CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales.

1. La géométrie analytique^ telle que Descartes Ta fondée, esl essentiellement destinée à généraliser le plus possible les diverses théories géométriques, d'après leur intime subordination à des conceptions analytiques, en soumettant les différentes questions à autant de méthodes uniformes, nécessairement applicables à toutes les figures convenablement déflnies ; soit qu'on se borne à la géométrie plane, qui doit ici constituer notre première et principale étude, soit que Ton considère, comme nous le ferons ensuite, des surfaces quelconques. Pour mieux apprécier cette destination caractéristique, il faut d'abord reconnaître que la plupart des recherches géométriques, et surtout les plus importantes, quoique le plus souvent limitées primitivement à certaines figures, conviennent également, par leur nature, à toutes les formes imaginables de ligne ou de surface. Telle est évidemment, par exemple, la détermination des tangentes^ pareillement essentielle envers

toutes les courbes, comme servant de base à leur comparaison avec un système convenable de droites. Il en est certainement de même à regard des questions directement relatives à la mesure de retendue, et qui constituent Tobjet final des spéculations géométriques ; soit qu'il s'agisse d'estimer la longueur d'une courbe, ou l'aire qu'elle termine, ou le volume qu'engendre sa rotation, etc., il n'y a pas de forme qui ne doive donner lieu à une semblable recherche. Les questions vraiment limitées à certaines figures, et qui ne comportent pas de généralisation réelle, n'offrent presque jamais qu'un intérêt très-secondaire, à moins qu'elles ne constituent, comme il arrive souvent, de simples modifications particulières d'une considération pleinement générale (*). Cette généralité spontanée des principales recherches géométriques étant ainsi nettement reconnue, elle doit naturellement faire désirer une équivalente généralité dans les méthodes correspondantes. Or,'telle est surtout l'immense supériorité de la géométrie moderne, constituée à l'état analytique par la conception fondamentale de Descartes. Avant cette rénovation décisive, les questions géométriques ne comportaient, en effet, que des solutions spéciales, où le même problème devait être résolu de nouveau dans tous les cas connus, sans qu'on pût utiliser en aucune manière, faute d'une appréciation directe et abstraite, ce qui leur était nécessairement commun. Par exemple, les moyens qu'employait la géométrie ancienne pourmener les tangentes aux sections coniques

n Dans rétat présent de la géométrie» cette remarque ne rencontre peut-être d'exception importante qu'envers la seule théorie des foyers, que nous reconnaîtrons être vraiment bornée aux sections coniques, sans admettre, à Tégard de toute autre courbe, aucun équivalent effectif. Mais, même en ce cas, malgré la spécialité naturelle d'un tel sujet, son extension directe à trois courbes d'ailleurs fort distinctes y doit faire attacher presque autant de prix à une convenable généralité de méthode, que si ceUe recherche pouvait s'étendre à des lignes quelconques.

ne. servaient nullement, si ce n'est comme exercice logique, à faciliter cette recherche envers la cissoïde, la spirale, la cycloîde, etc., dont chacune a ultérieurement exigé, à cet égard, de nouveaux efforts toujours particuliers, jusqu'à ce que l'analyse cartésienne ait enfin élevé le système des spécu« lations géométriques à son véritable état philosophique, en y instituant une harmonie durable entre retendue des méthodes et celle des questions.

Cette grande conception ayant jusqu'ici trop peu pénétré dans l'enseignement ordinaire, la géométrie analytique n'y est communément appréciée que comme propre à présenter l'étude des sections coniques sous une nouvelle forme, dont la supériorité effective, si on devait se borner à un tel cas, serait assurément très-contestable. Mais, quelque vicieuse que soit une exposition où les méthodes géométriques adhèrent trop étroitement aux cas particuliers qu'on y a eus trop exclusivement en vue, elle ne saurait altérer l'entière généralité qui caractérise spontanément les théories analytiques, et que je m'efforcerai ici de faire directement ressortir, comme constituant leur principale valeur, à la fois scientifique et logique. Dans l'ancienne géomé* trie, aucune question ne pouvait jamais être vraiment épuisée, puisqu'il restait toujours à y traiter une infinité de nouveaux cas, exigeant souvent d'aussi grands efforts que pour l'institution d'un nouvel ordre de recherches. La géométrie cartésienne, au contraire, instituant une meilleure économie de nos forces spéculatives^ ne regarde comme vraiment importante que la création de nouvelles méthodes générales, applicables à des sujets encore intacts, et dont la spécialisation envers certaines formes ne peut plus offrir que des difficultés secondaires.

