Les formules précédentes sont fondamentales

Dans l'équation (2) /^^ (0) est une constante pour tous les triangles infiniment petits dont les côtés Sp et Sq sont variables, mais dont l'angle 9 en S est fixe ; /^ {0) ne dépend donc que de

cet angle, et l'on a /.^ (0) = ^ 9 (6); si Ton ne donne pas de

signe aux côtés Sp et Sq du triangle, les formules (2) et (3) mon-

Irenl que Ton a 9 (tu — 6) = 9 (9) : nous désignerons par ^ la valeur

particulière que prend 9 pour 6 = ^ ; on a donc 9 ( 9 ) = r' ^^ K '

qui est une conslanle pour la surface sur laquelle sont situés les triangles dont nous parlons, est appelé la courbure de cette surface.

D'après cela, soit ABC un triangle infiniment petit quelconque de côtés a, h et c; les formules (2) et (3) s'écriront, en désignant par e l'excès angulaire :

err=^bc [9(A) + v^ + v^ + . ..]

^'=-^f>c[<:^{Tz — k) + v\ + v\+-'']

où l'on a :

On a donc, en négligeant dans ces formules les infiniment petits du quatrième ordre, le théorème suivant :

Théorème. — Quand deux triangles infiniment pelits ont un angle égal, leurs excès sont dans le rapport des produits des côtés qui comprennent cet angle.

Gela est encore vi-ai si l'un dos angles du premier triangle est supplémentaire d'un angle du second.

14. Si b et c sont deux infiniment petits du premier ordre, on

voit par les formules (4) que la différence ô — ^ ^^9 (^) ^st du

quatrième ordre; mais si 6 ou c sont des infiniment petits d'ordre supérieur, si, par exemple, le produit bc est d'ordre n, la différence ci-dessus est d'oixlre n + 2.

En s'en tenant au cas général, on a donc le théorème suivant :

Théorème. — L'excès angulaire d'un triangle infiniment petit

est du second ordre et a pour expression ^ ^^9 (A) à un infiniment

pelit près du quatrième ordre.

15. Ainsi, dans un triangle infiniment petit l'excès A + B + G— x est du second ordre ; mais si l'un des côtés a est du second ordre, c'est-à-dire si l'angle A est un infiniment petit, cet excès est de même ordre que le produit ab, c'est-à-dire du troisième ordre.

Si dans la formule

A + B + G — 7u = 2 6c [9(A) + y., -fi;,...]

on remplace A par l'angle extérieur A' = tc — A, il vient :

B + C-A' = |6c[9(A)-fv]-

Donc :

Théorème. — L'angle extérieur est égal à la somme des deux autres angles intérieurs à un infiniment petit près du second ordre.

On a aussi :

Or si 6 et 6 sont du premier ordrei B et G sont deux angles

finis et par suite C + -^bc [9 (A) +•••] a toujours le signe de G,

c'est-à-dire le signe -f-, on a donc A'>B; mais cela est vrai, quel que soit l'ordre de grandeur de G, car si G est du second ordre, par exemple, c est du troisième ordre et bc du quatrième ; donc^ dans tous les cas, c'est toujours G qui donne son signe

à C-\-^bc [9(A)-f v, -h...]; on a donc toujours A'>B. Ainsi :

Théorème. — Dans un triangle infiniment petit, un angle extérieur est supérieur à chacun des deux angles intérieurs non adjacents.

Dans un triangle rectangle l'angle intérieur droit correspond à un angle extérieur également droit. Donc :

Théorème. — Dans un triangle rectangle chacun des deux angles autres que l'angle droit est inférieur à un droit, c'est-à-dire aigu.

16. Énonçons encore les deux lliéorèmes suivants qui découlent immédiatement de ce qui précède :

Théorème, — Lorsqu'un triangle a un angle obtus, les deux autres angles sont toujours aigus comme inférieurs à un angle extérieur aigu.

Théorème. — Dans un triangle rectangle les deux angles aigus sont complémentaires à un infiniment près du second ordre, ou plutôt à un infiniment petit près de même ordre que l'excès du triangle.

Nous ne parlons ici, bien entendu, que de triangles infiniment petits.

17. On a pour un triangle infiniment petit rectangle en A (13):

i j /ic\ 1 bc

Dans un triangle quelconque il y a toujours au moins deux an- ^ gles aigus B et G (4 6) ; M étant un point du côté BG, traçons la géodésique AM qui fait avec BC l'angle 6 et déplaçons le point M de B à G ; en B B^ i^ H c Tangle 6 égal à l'angle B est aigu et en G il devient VUS' 7. égal à 7Û — G, c'est-à-dire à un angle obtus; d'ailleurs dans l'intervalle il va toujours en croissant, car dans le

triangle AMM' Tangle extérieur 6' est supérieur à Tangle 6 (15); donc, pour une position intermédiaire H entre B et C, 6 est égal

à ^, et cela une fois seulement : AH perpendiculaire à BC est la

hauteur relative au côté BC.

