S = XE = |7 L

Or si Ton prend pour unité de longueur L et pour unité d'aire S,

c'est-à-dire l'aire de h* carrés de côte -, la formule ci-dessus exige

E 1 qu'on lasse X = K ; on est ainsi ramené à la formule connue ô = îf

qui exprime que sur une surface identique la courbure de la surface est le rapport de l'excès d'un contour fermé quelconque à l'aire de ce contour.

D'après cela, l'aire d'un triangle infiniment petit est (17) le demi-produit de la base par la hauleur, d'un rectangle (19) le produit de ses deux côtés, d'un carré le carré de son côté.

IH. — Plus court chemin.

24. Soit un triangle infiniment petit ÂBC; on a, en évaluant de deux façons différentes l'excès e de ce triangle (13) :

e='^ab[(fi(C) + v^'\ ]-=^ac[(p{B) + v'i-\ ]

où 1^2 et Va sont des infiniment petits du second ordre. On en déduit,

pour le cas où les angles B et C sont égaux, b — c= * /pv * ;

la différence b — c est donc dans ce cas un infiniment petit du troisième ordre. Ainsi :

Théorème. — Lorsque dans un triangle infiniment B ^r u pe^^^ ^' y ^ ^^^^ angles égaux, les côtés opposés sont Fig. 11. égaux à un infiniment petit près du troisième ordre.

25. Supposons maintenant dans le triangle ÂBC l'angle B plus grand que l'angle C. Traçons dans l'intérieur de l'angle ABC la géodésique BC qui coupe le côlé AC en un point G' situé entre A et C. Soit 6 l'angle de BC avec BC ; appelons enfin B' et C les angles en B et C du triangle ABC.

Si 6 est l'excès du triangle CBC, on a (15) C = G + 9 — s ; mais on a aussi, par construction, B' = B — 6. Pour déterminer 6 de telle façon que, dans le triangle ABC, les angles B' et C soient égaux, il suffît de poser C + 9 — s = B — 9, ce qui donne

Celle valeur de 9 rend donc les angles B' et C égaux ; on a

alors dans le triangle ABC' (24) AG' = AB, cela à un infiniment

près du troisième ordre.

Mais, dans la formule 6 = ^ (B — G + e), s est au moins du second ordre, et par suite 6 est fini si B — G est fini,infiniment petit du premier ordre si B — G est du premier ordre; dans le premier cas, GG' est du premier ordre et, dans le second cas, du second ordre. Or AG' — AB étant du troisième ordre, si on ajoute à AG' la partie GG' du premier ou du second ordre, la somme AG' 4- GG' == AG est nécessairement plus grande que AB. Donc : ^'«' "•

Théorème. — Lorsque dans un triangle infiniment petit deux angles B et G sont inégaux, B étant plus grand que G et la différence B — G élant finie ou du premier ordre, le côté b opposé au plus grand angle est plus grand que le côté c opposé à l'autre angle.

26. Dans un triangle infiniment petit, rectangle en A, les deux angles B et G sont aigus (15) ; on a donc, par exemple, B <C A ; on en déduit, d'après le théorème précédent, a>-6. Donc :

Théorème. — Dans un triangle rectangle l'hypoténuse est plus grande que chacun des deux autres côtés.

Ge théorème peut encore s'exprimer autrement. Si PH est une perpendiculaire infiniment petite menée de P à la géodésique XY et PM une oblique infiniment petite joignant P à un point M de XY, PM est l'hypoténuse du triangle PHM. Donc, dans une figure A M H Y infiniment petite, on a l'énoncé suivant équivalent au précédent :

Théorème. — La perpendiculaire est plus courte que l'oblique.