2. Suivant une telle appréciation, ce système final de la science géométrique devrait être rationnellement désigné par la dénomination de géométrie générale, comme je l'ai proposé.

depuis longtemps, dans le tome premier de mon Système de philosophie positive. Mais, vu la haute importance qu'on doit toujours attacher, surtout pour renseignement élémentaire, à conserver, autant que possible, les expressions consacrées, à moins qu'elles ne soient radicalement impropres, je crois devoir ici employer habituellement la qualification ordinaire de géométrie analytique^ en écartant toutefois avec soin le titre trop imparfait, et malheureusement encore plus usité, d'application de r algèbre à la géométrie. En expliquant convenablement cette dénomination d'analytique^ on y peut voir, en effet, le résumé de l'ensemble des attributs qui caractérisent la nouvelle géométrie, quoique une telle désignation ne se rapporte spontanément qu'à la nature des moyens employés, sans rappeler suffisamment l'appréciation du but, qui n'est ainsi indiqué que d'une manière indirecte, d'après son harmonie intime et nécessaire avec la marche annoncée. L'espèce d'équivoque qui s'attache naturellement au mot analyse et à ses divers dérivés, suivant qu'on Tenvisage dans sa spéciale acception mathématique ou dans son universelle signiflcation logique, ne saurait môme empêcher une semblable destination ; car il est aisé de reconnaître, en principe, comme le développement de la science nous le fera de plus en plus sentir, que les méthodes propres à cette généralisation finale des théories géométriques doivent être éminemmenianaly tiques y selon les deux sensde ce terme. En considérant d'abord le sens spécial, qui s'étend à Tensemble de la mathématique abstraite, il est certain que les théories géométriques ne peuvent être convenablement généralisées que d'après des conceptions analytiques, puisque la partie abstraite de chaque question est, au fond, la seule qui soit susceptible, à l'aide d'un judicieux isolement, d'une solution vraiment uniforme, en tant que seule réellement commune à toutes les figures imaginables. Soit qu'on envisage la détermi-

nation des tangentes ou celle des quadratures, etc., on reconnaît aisément que, les résultats devant nécessairement différer dans les diverses courbes, aucune autre voie que celle de l'analyse ne pourrait suffisamment séparer et convenablement traiter ce que le sujet offre d'essentiellement uniforme au milieu d'une inévitable diversité. Cette aptitude naturelle des conceptions analytiques peut même s'étendre jusqu'à indiquer de précieux rapprochements entre des questions générales vraiment distinctes ; ce qui constitue assurément la plus haute généralisation possible, que nulle autre marche ne saurait permettre. Les géomètres ont ainsi découvert, par exemple, dès l'origine de la géométrie analytique, comme je l'expliquerai en son lieu, l'identité fondamentale des diverses recherches relatives à la mesure de l'étendue, et qui peuvent désormais se transformer les unes dans les autres, soit qu'il s'agisse de rectifications ou de quadratures, ou même de cubatures ; c^est d'après une com« mune appréciation analytique que pouvaient seulement être saisies des relations aussi remarquables, très-propres au perfectionnement mutuel de ces différentes études. Sous ce premier aspect fondamental, la géométrie générale est donc très-justement qualifiée d'analytique.

Mais il ne faut pas que, suivant une tendance trop commune, cet usage pleinement légitime conduise, en prenant la forme pour le fond, à incorporer vicieusement à la vraie géo«> métrie analytique des spéculations qui ne sauraient lui appar-^ tenir, parce qu'elles n'offrent point la généralité qui seule la caractérise essentiellement, quelque étendu et même indispensable que puisse y être d'ailleurs l'emploi du calcul algébrique. C'est ainsi que tant de géomètres ont si vainement contesté à Descartes l'originalité de sa grande rénovation, sous prétexte que, longtemps avant lui, l'algèbre avait déjà fourni certaines solutions géométriques. On voit aussi, d'après la même mé-

