LIVRE SECOKD. 5S

Hais son antre partie Xi sert pour les réfractions, et Tait que )es rayons qui étant dans l'air tendent vers F, se détournent vers G en traversant la superficie d'un verre qui en ait la figure.

La troisième ovale sert toute aux réh-actions, et fait que les rayons qui étant dans l'air tendent vers F (/îg. 21),s6-

Fig. Sf.

TODt rendre vers H dans le verre, après qu'ils ont traversé sa superficie dont la figure est A3Y3, qui est convexe partout, excepté vers A où elle est un peu concave, en sorte qu'elle a la figure d'uQ cœur aussi bien que la précédente ; et la différence qui est entre les deux parties de celte ovale consiste en ce que le point F est plus proche de l'une que n'est le point H, et qu'il est pins éloigné de l'autre que ce même point H.

En même façon la dernière ovale sert toute aux réflexions, et fait que si les rayons qui viennent du point H [fig. 32)

renconiroient la superficie concave â*un miroir de mètne matière que les précédents, et dont la figure fût À4Z4, ils se réfléchiroient tous vers F.

De façon qu*on peut nommer les points F et G ou H les points brûlants de ces ovales, à l'exemple de ceux des ellipses et des hyperboles, qui ont été ainsi nommés en la Dioptrique.

Démonstration des propriétés de oss ovales touchant les

réflexions et réCraotions.

J'omets quantité d'autres réfractions et réflexions qui sont réglées par ces mêmes ovales, car n'étant que les converses ou les contraires de celles-ci, elles en peuvent facilement être déduites. Mais il ne faut pas que j'omette la démonstration de ce que j*ai dit ; et à cet effet prenons, par exemple, le point G {fig. 16) 'k discrétion en la première partie de la première de ces ovales ; puis tirons la ligne droite GP qui coupe la courbe au pointG à angles droits, ce qui est facile par le problème précédent; car prenant b pour AG,c pour AF, c + z pour CF,et sup-

posant que la proportion qui est entre d et e, que je prendrai ici toujours pour celle qui mesure les réfractions du verre proposé, désigne aussi celle qui est entre les lignes A5 et A6 ou semblables, qui ont servi pour décrire cette ovale, ce qui donne

b — -% z pour GG, on trouve que la ligne AP est c«

bcdP — bcde + bd^z + ce^z

cd^ + bde — é^z + (Pz '

ainsi qu*il a été montré ci-dessus (p. 48). De plus, du point P ayant tiré PQ à angles droits sur la droite GF, et PN aussi à angles droits sur GG, considérons que si PQ est à PN comme <f est à e^ c'est-à-dire comme les lignes qui mesurent les

réfractions du verre convexe AC, le rayon qui vient du point F au point C, doit tellement s'y courber en entrant dans ce verre, qu'il s'aille rendre après vers G, ainsi qu'il est très évident de ce qui a été dit en la Dioptrique. Puis enfin voyons par le calcul s'il est vrai que PQ soit à PN comme d esik e. Les triangles rectangles PQF et CMF sont semblables ; d'où il suit que CF est à CM comme FP est à PQ, et par conséquent que PF étant multipliée par CM et divisée par CF est égale à PQ. Tout de même les triangles rectangles PNG et CMG sont semblables ; d'où il suit que GP multipliée par CM et divisée par CG est égale à PN. Puis à cause que les multiplications ou divisions qui se font de deux quantités par une même ne changent point la proportion qui est entre elles, si PF multipliée par CM et divisée par CF est à GP multipliée aussi par CM et divisée par CG, comme d est à e^ en divisant l'une et l'autre de ces deux sommes par CM, puis les multitipliant toutes deux par CF et derechef par CG, il reste FP multipliée par CG qui doit être à GP multipliée par CF, comme d est à e* Or par la construction FP est

bcd^ — bcde + bd^z + cé^z

ou bien

cd^ + bde — é^z + d^z ' bcd^ + cW + bd^z + cd^

cd^ + bde -- eH + d^z '

et CG est b — -jZ\ si bien que, multipliant FP par CG; il vient

bhd^ + bd^ + b^d^z + bcd^z — bcdez — Mez -- bdez^ — cdez^

cd» + ftdc — eiz + â^z '

