VI AVERTISSEMENT DE L AUTEUR

tiique à celle de l'algèbre supérieure, que de la réaction secondaire de celle-ci sur certaines parties de la première, réaction qui doit d'ailleurs finalement résulter d'une judicieuse révision générale, dont aucun mode d'enseignement ne saurait dispenser. Non seulement, les intelligences ordinaires n*ont pas, à mes yeux, besoin d'une préparation •plus étendue que celle ci-dessus définie, afin de suivre avec fruit les leçons des professeurs qui me feraient Thonneur de prendre ce traité pour guide; mais j'ose même assurer que cette initiation suffirait aussi aux esprits heureusement organisés qui voudraient isolément étudier ici la géométrie analytique, sans aucun secours étranger.

Ce petit ouvrage résulte d'une sorte de loisir très-passager dû à l'intermittence philosophique qui devait naturellement avoir lieu chez moi entre la récente terminaison de mon système fondamental de philosophie positive et le prochain début des grands travaux dont j'y ai posé les bases. Tous ceux qui savent combien je me suis activement occupé, pendant un quart de siècle, à régénérer l'ensemble de l'enseignement mathématique, en connexité spontanée avec l'élaboration générale à laquelle j'ai consacré ma vie, m'avaient depuis longtemps sollicité de publier au moins la partie de mes leçons qui se rapporte aux éléments de la géométrie analytique, comme relative au degré le plus important, le plus difficile, et le plus imparfait de l'initiation mathématique, où l'on peut dire, en effet, sans aucune exagération, que, après deux siècles entiers, l'admirable conception de Descartes n'a pas encore suffisamment pénétré, puisqu'il semble toujours destiné essentiellement à l'étude spéciale des sections coniques. Mais, quelque honorable que dût me sembler un tel vœu, les exigences supérieures de ma grande entreprise philosophique m'avaient constamment interdit jusqu'ici la possibilité d'y satisfaire. Je viens de profiter, à cet effet, d'un premier intervalle disponible, qui peut-être ne se reproduira jamais, pour écrire ce traité élémentaire pendant les trois mois que dure annuellement mon cours oral de géométrie analytique dans l'un des principaux établissements destinés

AVERTISSEMENT DE l' AUTEUR. VII

à la préparation polytechnique, Tinstitution spéciale fondée à Paris par M. Laville.

Outre d'inévitables communications partielles, spontanées ou provoquées, qui, depuis plusieurs années, ont fait indirectement pénétrer, dans renseignement ordinaire de la géométrie analytique, quelques-unes de mes innovations,^ et indépendamment des indications formelles que contient, à ce sujet, le tome premier de ma Philosophie positive, publié en 1830, le plan et même Tesprit de mon système didactique ont été directement caractérisés, en 1836, par un programme spécial de Tensemble de mes leçons annuelles, alors lithographie pour Tusage journalier de mes élèves, et dont j'ai toujours facilité la propagation extérieure. La première moitié de ce programme est naturellement devenue, avec quelques améliorations secondaires, la table raisonnée des matières de ce traité, où elle peut utileiïient diriger une rapide révision générale, puisque la filiation de toutes les idées s'y trouve suffisamment indiquée, ainsi que l'objet propre de chacun des 168 paragraphes dont ce volume est composé. J'ai pensé qu'il ne serait point inutile, même pour ceux qui ne connaissent pas mon enseignement oral, de joindre à cette table la seconde moitié d'un tel programme, relative à des leçons que je n'aurai peut-être jamais la faculté de publier. Cette indication caractéristique peut surtout acquérir une véritable importance envers l'enseignement du calcul différentiel, qui constitue certainement, après la géométrie analytique, la partie la plus décisive et jusqu'ici la plus imparfaite de l'initiation mathématique : le plan et l'esprit des leçons que je fis, sur ce sujet, à, l'École polytechnique, en 1836, se trouvent ainsi suffisamment appréciables. On peut, en un mot, regarder l'ensemble de ce programme comme donnant une juste idée générale de la destination propre à chacune des cent vingt leçons que je fais annuellement, du 1" novembre au 1" mai, dans l'établissement ci-dessus désigné.

La publication actuelle comportera, j'espère, une certaine etficacité individuelle, soit pour offrir une direction

,yin AVERTISSEMENT DE L AUTEUR.

systématique à la tendance instinctive de quelques jeunes intelligences à se dégager suffisamment d'une désastreuse routine scolastique, soit aussi pour seconder les efforts spontanés de quelques judicieux professeurs qui sentent dignement la nécessité de régénérer un ordre d*études où, malgré tous ses inconvénients naturels et ses vices accidentels, il faut certainement voir, sous le double aspect logique et scientifique, le premier degré indispensable de toute initiation graduelle à une saine philosophie générale. Mais, à cela près, mon appréciation approfondie de notre situation intellectuelle ne me permet aucunement de penser que cette tentative partielle et isolée puisse aujourd'hui suffire à neutraliser les déplorables influences didactiques inhérentes à tout notre régime scientifique, dont les dangers se trouvent naturellement plus prononcés en mathématique que partout ailleurs, en vertu de Tindépendance plus complète qui caractérise ces spéculations préliminaires, où Tempirisme dispersif et Taversion des vues d'ensemble devaient, en ce siècle, plus spécialement prévaloir, comme je Tai pleinement établi dans mon grand ouvrage. Quelque nécessaire que soit donc devenue déjà, aux yeux d'un grand nombre de bons esprits, surtout en France, la rénovation radicale de cette phase initiale de l'éducation positive, qui réalise si rarement jusqu'ici son éminente aptitude logique, je connais mieux que personne l'intime solidarité qui rattache désormais une telle régénération à tous les autres besoins essentiels de la raison humaine, de manière à ne pouvoir fttre suffisamment accomplie que sous l'ascendant ultérieur d'une nouvelle philosophie générale, émanée enfin de la science elle-même, conformément au but invariable de tous mes travaux quelconques. C'est seulement ainsi que pourra graduellement prévaloir le véritable esprit d'ensemble, sans lequel aucun enseignement ne saurait être convenablement dirigé.