C0S9 OP
Ces définitions nous donnent immédiatement pour un triangle
infiniment petit ABC reclangle en A les formules suivantes :
fc=acosC c = asinC 6' = 6tgG
Abaissons la hauteur AH sur l'hypoténuse ; on a, d'après ce qui
^ , précède, cosB = — = - et par suite c' = a.BH: .h c a ^
on obtient de même b^ = a.GH et, en ajoutant
membre à membre, 6' + c' = a* ; cette formule
peut s'écrire -î + -^ = 1 ou encore sin* B + sin' G = 1 , c'est-à- ^ a^ or
dire enfin (1 6) sin* B + cos* B = 1 .
36. Nous appelons angle de deux courbes qui se coupent en un point l'angle de leurs tangentes (9) en ce point.
Soit un arc de géodésique MN de longueur finie / et supposons que cet arc se déplace, sa longueur / pouvant varier dans ce déplacement.
' Après un déplacement infiniment petit, MN est venu en M^N^ ; ses extrémités ont parcouru les chemins infiniment petits MM, et NN,, sa longueur est devenue l -+- dl; nous allons calculer dl.
Traçons les cordes géodésiques MMj et NN^ des deux arcs décrits par M et N ; ces cordes peuvent remplacer les arcs en question aussi bien quand il s'agit de la longueur de ces arcs (31) que quand il s'agit des angles a et p sous lesquels MN coupe les trajectoires des points M etN. Nous désignerons donc indifféremment par MM, et NN, les arcs ou leurs cordes. Traçons la géodésique MN, et
abaissons NP perpendiculaire sur MN,. Dans le triangle MNN, les côtés MN et MN^ étant finis et le côté NN^ infiniment petit, l'angle en M de ce triangle est infiniment petit et par suite la difîérence entre MN et sa projection MP est du second ordre (34).
Donc la différence MN, — MN y^' ^^"^^ est égale à PN, à un infiniment ^^' ^^'
petit près du second ordre.
Mais le triangle infiniment petit NPN, rectangle en P donne (35) PN, = NN, cos NN,P ou PN, = ^N, cos?, les angles NN^P et p différant d'un infiniment petit.
On verrait de même que la différence M^P, entre MN, et M,N, est MM, cos a ; on a donc finalement :
M,N, — MN = (i/ = MM, cosa + NN,cosg.
37. Celte formule est fondamentale; examinons les cas particuliers les plus intéressants.
Supposons que MN reste de longueur fixe et se déplace norma-
lement à la courbe décrite par M; dans ce cas, a est égal à ^ et rf/
est nul ; la formule devient donc = MN, cos p, ce qui entraîne
Ainsi MN est aussi normal à la courbe décrite par N ; ces deux courbes décrites par M et N dans de pareilles conditions sont appelées courbes parallèles.
Supposons que MN resle tangent à la courbe décrite par M et
normal à la courbe décrite par N, on aura alors a = et P=^
et la formule deviendra d/^=MM. Donc, dans ce cos, l'accroissement de MN est égal à l'arc décrit par M ; des deux courbes ainsi décrites par M et N, la première s'appelle la développée et la seconde la développante.
Lorsque dans le déplacement de MN la longueur l de MN est supposée constante et le point M fixe, la courbe décrite par N est un cercle dont M est le centre et / le rayon ; notre formule donne
dans le cas du cercle = NN^ cos p ou p = ^. Ainsi dans le cercle
le rayon est la normale, ou bien la tangenle est perpendiculaire au rayon.
38. Prenons dans un cercle deux rayons OA et OB, et considérons la figure formée par ces deux rayons et Tare de cercle AB ; faisons tourner cette figure autour du centre du cercle et amenons-la en une seconde position OA'B' d'ailleurs quelconque. Il résulte évidemment de la définition du cercle que dans ce déplacement de la figure OAB, OA et OB continuent à être des rayons et AB un arc du cercle.
On en conclut qu'un arc de cercle AB peut glisser sur tout le pourtour du cercle en restant égal à lui-même.
De plus, la comparaison des figures égales OAB, OA'B' montre que deux angles au centre AOB et A'OB' sont égaux en même temps que les arcs interceptés AB et A'B'. Prenons maintenant un arc s correspondant à l'angle au centre a ; d'après ce qui précède n angles égaux à a, c'est-à-dire l'angle noL, correspondront à n arcs s, c'est-à-dire à l'arc ns; formons un second angle n'a
correspondant à l'arc ns; on a évidemment — = -y-. Donc :
'^ ns n s
Théorème. — Dans un même cercle le rapport de deux angles au centre est égal au rapport de leurs arcs correspondants.
Si l'on dédouble ce cercle par la pensée et qu'on déplace sur la surface l'un des cercles ainsi obtenus, on voit que le théorème est encore vrai pour des cercles égaux.
39. En résumé, si, dans un cercle de rayon r, s est l'arc cor-
s respondant à l'angle au centre a, le rapport - est constant; mais,
oc
bien entendu, la valeur de cette constante est différente d'un cercle
à l'autre, de sorte qu'on peut la désigner par ç (r). On a ainsi
Nous chercherons plus loin la forme de cette fonction ç qui joue un rôle fondamental dans cette théorie.
