OU PLUS QUE SOUDES

De quelles lignes courbes on peut se servir en la cens-

traction de chaqne problème.

Encore que toutes les lignes courbes qui peuvent être décrites par quelque mouvement régulier doivent être reçues en la géométrie, ce n'est pas à dire qu'il soit permis de se servir indifféremment de la première qui se rencontre pour la construction de chaque problème, mais il faut avoir soin de choisir toujours la plus simple par laquelle il soit possible de le résoudre. Et même il est à remarquer que par les plus simples on ne doit pas seulement entendre celles qui peuvent le plus aisément être décrites, ni celles qui rendent la construction ou la démonstration du problème proposé plus facile, mais principalement celles qui sont du plus simple genre qui puisse servir à déterminer la quantité qui est cherchée.

Exemple touchant rinvention de plusieurs moyennes

proportionnelles.

Comme, par exemple, je ne crois pas qu'il y ait aucune façon plus facile pour trouver autant de moyennes proportionnelles qu^on veut, ni dont la démonstration soit plus évidente, que d'y employer les lignes courbes qui se décrivent

DttGAKTin. — Géométrie, 5

par riiiBirumeDi XYZ (Jig. 35) ci-desaus expliqué. Car, voulant trouver deux moyennes proportionnelles entre YA et YE,

il ne faut que décrire un cercle dont le diamètre soit YE, et pource que ce cercle coupe la courbe AD an point D, YD est l'une des moyennes proportionnelles cherchées, dont la démonstration se voit à l'œil par la seule application de cet instrument sur la ligne YD; car, comme YA ou YB, qui lui est égale, est à YC, ainsi YC est à YD, et YD k YE.

Tout de même pour trouver quatre moyennes proportionnelles entre YA et YG, ou pour en trouver six entre YA et YN, il ne faut que tracer le cercle YFG qui, coupant AF au point F, détermine la ligne droite YF qui est l'une de ees quatre proportionnelles; ou YHN qui, coupant AH ^au point H, détermine YH l'une des six; et ainsi des autres.

Hais pource que la ligne courbe AD est du second genre, et qu'on peut trouver deux moyennes proportionnelles par les sections coniques qui sont du premier; et aussi pource qu'on peut trouver quatre ou six moyennes proportionnelles par des lignes qui ne sont pas de genres si composés que sont AF et AH, ce seroit une faute en géométrie que de les y employer. Etc'esl une faute aussi, d'autre cAlé, de se travailler inutilement à vouloir construire quelque problème par un genre de lignes plus simple que sa nature ne permet.

De la nature des équations.

Or, afin que je puisse ici donner quelques règles pour éviter Tune et Tautre de ces deux fautes, il faut que je dise quelque chose en général de la nature des équations, c'est-àdire des sommes composées de plusieurs termes partie connus et partie inconnus dont les uns sont égaux aux autres, ou plutôt qui, considérés tous ensemble, sont égaux à rien : car ce sera souvent le meilleur de les considérer en cette sorte.

Combien il peut y avoir de racines en chaque équation.

Sachez donc qu'en chaque équation, autant que la quantité inconnue a de dimensions, autant peut-il y avoir de diverses racines, c'est-à-dire de valeurs de cette quantité ; car, par exemple, si on suppose x égale à 2, ou bien x — 2 égal à rien ; et derechef ar = 3, ou bien a: — 3=0; en multipliant ces deux équations

a; — 2 = 0, et a: — 3 «= 0, Tune par l'autre, on aura

a:» — 5x + 6 = 0, ou bien

qui est une équation en laquelle la quantité x vaut 2 et tout ensemble vaut 3. Que si derechef on fait

et qu'on multiplie cette somme par

X» — 5a: + 6 = 0, on aura

qui est une autre équation en laquelle x, ayant trois dimensions, a aussi trois valeurs, qui sont 2, 3 et 4.

Quelles sont les fausses racines.

Mais souvent il arrive que quelques-unes de ces racines sont fausses ou moindres que rien ; comme si on suppose que X désigne aussi le défaut d'une quantité qui soit 5, on a

qui, étant multiplié par

ar» — 9ar* + 2&r — 24 — 0, fait

ar* — iar* — 19x* + 106ar — 120 — 0

pour une équation en laquelle il y a quatre racines, à savoir trois vraies qui sont 2, 3, 4, et une fausse qui est 5.

Gomment on peut diminuer le nombre des dimensions d'une équation lorsqu'on oonnott quelqu'une de ses racines.

Et on voit évidemment de ceci que la somme d'une équation qui contient plusieurs racines peut toujours être divisée par un binôme composé de la quantité inconnue moins la valeur de Tune des vraies racines, laquelle que ce soit, ou plus la valeur de Tune des fausses; au moyen de quoi on diminue d'autant ses dimensions.

Gomment on peut examiner si quelque quantité donnée

est la valeur d'une racine.

