Cet indispensable préambule, sans lequel les idées géomé

triques ne sauraient devenir réductibles à des idées numéri* ques, nous permet de procéder maintenant à l'exposition directe de la conception fondamentale d'après laquelle Descartes a constitué la géométrie analytique, en établissant une intime harmonie mutuelle entre les lignes et les équations.

Quand un point se déplace arbitrairement sur un plan, ses deux coordonnées changent indépendamment Tune de l'autre. Mais si, dans son mouvement, il suit un trajet rigoureusement déterminé, de forme d'ailleurs quelconque, ces deux variables ne sauraient plus être envisagées comme indépendantes entre elles. L'une d'elles, en effet, suffit alors pour déterminer le point, à l'égard duquel la ligne proposée tient lieu de celle qui correspondrait à l'autre coordonnée. Celle-ci ne peut donc prendre, en ce cas, que des valeurs subordonnées à celles de la première, dont elle devient ainsi analytiquement, suivant le langage des géomètres, une véritable fonction, d'ailleurs assignable ou inassignable ; caractérisée par une équation convenable entre ces deux variables. Or, comme cette équation traduit exactement la condition d'un tel trajet, elle est justementnommée éqtiationde la /ij7n<?corresponàante,puisqu'elle en constitue une rigoureuse définition analytique, qui ne saurait convenir & aucune autre figure, où, la même valeur de l'abscisse devant procurer une valeur différente à l'ordonnée, leur relation doit nécessairement changer aussi.Cette inévitable correspondance entre la ligne et l'équation est même, à certains égards, trop intime, en tant qu'affectée par la situation comme par la forme : car, d'après ce principe, l'équation doit évidemment subir un changement quelconque quand la ligne ne fait que se déplacer sans changer de forme ni de grandeur; d'oùrésulte lanécessité de règles analytiques expressément destinées ci-dessous à dissiper une telle confusion, d'ailleurs nécessairement résultée de ce que les idées de position sont seules

immédiatement susceptibles d'expression algébrique. Ainsi, Téquation d'une ligne, en tout système, n*est autre chose que la relation constante qui existe nécessairement entre les coordon* nées variables du point décrivant, par cela seul que la ligne est rigoureusement définie d'après une propriété commune à tous ses points.

^ Le principe général d'une telle correspondance ne saurait être convenablement apprécié, si on n'envisage les idées d'^qiiation ou de fonction de la manière la plus étendue, et si on n'évite soigneusement de confondre la conception, toujours possible, de chaque équation avec sa formation effective, sou» vent très difficile, et quelquefois inaccessible. Il existe, sous ce dernier aspect, une très grande dilTérence entre les diverses définitions dont une môme ligne est susceptible. Par exemple, la définition élémentaire du cercle, comme lieu des points équidistants d'un point fixe, se traduit aussitôt, d'après le simple théorème de Pythagore, en l'équation y*4"^*=^''» entre les coordonnées rectilignes de Tun quelconque de ses points, relativement à deux axes rectangulaires menés de son centre. Au contraire, la définition transcendante de cette même courbe, comme étant celle qui, sous le même contour, renferme la plus grande aire, exige l'intervention de la plus haute analyse pour faire obtenir l'équation. L'ensemble de la géométrie présente, même aujourd'hui, beacoup d'exemples de courbes dont l'équation proprement dite n'a pu encore être formée, et à l'égard desquelles on peut, en outre, quelquefois assurer que cette formation exigerait nécessairement l'introduction de nouvelles fonctions analytiques.

Il importe de remarquer déjà que cette correspondance fondamentale entre les lignes et les équations ne saurait, par sa nature, offrir aucun caractère absolu, qui affectât exclusivement, dans tous les cas, certaines relations analytiques à cer-

laines formes géométriques. Car, une telle harmonie est évidemment subordonnée au système de coordonnées que Ton a clioisi. Si donc une habitude invétérée conduit, par exemple, à lier intimement entre elles les idées de ligne droite et d'équation du premier degré ou de section conique et d'équation du second degré, cela tient uniquement à l'emploi trop exclusif du système rectiligne, auquel se rapportent ces liaisons. Dans d'autres systèmes, ces mêmes lignes prendraient évidemment de nouvelles équations, dont la composition analytique semblerait souvent dépourvue de toute analogie avec les premières, quoiqu'il dût pourtant exister entre elles, malgré toutes les variations possibles, une certaine affinité algébrique plus ou moins difficile à discerner, d'après leur commune source géométrique.

Nous devons enfin soigneusement signaler ici^ en principe, comme propriété essentielle de celte correspondance de l'équation à la ligne, pour chaque système de coordonnées, son indépendance nécessaire de la diversité des définitions propres à une même figure. Quoique l'équation résulte inévitablement de la définition, elle n'est cependant pas susceptible de varier avec elle, si la ligne n'éprouve aucun changement réel ; puisque les mêmes abscisses devront toujours correspondre aux mêmes ordonnées, tant que la succession des points n'aura pas effectivement changé,. sous quelque nouvel aspect qu'elle puisse être envisagée. Rien n'est plus propre que ce remarquable privilège à faire dignement ressortir combien l'équation caractérise profondément la vraie nature invariable de la ligne correspondante, au milieu de la variété presque indéfinie de ses attributs géométriques. En même temps, cette identité nécessaire de l'équation, de quelque définition qu'elle provienne, doit présenter, en géométrie analytique, une importante destination habituelle, en y permettant de reconnaître ainsi, d'une

manière sûre et uniforme, l'équivalence effective des définitions qui auront conduit à la môme équation, el qui, sans cet heureux intermédiaire, auraient souvent offert beaucoup d'obslacles à un rapprochement décisif.

6. Après avoir ainsi caractérisé, en sens direct, la conceptionfondamentaledelagéométrie analytique, ilfautmaintenant, pour achever de s'en faire une juste idée générale, l'apprécier aussi en sens inverse, quant à la représentation des équations à deux variables par les lignes planes correspondantes.

Cette peinture des équations résulte de la construction facultative de chacune de leurs solutions. Que, dans une équation quelconque, résolue ou non résolue, y = ^ (x) ou/(a:,y) = 0,

IX B^ Q y= o

X"^" et' ï ( X~~^(l' ' J

L,\A *,,L etc., comme exprimant les coordonnées

d'un point dans un système quelconque, par exemple recliligne : ces diverses solutions pourront dès lors être géométriquement représentées par autant de points M, M', M'\ etc. [fiO- 3)i dont la succession resterait arbitraire si ces couples n'avaient aucun caractère commun, mais qui, au contraire, formeront une ligne nettement déterminée en vertu de leur uniforme propriété de convenir à une même équation, qui constituera spontanément la définition algébrique de cette ligne, de manière à la distinguer rigoureusement d avec toute autre. Envisagée quant à Téquation d'où elle provient, une telle ligne en constituera ce qu'on nommele/î^/j'^om^/nj'W^, dont l'étude ultérieure fera nécessairement découvrir d'autres propriétés spéciales, susceptibles de lui fournir divers modes de génération, plus ou moins éloignés de celte source analytique. La plupart des courbes aujourd'hui considérées n'ont pas. effectivement d'autre origine ; aussi sont-elles habituellement nom-

mées par leurs équations mômes, sauf 4e très-petit nombre de celles que divers motifs ont conduit à désigner sous des déno* minations particulières. On conçoit, en effet, avec quelle ex* trëme facilité on a pu dès lors imaginer une infinité de courbes nouvelles, assujetties à des définitions rigoureuses, tandis que Tancien régime géométrique ne comportait, à cet égard, que des ressources fort limitées, même pour la plus féconde imagination.

