaque point d'un domaine ouvert, nous dirons qu'elle est monogène (x) dans ce domaine.
Si, la fonction étant définie dans un domaine (ou dans tout le plan, car on peut toujours la prendre égale à zéro dans le domaine complémentaire), la dérivée aréolaire n'existe que sur un certain ensemble de points, on dira que la fonction est monogène (à) sur cet ensemble.
Plus restrictivement, nous appellerons Jonction holomorphe (x), une fonction qui admet une dérivée aréolaire continue dans un domaine donné.
Il existe des fonctions monogènes (4) ainsi que des fonctions holomorphes (x).
Un premier exemple est fourni par les fonctions holomorphes au sens mg TE PT
(*) Voir D. Pompe, Rendiconti del Circolo Mathematico di Palermo, 1.33, 1912, p. 108; t. 35, 1913, p. 227.
(2) Der Ne e,
UE
classique pour lesquelles le rapport (1) existe dans le domaine d’holomorphisme (ouvert) et est identiquement nul. |
Par conséquent, la dérivée aréolaire des fonctions holomorphes est identiquement nulle, ce qui leur donne un rôle de constantes dans ce qui va suivre.
2. Un second exemple, qui est très important, au point de vue des applications physiques des fonctions qui nous occupent, est celui considéré par M. D. Pompeiu, où l’on suppose que les fonctions P(æ, y) et Q(x, y) admettent des dérivées partielles du premier ordre continues.
Ce cas est le seul qu’on a envisagé jusqu'à présent. Il nous conduira à une expression explicite de la dérivée aréolaire.
En effet on aura 100 PS A 00e (RE Die dy ut de | dx dy ;
1 4 L TEA en a) P== (2) #6 dy DEA = En -i1Q)(dz+idy) ER
en vertu de la continuité des dérivées partielles et par l’application de la formule de la moyenne, on arrivera à l'expression suivante de la dérivée aréolaire pour cette classe particulière de fonctions
. Df 1/9P 00 [2Q 9P |. Foie RE dy es)
Quoiqu’on ne puisse toujours espérer d'obtenir une expression de cette forme pour l’opérateur introduit par (1), nous conserverons cette notation
. D re. VAR r La SL dans la suite, de sorte que le symbole ;= désignera la dérivée aréolaire.
Cette opération conduisant à une nouvelle fonction du point æ,, y, on peut essayer d'en trouver aussi une dérivée aréolaire, et ainsi de suite.
É . x D Lorsqu'une fonction f(z) en admettra plusieurs, elles seront notées par <-; (ÿ ’ Pr,
D: De Dow?’ °°"? Do’
2. Il y a une seconde voie conduisant à la dérivée aréolaire dans le cas d’une fonction admettant des dérivées partielles du premier ordre continues.
Calculons la dérivée dans une direction fixe du plan d’argument ; en posant dz — dre*?, on arrive à l'expression
TO de OO OP bel ap 40% "00" op ls, + s) dx si) er dx 1e Or ..
dis 2L
THÉODORESCO,
LPO ÉE
Cette expression dépend évidemment de la direction ®, maïs si la quantité dans le deuxième crochet est nulle, elle n’en dépendra plus. K r . L PAS: C2 Là C D ; L
Or, cette quantité coïncide avec la dérivée aréolaire donnée par la relation (3).
Sous cette forme, elle a été employée par M. G. Calugaréano ('), qui lui a donné un aspect plus simple et plus intuitif à l’aide d’un changement de variables.
Si l'on pose z—x+41y, : —æx—1y et que l’on passe des variables æ, y aux variables 3, 3, on voit que
CRE ON cs Of dre 0e es Net
La dérivée aréolatre coïncide, pour ces fonctions particulières, avec la dérivée partielle de f, par rapport à 3.
On a donc DJs Do dz’
l'opération ayant le caractère ordinaire, quoique les variables 3 et 3 ne soient pas indépendantes l’une de l’autre.
: NAT À : dz 3 ; > Si la dérivée aréolaire est nulle, dj. est indépendante de la direction Je suivant laquelle on dérive, et f (3) admet une dérivée unique. On est dans
le cas des fonctions analytiques.
On peut dire que ces fonctions se comportent par rapport à cette nouvelle
dérivation, comme les constantes dans la dérivation ordinaire.
3. Il y a une formule fondamentale relative à ces fonctions particulières dont il est question dans le paragraphe 2.
Elle exprime les valeurs d’une telle fonction en chaque point d’un domaine D, limité par une courbe fermée rectifiable C, lorsque l’on connaît dans le domaine les valeurs de la dérivée aréolaire supposée continue, et sur C les valeurs prises par la fonction même | supposée holomorphe (x) dans D fermé |.
Cette formule est due à M. D. Pompeiu.
On peut remarquer d’abord à l’aide de la formule de Green qu'on a pour
(:) Thèse soutenue à la Faculté des Sciences de Paris, 1928.
Lure Rire
tout y fermé et rectifiable limitant un domaine à, la relation suivante :
