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plication analytique d'après la mesure de Tordre de généralité de la formule complète du degré m à deux variables par Te nombre des constantes arbitraires qu'elle contient. Réaction d'une telle appréciation sur le cas primitif des fonctions à une seule variable.

Relations générales entre les coefficients d'une équation et ses racines, soit d'après sa décomposition en facteurs élémentaires^ soit d'après la formation directe d'une équation susceptible de racmea données.

Réflexions générales sur la manière dont ces lois concilient la réalité et la rationalité des coefficients avec l'imagînarité et l'irrationalité des racines.

Usage général de ces lois, ou de la décomposition élémentaire qui les a fôurnies, pour traduire entre les coefficients toute relation donnée entre les racines. Divers exemples caractéristiques à ce sujet.

Théorème fondamental de Descartes sur les relations naturelles entre le mode de succession des signes des coefficients et les signes des racines. Indications qu'il fournit souvent sur les racines imaginaires dans les équations incomplètes, et même dans les autres.

Principe relatif aux racines communes à deux équations données. Simplification correspondante qu'éprouve alors nécessairement leur résolution respective.

Usage général de ce principe pour simplifier la recherche des relations entre les coefficients d'après celles des racines, surtout quant aux relations binaires. Diversexemples de cette application, même envers des relations plus composées.

Examen spécial du cas de la réciprocité des racines. Théorie des équations réciproques. Abaissement nécessaire de leur degré.

2* Transformation des équations. Position exacte de la question générale. Distinction nécessaire des deux sortes de transformations, mtroduites, les unes par Viète, les autres par Lagrange.

Volasse, où chaque racine transformée ne dépend que d'une seule racine primitive. Mode général de formation de l'équation cherchée.

Application au cas où toutes les racines sont également augmentées à volonté. Suppression facultative d'un coefficient quelconque, etsurtout du second.

Application au cas où les racines croissent proportionnellement. Appréciation des modifications facultatives qui en résultent.

Application au cas où les racines sont élevées à une même pui^ sance, entière ou fractionnaire. Appréciation d'un tel changement.

Application au cas de l'inversion des racines et à celui du change- . ment de signe.

2« classe, où chaque racine transformée dépend de plusieurs racines priniitives. Examen général des combinaisons binaires. Mode de formation de l'équation cherchée; son degré naturel. Son épuration préalable en écartant les comoinaisons affectées de répétition. Propriétés nécessaires relatives à la transposition mutuelle des racines primitives dans chaque combinaison. Abaissement final du degré de la transformée, après lequel elle doit encore comporter des conditions caractéristiques, soit quant au degré, soît envers les coefficients. Extension générale de ces diverses notions et opérations à des combinaisons plus que binaires.

Application successive de l'ensemble de ces considérations à la théo-

rie générale de Téquation aux sommes, de réquation aux différences, de réquation aux produits, de l'équation aux quotients, et de celle où les sommes sont ajoutées à un multiple des produits. Appréciation des indications nouvelles que Fétat de chaque transformée peut fournir sur les racines primitives, et surtout de celles que sujggère le mode de succession des signes dans réquation aux carrés des différences.

3* Théorie des fonctions symétriques. Position générale delà question. Sa restriction naturelle aux fonctions symétriques rationnelles. Leur division générale en simples et multiples.

Théorème préliminaire sur la composition de la fonction dérivée diaprés les facteurs élémentaires de la fonction primitive.

Lois fondamentales qu'il fournit pour déduire des coefficients d'une * ' ' ' nés de puissances •• ••

:ines, jusqu'au deg 'origme historique quables.

Relation générale supplémentaire pour passer graduellement de ces puissances a toutes les suivantes.

Moyen d'étendre ainsi ces lois, ou, ce qui est préférable, par une transformation préalable, aux puissances négatives, mais entières.

Loi générale de réduction des fonctions symétriques doubles aux fonctions simples. Extension graduelle de cette loi aux autres degrés de multiplicité.

Remarque générale sur le nombre de coefficients qui affectent la valeur de chaque fonction symétrique, simple ou multiple.

Application nécessaire de la théorie des fonctions symétriques à la formation effective de toutes les transformées de seconde classe. Mode ^ le plus convenable d'un tel calcul. Examen spécial des diverses transformations précédemment considérées.

Théorie de rélimination. (2 leçons,)

Position exacte de la question actuelle. Sa restriction générale aux équations algébriques, rationnelles et entières.

i** méthode, fondée sur la recherche du commun diviseur. Son appréciation générale d'après le principe des racines communes.