Et réciproquement que si la somme d'une équation ne peut

èlre divisée par un binôme composé de la quantité inconnue

-l ou — quelque autre quantité, cela témoigne que cette autre

quantité n'est la valeur d'aucune de ses racines. Comme cette

dernière

x^ — Ax*— idx^ + 106a: — 120 « 0

peut bien être divisée par x — 2, et par x — 3, et par a: — 4, et par a: + 5, mais non point par a: + ou — aucune autre quantité ; ce qui montre qu'elle ne peut avoir que les quatre racines 2, 3, 4 et 5.

Combien il pent y avoir de Traies racines en chaque

équation.

On connolt aussi de ceci combien il peut y avoir de vraies racines et combien de fausses en chaque équation : à savoir il y en peut avoir autant de vraies que les signes -f et — s*y trouvent de fois être changés, et autant de fausses qu'il s'y trouve de fois deux signes + ou deux signes — qui s^entresuivent. Comme en la dernière, à cause qu'après + j:^ il y a — 40:*, qui est un changement du signe + en — , et après — 19a:a il y a + i06a:, et après + 106a: il y a — 120, qui sont encore deux autres changements, on connott qu'il y a trois vraies racines; et une fausse, à cause que les deux signes — de 43r* et 19a:* s'entre-suivent.

Gomment on fait que les fausses racines d'une équation deviennent vraies, et les vraies fausses.

De plus, il est aisé de faire en une même équation que toutes les racines qui étoient fausses deviennent vraies, et par même moyen que toutes celles qui étoient vraies deviennent fausses, à savoir en changeant tous les signes -f ou — qui sont en la seconde^ en la quatrième, en la sixième, ou autres places qui se désignent par les nombres pairs, sans changer ceux de la première, de la troisième, de la cinquième, et semblables qui se désignent par les nombres impairs. Gomme si, au lieu de

+ a:* — 4ar* — 19ar« + 106a: — 120 « 0, on écrit

on a une équation en laquelle il n'y a qu'une vraie racine qui est 5, et trois fausses qui sont 2, 3 et 4.

Gomment on pont augmenter ou diminuer les raoinee d'une équation sans les oonnoitre.

. Que si, sans connottre la valeur des racines d'une équation, on la veut augmenter ou diminuer de quelque quantité connue, il ne faut qu'au lieu du terme inconnu en supposer un autre qui soit plus ou moins grand de cette même quantité, et le substituer partout en la place du premier.

Gomme si on veut augmenter de 3 la racine de cette équation

a^ + ka^ — i^a? — 106a; — 120 = 0,

il faut prendre y au lieu de x^ et penser que cette quantité y est plus grande que x de 3, en sorte que y — 3 est égal à x\ et au lieu de a? il faut mettre le carré de y — 3, qui est y* — 6y + 9 ; et au lieu de a:* il faut mettre son cube qui est y' — 9y* + 27y — 27 ; et enfin, au lieu de x* il faut mettre son carré de carré qui est y* — 12y' + 54y' — 108y + 81. Et ainsi, décrivant la somme précédente en substituant partout y au lieu de x, on a

y* — 12y« + 54y* — lOSy + 81 ^

ou bien

où la vraie racine qui étoit 5 est maintenant 8, à cause du nombre 3 qui lui est ajouté.

Que si on veut au contraire diminuer de trois la racine de cette même équation, il faut faire y + 3 e=a a:, et y* + 6y + 9 ES x^, et ainsi des autres, de façon qu*au lieu de

ar* + te» iQx^ — i06a: — 120 — 0, on met

Qu'an angmentant les vraies raolBes on diminne les

lauases, et an contraire.

Et U est à remarquer qu*en augmentant les vraies racines d'une équation on diminue les fausses de la même quantité, ou au contraire en diminuant les vraies on augmente les fausses; et que si on diminue, soit les unes, soit les autres, d*une quantité qui leur soit égale, elles deviennent nulles; et que si c*est d*une quantité qui les surpasse, de vraies elles deviennent fausses, ou de fausses vraies. Comme ici, en augmentant de 3 la vraie racine qui étoit 5, on a diminué de 3 chacune des fausses, en sorte que celle qui étoit 4 n'est plus que 1, et celle qui étoit 3 est nulle, et celle qui étoit 2 est devenue vraie et est 1, à cause que — 2 + 3 fait + 1 : c'est pourquoi en cette équation

il n*y a plus que trois racines, entre lesquelles il y en a deux

qui sont vraies, 1 et 8, et une fausse qui est aussi 1 ; et en

cette autre

il n'y en à qu'une vraie qui est 2, à cause que + 5—3 fait + 2, et trois fausses qui sont 5, 6 et 7.

Gomment on pent ôter le second terme d'une équation.