Sous ce second aspect général, encore plus évidemment que sous le premier, la correspondance fondamentale des lignes aux équations est nécessairement relative à la nature du système de coordonnées adopté. De la même équation, on pourrait certainement tirer une infinité de lignes différentes, en se bornant à changer convenablement ce système. Ainsi, par exemple. Téquation y == ax^ qui, en coordonnées rectilignes, représente une ligne droite, produirait, au contraire, en coordonnées polaires, une spirale composée d'une infinité de circonvolutions croissantes, comme le lecteur peut le constater aisément. Toutefois, quelque variées que puissent ôtre de telles peintures^ il faut sans doute que ces diverses figures conservent entre elles une certaine analogie intime, jusqu'ici peu appréciée, d'après leur commune origine algébrique.

Quant à Tindépendance, ci-dessus signalée, de chaque équation relativement à la diversité des définitions propres à la ligne correspondante, elle est ici remplacée, en quelque sorte, par rindépendance équivalente de chaque lieu géométrique envers les différentes formes, souvent très-distinctesetfortmultipliées, que comporte son équation. Celte seconde propriété générale, quoique moins sentie que la première, n'a pas, au fond, moins d'importance. Elle devient surtout la base essentielle de la haute destination logique dont la géométrie analytiqueest susceptible pourleperfectionnementdesspéculations algébriques. Lacourbe

d'une équation présente, en effet, rinestimable avantage de constituer spontanément un résumé très-expressif de l'ensemble des comparaisons auxquelles peut donner lieu la marche générale des solutions de cette équation: or, cette marche, qui caraclériseessentiellementréquationcorrespondante, au milieu des innombrables transformations dont elle est susceptible, ne saurait être indiquée par aucun signe analytique, et se trouverait même, sans cette lumineuse peinture, profondément dis- ; simulée sous les détails algébriques que rappelle directement

; la composition de Téquation. Telle est la source élémentaire

des indications fondamentales d'après lesquelles Theureux emploi des considérations géométriques a tant concouru, depuis deux siècles, à perfectionner les conceptions analytiques.

7. Cette double explication générale de l'intime harmonie naturelle que la grande conception de Descartes a définitivement organisée entre les idées de ligne et les idées d'équation, î caractérise déjà le véritable esprit et la principale difficulté de

] la géométrie analytique. Toutes les lignes qui peuvent être le

I sujet des recherches de la géométrie plane étant ainsi repré-

sentées, dans un système convenable, par autant d'équations^ chaque phénomène géométrique qui s'y rapporte devient dès lors susceptible d'expression analytique, soit qu'il concerne les affections isolées de chacune des lignes proposées ou leurs rela-^ tions mutuelles* SoUs ce premier aspect, il s'agit surtout, en géométrie analytique, de découvrir l'équivalent analytique de chaque considération géométrique. Réciproquement, toute équation abstraite, du moins à deux variables, étant aussi re<^ présentée de la même manière par une courbe correspondante, il n'y a pas de modification algébrique qui ne doive comporter une certaine interprétation géométrique^ dont la découverte constituera habituellement, sous ce second aspect, la difficulté essentielle de la géométrie analytique. On voit donc que tous

les efforts y doivent principalement consister à développer et à perfectionner sans cesse cette double relation alternative entre Tabstrait et le concret, dont la pensée cartésienne constitue le principe fondamental.

8. Quels que soient les éminents avantages, à la fois logiques et scientiQques, propres à cette admirable conception, dont ce traité fera de plus en plus ressortir la puissance et la fécondités il importe maintenant, pour en avoir pleinement ébauché l'apprécia tion générale, de signaler ici sommairement ses imperfectionsessentielles,maissansnousoccuperd'yremédier,en évitant toutefois de les concevoir comme nécessairement irréparables.

Sous le premier des deux aspects fondamentaux ci-dessus expliqués, la représentation analytique des lignes est actuellement imparfaite, en ce sens que Téquation, excédant quelquefois la stricte définition, convient à tout l'ensemble de chaque ligne, lors même que la génération proposée est restreinte à une portion déterminée. En cherchant, par exemple, Téquation rectiligne ou polaire du lieu du sommet d'un angle invariable dont chaque côté passe en un point fixe, elle se trouvera vicieusement convenir à la totalité du cercle correspondant, quoi* que la définition ne convienne cependant qu*à un arc limité, qui pourra même être fort petit, si l'angle est très-obtus : la plupart des solutions de l'équation ne se rapporteraient point alors à Tangle proposé, mais à son supplément. De même, pour citer un cas encore plus sensible, en considérant le lieu du sommet d'un triangle rectangle dont l'hypoténuse glisse entre deux axes rectangulaires, l'équation indiquera deux droites indéfiniment prolongées, tandis que cette génération ne saurait évidemment s'appliquer qu'à une portion déterminée de chacune d'elles. Cette altération par excès est, sans doute, beaucoup moins vicieuse que ne le serait une altération par défaut, laquelle est nécessairement impossible ici ; mais elle n'en consU-

tue pas moins un grave inconvénient de notre système actuel de géométrie analytique, puisque certaines définitions géométriques n*y sont pas algébriquement traduites avec une scrupuleuse fidélité, faute de savoir prendre en considération analytique les restrictions qui leur sont inhérentes. C*est surtout dans Tapplication de l'analyse aux phénomènes thermologiques que cette imperfection a dû se faire sentir, en y entravant l'étude spéciale des lois de TéchaufTement et du refroidissement pour les cas linéaires où, comme il arrive très-souvent, on ne doit considérer qu'une partie limitée de chaque ligne. Aussi est-ce à rimmorlel fondateur de cette nouvelle théorie, principale création mathématique propre au siècle actuel, que la géométrie doit la solution effective de cette-difficulté fondamentale, qu'on avaitjusqu'alorsjugéeinsurmontable. Mais, quoiqueFourier ait ainsi introduit des équations qui ne représentent réellement que des parties assignables de chaque ligne, cette importante modification a exigé des complications analytiques qui doivent empêcher jusqu'ici, et peut-être toujours, de la rendre vraiment usuelle et surtout élémentaire. Nous devons donc nous résigner finalement à l'acceptation actuelle d'une telle imperfection, sans nous enquérir ici du remède, sauf les précautions spéciales qui,enchaquecasopportun, pourront nous garantir des fausses indications qu^elle susciterait.