prise, annexer trop souvent encore à la géométrie analytique la simple trigonométrie, malgré le judicieux exemple de Legendre, qui, suivant une irrécusable indication historique, Tavait laissée à la suite de la géométrie élémentaire, dont elle constitue évidemment l'inséparable complément, en tant que pareillement relative à un problème purement spécial, quoique d'ailleurs d*une importance capitale. Une telle confusion, qui semble dogmatiquement consacrée encore d'après une vicieuse division scolastique entre les problèmes déterminés et les problèmes indéterminés (comme si toutes les questions géométriques n'étaient pas, chacune selon son genre, nécessairement déterminées, soit qu'on y cherche un point, une ligne ou môme une surface) , s'oppose radicalement à toute saine appréciation du véritable esprit de la géométrie analytique. Il serait même impossibledela distinguer ainsideranciennegéométrie,où l'on emploie aussi, presque dès les premiers pas, le calcul algébrique, quoique son office y soit ordinairement moins étendu, et qu'il y soit surtout appliqué sous des formes beaucoup moins convenables, d'après la théorie des proportions, qui y constitue, comme procédé logique, l'équivalent très-imparfait de notre algèbre actuelle. Nous aurons fréquemment occasion de reconnaître, contrairement à cette grossière opinion, que des théories géométriques peuvent être éminemment analytiques malgré que le calcul y intervienne fort peu, tandis que d'autres spéculations, où il a beaucoup de part, ne méritent nullement une telle qualification. Si l'on passe maintenant à la seconde acception scientifique du mot analyse et de ses dérivés, conformément à l'usage universel et à l'explication étymologique, une appréciation encore trop méconnue peut faire aisément sentir que, à ce nouveau titre, la géométrie générale doit être éminemment analytique^ c'est-à-dire procéder par décomposition. Car les questions n'y étant presque jamais composées que d'un très-petit nombre

PREHI^niK PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 7

d'éléments uniformes, (lontles diverses combinaisons effectives sont, au contraire, extrêmement multipliées, la généralité des solutions ne peut y être obtenue que d'après la séparation abstraite des différentes conditions élémentaires, seules susceptibles d'être traitées, chacune à part, sous un point de vue général. Au contraire, Tesprit de la géométrie ancienne était toujours essentiellement synthétique, et par suite spécial, puisque les diverses conditions de chaque problème y restaient envisagées surtout dans leur ensemble, malgré Tusage accessoire de ce qu'on avait nommé V analyse géométrique^ qui toutefois doit être historiquement envisagée comme un premier acheminement logique vers le système moderne, quoique l'absence des conceptions algébriques, qui seules permettent de fixer une telle séparation et d'en poursuivre les conséquences, dût priver cette marche, plus prônée que pratiquée chez les géomètres grecs, de sa principale efficacité.

Cette double appréciation conduit à sentir que la nouvelle méthode géométrique instituée par Descartes a pour caractère essentiel, en isolant chaque condition d'un problème, de l'assujettir à une solution pleinement générale, d'après une convenable réduction du concret à l'abstrait. La qualification d'analytique a surtout le mérite de rappeler, à ceux du moins qui s'en forment une juste idée, un tel esprit fondamental, que je ferai soigneusement ressortir en toute occasion opportune.

3. D'après les indications précédentes, la révolution radicale opérée dans le système des études géométriques par l'avéne" ment de la géométrie analytique doit être regardée comme l'époque la plus décisive pour le développement total de cette science, dont la constitution philosophique était jusqu'alors si insuffisante et si précaire, malgré d'admirables découvertes spéciales. Mais, en outre, il y faut même reconnaître le pas le plus décisif que pût jamais faire l'ensemble des spéculations mathé-

matiques, aussi bien abstraites que concrètes. Car, suivant une réaction nécessaire, ce rapprochement fondamental entre les notions géométriques et les conceptions algébriques, quoique n'ayant été d'abord institué qu'en vue de perfectionner la géométrie, qui a fait ainsi, depuis deux siècles, plus de progrès réels que pendant la longue suite de tous les siècles antérieurs, a été peut-être encore plus favorable au perfectionnement de l'analyse mathématique, dont leê plus puissantes créations sont, en effet, dues à cette heureuse influence logique. Nonseulement les recherches analytiques ont ainsi trouvé spontanément k la fois une alimentation inépuisable et une intéressante destination, sans lesquelles la répugnance naturelle de l'esprit humain pour les abstractions trop indéterminées en eût rendu le progrès extrêmement lent et d'ailleurs presque stérile; mais, de plus, suivant une influence plus spéciale et plus profonde, l'intervention des considérations géométriques parmi les spéculations analytiques y a souvent suggéré directement d'heureuses inspirations fondamenCaleSjCommel'ensembledessainesétudes mathématiques le constate si hautement aujourd'hui. Une telle réaction Scientifique est essentiellement propre à la géométrie^ qui, à ce titre, ne cessera jamais de constituer la principale partie de la science mathématique. La mécanique rationnelle, quoique aussi éminemment analytique que la géométrie, est d^une nature trop compliquée pour comporter une semblable influence. Elle a, sans doute, pai*eillement fourni à l'analyse un nouveau champ et une nouvelle destination, mais non pas de nouvelles lumières. Bien que les équations abstraites puissent être conçues, sans doute, comme représentées par des mouvements tout autant que par des figures, cette interprétation trop pénible ne saurait devenir la source d'aucune véritable indication analytique.