Or, par cette façon de changer la valeur des racines sans les connoltre, on peut faire deux choses qui auront ci-après quelque usage. La première est qu*on peut toujours ôter le second terme de Téquation qu'on examine, à savoir en diminuant les vraies racines de la quantité connue de ce second terme divisée par le nombre des dimensions du premier, si Tun de ces deux termes étant marqué du signe +, Tautre est marqué du signe — ; ou bien en l'augmentant de la même quantité, s^ils ont tous deux le signe + ou tous deux le signe — . Comme pour ôter le second terme de la dernière équation qui est

y* + 16y» + 7iy* — 4y — 420 = 0,

ayant divisé 16 par 4, à cause des quatre dimensions du terme y*, il vient derechef 4; c'est pourquoi je fais ;5 — 4 = y, et j'écris

où la vraie racine qui étoit 2 est 6, à cause qu'elle est augmentée de 4; et les fausses, qui étoient 5, 6 et 7, ne sont plus que 1, 2 et 3, à cause qu'elles sont diminuées chacune de 4.

UVRE TROIStÈME, ' 13

Tout de même à on veut fiter le second terme de X* — &tc» + (2a» — c')3fl — 2o'z + o' = 0, pour ce que divisant ta par 4 il vient ^ a, il faut faire z-i- -a = x, el écrire

T au»

-rju-TI-'T-ie

+ ia'z' + ia's 4- 1

— c's» — ac^z — -

s* + \2 «* ~ ^j «* - («• + oc') a + j-g a* - - a>c* - 0

el si on trouve après la valeur de z, en lui ajoutant s '^ "" aura celle de x.

ConunMltflii prat lalra qns tontaa laa tanMos raelnes d'an» è^OAtlon dwlannant VTal«> sans qna !«■ vroiei d«Tl«ii-

La seconde chose qui aura ci-après quelque usage est qu'on peut toujours.en augmentant la valeur des vraies racines d'une quantité qui soit plus grande que n'est celle d'aucune des Hausses, faire qu'elles deviennent tontes vraies, en sorte qu'il n'y ait point deux signes + ou deux signes — qui s'entresnivent, et ontre cela que la quantité connue du troisième terme soit plus grande que le carré de la moitié de celle du second. Car encore que cela se fasse lorsque ces fausses

racines sont inconnjues, il est aisé néanmoins de juger à peu près de leur grandeur et de prendre une quantité qui les surpasse d'autant ou de plus qu'il n'est requis à cet effet.Comme si on a

x^+nx'^^ 6n«a:^+ 36n»a:»— 2i6n*ara+ l'mn^x— 7776n«— 0, en faisant y — 6n = a: on trouvera

î/«— 36n|y«4-540na)y^— 4320n»ii/3+ 19440n<\ya— 46656n*\y 4-46656n«

+ n — 30n2j 4- 360n3 - 2160nV + 648U»M - 7776n«

— 6naJ + 144n« - 1296n* + 5184n5( 7776n«

+ 36nV — 648n*\ + 3888n5( — 7776n«

— 216nV + 2o92n51 - 7776n«

î/«-35nv5 +504nV -3780n»y« +151207iV — 27216n»y = 0.

Où il est manifeste que 504 n^, qui est la quantité connue du

troisième terme, est plus grande que le carré de - n, qui est la

moitié de celle du second. Et il n'y a point de cas pour lequel la quantité dont on augmente les vraies racines ait besoin à cet effet d'être plus grande, à proportion de celles qui sont données, que pour celui-ci.

Ck>mment on lait que toutes les places d'une équation

soient remplies.

Hais à cause que le dernier terme s'y trouve nul, si on ne désire pas que cela soit il faut encore augmenter tant soit peu la valeur des racines, et ce ne sauroit être de si peu que ce ne soit assez pour cet effet ; non plus que lorsqu'on veut accroître le nombre des dimensions de quelque équation, et faire que toutes les places de ces termes soient remplies, comme si, au lieu de ar* — &<» 0, on veut avoir une 'équa«« tion en laquelle la quantité inconnue ait six dimensions et

dont aucun des termes ne soit nul, il faut premièrement pour

écrire

sfi — bxts»0\

puis, ayant fait y — a s* or, on ausa

où il est manifeste que, tant petite que la quantité a soit supposée, toutes les places de Téquation ne laissent pas d'être remplies.

Gomment on pent multiplier on diviser les rsoines sans

les oonnoltre.

De plus on peut, sans connoltre la valeur des vraies racines d'une équation, les multiplier ou diviser toutes par telle quantité connue qu'on veut ; ce qui se fait en supposant que la quantité inconnue étant multipliée ou divisée par celle qui doit multiplier ou diviser les racines est égale à quelque autre ; puis multipliant ou divisant la quantité connue du second terme par cette même qui doit multiplier ou diviser les racines, et par son carré celle du troisième, et par son cul^e celle du quatrième, et ainsi jusques au dernier.

CSomment on réduit les nombres rompus d'une équation

à des entiers.

Ce qui peut servir pour réduire à des nombres entiers et rationnaux les fractions, ou souvent aussi .les nombres sourds

qui se trouvent dans les termes des équations. Comme ai

on a

ar* — v/ 3a:> + - a: = 0^

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