Une de ses conséquences générales consiste à ne savoir pas non plus représenter analytiquement un contour discontinu, par exemple, le périmètre d'un triangle ou d'un autre polygone. En géométrie analytique, la composition des lieux se traduit naturellement par la multiplication deleurs équations, pourvu qu'on ait d'abord pris la précaution indispensable d'y tout réunir en un seul membre, sous la forme usiiéef{x,y)'^0: car un produit étant nul par cela même qu'un de ses facteurs Test, à moins que Tautre ne devint accidentellement infini, et ne pouvant

d'ailleurs cire autrement annulé, il est évident que le lieu géométrique de réquation / [x^y] X ? ipc^y) = 0 consiste dans l'assemblage des deux lignes séparément issues des équations f [x^y) = 0, <p (a:,y) = 0. D'après cela, si des équations représentaient des portions de ligne, on pourrait, par leur produit, représenter le contour discontinu qui résulterait de leur juxtaposition. Mais, dans le système actuel, on ne pourrait, au contraire, en multipliant ensemble, par exemple, les équations des trois côtés d'un triangle, nullement former une équation qui fût restreinte à son périmètre ; elle conviendrait aussi à tous les points situés sur les prolongements indéfinis des divers cutés. Ainsi la lacune de notre géométrie analytique, relativement aux parties de ligne, s'aggrave beaucoup d'après ses suites nécessaires envers les contours composés, dont la considération doit naturellement s'offrir en divers cas importants, surtout en Ihermologie mathématique. La conception analytique de Fourier a remédié au second inconvénientde la même manière qu'au pre* mier, et d'ailleurs indépendamment du principe de la multiplication, mais toujours par des procédés trop pénibles pour être admis dans l'enseignement élémentaire de la géométrie générale, que nous continuerons à concevoir grevée de cette double imperfection naturelle.

Sous le second aspect fondamental, la représentation des équations par les lignes correspondantes doit être jugée habituellement imparfaite, en ce sens qu'on n'y tient compte que des seules solutions réelles^ sans aucun égard aux solutionsima*ginaires, qui néanmoins en restent abstraitement inséparables, et qui souvent sont bien plus nombreuses, au point de constituer quelquefois l 'unique réponse que comporte l'équation, même en n^attribuant que des valeurs réelles à la variable indépendante, suivant un usage d'ailleurs déjà contraire à Ten*tière généralité analytique. 11 ne faut pas croire cependant que

rimaginarité de ces solutions doive^ en principe, leur interdire nécessairement toute interprétation géométrique, puisqu'elles ont entre elles des relations très-appréciables, aussi bien géo*^ métriquement qu'algébriquement ; sauf la précaution très-facile de tracer différemment la partie du tableau total qui les concerne, par exemple en la ponctuant. C'est ainsi que Téquation j:* -{- y' e=» i qui , dans le mode ordinaire, n'est représentée qu'entre a:«= — i et a: = + ii par le cercle 0 A ijig. 4), produirait, en outre, l'hyperbole BCB'C, si l'on convenait de construire, abstraction faite du facteur commun v/— i i les ordonnées imaginaires qui correspondent à toutes les autres abscisses réelles. Mais une semblable peinture des solutions imaginaires ne saurait convenir jusqu'ici qu'à un petit nombre de cas suffisamment simples, en dehors desquels l'imperfection nécessaire de l'analyse mathématique empêchera probablement toujours de compléter convenablement la représentation géométrique des équations {*), Nous regarderons donc aussi cette seconde lacune générale comme inhérente à notre système actuel de géométrie analytique, et nous en subirons les conséquences naturelles, sans nous occuper ici du remède.

Celle de ces conséquences qu'il importe le plus de prévoir déjà consiste dans l'altération que reçoit ainsi, en certains cas, le principe fondamental posé ci-dessus sur la représentation nécessaire de toute équation par une ligne. En effet, si l'équation n'admet qu'une seule solution réelle, comme par exemple, x* -}- y' sa 0^ qui n'est satisfaite que par x^^O^y «» 0, ou si elle

(*) Un jeune géomètre, M. Marie, ancien élôve de l'École polytechnique, vient de concevoir ceue peinture des solutions imaginaires d'une manière plus profonde et plus générale que dans aucune des tentatives antérieures, de façon à obtenir quelquefois d*heureux rapprochements inattendus, et sans se faire d'ailleurs aucune grave illusion sur la réalisation usuelle d'un tel perfectionnement.

n'en comporte qu'un nombre limité, elle ne produira géométrîquementqu'unpareilnombre de points, qui pourraient même provenir aussi d'une infinité d'autres équations, en sorte que la figure sera loin dès lors de caractériser effectivement l'équation correspondante. Quand l'équation ne comportera aucune solution réelle, elle n'aura plus aucune sorte de lieu géométrique, et cette coçimune fin de non-recevoir, relative non à la nécessité mais à notre impuissance, enveloppera confusément une foule d'équations qui, analytiquement^ sont très-distinctes

entre elles, comme ar*-f y^-)-*=Oi^*+y*+*^=^»^*+y*+^=^i y«-^e*==0, etc. D'après une telle lacune, certaines modifications analytiques ne comporteront aucune interprétation géométrique ; c'est ainsi qu'on ne changerait nullement le lieu d'une équation en la multipliant par l'une quelconque des précédentes, quoiqu'elle fût alors algébriquement dénaturée.

9. Pour achever d'éclaircir autant que possible cette exposition élémentaire de la conception fondamentale propre à l'ensemble de la géométrie analytique, il reste maintenant à indiquer une importante considération générale, trop méconnue jusqu'ici, qui mettra dans un plus grand jour la correspondance nécessaire entre les idées de ligne et les idées d'équation, en faisant sentir que non-seulement chaque définition rigoureuse d'une courbe doit pouvoir donner lieu à une équation correspondante entre telles coordonnées qu'on voudra, mais qu'elle-même constitue déjà une première équation de la courbe, relativement à un certain svstème de coordonnées, en harmonie convenable avec cette définition. Toutefois, afin d'éviter, à cet égard, toute confusion et toute exagération, il faut d'abord restreindre une telle remarque aux seules définitions qui indiquent une génération de la ligne proposée, de manière à fournir aussitôt une description par points ou par un mouvement continu, restriction qui n'altère point la gêné-