puis GP est

~ céP + bde — e^z + aPz ' ou bien

ft'rfg + bcde — be^z — ce^z

"" ecP + bde — é^z + d^z '

et CP est c + z\ si bien qu'en multipliant GP par CF il vient

b^cde+ bcMe + bHez + hcdez — hce^z — c^eH — he^z^ •— ctH'^

cd^ + bde -- eH + d^z

Et pource que la première de ces sommes divisée par d est la même que la seconde divisée par e, il est manifeste que FP multipliée par CG, est à GP multipliée par CF, c'est-à-dire que PQ est à PN comme d est à e^ qui est tout ce qull falloit démontrer.

Et sachez que cette même démonstration s'étend à tout ce qui a été dit des autres réfractions ou réflexions qui se font dans les ovales proposées, sans qu'il y faille changer aucune chose que les signes + et — du calcul ; c'est pourquoi chacun les peut aisément examiner de soi-même, sans qu'il soit besoin que je m y arrête.

Mais il faut maintenant que je satisfasse à ce que j'ai omis en la Dioptrique, lorsqu'après avoir remarqué qu'il peut y avoir des verres de plusieurs diverses figures qui fassent aussi bien l'un que l'autre que les rayons venant d'un même point de l'objet s'assemblent tous en un autre point après les avoir traversés ; et qu'entre ces verres, ceux qui sont fort convexes d'un côté et concaves de l'autre ont plus de force pour brûler que ceux qui sont également convexes des deux côtés; au lieu que tout au contraire ces derniers sont les meilleurs pour les lunettes. Je n^e suis contenté d'expliquer ceux que j'ai cru être les meilleurs pour la pratique, en supposant la difQculté que les artisans peuvent avoir à les tailler. C'est pourquoi, afin qu'il ne reste rien à souhaiter touchant la théorie de cette science, je dois expliquer encore ici la figure des verres qui, ayant l'une de leurs superficies autant convexe ou concave qu'on voudra, ne laissent pas de faire que tous les rayons qui

viennent vers eux d'un même point, ou parallèles, s'assemblent après en un même point; et celles des verres qui font te semblable, étant également convexes des deux cdtés, ou bien la convexité de Tune de leurs superficies ayant la proportion donnée à celle de Tautre.

Gomment on pont laire nn verre autant oonveze on conoave, en l'une de ses superlicies, qu'on voudra qui r.a8semble à nn point donné tous les rayons qui viennent d'un autre point donné.

Posons pour le premier cas, que les points 6, Y, C et F {fig. 23 et 24) étant donnés, les rayons qui viennent du

Fig, tS,

point G ou bien qui sont parallèles à GA se doivent assembler au point F, après avoir traversé un verre si concave, que Y étant le milieu de sa superficie intérieure, l'extrémité en soit au point G, en sorte que la corde CMC et la flèche YM de Tare CYC sont données. La question va là, que premièrement il faut considérer de laquelle des ovales expliquées la superficie

du verre YC doit avoir la figure, pour faire que tous les rayons qui étant dedans tendent vers un même point, comme vers H, qui n'est pas encore connu, s'aillent rendre vers un autre, à savoir vers F, après en être sortis. Car il n'y a aucun effet touchant le rapport des rayons, changé par réflexion ou réfraction d*un point à un autre, qui ne puisse être causé par quelqu'une de ces ovales ; et on voit aisément que celui-ci le peut être par la partie de la troisième ovale qui a tantôt été marquée 3A3 {fig. ^/), ou par celle de la même qui a été marquée 3Y3, ou enfin par la partie de la seconde qui a été marquée 2X2 {fig. 19). Et pource que ces trois tombent ici sous même calcul, on doit, tant pour l'une que pour Tautre, prendre Y (fig, iS et 24) pour leur sommet, C pour l'un des points de leur circonférence, et F pour l'un de leurs points brûlants; après quoi il ne reste plus à chercher que le point H qui doit être l'autre point brûlant. Et on le trouve en considérant que la différence qui est entre les lignes FY et FC doit être à^ celle qui est entre les lignes HY et HC comme d est à Cy c'est-à-dire comme la plus grande des lignes qui mesurent les réfractions du verre proposé est à la moindre, ainsi qu'on peut voir manifestement de la description de ces ovales. Et pource que les lignes FY et FC sont données, leur différence l'est aussi, et ensuite celle qui est entre HY et UC, pource que la proportion qui est entre ces deux différences est donnée. Et de plus, à cause que YM est donnée, la différence qui est entre MH et HC l'est aussi ; et enfin pource que CM est donnée, il ne reste plus qu'à trouver MH le côté du triangle rectangle CMH dont on a l'autre côté CM, et on a aussi la différence qui est entre CH la base et MH le côté demandé ; d'où il est aisé