Examen plus détaillé de l'enchaînement graduel résulté des divisions consécutives.

Influence des modifications indispensables apportées aux divers dividendes sur la composition de l'équation finale. Altération possible, mai «incertaine, de cette équation. Appréciation générale d'une telle perturbation comme devant être, quoi qu'on fasse, plus ou moins inhérente à la nature de cette première méthode.

Examen des deux cas exceptionnels, relatifs à l'incompatibilité et à l'indétermination.

Faculté générale aue procure spontanément cette première méthode pour composer à volonté des équations susceptibles de conduire à une équation finale donnée.

2"* méthode^ fondée sur l'introduction de fonctions algébriques indéterminées comme multiplicateurs des deux équations primitives. Détermination des coefficients de ces deux facteurs auxiliaires pour

rentière élimination de Tinconnue considérée. Appréciation générale de cette seconde méthode. .

3me méthode, fondée sur la théorie des fonctions symétriques. Son appréciation comparative. Théorème important qu'elle fournit spontanément sur le degré maximum de Téquation finale. Interprétation géométrique de cette loi .

Théorie des racines égales. (1 leçon.)

Objet propre de cette théorie. Introduction naturelle des fonctions dérivées dans une telle recherche.

Principe fondamental sur l'existence et la composition du diviseur commun entre la fonction donnée et sa dérivée.

Système de décomposition graduelle oui résulte de Téquation proposée en diverses équations partielles, dont chacune est affectée à un seul degré de multiplicité. Mode limité à la suppression de toute répétition, sans distinction de multiplicité.

Application de cette théorie spéciale à la recherche des conditions d'égalité des racines. Examen particulier des deux cas extrêmes, de momdre ou plus grande multiplicité possible. Inconvénients propres à cette méthode envers la plupart des cas intermédiaires. Solution directe, en général préférable, de cet ordre de questions.

Relation générale et nécessaire entre les conditions d'égalité et celles de réalité. Introduction naturelle du principe des racines égales dans la théorie fondamentale des maxima ou minima.

Résolution numérique des équations algébriques. (7 leçons,)

1* Limites générales des racines réelles. Vraie nature et destination principale de cette recherche préliminaire. Sa décomposition naturelie en quatre cas, aisément réductibles à un seul.

Règle de Maclaurin, pour évaluer une limite supérieure des racines positives de toute équation algébrique.

Méthode de Newton pour obtenir souvent des limites non formulées, mais plus favorables que la précédente.

Evaluation d*une limite inférieure des racines positives, et ensuite des deux limites propres aux racines négatives.

Réflexions générales sur Pimperfection radicale de ces diverses éva^ luations normales.

2* Evaluation des racines commensurables. Principe fondamental sur la nature des racines fractionnaires que comporte toute équation à coeiSicients entiers. Réduction générale qui en résulte de la rechlerche des racines fractionnaires à celle des racines entières.

Restriction nécessaire des racines entières parmi les diviseurs ,du dernier terme. Système d'épreuves graduelles, imaginé par Claîraut,

f^our discerner facilement ceux de ces diviseurs qui conviennent à 'équation proposée. Essais préliminaires propres a écarter d'avance beaucoup de diviseurs inutiles.

Méthode pour déterminer exactement les racines incommensurables du second degré.

lion

3* Evaluation des racines incommensurables. Exposition de la ques- )n : état préalable de Téquation.

Démonstration analytique et géométrique du principe fondamental des substitutions. Sa véritable étendue. «.

Complément indispensable de ce principe par Texamen de toutes les comparaisons relatives aux deux substitutions.Vérificationspéciale d'un tel examen envers les équations algébriques.

Indications générales que fournit ce principe sur l'existence nécessaire déracines réelles, suivant que le aegré de l'équation est impair ou pair.

Distinction fondamentale entre la séparation des racines et leur évaluation.

Méthode de Lagrange pour la séparation préalable des racines, d'après l'équation aux carrés des différences. Son appréciation générale.

Méthode de Fourier pour la séparation des racines, d'après leurénumération préalable. Observation fondamentale qui sert de base à cette méthode, et où rentre spontanément la remarque originale de Rolle.

Aperçu général de la grande théorie de Fourier pour déterminer d'avance le nombre des racines réelles comprises dans un intervalle donné. Réduction spontanée du théorème de Descartes à Tensemble de cette théorie.