PREfinÈRE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. 27

ralité intrinsèque d'une telle observation, puisqu'une courbe quelconque comporte nécessairementdesemblables définitions, lors même qu'elle ne serait d'abord définie que d'après une propriété caractéristique qui ne serait point explicative, comme, par exemple, la propriété isopérimètre du cercle, ci-dessus rappelée. Sauf cette unique réserve, il est aisé de comprendre qu'on ne peut spécifier la génération d'une courbe que suivant quelque relation immédiate, ordinairement trèssimple, entre certaines coordonnées naturelles qui s'y rapportent : les difficultés qu'on éprouverait d'abord à sentir cette évidente nécessité ne pourraient tenir essentiellement qu'à une manière trop étroite d'envisager la notion générale des systèmes de coordonnées, et cesseraient dès qu'on attribuerait communément à cette conception préliminaire toute l'extension philosophique que nous lui avons donnée précédemment. Par exemple, la définition élémentaire du cercle constitue spontanément l'équation polaire de cette courbe M=r, en prenant le pAle au centre ; sa définitioQ comme lieu du sommet d'un angle invariable v dont chaque côté passe par un point fixe, se traduit immédiatement par l'équation <f — ^^ = v, entre les coordon-» nées angulaires qui mesurent les inclinaisons variables des côtés mobiles sur l'axe fixe ; la définition de l'ellipse ou de l'hyperbole comme lieux d'un point dont la somme ou la différence des distances à deux points fixes demeure constante, donne aussitôt l'équation u ±: t=^c^ dans le système de coordonnées qui détermine la position d'un point d'après ses distances aux deux points fixes proposés ; la génération commune des trois sections coniques par le mouvement d'un point dont les distances à un point fixe et à une droite fixe sont constamment proportionnelles, fournit sur-le-champ l'équation t/=m/, dans le système, moitié rectiligne, moitié polaire, qui correspond à cette définition : il en est de même envers les

courbes transcendanlcs, ainsi que nous aurons lieu de le constater spécialement sur la définition ordinaire de la cycloïde, et en plusieurs autres cas. Il serait maintenant superflu de multiplier davantage de telles vérifications, que j'aurai soin de signaler ensuite en chaque cas opportun. On conçoit aisément, en principe, que la génération d'une ligne ne saurait être définie qu'en spécifiant la loi du mouvement du point décrivant : or, cette loi ne comporte de définition précise que d'après une certaine relation entre les deux mouvements quelconques, soit de translation, soit de rotation, dans lesquels on décompose le mouvement proposé ; cette relation, envisagée sous un autre aspect, constituera donc l'équation naturelle de la ligne considérée, par rapport au système de coordonnées correspondant, qui variera avec la ligne, et surtout avec la définition. Cette considération générale, inconnue avant moi, rend plus évidente l'harmonie fondamentale entre les lignes et les équations, en dégageant spontanément sa notion philosophique de toute difficulté relative à la formation effective de chaque équation cherchée : car, si, d'après ce principe, toute courbe a directement une équation en im certain système de coordonnées, on ne saurait plus douter qu'elle ne doive également en comporter d'équivalentes en tous les autres systèmes, sauf les obstacles que pourra présenter l'accomplissement de la transition.

En même temps, on apprécie ainsi en quoi consiste essentiellement l'embarras qu'offre souvent l'établissement des équations. Il ne pourrait jamais susciter aucune grave difficulté, si l'on avaittoujours le choix du système de coordonnées, puisque l'équation s'obtiendrait aussitôt en adoptant celui qui conviendrait à la définition proposée. Mais, pai* des motifs qui vont être ci-dessous indiqués, on doit communément s'astreindre à un système uniforme prescrit d'avance, et surtout au système rectiligne proprement dit, qui n'est pas constamment, ni même

habituellement, le mieux adapté à la formation des équations. On voit donc que la principale difficulté qui soit propre à cette formation doit consister, en général, dans le passage du système primitif et naturel à ce système définitif et artificiel. Cette appréciation comporte une grande utilité pratique dans toute la géométrie analytique, en fournissant Tunique conseil efficace que puisse admettre cet inévitable préambule, qui, de sa nature, ne saurait être assujetti à aucune méthode systématique. Il faut, en effet, d'après cela, toujours partir de cette équation spontanée inhérente à chaque définition, et diriger ensuite tous les efforts spéciaux vers Télimination de ces coordonnées primitives, à Taide des deux relations que Ton découvrira entre elles et les coordonnées définitives ; en employant d'ailleurs quelquefois, à titre d'auxiliaire, suivant l'esprit ordinaire des recherches mathématiques, un système intermédiaire, ou même plusieurs, n'ayant alors d'autre destination que de faciliter cette indispensable transition. Une judicieuse application de ce conseil général, sans dissiper la difficulté, souvent très-grande, que présente la formation des équations, tendra du moins à prévenir la vicieuse déperdition de forces qui résulte si fréquemment, à cet égard, de tentatives empiriques et désordonnées, dont le succès serait presque impossible.

10. La considération précédente nous conduit naturellement à compléter enfin notre exposition fondamentale, par Tappréciation générale des motifs qui ont mérité, en géométrie analytique, au système rectiligne proprement dit, la préférence universelle que lui a justement accordée jusqu'ici un usage essentiellement spontané, mais qui doit désormais résulter d'une comparaison rationnelle.

Pour que celte discussion soit lumineuse et décisive, il importe d'y séparer d'abord les deux aspects élémentaires dont la

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nouvelle géométrie présente la combinaison permanente ; car le choix proposé doit être fort différent selon qu'on envisage la représentation analytique des lignes ou la peinture géométrique des équations.

Sous le premier aspect, provisoirement isolé, aucun système de Coordonnées ne saurait, évidemment, mériter une préférence invariable, soit quant à la facilité de former Téquation de chaque ligne, soit quant à la simplicité de Téquation obtenue : puisque, d'après le numéro précédent, c'est tantôt dans un système et tantôt dans un autre que chaque définition fournit aussitôt une équation très-simple. L'usage prépondérant du système rectiligne ne saurait donc résulter nullement de ce premier ordre de motifs, qui conduirait à choisir successivement chacun des autres systèmes imaginables, pour les cas auxquels leur nature les adapterait.

Mais il n'en est plus ainsi sous le second aspect, qui manifeste clairement une supériorité constante et nécessaire de ce système envers tout autre, en ce qui concerne la représentation géométrique des équations, quant à la facilité et à la netteté d'une telle peinture, et, par suile, quant à, sa principale efficacité logique. Cet avantage résulte d'abord de la nature des lignes employées, puisque les points y sont évidemment déterminés par l'intersection des plus simples lignes possibles. Toutefois, cette première explication serait insuffisante ; car il existe, comme nous l'avons déjà reconnu, une infinité d'autres systèmes de coordonnées où l'on n'introduit également que des lignes droites. 11 faut donc, pour préciser convenablement une telle discussion, avoir aussi égard au mode de variation de ces lignes ; ce qui achève de mettre en évidence cette supériorité générale du système ordinaire : en effet, le déplacement d'une droite, par une pure translation, parallèlement à un axe fixe, constitue certainement la plus

grande simplicité possible dans une image géométrique qui, par sa destination, doit toujours contenir quelque élément variable. On peut donc regarder ce système comme étant nécessairement celui où Ton se représente le mieux la correspondance élémentaire entre le mouvement du point et la variation numérique de ses coordonnées ; d'où Ton doit conclure son aptitude supérieure à Tînterprétation géométrique de toutes les considérations analytiques.