27. Supposons dans le triangle rectangle infiniment petit ABG l'angle B infiniment petit et abaissons AH perpendiculaire surBG; AH et AG opposés à l'angle infiniment petit B sont des infiniment petits du second ordre. Or dans le triangle rectangle ABH, l'hypoténuse AB est plus grande que BH (26) ; mais, dans le triangle rectangle ABG, l'hypoténuse BG esl plus grande que AB ; on a donc BH < AB < BG et par suite BG — AB < HG ; mais, dans le

liiangle ACH, l'angle en A, lequel s'annule évidemment avec l'angle B, est, comme ce dernier, infiniment petit; donc, le côté AG élant du second ordre, le côté GH est du troisième ordre. Donc finalement la différence BG — AB est du troisième ordre. Ainsi :

Théorème. — Lorsque dans un triangle rectangle in- Â b finiment petit l'un des angles aigus est infiniment petit, Fig. 14. la diflérence entre les deux côlés de cet angle est du troisième ordre.

28. Soit un triangle quelconque infiniment petit ABG dans lequel BG est le plus grand côté et, par conséquent, le côté opposé

^ au plus grand angle A; il résulte de là que les deux

angles B et G sont aigus, car si B par exemple était

obtus, A qui est pluâ grand que B serait aussi obtus

B H c et le triangle aurait deux angles obtus, ce qui est

p*«- 15. impossible (16). Donc les deux angles B et G sont

aigus et par suite il y a sur BG entre B et G un point H tel que AH

est perpendiculaire à BG (17).

Mais dans les deux triangles reclangles en H, AHB et AHG, on a (26) nB<AB et HG<AG; d'où BG<AB + AG; d'ailleurs, BG élant le plus grand côté, on a évidemment AB<BG + AG et AG<BG + AB. Donc:

Théorème. — Dans un triangle infiniment petit, un côté quelconque est plus petit que la somme des deux autres.

Nous ajouterons : et plus grand que leur différence, car l'inégalité BG<AB + AG eniraîne l'inégalité AB>BG — AG.

29. Soit une ligne polygonale de longueur finie joignant le point A au point B ; supposons que ce soit la ligne polygonale de longueur minima qui joigne les deux points en question; soitP un des sommets de la ligne, prenons sur les deux côtés qui aboutissent au point P deux longueurs infiniment petites Vm et

p^ P;i et complétons le triangle infiniment petit

Vmn; dans ce triangle on a (28) mn<i^m ^ + P« . 11 suit de là que si l'angle en P n'est pas Fig. 16. égal à TT, la ligne polygonale AmnB est plus

courte que la ligne primitive APB que nous avons supposée minima ; donc l'angle en P est égal à tz, Ge raisonnement, s'appli-

quant à un angle quelconque de la ligne polygonale, il en résulte que les divers côtés de cette ligne sont situés sur une même géodésique. Donc :

Théorème, — La ligne polygonale de longueur minima qui joint deux points est un arc de géodésique.

30. Nous allons maintenant étendre ce théorème des lignes polygonales aux arcs de courbe quelconque ; mais il faut d'abord définir la longueur d'un arc de courbe .

Inscrivons dans un arc de courbe fini une ligne polygonale à côtés infiniment petits ; puis traçons la ligne polygonale circonscrite dont les côtés sont tangents à la courbe aux sommets de la ligne inscrite. D'abord la ligne inscrite est plus courte que la ligne circonscrite, car le côté mn de la ligne inscrite est, dans le triangle mpn (28), plus petit que la partie mpn de la ligne circonscrite.

Doublons maintenant le nombre des côtés de la ligne inscrite en remplaçant le côté mn par les deux côtés mm' et w'n; traçons la ligne polygonale circonscrite en menant pp" tangent en m' à la courbe, ce qui revient à remplacer la partie p'pp" par le ng. n. cote p p .

En continuant ainsi l'opération, on obtient deux séries indéfinies de lignes inscrites et circonscrites.

Nous avons déjà montré que chaque ligne inscrite est plus petite que la ligne circonscrite correspondante.

D'autre part, lorsqu'on passe d'une ligne à la ligne suivante en doublant le nombre des côtés, la ligne inscrite augmente de longueur (mm'n >- mn) et la ligne circonscrite diminue {mp'p'n <^mprC)\ donc, en particulier, la longueur de la ligne inscrite, quand le nombre de ses côtés va croissant, augmente sans cesse tout en restant toujours inférieure à la longueur de la première ligne circonscrite ; donc finalement la longueur de la ligne inscrite a une limite.