Conformément à la similitude nécessaire qui, pour l'esprit

humain, doit évidcinincnl exister, en tous genres, entre la marche essentielle de l'éducation individuelle et celle de l'évolution collective, Tétude de la géométrie analytique doit aussi constituer naturellement la phase la plus décisive, et par suite la plus difTicile, de chaque initiation mathématique. Les notions élémentaires de la géométrie et les conceptions rudimentaires de Falgëbre, qui jusqu'alors avaient dû sembler tout à fait indépendantes les unes des autres, et même radicalement hétérogènes, malgré quelques relations spéciales, contractent, dès ce moment, une alliance intime et indissoluble, première base de leur commune extension, et qui tend de plus en plus à faire concevoir Tensemble, autrement incohérent, des spéculations mathématiques comme susceptible d'une véritable unité. Aucune autre partie de renseignement mathématique ne saurait donc mériter autant la sollicitude rationnelle des professeurs et l'active attention des élèves.

4. Pour procéder convenablement à l'exposition directe de la conception fondamentale d'après laquelle Descartes a constitué la géométrie analytique, il faut d'abord expliquer une méthode préliminaire, où ce grand philosophe n'a eu essentiellement qu'à systématiser les inspirations spontanées de la raison commune, et sans laquelle la transformation radicale des considérations géométriques en considérations analytiques n'eût jamais été possible.

L'analyse mathématique ne peut spéculer que sur des idées de grandeur ; cependant il existe, en outre, dans la géométrie^ deux autres catégories logiques, non moins naturelles que la première, l'une relative à la forme, l'autre à la position : il est donc préalablement indispensable, en géométrie analytique, de ramener les pensées de forme et de situation h de simples notions de grandeur, seules immédiatement susceptibles de devenir numériques. Or, la solution générale de cette difficulté

préliminaire exige d'abord qu'on la réduise aulant que possible, en ne s'y occupant qujB des idées de silualion, dans lesquelles on peut évidemment faire toujours rentrer les idées de forme; puisque la forme d'un corps quelconque, pouvant résulter constamment de la disposition mutuelle de ses parties, sera nécessairement définie d'après la situation de tous ses points. C'est ainsi que, dans notre système de géométrie analytique, la position est seule immédiatement formulée par nos équations, d'où la forme peut ensuite ressortir indirectement, à l'aide des combinaisons convenables. Une telle marche doit, sans doute, offrir, comme nous le reconnaîtrons bient^it, quelques véritables inconvénients, puisque la forme d'un objet est, en elle-môme, indépendante de sa situation ; mais cette manière de procéder n'en est pas moins inévitable en géométrie analytique, sous l'indispensable réserve des moyens généraux destinés à permettre, suivant nos explications ultérieures, de dégager les diverses indications relatives à la forme des circonstances étrangères propres à la seule situation.

Toutes les idées élémentaires de situation étant naturellement réductibles à la simple position d'un point, il suffit donc d'expliquer, à ce sujet, comment ce dernier cas peut ôtre ramené à de pures considérations de grandeur. On y parvient aisément, sous beaucoup de modes divers, d'après ce qu'on appelle des systèmes de coordonnées, c'est-à-dire à l'aide des deux grandeurs géométriques, soit linéaires, soit angulaires, etc., qui, sur un plan, déterminent, par leur combinaison, le point correspondant^ relativement à certains repères fixes et communs.