En prolongeant davantage cette appréciation, on peut même expliquer la préférence habituellement accordée, dans Tusagc du système rectiligne, à l'emploi d'axes rectangulaires. Ce choix ne tient point essentiellement à la notion plus familière d'une telle inclinaison, ni d'ailleurs aux simplifications analytiques qu'elle comporte souvent, mais qui, en certains cas, appartiendraient^ au contraire, à d'autres angles. Suivant un motif à la fois plus constant et plus profond, cette disposition des axes doit être envisagée comme la plus convenable à la représentation géométrique, qui ne pourrait autrement s'accomplir ordinairement d'une manière aussi fidèle. En eifet, des axes rectangulaires partagent le plan en quatre régions exactement identiques, entre lesquelles le lieu géométrique, qui presque toujours en occupe plusieurs, ne pourra présenter de diversités graphiques que celles qui proviendront des solutions correspondantes de l'équation proposée. Au contraire, avec des axes obliques, chacune de ces régions n'est égale qu'à son opposée et diffère de son adjacente, où la peinture de Téquation sera altérée par l'emploi d'une nouvelle obliquité, indépendamment de toute source analytique. Si l'on considère, par exemple , une équation où le changement de signe de l'abscisse n'influe point sur l'ordonnée, comme air^-f-y*™"^^ a:*-|-y*rz=l, etc., la courbe, alors étendue dans les quatre régions, devrait naturellement, pour peindre- fidèlement

réquation, y offrir quatre parties symétriques, susceptibles d*une parfaite coïncidence : or, cette condition, spontanément remplie avec des axes rectangulaires, ne saurait Têtre suffisamment avec des axes obliques, qui, n'égalant ces quatre portions que deux à deux, indiqueront une vicieuse diversité là où Téquation prescrit une entière identité ; un tel tableau serait alors peu propre à faciliter les spéculations analytiques, suivant sa principale destination logique, puisqu'on ne pourrait remployer qu'en s'y tenant sans cesse en garde contre une semblable discordance.

L'ensemble de l'appréciation précédente explique suffisamment l'usage qui s'est conservé, depuis l'origine de la géométrie analytique, de préférer habituellement, à tout autre système de coordonnées, le système rectiligne et rectangulaire, le seul dans lequel seront ici construites nos diverses théories générales. Mais on conçoit aussi que, malgré sa supériorité constante pour la discussion géométrique des équations, il doive être quelquefois abandonné envers certaines courbes, afin d'éviter la trop grande complication des équations correspondantes. Dans les applications concrètes de la géométrie abstraite, on peut d'ailleurs employer spécialement d'autres coordonnées sans avoir même en vue la simplification des équations, et uniquement comme susceptibles d'une meilleure interprétation physique : c'est ainsi que les astronomes ont été conduits à préférer habituellement les équations polaires, à l'égard de courbes dont les équations rectilignes seraient pourtant plus simples.

11. Le système polaire étant jusqu'ici le seul réellement usité quand on renonce au système rectiligne, il importe de spécifier envers lui la comparaison générale que nous venons d'établir, en faisant ressortir les imperfections élémentaires qui le rendent très peu propre à une convenable peinture des

équations, outre la moindre facilité, et par suite la moindre netteté que présente, à cet égard, sa nature opposée à celle de Tautre système, d'après les motifs ci-dessus indiqués. On doit reconnaître, en effet, que, sous deux aspects essentiels, il ne comporte pas même une entière fidélité^ en ce sens que des solutions analytiquement distinctes y sont quelquefois représentées par un même point, sans que le tableau géométrique puisse alors tenir aucun compte de leurs différences numériques. Cette confusion élémentaire a d*abord lieu quand une même valeur de l'ordonnée linéaire correspond à deux valeurs de Tordonnée angulaire qui diffèrent entre elles de quatre angles droits, ou de tout multiple entier de SGO**, ce qui peut souvent survenir, et, par exemple, toutes les fois que Téquation proposée contient seulement des fonctions tri gonomé triques de Tangle : en de tels cas, la nature du système polaire emp^che certainement la représentation géométrique de ces diversités numériques ; ce qui ne peut jamais exister avec des coordonnées rectilignes, ni môme d'après beaucoup d'autres systèmes. Aussi le système polaire est-il justement réservé, d'ordinaire, pour les équations qui contiennent Tangle algébriquement, comme celles des spirales, et doit-il être spéciale* ment évité envers celles qui n'an renferment que des fonctions périodiques. Mais une semblable conTusion se manifeste, d'une manière encore plus grave, sous un autre aspect plus universel, d'après l'impuissance nécessaire du système polaire pour représenter géométriquement les différences de signe -f- ou — , quand elles n'affectent que le rayon vecteur. Le besoin, propre au système rectiligne, d'attribuer des signes aux coordonnées, afin d'y compléter les déterminations élémentaires, a été heureusement converti, par Descartes, en une précieuse aptitude à peindre géométriquement ce genre important de diversités analytiques. Au contraire, l'indépendance même d une telle

obligation, qui semble d'abord devoir constituer un avantage du système polaire, y est réciproquement devenue la source nécessaire d une imperfection capitale, en y empêchant essentiellement une telle représentation. Toutefois, la vraie nature de cette grande loi de Descartes y permet encore la peinture du signe envers celle des deux variables que Tangle représente, puisqu'il suffit alors de compter Tangle en sens contraire de celui qu'on a affecté à ses valeurs positives. Mais si le changement de signe se rapporte au rayon vecteur, la construction polaire n'en pourra certainement tenir aucun compte, une telle longueur, dont la direction change continuellement, n'étant ^pas susceptible d'une véritable opposition de sens. C'est à tort que l'on croit quelquefois l'avoir représenté, en portant les valeurs négatives de chaque rayon vecteur à l'opposé de la direction qu'on leur eût attribuée, d'après l'angle correspondant, si elles eussent été positives, comme OM' comparé à OM [jig. 2). Il est clair, en effet, que OM' ne correspond pas réellement à l'angle f , mais à la valeur 180^ -|- ^ , qui, suivant ce mode, ne pourrait plus trouver, sur la ligure, aucune place distincte. Une telle erreur provient sans doute de Tbabitude trop exclusive d'équations polaires où cette opposition de valeurs n'est point assez marquée^ à cause de fonctions purement trigonométriques de (p. Mais il suffirait de considérer, par exemple, les équations des spirales 2/ s» a^, i/' ssârç, ti^ = a, u^=olt^ etc., pour sentir aussitôt l'inconvenance générale d'une telle interprétation.

Comme cette dernière explication, quelque, rationnelle qu'elle soit spontanément, se trouve néanmoins directement contraire à un usage scolastique devenu très-commun, il importe de rappeler incidemment, à ce sujet, le véritable esprit, aujourd'hui trop méconnu, de la grande loi découverte par Descartes sur la destination concrète du signe + ou — dans les

