Théorie de la courbure des surfaces

Différentiation des fonctions explicites à une seule variable. (2 leçons.)

DifFérentiations des sommes et différences. Elimination spontanée des constantes.

Différentiation des produits. Extension de la loi à un nombre quelconque de facteurs.

Différentiation des quotients, soit diaprés celle des produits, soit directement.

itléreniiation des puissances proprement dites, soit directemeni.

d'après celle des produits. Extension de la loi à tous exposants. îflérenliation des eïponentielles. Double démonstration. Cas spéde l'exponentielle nëpérienne.

ifférentiation des logarithmes, soit directement, soit d'après les

ifiËrentiaiion d«s fonctions trigonométriques et des fonclionscir-

rincipe subsidiaire sur la difTérentiation générale des fonctions de

xemplea de la différentiaijon des fonctions composées, ifiârentiations successives. Notion fondamentale relative à la va- >le indépendante. Comparaison générale des ditférentielles de tous ordres aux dérivées ou aux fluxions correspondantes. itTérentielles successives des diverses fonctions simples. Cas de réduction des fonctions par ia diftéreniiation.

êrentiation des fondions explicites i plusieurs variables, [i Uçoju.)

X position précise de la question générale. Distinction fondamenentrc les différentielles partielles et la différentielle totale, iipériorité naturelle de la conception de Leibnitz sur celles de l'Ion et de Lagrange, quant à la pluralité des variables. Arliflre géil pour adapter néanmoins à ce cas k méthode des fluxions et e des dérivées.

otations différeutielles propres aux fonctions de plusieurs vailes.

rincipe fondamental sur la loi de formation de la diflérentielle le d'après les différentielles partielles. Démonstration de ce prin- :, d'abord par la méthode inSniiésimale, et ensuite par les deux

écessité de ce principe pour différencier, en quelques cas, lesfoncis même d'une seule variable.

héorème général sur l'inversion des différcntiations successives, extension totale aux différentielles d'un ordre quelconque rclasa un nombre quelconque de variables.

éveloppement de la différentiel te totale du second ordie, et de t autre, d'une fonction à deux variables. Extension de î'hypoihèse lamentale sur le mode d'accroissement de toute variable indépente. Loi générale d'un tel développement, soit à posteriori, soitsurt à priori.

Différenliation des foncltODs impUctles. (l hçon.)

ppréciat Ion générale de la question. Sa division nécessaireen deux où l'implicite présente divers degrés.

" eat, relatif aux fonctions isolées, en n'j^ supposant d'abord jne seule variable. Principe fondamental qui ramène leur diffétiation à celle des fonctions explicites à deux variables. Formule

pour le premier ordre. Extension naturelle de ce principe à un ordre quelconque. Marche préférable envers les différentiations successives pour les déduire graduellement de la première.

Extension directe du principe général aux fonctions de plusieurs variables. Appréciation de cette pluralité comme ne constituant, au fond, aucune nouvelle difficulté propre aux différentiations implicites.

2* cas, relatif aux fonctions simultanées, à une seule variable ou à plusieurs. Dernière extension spontanée du même principe fondamental, mais avec une complication rapidement croissante des formules de difiérentiation suivant le nombre des fonctions mêlées.

Tranftfonnati(ft) des coefficients différentiels, d'après le changement de

variable indépendante. (1 leçon,)

Appréciation générale de l'objet propre et de la destination essentielle de cette théorie complémentaire, sans laquelle les lois de différentiation seraient souvent insuffisantes. Sa division naturelle en deux cas généraux.

I* Une seule variable. Formule fondamentale pour la transformation de la première dérivée. Appréciation générale du mode nécessaire de définition de chaque changement de variable.

Formules de transformations pour les ordres supérieurs, obtenues, soit par l'extension directe du même principe, soit, plus simplement, comme conséquences de la loi relative au premier ordre.

Application à divers exemples, et surtout à l'inversion des variables, à la substitution de rare d'une courbe plane au lieu de son abscisse, enfin au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires.

2* Plusieurs variables. Différence essentielle de ce cas avec le précédent. Extension générale du principe fondamental à ce genre plus compliqué de transformations différentielles.

Formules pour le premier ordre à l'égard des fonctions à deux variables. Marcne à suivre envers les ordres supérieurs, quel que soit le nombre des variables.

Application au passage différentiel des coordonnées rectilignes aux coordonnées polaires dans l'espace.