Donc:

Théorème, — On peut toujours considérer un triangle infiniment petit comme formé par la juxtaposition de deux triangles rectangles.

Mais si e est l'excès du triangle total ABC et e^ et e^ les excès des triangles rectangles partiels AHB et AHG, on a (10) e = e^ + e^, c'est-à-dire :

e=|^[AH.BH-t-AH.CH]=||AH.BC.

Ainsi l'excès est proportionnel au produit AH.BG, Théorème. — Dans un triangle infiniment petit l'excès est propoitionnel au produit de la base par la hauteur.

18. Un polygone infmiment petit est celui qu'on obtient par le groupement en nombre fini de triangles infiniment petits ; l'excès d'un pareil polygone est la somme des excès de ces triangles partiels (10) ; l'excès de ce polygone est donc la somme d'un nombre fini d'infiniment petits du second ordre, c'est-à-dire un infiniment petit du second ordre.

Nous allons examiner notamment un quadrilatère infiniment petit formé en réunissant par leur base commune BD les deux triangles égaux ABD et CDB. Nous marquons sur la figure les éléments égaux de ces deux triangles. L'excès du triangle ABD (13)

g;}^9(6) et par suite l'excès du quadrilatère, somme des deux

triangles égaux, est (10)pqfç(6) = e.

Dans ce quadrilatère les deux angles opposés en A et C sont égaux par définition, et les deux angles opposés en B et D sont égaux comme ayant pour valeur commune X -|- (x. Mais, dans le triangle ABD, l'excès -h X + (x — u est du second ordre (14) ; donc les angles 9 et X + p. sont supplémentaires, à un infiniment petit près du second ordre.

Ainsi, dans notre quadrilatère, deux angles adjacents A et B sont supplémentaires à un infiniment près du second ordre. Remplaçons le côté BC par BC de telle façon que le nouvel q- ç. angle ABC = B' soit rigoureusement le supplément de A et comparons le nouveau quadrilatère ABC'D au précédent. D'après ce qui q ^D précède, B' — B est du second ordre ; par suite Fig. 8. dans le triangle CBC le côté CC opposé à un

angle du second ordre est du troisième ordre; donc le nouveau côté DC ne diffère de Tancien que par un infiniment petit du troisième. De même la différence BC — BC est un infiniment petit fonction de Tinfiniment petit CC et s'annulant avec lui quand on suppose le point C mobile sur DC ; donc BC — BC ou 9' — q est du troisième ordre comme CC.

En résumé, dans le second quadrilatère, les nouveaux côtés ne diffèrent des anciens que par des infiniment petits du troisième ordre.

Quant aux angles, nous savons que B' — B est du second ordre ; il en est de même de C — C, car dans le triangle CBC Tangle extérieur C est égal à la somme des angles intérieurs C et B' — B, cela, à un infiniment petit près de même ordre que Texcès e du triangle CBC (14); or on a (13) e = |cB.CC9 (C), ce qui montre

que e est du quatrième ordre ; on a donc finalement C == C + (B' — B) à un infiniment près du quatrième ordre et par suite G — C = B' — B; ainsi C — C est de même ordre que B' — B.

Nous concluons de là que l'on passe du premier quadrilatère au second par des variations du second ordre dans les angles et du troisième ordre dans les côtés. Ce quadrilatère est appelé parallélogramme infiniment petit, et ses propriétés, d'après ce qui précède, peuvent se formuler ainsi :

Théorème, — Dans un parallélogramme infiniment petit, deux côtés opposés sont égaux à un infiniment petit près du troisième ordre ; deux angles opposés sont égaux ou deux angles adjacents supplémentaires à un infiniment près du second ordre.

19. Si Tangle 6 est droit à un infiniment près du second ordre, il en est de même de Tangle opposé et aussi de Tangle

adjacent qui en est le supplément. Le parallélogramme devient alors un rectangle, lequel jouit, en plus des propriétés du parallélogramme, de la propriété suivante :

Théorème. — Dans un rectangle infiniment petit les quatre angles sont égaux et droits à un infiniment petit près du second ordre.

L'excès du parallélogramme (18) e = pq<f^ (6) devient pour le

rectangle (13) e=pq(f(^=^.

Si dans le rectangle on suppose p = ^, on a le carré infiniment petit dont l'excès est ^ = tf' ^^^^ •

Théorème, — Le produit des deux côtés, dans un rectangle, et

le carré du côté, dans un carré, est égal à Ke, ^ étant la courbure

de la surface.

20. Nous avons vu (18) que dans un polygone composé d'un nombre fini de triangles infiniment petits, l'excès est un infiniment petit du second ordre.