relations analytiques. 11 faut d'abord reconnaître que cette proposition capitale de philosophie mathématique n*est réellement démontrée encore que d'après desimpies vérifications spéciales, sans aucune appréciation directe et générale : seulement ces vérifications sont maintenant beaucoup plus multipliées, et surtout plus variées, qu'elles ne pouvaient Têtre pour Descartes, dont le génie analogique fit surgir cette admirable induction de Theureux rapprochement d'un très-petit nombre de cas. Les géomètres actuels se montrent même^quelquefois, il faut l'avouer, moins avancés, à certains égards, sous ce rapport, que ceux du dix-septième siècle; en ce que, répugnant trop A une logique purement inductive, ils prennent souvent, à ce sujet,, des vérifications très-bornées pour de vraies démonstrations. Peut-être faut-il penser d'ailleurs qu'une telle proposition ne comporte pas d'explication à priori, et doit toujours rester fondée sur de pures inductions, sans que sa certitude en soit toutefois affectée : du moins l'impuissance radicale des efforts tentés, à cette fin, depuis deux siècles, et quelquefois par des esprits supérieurs, autorise beaucoup une semblable opinion. Quoique la science mathématique soit celle de toutes où l'extrême simplicité du sujet comporte le plus l'emploi prépondérant des déductions, il n'y saurait pourtant être tout à fait exclusif, et quelques notions capitales y doivent sans doute demeurer, comme celle-ci, purement inductives. En acceptant, du moins quant à présent, cette irrécusable nécessité, il faut s'attacher surtout à bien reconnaître le vrai sens général, ordinairement très-confus, de cette gi'ande loi cartésienne, qui consiste en ce que toute véritable inversion, dans les grandeurs concrètes qui en sont susceptibles, se traduit analytiquement par le changement de signe des valeurs abstraites correspondantes : c'est à dire que, l'équation d'un phénomène quelconque ayant été formée pour un seul état de ces diverses grandeurs.

toutes les autres dispositions^ souvent très multipliées (selon la puissance de 2 qu'indique leur nombre), qui pourront résulter deleursinversions combinées, se trouveront exactement correspondre à des équations déduites de la première d*après les seuls changements de signe convenables, en sorte que l'une d'elles, suffisamment interprétée, pourra condenser toutes les au-

. très. Sans insister ici sur les avantages, aussi évidents qu*éminents, de cette découverte fondamentale, surtout entièrement indispensable à Texislence de la géoiïiétrie analytique, on doit sentir, que cette loi interdit Tinterprétation concrète du signe envers les grandeurs qui, comptées suivant des directions variables, ne sauraient comporter une véritable opposition de sens ; car^ dès que le changement de signe est reconnu exprimer Tinversion, il ne peut plus comporter aucune autre attribution, sous peine de n'avoir qu'une destination vague et même arbitraire. Que signifie, par exemple, la prétendue différence de signe entre les rayons vecteurs OM, OM' appliquée à Ten-

. semble des directions ? Elle revient évidemment à supposer positifs les rayons au-dessus de l'axe Ocp, et négatifs ceux au-dessous : or, la distinction ainsi établie entre ces deux classes est factice et illusoire, comme ne tenant qu'à l'interposition de cet axe ; concevons supprimée cette vaine séparation, et il n'y aura certainement pas plus de différence réelle entre OM et ON, qu'on affecte alors de signes contraires, qu'entre OM et OK, auxquels on donne pourtant le môme signe ; ce qui fait aussitôt ressortir combien un tel usage est radicalement contraire à toute judicieuse interprétation de la loi du signe concret.

12. Après avoir entièrement exposé la conception fondamentale propre à l'ensemble de la géométrie analytique, il reste à compléter ce chapitre préliminaire par deux explications indispensables, d'ailleurs spontanément corrélatives, d'abord sur la vraie théorie de l'homogénéité géométrique , et ensuite

SUT la construction élémentaire des formules algébriques. La grande loi de l'hoinp^énéité, la plus étendue de toutes celles que comporte jusqu'ici la philosophie mathématique, puisqu'elle s'applique nécessairement à toute relation quelconque de l'abstrait au concret, reste encore très mal conçue ordinairement, quoique j'en aie suflisamment établi, il y a Ireize ans, dans le tome premier de ma Philosophie positive^ le véritable esprit général. Pour expliquer ce fait remarquable que toute équation ayant un sens géométrique, et spécialement linéaire, est constamment homogène^ c'est-à-dire, dans le cas le plus usuel, que tous les termes y sont naturellement du même degré algébrique, on se borne presque toujours à remarquer cette circonstance évidente envers les relations initiales que Ton regarde avec raison comme la source, plus ou moins éloignée, de toutes les relations possibles entre lignes, et qui sont essentiellement réductibles au théorëme de Pythagore sur le triangle rectangle et à celui de Thaïes sur la proportionnalité des côtés entre deux triangles équiangles, proposition qui, d'ailleurs, comprend logiquement l'autre. D'après cette remarque incontestable sur Thomogénéité des équations primitives^ et en admettant que ni les transformations ul'térieuresde chacune d'elles ni leurs combinaisons mutuelles ne peuvent jamais altérer un tel caractère, on aurait suffi* samment démontré qu'il doit s'étendre aussi aux déductions les plus lointaines. Mais cette supposition très-gratuite est certainement vicieuse^ sinon quant aux transformations, du moins quant à certaines combinaisons ; par exemple, lorsqu'on ajoute deux équations homogènes de degrés différents, leur somme ne constitue nullement une équation homogène. Il resterait donc à expliquer pourquoi les déductions géométriques ne conduisent jamais à de tels assemblages; ce qui serait assurément plus difficile que d'établir directement la loi générale de

rhomogénéilé. Ceux qui ont senti ce vice radical de Texplication la plus usitée, mais sans remonter pourtant jusqu'au vrai principe philosophique de toute cetle théorie, ont été conduits à altérer essentiellement la loi elle-même, pour l'adapter à Tinsuflisance de leur démonstration, en y introduisant une alternative qui, au fond, détruirait radicalement le sens effectif de la proposition. On fait ainsi consister maintenant le théorème de rhomogénéité en ce que toute équation géométrique est nécessairement homogène, ou^ du moins, la somme de plusieurs équations homogènes. Avec un pareil énoncé, la proposition devient évidemment insignifiante : car, quelle est Téquation, écrite au hasard par un algébriste, qui ne puisse être conçue décomposée en équations homogènes, d'après la seule précaution d'y grouper convenablement les termes ? U est certainement impossible que ceux qui entendent ainsi la loi de rhomogénéité fassent aucun usage réel des précieux moyens de vérification continue qu'elle est surtout destinée à fournir spontanément dans toutes les applications possibles de Tanalyse mathématique.

13» Sans nous arrêter davantage à cette vicieuse doctrine, procédons directement à la véritable explication. Elle repose tout entière sur cet unique principe, aussi général qu'évident : Texactitude de toute relation concrète, soit géométrique, soit même mécanique, ou physique, etc., étant nécessairement indépendante de la grandeur de l'unité ou des unités qu'on a introduites pour l'évaluation numérique, l'équation correspondante doit rester inaltérable quand on y fait subir, à chacune des quantités élémentaires, la variation résultée du changement d'unité, et qui consiste à les multiplier toutes par un même facteur arbitraire. Afin de mieux apprécier Jes conséquences analytiques d'une telle propriété envers les équations algébriques proprement dites, où il faut surtout la spécifier, il importe de

distinguer deux cas généraux, selon que la relation ne contient que des grandeurs d'une seule espèce, ou qu'elle en renferme à la fois de plusieurs sortes distinctes*