Afin de mieux apprécier cet indispensable artifice élémentaire, il y faut voir la simple généralisation philosophique du procédé spontanément suggéré à tout bon esprit par la nécessité de définir la situation d'un point sans pouvoir le montrer,

nécessité qui conduit toujours àl'inévilable emploi des renseignements numériques. Si le point proposé doit appartenir à une ligne connue d'avance des deux intelligences entre lesquelles s'opère une telle communication, un seul de ces renseignements suffit évidemment à remplir cette indication, par exemple en assignant la distance plus ou moins grande du point variable à un point fixe de la même ligne. Ce cas est nécessairement le plus simple de tous ceux que peut offrir la réduction des idées de position aux idées de grandeur : mais il importe de le concevoir distinctement; car il est la base de tous les autres plus compliqués. Quand le point cherché doit seulement faire partie d'une surface donnée, ce qui arrive toujours en géométrie plane, la combinaison de deux renseignements de ce genre devient alors indispensable, Tun pour indiquer la ligne qui doit le contenir, et l'autre pourTy distinguer de tout le reste de sa circonférence : la dénomination de coordonnées rappelle heureusement l'insuffisance isolée de chacun des deux éléments de détermination, qui ne deviennent efficaces que par leur concours. Enfin, dans le cas le plus étendu et le plus difficile, lorsque le point peut indifféremment appartenir à toutes les régions de l'espace, sa situation ne peut être ainsi caractérisée qu'en combinant trois de ces conditions de grandeur, comme nous le reconnaîtrons spécialement en géométrie à trois dimensions.

Les couples de coordonnées employés, à cet effet, pour la géométrie plane, peuvent être tirés d'une foule de constructions différentes, dont il importe ici de concevoir nettement les principales. Celle de toutes qui, sans être, sous divers aspects, la plus naturelle, mérite certainement, à tous égards, la préférence universelle qu'elle a empiriquement obtenue dès l'origine de la géométrie analytique, consiste à déterminer la position d'un point par ses distances à deux droites fixes, le

ii GÉOHÉTKIli: PLANE.

plus souvent rectangulaires. Si le point M (fig. 1) doit être sur un plan, à des distances données a et 6 des deux axes OY,OX, il sera évidemment placé à Tunique rencontre des deux parallèles menées à ces axes selon ces distances respectives, et dont chacune le contiendrait îndifféremmentd'aprësla considération isoléedela condition correspondante. L'une decescoorcfonwe'e5, MP, qu'on peut utilement supposer verticale, porte habituellement le nom d'ordonnée^ tandis que l'autre, MQ, qu'on se figurerait alors horizontale, est communément qualifiée d'adscisse^ sans que cette diversité soit d'ailleurs aucunement motivée entre des éléments homogènes. On facilitera beaucoup la comparaison de ces distances variables selon les diverses positions du point, en comptant chacune, en OQ ou OP, sur l'axe correspondant, toujours à partir de l'intersection fixe 0, ainsi justement nommée V origine commune des deux coordonnées. Enfin, quant au discours algébrique, un usage très convenable fait désigner constamment chacune d'elles par la petite lettre analogue à la grande qui marque l'extrémité de son axe, lequel réciproquement prend souvent, à ce titre, le nom familier d'axe des x ou des y, selon la coordonnée variable qui s'y rapporte. Si, comme il arrive quelquefois, les deux droites fixes n'étaient pas rectangulaires, les deux distances resteraient toujours mesurées, pour chaque axe, parallèlement à l'autre, et dès lors sous une obliquité égale à leur inclinaison mutuelle, sans que l'opération subit d'ailleurs aucune autre modification. A la vérité, d'après ce premier système de coordonnées, les idées de grandeur semblent d'abord ne pouvoir pas sufGre entièrement à remplacer les idées de situation. Car, si le point proposé peut se trouver, suivant le cas le plus ordinaire, indifféremment placé, sur le plan, dans les quatre régions que séparent les deux axes, il pourra certainement, avec les mêmes coordonnées, occuper, outre la position primitive M, les trois

autres positions symétriques M' , M", ou M" ', que rien ne paraît pouvoir numériquement en distinguer. Mais^ comme Tune ou Tautre de ces coordonnées se trouve alors comptée, sur son axe, à l'inverse du sens primordial, cette difficulté préalable, qui eût radicalement entravé l'essor de la géométrie analytique, en obligeant, pour éviter une inextricable confusion, à y renoncer au système le plus favorable, a été complètement surmontée, par l'incomparable fondateur de la nouvelle constitution géométrique, d'après un heureux usage général de sa grande découverte en philosophie mathématique sur la représentation spontanée de l'opposition de sens par l'opposition des signes -}- et — dans toute relation de l'abstrait au concret, pour chaque grandeur qui, comptée suivant une direction fixe, comporte une inversion nettement caractérisée. J'aurai ci-dessous l'occasion d'indiquer expressément le véritable esprit de cette notion fondamentale, presque toujours vicieusement enseignée. En se bornant ici à l'appliquer convenablement, elle fait aussitôt disparaître notre ambiguïté élémentaire : pourvu qu'on ait toujours égard au signe -}- ou — de chaque coordonnée aussi bien qu'à sa valeur, il n'y aura jamais la moindre incertitude sur la région correspondante au point proposé ; elle sera dès loi*s distinguée des trois autres par une combinaison propre des deux signes simultanés.