de le trouver : car si on prend k pour l'excès de CH sur BfH,

et n pour la longueur de la ligne CM, on aura ôl. "^ ô ^

pour MH. Et après avoir ainsi le point H, s'il se trouve plus loin du point Y {fig, 24) que n'en est le point F, la ligne GY doit être la première partie de Tovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3A3 [fig. 21). Mais si HY {fig. 23) est moindre que FY : ou bien elle surpasse HF de tant, que leur différence est plus grande à raison de la toute FY que n'est e la moindre des lignes qui mesurent les réfractions comparée avec d la plus grande, c'est-à-dire que faisant HF «» c, et HY = c 4- A, dA est plus grande que 2c€ + eh, et lors CY doit être la seconde partie de la même ovale du troisième genre, qui a tantôt été nommée 3Y3 [fig. 2i) : ou bien dh est égale ou moindre que ^e + eh, et lors CY {fig. 23) doit être la seconde partie de l'ovale du second genre, qui a cidessus été nommée 2X2 {fig. 19) : et enfin si le point H {fig. 23) est le même que le point F, ce qui n'arrive que lorsque FY et FC sont égales, cette ligne YC est un cercle.

Après cela il faut chercher CAC l'autre superficie de ce verre, qui doit être une ellipse dont H soit le point brûlant, si on suppose que les rayons qui tombent dessus soient parallèles; et lors il est aisé de la trouver. Mais si on suppose qu'ils viennent du point G, ce doit être la première partie d'une ovale du premier genre dont les deux points brûlants soient G et H, et' qui passe par le point C; d'où on trouve le point A pour le sommet de cette ovale, en considérant que GC doit être plus grande que GA d'une quantité qui soit à celle dont HA surpasse HC, comme dke; car ayant pris k pour la différence qui est entre CH et HM, si on suppose x pour AH, on aura x — k pour la différence qui est entre AH et CH ; puis si on prend g pour celle qui est entre GC et GM qui sont données, on aura g + x pour celle qui est entre GC et GA ; et pource que cette dernière g + xesi à l'autre x — k comme (/est à^, on a ge + ex= dx — dk.

OU bien . — pour la ligne a: ou AM, par laquelle on détermine le point A qui étoit cherché.

Gomment on peut laire nn verre qni ait le même effet qae le précédent, et que la convexité de l'one de ses superficies ait la proportion donnée avec celle de l'antre.

Posons maintenant pour Tautre cas, qu*on ne donne que les points G, C et F {fig. 24)^ avec la proportion qui est entre les lignes AM et YM, et qu'il faille trouver la figure du verre ACY qui fasse que tous les rayons qui viennent du point G s'assemblent au point F.

On peut derechef ici se servir de deux ovales dont Tune AC ait G et H pour ses points brûlants, et l'autre CY ait F et H pour les siens. Et pour les trouver, premièrement, supposant le point H, qui est commun à toutes deux, être connu, je cherche AM par les trois points G, G, H, en la façon tout maintenant expliquée, à savoir, prenant k pour la différence qui est entre GH et HM, et g pour celle qui est entre GC et GM, et AG étant la première partie de Tovale du premier genre,

j'ai ^--p- — pour AM ; puis je cherche aussi MY par les trois

points F, C, H, en sorte que CY soit la première partie d'une ovale du troisième genre ; et prenant y pour MY, et / pour la différence qui est entre GF et FM, j'ai /" + j^ pour celle qui est entre GF et FY; puis ayant déjà k pour celle qui est entre GH et HM, j'ai k + y pour celle qui est entre GH et HY, que je sais devoir être k f + y comme e est à rf, à cause de l'ovale