Dans le premier cas, le plus commun en géométrie analytique, en supposant, pour fixer les idées, qu'il s'agisse, par exemple, d'une relation entre lignes, tout se réduit à bien apprécier l'effet isolé du changement proposé sur chaque terme de l'équation. Or, en rendant m fois plus grands tous les facteurs qui expriment les lignes considérées, il est aisé de reconnaître d'abord que tout terme du premier degré se trouvera aussi multiplié par m, quelle que soit sa forme algébrique, non-seulement

quand il est rationnel et entier, comme 3a^ - a^na^ etc., mais

.1 ,., - . • . ob obcd

aussi lorsqu il est fractionnaire, comme — , — r-, etc., ou

même irrationnel, comme

V/^, y y^r' y ^ \/abcde,eic.,

en estimant toujours le degré suivant les règles ordinaires de l'algèbre; sauf l'indispensable précaution de n'y jamais compter que les facteurs vraiment linéaires, sans aucune participation de ceux qui, à divers titres, ne sont pas altérables par le changement d'unité. Cela posé, chacun des termes de degré supérieur deviendra ainsi, avec une forme quelconque, m", m', m*, etc., fois plus grand, selon qu'il sera du 2*% 3"% 4"*, etc., degré, en tant que produit d'un pareil nombre de facteurs du premier degré. En résumé; tous les termes d^un même degré, quelle que soit leur dissemblance algébrique, varieront alors en même raison, et tous ceux de degrés différents, quelque similitude que puisse offrir leur composition, se trouveront inégalement multipliés. On voit parla que l'équation ne pourra supporter sans altération la modification proposée, que d'après une exacte parité de degré

entre tousses termes: ce qui constitue la partielaplususuellede laloid*homogénéité,encequiconcerneleséquationsalgébriques proprement dites. Quant aux équations dites transcendantes, c'est-à-dire exponentielles, logarithmiques, etc. , le même principe fondamental y fournirait d'équivalentes conditions analytiques, sous des formes variables avec la nature des fonctions, et qu'il serait superflu, surtout en ce traité, de spécifier d'avance. En considérant maintenantlesecondcas général, il peutofTrir deux modes très-distincts, selon que les diverses unités hétérogènes sont indépendantes entre elles ou subordonnées l'une à l'autre. Si elles n'ont aucune liaison nécessaire, comme il arrive, en géométrie, pour les relations à la fois linéaires et angulaires, la loi d^homogénéité conservera évidemmentle même sens fondamental, mais avec une plus grande variété de prescriptions que dans le premier cas, puisque tous les termes devront alors présenter le même degré, soit qu'on y compte uniquement les facteurs linéaires, ou seulement les facteurs angulaires, ou simultanément les deux sortes, en vertu du change^ ment correspondant de chacune ou de plusieurs de ces unités indépendantes. Mais quand, au contraire, les unités doivent, quoique hétérogènes, conserver une subordination déterminée, la loi se trouve nécessairement modifiée, en ce que Ton n'y peut plus estimer le degré de chaque terme, suivant l'usage purement algébrique, d'après la simple énumération uniforme des facteurs convenables : il faut alors apprécier ces divers facteurs, selon leurs sources respectives, en leur appliquant une certaine pondération analytique, dérivée de la liaison primitive des unités. Pour formuler cette pondération dans les équations géométriques, où peuvent coexister des longueurs, des aires, et des volumes, il suffit de reconnaître que l'enchaînement des trois unités s'y trouve nécessairement tel que, la première devenant m fois plus petite, la seconde le devient m'

fois, el Tautre m' fois. D'après cela, Phomogénéité doit alors exister en comptant chaque facteur superficiel comme deux, et chaque facteur solide comme trois, facteurs linéaires. Quoique ce mode diffère essentiellement du précédent, sa nature également déterminée le rend tout aussi propre à fournir spontanément, en géométrie, d'utiles vérifications algébriques.

Dans le cas le plus usuel, celui des relations entre lignes, il reste à comprendre comment l'homogénéité peut quelquefois cesser effectivement, ainsi que les formules trigonométriques en offrent beaucoup d'exemples. Or, cette cessation ne provient jamais, comme en trigonométrie, que d'avoir choisi pour unité l'une même des lignes à considérer, qui, dès lors exprimée par le nombre 1, ne compte plus parmi les facteurs qui participent à l'estimation du degré, d'après l'usage naturel de négliger toujours numériquement le facteur 1, soit en multiplicateur, soit en diviseur. Le degré de chaque terme qui renferme cette ligne se trouvant ainsi altéré, tandis que celui des termes où elle n'entre pas n'a point changé, on conçoit que l'homogénéité algébrique n'existera plus. Elle continuerait à subsister, si on tenait compte convenablement du facteur i ; mais alors on perdrait évidemment tout l'avantage analytique que comporte un tel choix de l'unité, toujours destiné à simplifier les formules, et il serait préférable d'adopter une unité nettement distincte des lignes en relation.

Suivant une telle appréciation, il est aisé de sentir, réciproquement, que si, en partant d'une équation ainsi altérée, on désire la rétablir dans son état primitif, il suffit, d'après la loi d'homogénéité, d'user du droit numérique d'introduire à volonté le multiplicateur ou le diviseur 1, de manière à ramener tous les termes, en comptant ces facteurs i, à tel degré commun qu'on voudra : en y remplaçant ensuite, pour plus de

clarté, ce signe 1 par une lettre indéterminée, l'équation sera

nécessairefaient revenue à la forme qu'elle aurait eue d'abord , relativement à une unité indépendante des lignes considérées. L'usage ordinaire équivaut, sans doute, à la règle précédente, mais surchargée d'un circuit très-superflu et souvent pénible, tenantàla notion trop imparfaite qu'on se forme communément de la loi d'homogénéité. En général, je ne crains pas d'assurer que toute difQculté relative, soit à la conception dé cette loi, soit à son application, sera spontanément dissipée, par tout lecteur intelligent,en remontantconvenablement jusqu'au principe fondamental qui domine l'ensemble de cette théorie^ sans qu'ilfaille ici insister davantage sur de semblables explications.

14. Après avoir sufQsamment établi la loi d'homogénéité, il faut terminer enfin. cet indispensable préambule général, en indiquant sommairement les règles élémentaires delà construction des formules algébriques, rendues préalablement homogènes, suivant le mode précédent.

La construction d'une formule consiste à remplacer les opérations numériques qu'elle prescrit, pour l'évaluation de l'inconnue correspondante, par un système équivalent d'opérations graphiques, qui, çn assemblant convenablement les lignes proportionnelles aux nombres donnés, fasse sortir de cette figure une ligne proportionnelle au nombre cherché. Il importe, dès ce moment, d'éviter de confondre cette construction des formules avec la construction des équations, qui constitue une question beaucoup plus difOcile et plus importante, laquelle serait actuellement prématurée, et se trouvera soigneusement traitée à la fin de notre étude. Dans la construction des équations, il s'agirait, en effet, de substituer des équivalents graphiques, non seulement aux évaluations numériques, mus aussi et surtout aux transformations algébriques, souvent impossibles, qu'exigerait la résolution analytique des équations correspondantes : tandis que nous regardons ici toutes les

éqaations possibles comme résolaes, et ne laissant plus à accomplir qu'une simple détermination arithmétique, que nous voulons remplacer par une détermination géométrique. Une telle substitution, quand elle n'exige pas des figures trop compliquées, doit être, sans doute^ très-convenable, en géométrie analytique, pour y faciliter et y perfectionner l'interprétation finale des résultats algébriques. Mais, envers les formules un peu composées, elle exigerait un tel assemblage de lignes que la solution s'en trouverait plutôt obscurcie qu'éclaircie : aussi se dispense-t-on souvent d'exécuter ces constructions, même quand elles seraient strictement possibles, et se borne-t-on à concevoir, en général, la ligne cherchée d'après Tévaluation numérique, accomplie ou même seulement projetée, de la formule correspondante. Néanmoins, il est indispensable de connaître les règles, d'ailleurs très-simples, de cette .opération élémentaire, sauf à en diriger toujours l'usage d'après une judicieuse appréciation des convenances de chaque cas.

