Dans un triangle ABC l'excès angulaire (9) est A + B + G

Supposons d'abord que, dans ce triangle, l'angle A soit infiniment petit et par suite aussi le côté opposé a, les deux autres

p côtés beic étant finis ; l'angle G, quand BG s'annule,

^^ a évidemment pour limite l'angle extérieur du

Fig. 4. triangle en B, c'est-à-dire l'angle tc — B (9) ; donc

A -F B + G devient à la limite, A s'annulant, B + tc — B, et par

suite l'excès A -h B + G — tz s'annule. Donc :

Théorème. — Lorsqu'un triangle s'aplatit de façon à se réduire à une géodésique, son excès angulaire s'annule.

Soit maintenant un triangle ABG dont les trois côtés sont infiniment petits et supposons que ce triangle se réduise au sommet A quand les trois côtés s'annulent: soit alors B'AC' la position-limite

que prend la géodésique à laquelle appartient le côté BG ; les angles B et G deviennent respectivement à la limite les angles P et y ; comme d'ailleurs l'angle A du triangle est égal à l'angle a qui lui Fig. 5. est opposé par le sommet (8), on voit qu'à la limite

la somme des angles du triangle devient a + p + y, c'est-à-dire Tz (7). Donc, l'excès angulaire devient à la limite a + ^ + y — '^j. c'est-à-dire zéro. Donc :

Théorème, — L'excès angulaire d'un triangle infiniment petit s'annule quand ce triangle se réduit à im point.

Il résulte aussi des deux théorèmes précédents le troisième théorème suivant :

Théorème, — Dans un triangle infiniment aplati, comme dans un triangle ayant ses côtés infiniment petits, Texcès angulaire est infiniment petit.

12. Soit un triangle SPQ dont Tangle S est fixe et dont les sommets P et Q se déplacent sur les géodésiques SX et SY. L'excès E de ce triangle est évidemment fonction f(x, y) des deux côtés variables a: = SP et j/=SQ. Mais nous venons de voir que E s'annule avec SP et SQ (11) ; on a donc, en désignant par dx et dy deux variations infiniment petites Sp et Sq de SP et de SQ à partir de S et par AE la variation infiniment petite correspondante de E :

àE = fl{o)dx + r^o)dy + l{j:,{o)dx' + <iC^(o)^^^

équation dans laquelle AE est l'excès du triangle infiniment petit Spg, et Wg w^... les termes de troisième, de quatrième ordre, etc.

Si, dans cette équation, dy restant fixe, dx s'annule, le triangle s'aplatit et vient se confondre avec la géodésique SY ; donc AE s'annule (H); cela devant avoir lieu pour dx = el dy quelconque, il en résulte que notre équation ne doit avoir aucun terme contenant dy seul.

De même en partant de Thypothèse dx fixe et dy nul, on montre que l'équation ne peut avoir de termes ne contenant que dx.

Donc, en résumé, chaque terme contient à la fois dx et rf;/ qu'on peut dès lors mettre en facteur, et l'on a :

AE = dd? . dy [fl^ (o) + mdx + ndy H ]. (1)

Faisons tourner le triangle Spq de deux angles droits et amenons-le ainsi en Sp'q' ; ce triangle, égal au précédent, a évidemment même excès AE. Mais pour avoir l'excès de ce triangle S/} Y il faut, dans la formule (i), changer dx et dy en — dx et — dy ;

elle doit alors conserver sa même valeur, ce qui exige que dx eV* ^ ^\/ dy n'y figurent qu'aux puissances paires.

DonCy en résumé, la foimule (1) prendra la forme :

^E = dx.dy[^^{o)+l, + v,+ '"] (2>

t',, v^ étant des termes du second, du quatrième degré, etc.

Considérons enfin le triangle Sp'9; il suffit, pour avoir son excès, de changer dans la formule (2) dxin — dj; ; il vie nt alors :

^E^ = -dx.dyU:^{o)+v\ + v\+'-] (3)

et Ton voit ainsi qu'au signe près AË et AE^ ne diffèrent au plus que d'un infiniment petit du quatrième ordre.