SA

LA GÉOlfÉTRIE.

et qu'on veuille en avoir une autre en sa place^ dont tous les

termes s'expriment par des nombres rationnaux, il faut sup*

poser y = ar y/ 3, et multiplier par ^ 3 la quantité connue

4u second terme qui est aussi \/3i 6t par son carré qui est 3

celle du troisième qui est ^, et par son cube qui est 3 \/3

g celle du dernier qui est ^ ce qui fait

Puis si on en veut avoir encore une autre en la place de celle-ci, dont les quantités connues ne s'expriment que par

des nombres entiers^ il faut supposer z «» 3y, et multipliant

3 par 3, — par 9 et 5 par 27, on trouve

js» ^ 9^2 -f. 26z — 24 =a 0,

où les racines étant 2, 3 et 4, on connoît de là que celles de

l'autre d'auparavant étoient -, i et -, et que celles de la

première étoient

?v/3, ^/3 et gv/3.

Gomment on rend la quantité oonnne de Ton des termes d'une équation égale & telle autre qu'on veut.

Cette opération peut aussi servir pour rendre la quantité connue de quelqu'un des termes de l'équation égale à quelque autre donnée, comme si ayant

on veut avoir en sa place une autre équation en laquelle la

quantité connue du terme qui occupe la troisième place, à savoir celle qui est ici b* soit 3a*, il faut supposer

y B3 ar \/-^i Ptûs écrire

• So'c»

y» — 3a'y + -gj- \/3 — 0.

One les raoines tant vraies que iansses penvent être

réelles on imaginaires.

Au reste, tant' les vraies racines que les fausses ne sont pas toujours réelles, mais quelquefois seulement imaginaires, c'est-à-dire qu'on peut bien toujours en imaginer autant que j*ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde àcelles qu'on imagine; comme encore qu'on en puisse imaginer trois en celle-ci,

a:» — 6ar» + i3a: — 10 = 0,

il n'y en a toutefois qu'une réelle qui est 2, et pour les deux autres^ quoiqu'on les augmente ou diminue, ou multiplie en la façon que je viens d'expliquer, on ne sauroit les rendre autres qu'imaginaires.

La rédaction des équations cubiques, lorsque le problème

est plan.

Or quand, pour trouver la construction de quelque problème, on vient à une équation en laquelle la quantité inconnue a trois dimensions, premièrement, si les quantités connues qui y sont contiennent quelques nombres rompus, il les faut réduire à d'autres entiers par la multiplication tantôt expliquée ; et s'ils en contiennent de sourds, il faut aussi les réduire à d'autres rationnaux autant qu'il sera pos-

sible, tant par cette même multiplication qae par divers autres moyens qui sont assez faciles h trouver. Puis examinant par ordre toutes les quantités qui peuvent diviser sans fraction le dernier terme, il faut voir si quelqu'une d'elles, jointe avec la quantité inconnue par le signe -\- ou — , peut composer un binôme qui divise toute la somme ; et si cela est,le problème est plan, c'est-à-dire il peut-être construit avec la règle et le compas ; car, ou bien la quantité connue de ce binôme est la racine cherchée, ou bien Téquation étant divisée par lui se réduit à deux dimensions, en sorte qu'on en peut trouver après la racine par ce qui a été dit au premier livre. Par exemple, si on a

le dernier terme qui est 64 peut être divisé sans fraction par if 2, 4, 8, 16, 32, 64 ; c'est pourquoi il faut examiner par ordre si cette équation ne peut point être divisée par quelqu'un des binômes y* — i ou y* + ii y* — - 2 ou y* + 2, y* — 4, etc. ; et on trouve qu'elle peut l'être par y* — 16 en

cette sorte :

La façon de diviser une équation par un binôme qui contient sa raoine.

Je commence par le dernier terme,et divise — 64 par — 16, ce qui fait + 4 que j'écris dans le quotient ; puis je multiplie -\-A par + y*, ce qui fait + 4y* ; c'est pourquoi j'écris — 4y*

en la somme qu'il faut diviser, car il y faut toujours écrire le signe -f- ou — tout contraire à celui que produit la multi* plication ; et joignant — 124y^ avec -— 4y*, j'ai — i28y^ que je divise derechef par — 16, et j'ai + 8y^ pour mettre dans le quotient ; et en le multipliant par y*, j'ai — Sy* pour joindre avec le terme qu'il faut diviser, qui est aussi ^ Sy* ; et ces deux ensemble font — i6y* que je divise par — 16, ce qui fait + y* pour le quotient et — y^ pour joindre avec + y*, ce qui fait 0 et montre que la division est achevée. Mais s'il étoit resté quelque quantité, ou bien qu'on n'eût pu diviser sans fraction quelqu'un des termes précédents, on eût par là reconnu qu'elle ne pouvoit être faite. Tout de même si on a

— 2cM +c') — 2a*c^ = 0,

— a^cr

le dernier terme se peut diviser sans fraction par a, a^, a'+ c\

a* + ac^^ et semblables ; mais il n'y en a que deux qu'on ait

besoin de considérer, à savoir a^ et a^ + c*, car les autres,

donnant plus ou moins de dimensions dans le quotient qu'il

n'y en a en la quantité connue du pénultième terme, empè-

cheroient que la division ne s'y pût faire . Et notez que je ne

compte ici les dimensions de y^ que pour trois, à cause qu'il

n'y a point de y*, ni de y', ni de y en toute la somme. Or en

examinant le binôme y^ -^ a^ — c* = 0, on trouve que la

division se peut faire par lui en cette sorte :

— f — 2cM ^ + c* S^ — ^a*c^ i = 0