15. Si, dans ces figures artificielles, on pouvait admettre indifféremment toutes les lignes, il ne saurait exister aucune formule qui ne fût évidemment susceptible d'une construction quelconque, soit avec les lignes déjà usitées, soit à l'aide de lignes nouvelles, expressément imaginées à cette seule fin, comme les anciens Tout souvent fait. Mais, suivant un antique usage, qui mérite d'être soigneusement respecté, on ne juge, d'ordinaire, pleinement satisfaisantes que les constructions où entrent seulement des lignes droites et des cercles ; aucune autre courbe n'étant, en effet, assez facile à décrire pour y devenir vraiment usuelle, excepté en quelques occasions spéciales, dont la plupart appartiennent même davantage à la construction des équations qu'à celle des formules proprement diles^ suivant nos explications ultérieures. Or, ainsi conçue, la construction des formules est nécessairement restreinte, par

cette obligation géométrique, à des cas peu variés, tous relatifs aux fonctions purement algébriques, qui même, quand elles sont irrationnelles, ne doivent pas contenir de radicaux autres que ceux du second degré ou leurs dérivés. Le point de vue général où nous place la géométrie analytique explique aussitôt une telle nécessité, dont les anciens avaient péniblement senti le poids naturel, sans pouvoir en comprendre la source rationnelle. Elle résulte, en effet, de ce que, par la nature des équations propres à la ligne droite et au cercle, comme on le verra ci-après, la combinaison de ces deux sortes de lignes ne peut jamais correspondre à d'autres fonctions que celles-là.

Conformément à une telle condition générale, examinons maintenant les modes élémentaires de construction propres aux divers cas algébriques de cette dernière espèce, et d'abord en ce qui concerne les formules rationnelles.

Quand elles sont entières, et, par conséquent, du premier

degré, leurs termes étant de la forme 2a, 5a, - a, na, - a, etc.

peuvent être aisément construits, soit immédiatement, soit par répétition, soit d'après le théorème des lignes proportionnelles : ensuite leur addition et leur soustraction se transformeront facilement en juxtaposition et superposition des longueurs correspondantes.

S'il s'agit de formules fractionnaires, et que le numérateur comme le dénominateur en soient d'abord monômes, la construction élémentaire d'une quatrième proportionnelle suffira

spontanément pour le cas le plus simple, x =» — , où l'as-

semblage convenable des lignes c, a, 6, suivant la règle connue, déterminera aussitôt la ligne x {fig, 5). Or, toute autre fraction de ce genre est réductible à celle-là, à l'aide de quantités auxiliaires, susceptibles chacune d'une semblable con-

^ abcd ab cd

' siruction. Car si a: = — ^r- , on pourra poser a? ■» — X 7- ;

dès lors, une quatrième proportionnelle permettant de substi-

tuer au premier facteur — une ligne auxiliaire e', la formule

e'cd deviendra x => -7—, avec diminution d'une unité dans le

fg

nombre des facteurs, de part et d'autre. Dès lors, la répétition convenable de cette réduction produira un nouvel abaissement de degré, et ainsi de suite, jusqu'à ce que le dénominateur soit ramené au premier degré, comme dans le cas élémentaire, sans jamais exiger d'autres constructions que celles de quatrièmes proportionnelles, en nombre total égal au degré primitif du dénominateur.

Quand le numérateur et le dénominateur sont polynômes, il

faut les rendre monômes à l'aide de certaines lignes auxiliaires,

destinées à donner à toutes les parties du numérateur les mêmes

facteurs qu'à l'une d'entre elles, sauf un seul convenablement

cboisi, et pareillement envers le dénominateur; d'après

quoi, leur composition géométrique ne dépendra finalement

que de juxtapositions ou superpositions. Soit, par exemple,

abcde + fqhik — Imnpq

X = -^ r ^-i ; on posera

rstu — noch

fghih=»abcde\lmnpq=^bcde' ' ,rstUr=Hibcd' ,noch^='abcd " ,

chacune des lignes auxiliaires e\€'\d\d'\ étant évidemment déterminable par une suite de quatrièmes proportionnelles : dès

lors, écartant les facteurs communs, on auraa;=' 'T — 37-r- ,

dont la construction ne présente plus aucune difficulté. Le

nombre total des quatrièmes proportionnelles dépendra toutàla

fois du nombre des termes et du degré de chaque polynôme^ de

manière à devenir très-considérable dans les cas un peu compliqués.

Passant maintenant aux formules irrationnelles du second

degré, on doit regarder la formule x = \/ab comme seule susceptible de construction immédiate, d'après la figure élémentaire destinée à tracer une moyenne proportionnelle ; on remplacera ainsi la multiplication et Textraction indiquées par des équivalents graphiques, d'où résultera {fig, 6) la ligne x. Or, tous les autres cas de ce genre, quelque compliqués qu'ils puissent être, sont nécessairement réductibles à celui-ci, à l'aide des deux sortes de transformations qui viennent d'être expliquées, soit quant à l'abaissement du degré dans les fractions, soit pour la composition des polynômes. Toutes les formules irrationnelles du second degré pourraient ainsi être construites finalement d'après des quatrièmes proportionnelles relativesàla fonction placée ^ous chaque radical, en les faisant suivre d'une moyenne proportionnelle relative au radical lui-même. L'emploi du théorème de Pythagore serait donc, à la rigueur, constamment évitable. Cependant son judicieux usage conduira quelquefois, pour la composition des polynômes, à des constructions plus simples.

Afin de condenser sur un seul exemple l'application des diverses règles ainsi relatives à la çonètruction élémentaire des

formules algébriques, soit à construire x =\/ ^ .

On commencera par rétablir l'homogénéité, d'où

X = \/ ~r-> ê désignant l'unité. Construisant ensuite

c — \/di

les deux radicaux partiels \/biy y/di par autant de moyennes

proportionnelles h et A, et remarquant qu'ici les termes du

numérateur ont déjà naturellement deux facteurs communs,

on aura x =\/ i X , - Dès lors, après avoir formé a-f?^

par juxtaposition etc — Ar par superposition, puis tracé unequatrième proportionnelle m\c — A^ 2, et «4- A, ^ résultera finalement d'une moyenne proportionnelle entre i et m.

J'engage les commençants à s'exercer spontanément sur d'autres exemples, sans toutefois y perdre trop de temps.