Prenons maintenant un polygone infiniment mince ou aplati ; nous voulons dire par là qu'on peut relier un point quelconques du périmètre à un autre point m' du périmètre de façon que Tare géodésique mm' soit infiniment petit. Gela posé, soit mn une partie infiniment petite a du périmètre ; complétons arbitrairement le polygone infiniment petit mn m'n dont l'excès s est du second ordre (18) ; a étant du premier ordre, le rapport de e à a est ^ un infiniment petit du premier ordre que Fi*, o.

nous désignerons par tj; on a donc 6 = a.tj. Maison peut toujours supposer la partie AmnR du périmètre divisée en n parties infiniment petites égales à a et poser l = na, l étant cette partie ÂmnB de périmètre et n un nombre infiniment grand ; si maintenant on fait correspondre à chaque partie infiniment petite a un polygone comme mn m'n d'excès e, on aura, E étant l'excès du polygone AmRm' (10) :

E = 26 = Sa.ir| = aSY|.

Or le nombre des termes de Stj est évidemment n, de sorte que

si Y), est leur moyenne, on a Stq = n\ el par suite Essnaifij = l.\ ; l étant fini et irj, du premiei: ordre, E est aussi du premier ordre. Ainsi :

Théorème. — L'excès d'un polygone infiniment aplati est un infiniment petit du premier ordre.

21. Soient deux polygones dont les périmètres sont infiniment voisins, ces périmèti*es se coupant ou non.

On peut toujours diviser Tespace compris entre les deux périmètres en un certain nombre de polygones infiniment minces ; si e est la somme des excès de ces polygones infiniment minces, eest un infiniment petit du premier ordre (20). Mais si E et E^ sont respec- Fig. 10. tivement les excès des deux polygones primitifs, on a(10)E^ = E + 6. Donc:

Théorème. — Quand deux polygones ont leurs périmètres infiniment voisins, la différence entre les excès des deux polygones est un infiniment petit du premier ordre.

Il résulte même de ce qui précède que si les deux polygones d'excès E et E^ sont infiniment petits, Técartement entre leurs périmètres étant un infiniment petit du second ordre, e, c'est-à-dire Ej — E, est infiniment petit par rapport à E et E,,

22. La théorie des aires n'est au fond que la théorie des excès angulaires que nous venons d'exposer; nous pourrions donc, au moins dans cette étude, nous passer de l'idée d'aire ; nous en dirons cependant quelques mots pour nous conformer à l'usage et aussi pour présenter, sous leur forme habituelle, certains énoncés et certaines formules ayant trait à la théorie des excès ou des aires.

Énonçons d'abord les deux principes suivants qui contiennent, si l'on veut, la définition de l'aire considérée comme grandeur mesurable :

!•* L'aire d'un contour fermé s'annule soit dans un polygone infiniment aplati qui se réduit à une ligne, soit dans un polygone infiniment petit qui se réduit à un point ;

2* Lorsqu'un polygone total est formé par la juxtaposition de plusieurs polygones partiels, l'aire du polygone total est la somme des aires des polygones partiels.

Ces propositions étant communes aux aires et aux excès (10 et 21), elles impliquent évidemment que Taire est une fonction de l'excès ; si donc Z est Taire et X Texcès d'un polygone variable, nous pourrons poser Z = /'(X).

D'après le premier principe, Z s'annule avec X.

D'après le second principe, les relations Z = f{X) et Z^ = / (X^) entraînent, quels que soient X et X^, Z + Z^ = /*(X + X^) ; si Xj est infiniment petit et égal à dX, Z^ qui s'annule avec X^ est aussi infiniment petit et est égal à dZ ; on a alors :

dZ = f{d\) et Z + dZ = f{X + dX).

La première de ces deux équations donne -r^ = f(0) et la

dZ seconde -r^ = f\\) ; on en conclut que la dérivée de /*(X) est

toujours égale à f\0) ; cette dérivée est donc constante, ce qui exige qu'on ait Z == XX, puisque Z doit s'annuler avec X.

On a donc finalement le théorème suivant :

Théorème, — Sur une surface identique Taire d'un contour fermé est proportionnelle à Texcès angulaire de ce contour.

Ce théorème rattache complètement la théorie des aires à celle des excès angulaires.

23. La valeur de ce rapport constant X de Taire à Texcès ne dépend que du choix des unités.

Prenons un arc géodésique de longueur finie L; divisons-le en un nombre infini de parties égales l infiniment petites ; puis considérons le carré infiniment petit (19) de côté l et d'excès e ; formons enfin par le groupement de n^ de ces carrés un polygone total d'excès E et d'aire S. L'excès E est la somme des excès des n* carrés qui le composent (10) ; on a donc E =^ n^e ; mais

on a (19) e = |7 i', tt étant la courbure de la surface ; on en dé*

duit E = 77 n^V ou E = |T L. 11 vient donc finalement :