Modification spéciale apportée par M. Sturm à cette théorie générale pour le seul cas des équations algébriques. Appréciation finale d'un tel amendement.

Usage de ce corollaire envers les équations à coefficients indéterminés, pour y découvrir les conditions relatives à un nombre donné de racines réelles ou imaginaires.

Méthode d'approximation ébauchée par Newton et constituée par Fourier. Appréciation géométrique d'une telle méthode, et des conditions indispensables à son application régulière.

Méthode d'approximation de Lagrange. Sa comparaison à la précédente. Cas de la périodicité.

40 Théorie des racines imaginaires. Considération originale de Foncenex sur la démonstration générale de la décomposition nécessaire de toute fonction algébrique en facteurs réels du second degré, d^où résulte la forme constante des racines imaginaires. Modification apportée par Laplace à cette première démonstration, d'après des motifs qui pourraient être essentiellement écartés.

Méthode générale pour ramener l'évaluation des racines imaginaires à celle des racines réelles, soit d'après leur forme nécessaire, soit par suite de la détermination équivalente des facteurs réels du second degré. Appréciation et comparaison de ces deux modes.

Résolntion algébrique des équations des 3« et 4« degrés. (1 leçon,)

Méthodes pour ramener la résolution du quatrième degré à celle du troisième.

Résolution générale des équations du troisième degré. Extension et discussion de la formule obtenue.

Examen spécial du cas irréductible. Transformation correspondante de la formule.

Procédé spécial de Viète pour la résolution directe de ce cas d'après l'équation de la trisection de l'angle.

RâsoluUoD géoérate des équations binâmes. (1 leçon.)

1 jca non gén£ raie du théorème de Moivre i la résolution de

ïquaiion binôme. Expression générale des racines imaginaires

nilé : leur nombre et leur conjugaison.

ordination naturelle de ces diverses racines comme des puis.

> les unes des autres.

iparaison générale des deux cas relatifs au signe du terme

amposition générale des fonctions binâmes en facteurs réels du i degré,

récialion des classes d'équations dont la résolution algébrique graduellement résulter de la combinaison de la théorie des ons binômes avec l'ensemble des notions antérieures.

Développement des fonctions en séries. (4 Uçont.]

ïnsion de la formule du binôme aux exposants fractionnaires ou fs. Vice de la démonstration d'Euler à ce sujet. ,t général de la méthode des coefficients Indéterminés pour les

eloppement de a^ selon les puissances de x. Dé lermi nation, n série, soit sous forme finie, du coefficient que la méthode laisse

e pour développer log (i -c x) selon les puissances de x. Indiincidente de l'inversion des séries.

es relatives au développement du sinus et du cosinus suivantles

inces de l'arc.

e inverse pour développer l'arc selon les puissances de sa tan- Nouvelle forme que prend alors la métiiode.

sidérations fondamentales sur la distinction nécessaire entre

lalytique et l'usage numérique des séries. Inconvénie

qu'entraîne aujourd'hui la confusion trop fréquente de ces deux

ge analytique très-remarquable fait par Lagranae de la série cnlielle pour trouver la loi générale du développement des inces d'un polynôme quelconque. Détermination générale du re de termes du développement, d'après le problâme des répar-

ge analytique encore plus important de l'ensemble des quatre précédentes pour établir, sous les deux formes opposées, le >cbement fondamental entre les deux couples élémentaires de ons transcendantes, lication générale de cette relation capitale au calcul des imagi-

sidérations générales sur l'usage numérique des séries,etsurles ions de leur convergence, ainsi que sur la mesure des approxins qu'elles fournissent.

lication successive de ces principes aux séries précédentes, soit la construction des tables logarithmiques et des tables trigono-

métriques, soit pour l'évaluation commode du rapport de la circonférence au diamètre.

Sommation des suites. (i leçon.)

Appréciation générale de la nature et de l'importance d'un tel ordre de recherches.

Application naturelle de la méthode des coefficients indéterminés à la sommation des suites dont le terme général est donné. Conditions indispensables au succès de cette méthode^ ainsi restreinte au cas des fonctions entières.

Emploi de cette méthode pour la sommation successive, d'une part des carrés, cubes, etc.^ des nombres naturels, d'une autre part des nombres figurés f soit triangulaires, soit pj^ramidaux, etc. Coïncidence spontanée de ces deux sortes de sommations, dont chacune peut suppléer à l'autre.

Sommation spéciale des nombres figurés d'un ordre quelconque, d'après le triangle ou carré arithmétique.