Mais remarquons déjà que, dans un cercle de rayon r infiniment petit, s est infiniment petit pour a fini, car, lorsque r s'annule, le cercle se réduit à un point, de sorte que s s'annule aussi. Donc ç (r)
s'annule avec r e t Ton peut poser, pour r infiniment petit, ç (r) = X r; par suite on a, dans un cercle infiniment petit, 5 = Xra. Cela posé, prenons pour unité d'angle, l'angle qui correspond à l'arc de longueur r, c'est-à-dire faisons, dans la formule 5 = Xra, a = l et sr=r,\\ vient X= 1. Ainsi, avec ce choixd'unité la formule 5=Xra devient s = ra. Si a devient égal à 4 droits, c'est-à-dire à 2 tu, S, la circonférence totale du cercle infiniment petit considéré, est donné par la formule S = 27tr. Donc, en résumé, it est la limite du rapport de la circonférence au diamètre (deux fois le rayon) dans un cercle dont le rayon devient nul. Tel est le sens de la constante tc que nous avons adoptée à l'origine de celte étude (7) pour la faire figurer dans l'expression de l'angle droit.
40. Cherchons maintenant la dérivée de la fonction sin a; siOM est une longueur infiniment petite portée sur l'un des côtés de a et OP la projection de OM sur l'autre côté, on a, par définition (35),
MP sina=TYjrT; donnons à a un accroissement infiniment petit doL en
faisant tourner le côté OM, OM restant de longueur fixe, de telle
façon que le point M décrive un arc de cercle de centre ; on a
M'P' M'P' alors sin (a + rfa) = ôîip = ÔST*
La dérivée de sin a est donc la limite de l'expression
sin (g H- rfg) — sin g ^ MT^ — MP dcL OM.dg
Mais MP est un arc de géodésique qui, pour venir en M'P', se
déplace normalement à PP'; on a donc (36) M'P' — MP=MM'cosX,
X élant l'angle de MM' avec MP ; or X est le complé- „.
ment de l'angle PMO, puisque le rayon OM est normal
à l'arc de cercle MM' (37) ; d'autre part, dans le Irian- ^
gle infiniment petit OMP rectangle en P, l'angle g est
le complément de l'angle OMP (1 6) ; donc finalement
on a X = g, c'est-à-dire M'P' — MP= MM' cos g; ï"*?' «e.
, . j d sin g MM' cos g écrivons donc — 3 — == ^., . — .
doL OM.ag
Mais, dans le cercle de rayon infiniment petit de centre 0, on a (39) MM' = OM.dg ; il vient donc finalement — 1 — = cos g.
Une démonslralion (oui à fait analogue nous conduiitiit à la
d COS OL
formule — r-— = — sin a qu'on obtient d'ailleurs immédialemenl
en prenant la dérivée de sin f ^ — a j qui est égal à cos a (35).
41, I^es dérivées successives de sin a sont d'après cela : cos a, — sin a, — cos a, sin a, etc., se reproduisant périodiquement de quatre en quatre ; en faisant dans ces dérivées a = 0, le développement de Maclaurin nous donne :
sma a 4 ^3^3 + i 33^4^5 i....7 +
et de même pour cos 9 :
C0Sa = 1-;^ + j-2^-;f— g+>..
La connaissance des dérivées successives nous conduit égale ment aux développements suivants :
II* h^
sin (a H- A) = sin a + h cos a — j"» ^^^ * — m ^^^ * "^ —
cos (a + A) = cos a — A sin a — j-^ cos a + , ^ ,> sin a H —
La première de ces deux formules peut s'écrire : • / . IX • r. f^' h' 1
c'est-à-dire : sin (a + A) == sin a cos A + cos a sin A.
On a de même : cos (a H- A) = cos a cos A — sin a sin A.
Nous nous en tiendrons à ces formules fondamentales qui permettent, comme on le sait, d'établir toute la théorie des fonctions dites circulaii*es sin a et cos a et de les rattacher à la fonction exponentielle e*.
42. Revenons maintenant à la formule relative au cercle (39) 5 = aç(r), s étant l'arc correspondant à l'angle au centre a dans le cercle de rayon fini r; nous allons déterminer la forme de la fonction 9 (r).
Adoptons sur la surface le système des coordonnées polaires ; dans ce système un point m est déterminé par l'intersection d'un cercle et d'une géodésique ; la géodésique passe par un point fixe 0, origine des coordonnées, et le cercle a pour centre ce même point 0. Si o) est Tangle de celte géodésique avec une géodésique fixe passant par et si ç est lé rayon de ce cercle, o et p sont les coordonnées du point m.
Prenons un point n' infiniment voisin de coordonnées <•) + do et p + dp. Puis traçons les arcs de cercle mm et un de rayons ç et p + dp. Projetons m'n' enpq sur Om et complétons le rectangle mpqh en abaissant m h perpendiculaire sur nq. Si m7 est la tangente en m' au cercle mm\ Tangle pm't^=^ est la courbure de Tare de cercle mm' (33). Mais m't tangent en m' au cercle de rayon Om' est perpendiculaire à ce rayon (37). Dans le rectangle m'pqh l'angle en m' est droit à un infiniment petit près du second ordre (19); on en conclut que, en négligeant les infiniment petits du second ordre, les angles e et n'm'h sont égaux comme ayant les côtés respectivement perpendiculaires, c'est-àdire comme angles complémentaires du même angle hm't.
On a donc dans le triangle infiniment petit m'hn' rectangle en ft (35), n'h = m'n' sin s.
Mais e étant infiniment petit, on peut, d'après la formule
,Û>ffô
sm 8 = 6
Fig. 27.