du troisième genre, d'où je trouve que y ou MY est ^-j ;

puis joignant ensemble les deux quantités trouvées pour AM

0€ "4- fc

et MY, je trouve '^ - pour la toute AY : d'oti il suit que,

de qiïelque côté que soit supposé le point H, cette ligne A Y est toujours composée d*une quantité qui est à celle dont les deux ensemble GC et CF surpassent la toute GF, comme e, la moindre des deux lignes qui servent à mesurer les réfractions du verre proposé, est à rf — e la différence qui est entre ces deux lignes, ce qui est un assez beau théorème. Or, ayant adnsi la toute AY, il k faut couper selon la proportion que doivent avoir ses parties AM et MY ; au moyen de quoi, pource qu'on a déjà le point M, on trouve aussi les points A et Y, et ensuite le point H parle problème précédent. Mais auparavant il faut regarder si la ligne AM ainsi trouvée est plus grande

que -T^ — , ou plus petite, ou égale. Car si elle est plus

grande, on apprend de là que la courbe AC doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et CY la première d'une du troisième, ainsi qu'elles ont été ici supposées ; au lieu que si elle est plus petite, cela montre que c'est CY qui doit être la première partie d'une ovale du premier genre, et que AC doit être la première d'une du troisième ;

enfin si AM est égale à -^ — , les deux courbes AC et CY

doivent être deux hyperboles.

On pourroit étendre ces deux problèmes à une infinité d'autres cas que je ne m'arrête pas à déduire, à cause qu'ils n'ont eu aucun usage en la dioptrique.

On pourroit aussi passer outre et dire (lorsque l'une des . superficies du verre est donnée, pourvu qu'elle ne soit que toute plate, ou composée de sections coniques ou de cercles) comment on doit faire son autre superficie, afin qu'il transmette tous les rayons d'un point donné à un autre point aussi donné ; car ce n'est rien de plus difficile que ce que je viens d'expliquer, ou plutôt c'est chose beaucoup plus facile à cause

fei;

que le chemin en est ouvert. Mais j'aime mieux que d'autres le cherchent, afin que s'ils ont encore un peu de peine à le trouver, cola leur fasse d'autant plus estimer l'invention des choses qui sont ici démontrées.

Gomment on peut appliquer ee qui a été dit loi des lignée courbée, déorltee but une euperllole plate, à cellee qui ee déorlTont dane un eepaoe qui a trola. dlmenelone.

Au reste je n'ai parlé en tout ceci que des lignes courbes qu'on peut décrire sur une superficie plate ; mais il est aisé de rapporter ce que j'en ai dit à toutes celles qu'on sauroit imaginer être formées par le mouvement régulier des points de quelque corps dans un espace qui a trois dimensions : à savoir, en tirant deux perpendiculaires de chacun des points de la ligne courbe qu'on veut considérer, sur deux plans qui s'entre-coupent à angles droits, l'une sur Tun et l'autre sur l'autre ; car les extrémités de ces perpendiculaires décrivent deux autres lignes courbes, une sur chacun de ces plans, desquelles on peut en la façon ci-dessus expliquée déterminer tous les points et les rapporter à ceux de la ligne droite qui est commune à ces deux plans, au moyen de quoi ceux de la courbe qui a trois dimensions sont entièrement déterminés. Même si on veut tirer une ligne droite qui coupe cette courbe au point donné à angles droits, il faut seulement tirer deux autres lignes droites dans les deux plans, une en chacun^ qui coupent à angles droits les deux lignes courbes qui y sont aux deux points où tombent les perpendiculaires qui viennent de ce point donné ; car ayant élevé deux autres plans, un sur chacune de ces lignes droites, qui coupe à angles droits le plan où elle est, on aura l'intersection de ces deux plans pour la ligne droite cherchée. Et ainsi je pense n avoir rien omis des éléments qui sont nécessaires pour la connoissance des lignes courbes.