Mais cette ligne polygonale inscrite est indéterminée à la fois et dans son point de départ et dans son mode de variation quand elle tend vers sa limite ; nous allons voir cependant que cette indétermination est sans influence sur la longueur limite.

Remarquons en effet que, dans celte ligne polygonale inscrite, quelle qu'elle soit, un côté quelconque se réduit, à la limite, à un point de la courbe, et prend en ce point la xiirection de la tangente à la courbe (9),

Soit pnq un côté infiniment petit de la ligne inscrite, pmq étant

l'arc correspondant de la courbe ; supposons que mn soit la géo-

désique normale en m à la courbe, c'est-à-dire la pei*pendiculaire

à la tangente en m à la courbe ; traçons la géodésique pm.

Lorsque la ligne polygonale inscrite varie comme nous l'avons

q dit plus haut, pq et pm deviennent à la

1 ' limite une même tangente à la courbe ; Fig. 18. donc l'angle mpn, s'annulant à la limite,

est infiniment petit et par suite mn est infiniment petit par rapport à pn; mn est donc du second ordre.

Si pq' est le côté d'une autre ligne polygonale inscrite, rencontré en n' par mn, mn' est également du second ordre ; donc un' est aussi du second ordre.

Cela posé, prenons deux lignes polygonales inscrites; on peut

toujours décomposer ces lignes en pailies correspondantes mn et m'n, mm' et nn' étant des normales à la courbe ; il suffit pour cela de mener pig. 19. jgg normales à la courbe par tous les sommets

des deux lignes.

Comparons mn et m'n en supposant, par exemple, mn >> m'n'; si l'on mène l'arc géodésique mn', on a (28) mn<imn' +nn', mn'<imm' + m'n' et par suite mn << m'n + mm' -f- nn' ; mais, d'après ce qui précède, les portions de normales mm' et nn' sont du second ordre ; donc mn — m'n' est du second ordre ; le

nin rapport —r—, a donc pour limite l'unité et par suite S mn et S m'n y

c'est-à-dire les longueurs des deux lignes inscrites ont même limite.

C'est cette limite commune qu'on appelle par définition la longueur de l'arc de courbe.

Dès lors on peut énoncer le théorème (29) sous une forme plus générale et dire :

Théorème, — De toutes les lignes polygonales ou courbes qui joignent deux points, la plus courte est un arc de géodésique.

Cet arc géodésique qui joint les deux extrémités d'un arc de courbe est la corde géodésique ou simplemenl la corde de l'arc de courbe.

31. Soient un arc de courbe infiniment petit de longueur s et sa corde géodésique c ; nous savons qu'on a 5 >> c ; nous allons évaluer la différence s — c ou plutôt chercher son ordre de grandeur . Divisons la corde en un nombre infini p de parties égales mn du second ordre; on a ainsi c=p.mn; élevons jusqu'à la courbe les perpendiculaires mm' eimi ; traçons m'n^ perpendiculaire à nn, ce qui complète le rectangle mnm\.

Dans le rectangle mn m'n^ la différence mn — m'n^ (18) est du troisième ordre par rapport à mn ou du quatrième ordre par rapport à c; dans le triangle rectangle m'n'n^ où l'angle en m' est infiniment petit, la différence m'n — inn^ (27) est du troisième ordre par rap- m n c port à m'n^^ ou du quatrième ordre par rapport *'*«• ^•

à c; donc finalement m'n — mn est di^roisième ordre par rapport à mn, de sorte qu'on peut poser m'n = mw (1 + s), s étant du second ordre ; en ajoutant les /> parties mn^ on a S m'n' = p. iwn + 2m9i.e; mais Sm'/i' a, par définition (31), s pour limite ; p.mn est égal à c; enfin, si y) est la moyenne arithmétique desp infiniment petits s, il vient 5^= c + mn.p.f\ ous = c{i + iq) ; tq étant du second ordre comme e, 5 — c = c.t\ est du troisième ordre ; donc :

Théorème. — La différence entre un arc infiniment petit et sa corde est du troisième ordre.

32. La démonstration précédente subsiste telle quelle, lorsqu'au lieu de considérer l'arc total s on n'en prend qu'une partie s' en y associant la paitie c' de c, limitée aux pieds des perpendiculaires abaissées des extrémités de $' sur c; c' est alors la projection de s' sur c et la didérence s' — c est du troisième ordre.