Le seul système de coordonnées qui soit quelquefois usité, à défaut du précédent, en géométrie analytique, est peut-être, quoique beaucoup moins convenable que celui-ci, le plus naturel de tous, comme offrant la plus simple combinaison dos deux idées primordiales de longueur et de direction. C'est celui que l'on qualifie habituellement depolaii'e^pav contraste nu premier, communément appelé 7*ectiligne. en spécifiant ainsi désormais deux dénominations trop vagues en elles-mi^mes. 11 consiste à déterminer la position d'un point sur un plan d'après

sa distance à un point fixe et Tangle qu'elle y forme avec une droite fixe : la coordonnée linéaire porte ordinairement, suivant Tusage astronomique, le nom de rayon vecteur-, la coordonnée angulaire n*a pas reçu de titre spécial. Emprunté à la géométrie céleste, ce système émane primitivement d*une tendance universelle, dans les plus simples considérations géographiques, à comparer spontanément les divers lieux terrestres d'après la combinaison de leurs distances avec leurs directions. Un point M [fig, 2) y est déterminé par l'intersection d'un cercle variable, ayant pour centre fixe le pôle 0, et d'une droite mobile autour de ce pôle : les coordonnées correspondantes,que nous noterons habituellement u et cp, déterminent, pour chaque position, Tune le rayon de ce cercle, l'autre Tinclinaison de cette droite sur Taxe OO. On doit remarquer que la seule grandeur des deux coordonnées suffit ici à l'entière détermination du point, sans qu'il faille leur attribuer aucun signe, même pour distinguer suffisamment la position M de son opposée M', où Tangle f, toujours compté en pareil sens, comme en trigonométrie, a certainement changé de valeur, par un accroissement de ISO*». Mais nous reconnaîtrons bientôt que, loin de constituer un motif de préférence, cette propriété du système polaire devient au contraire très-défavorable à sa destination analytique.

Outre ces deux systèmes,seuls usités,il en existe évidemment une infinité d'autres, mais dont l'office est purement provisoire ou accidentel. Leur considération n'a d'importance logique qu'afin d'éviter de trop restreindre, suivant la tendance scolastique, cette première notion fondamentale. C'est ainsi que, par exemple, on déterminerait la position d'un point sur un plan d'après ses distances à deux points fixes, par l'intersection de deux cercles à centres fixes, dont les rayons variables constitueraient les coordonnées correspondantes. De même, on y

pourrait employer les directions combinées des droites qui, de deux points fixes, aboutiraient au point cherché, alors résulté d'une intersection rectiligne, suivant deux coordonnées angulaires, mesurant les angles de chacune de ces lignes mobiles avec Taxe qui joint les deux pôles. En un mot, il n'y a presque aucune construction plane qui, convenablement envisagée, ne puisse donner lieu à quelque système de coordonnées, et souvent à plusieurs, en y considérant les divers éléments linéaires, angulaires, ou même superficiels, qu'elle peut rattacher à la position d'un point, et dont toute combinaison binaire serait réciproquement susceptible de le déterminer.

Dans un système quelconque, le point mobile est toujours nécessairement placé à la rencontre de deux lignes, droites ou courbes, dont toutes les conditions déterminantes sont fixes, excepté une seule qui, en variant, indique la coordonnée correspondante. Ainsi, les divers systèmes doivent d'abord être distingués entre eux par la nature des lignes qu'ils emploient. Mais cette appréciation ne saurait suffire, puisque des systèmes très différents peuvent souvent introduire des lignes ,pa' reilles : il y aurait, par exemple, une infinité de systèmes méritant d'être appelés rectilignes^ si l'on donnait ce nom à tous ceux où un point résulte de l'intersection de deux droites ; comme l'indique, entre autres, outre le système rectiligne ordinaire, décrit en premier lieu, le système, doublement angulaire^ qui a terminé notre énumération sommaii*e. On doit donc, en outre, soigneusement considérer le mode de variation de chacune des deux lignes élémentaires, et ne regarder comme vraiment identiques que les systèmes de coordonnées qui, employant les mêmes lignes, les font aussi varier Suivant la même loi, en sorte que toutes les conditions fixes de détermination soient exactement communes aux deux cas comparés.