En particulier, si l'on divise la corde c en deux parties égales c^ et c„ et que s^ et $^ soient les deux parties de l'arc s qui ont c^ et c, pour projection, les différences s^ — c^ et s^ — c^ sont du troisième ordre ; donc c^ et c^ étant égaux, la différence 5, — s^ est du troisième ordre.

On peut dire encore que, si Ton a s^-^s^, la différence c^ — c, est du troisième ordre. Donc :

Théorème. — Dans- un arc de courbe infiniment petit et sa corde, le milieu de Tare se projette au milieu de la corde, cela à un infiniment près du troisième ordre.

33. Soient un arc de courbe AB de longueur s et sa corde ; désignons par 6 Tangle de celte corde avec la tangente AP en A à la courbe ; on a évidemment, quand le point B varie sur la courbe, s = f(0), s et 6 s'annulant ensemble ; si Tare s est infiniment petit, on a 5 = X9, X étant la valeur que prend f (6) pour 9 = o et X a une valeur particulière en chaque point de la courbe. En B, point infiniment voisin de A, X devient X H- dX et Ton a 5' = (X + dX) 6'. Si nous appliquons ces deux formules 5 = XS et 5' = (X + d\) Q' au même arc AB, il vient 5 = 5' et par suite X9 = (X + dX)e', c'est-à-dire 9 = 6' à un infiniment petit près du second ordre. On en déduit, dans le triangle APB(24) PA = PB. Ainsi les deux tangentes PA et PB sont égales.

L'angle ç de ces deux tangentes est (9) la courbure de Tare AB;

or on a, dans ce même triangle APB, (15) 9=^9 + 6' = 2 9 ; donc 9 est la moitié de la courbure (le Tare AB. La formule s==a6 peut donc s'écrire

Fig. 21. ^^^^ ^» ^® ^^^ montre que dans l'arc infiniment petit la courbure est proportionnelle à la longueur de l'arc. En particulier la courbure du demi-arc AB est|, c'est-à-dire 9.

Dans le triangle APB traçons PH qui divise en deux parties égales l'angle APB ; les excès des deux triangles partiels APH et BPH sont dans le rapport de PA.PH à PB.PH (13) ; ce rapport est égal à 1, puisque PA est égal à PB. Ainsi ces deux triangles ont même excès, ou, ce qui revient au même, même somme d'angles (9) ; or les angles en P sont égaux et aussi ceux en A et B ; donc les angles en H sont égaux et PH est perpendiculaire sur AB. Le rapport des excès des deux triangles a aussi pour

PH HA expression (13) pyj' ^ ; ce rapport étant égal à 1, on en déduit

HA = HB. Ainsi H est le milieu de la corde AB; on en conclut aussi que le point M de Tare AMB qui se projette au milieu H de la corde est le milieu de l'arc (32).

L'arc 9 étant la courbure de la moitié de Tare AMB est ainsi la courbure de Tare AM. ^

34. L'angle A étant infiniment petit, projetons Tare géodésique AB supposé fini sur l'autre côté de Tangle en AB' ; nous allons évaluer la différence AB — AB'. A cet effet divisons AB en un nombre infiniment grand. K de parties égales mn infiniment petites et projetons mn en m'n sur AB'. Un raisonnement identique à celui que nous avons fait précédemment (31) montre que la différence mn — m :i ' est du troisième ordre B par rapport à m/i; posons donc mn = m n + ^'-<^"\ 1 Sj.mn, s, étant du second ordre. On en déduit .^^^^^^^'^T^ ^^ S mn = S m'n' + mn Se,, et, si \ est la Fig. 22. moyenne arithmétique des infiniment petils %, il vient K.\ = Se, et par suite AB = A'B' + K.mn.ijg ou AB — A'B' = AB.ij^. Il en résulte que cette différence est du second ordre. Donc :

Théorème. — Si dans un angle infiniment petit on projette un des côlés, de longueur finie, sur l'autre côté, la différence entre le côté projeté et sa projection est un infiniment petit du second ordre.