CHAPITRE IL

Principaux exemples préliminaires de la formation des équations de diverses lignes d'après leur génération^ et première ébauche de la discussion géométrique de ces équations.

16. La conception fondamentale de la géométrie analytique, quoique directement établie dans le chapitre précédent, ne serait pas suffisamment comprise, si, après cette indispensable exposition générale, nous ne consacrions pas soigneusement le chapitre actuel à rendre spécialement familière cette intime har^ monie mutuelle entre les lignes et les équations, par une convenable gradation d'exemples caractéristiques. Ils seront d'ailleurs choisis de manière à faire déjà connaître au lecteur les principales courbes auxquelles nous devrons ensuite appliquer les théories essentielles de la géométrie analytique.

Avant tout, il importe d'établir une formule élémentaire extrêmement usuelle pour déterminer la distance de deux points d'après leurs coordonnées, d'abord et surtout rectilignes^ puis même aussi polaires. Une telle considération doit naturellement être si fréquente dans la plupart des opérations de géométrie analytique, que, en la formulant ici isolément, on évitera ensuite de nombreuses et fastidieuses répétitions incidentes.

En coordonnées'rectilignes, il suffira de mener, par le point

le plus bas M' [fig. 7) , une parallèle à Taxe des x jusqu'à la rencontre N de Tordonnéè du point le plus élevé M' ', pour concevoir aussitôt la distance cherchée c? comme le troisième côté d'un triangle M' NM", dont les deux autres M" N, M'N, sont respectivement égaux aux différences, y" — y* ,x"^x\ des coordonnées correspondantes, et forment un angle N supplémentaire de celui des axes. Dès lors, si les axes sont rectangulaires, ce qui est le seul cas vraiment usuel, le théorème de Pythagore fournira aussitôt cette formule : la distance de deux points équivaut à la racine quarrée de la somme des quarrés des différences de leurs coordonnées respectives^ ou, en style

algébrique,

'd^V{y"-'y'Y + ix"^xj.

Quand les axes sont obliques, il faut évidemment, d'après la règle trigonométrique convenable, ajouter sous le radical le double produit des deux différences par le cosinus de l'angle des axes, ou 2 (y' ' — y ') {x' ' — x^ cos 6. .

Au sujet de cette formule indispensable, le lecteur devra soigneusement vérifier, mais seulement pour les axes rectangulaires, comment la loi du signe permet de condenser en une expression unique les quatre cas qui résulteraient naturellement, comme l'indique la figure, des trois autres dispositions que pourraient offrir les deux points. Puisque cette grande loi générale ne repose vraiment jusqu'ici que sur de simples vérifications spéciales, il importe de ne point les négliger dans tous les cas caractéristiques et très-usuels, quoiqu'il ne convienne pas cependant de les trop multiplier, ce qui finirait par altérer notablement l'utilité réelle d'une telle règle.

En coordonnées polaires, on voit aussitôt {fig. 8) que la distance cherchée constitue le troisième côté d'un triangle, où les deux autres côtés sont naturellement les deux rayons vecteurs u\u\ei comprennent un angle égal à la différence des

coordonnées angulaires f",(p': d'où résulte immédiatement la formule

d = v/«"^+ ti'^—'iu'W cos ((p" — <p7,

où le sens de la soustraction angulaire est évidemment indifférent, d'après la nature. des cosinus, tout comme pour les soustractions linéaires propres à la formule ^ectiligne, quoique par un autre motif analytique.

Cette double formule préliminaire étant maintenant établie, procédons d'abord à la plus simple formation des équations, soit rectilignes, soit polaires, qui conviennent aux deux seules lignes déjà [étudiées en géométrie élémentaire, et dont la discussion devra, en conséquence^ nous arrêter peu.

17. 1*' EXEMPLE. Équations de la ligne droite. Les coordonnées rectilignes doivent ètfe, par leur nature^ éminemment favorables à la recherche de Téquation générale de la ligne droite. Il suffit alors d'envisager cette ligne comme lé lieu des points dont les distances à deux axes fixes sont en raison constante, soit que ces distances se mesurent perpendiculairement ou sous toute autre inclinaison commune. Une telle propriété donne aussitôt Téquation rectiligne de toute droite passant à Torigine. Quand elle n'y passe pas, comme DD' {fig. 9), qui coupe Taxe des y en B, à la distance b de l'origine, il est aisé de ramener ce cas général au précédent, en comptant les ordonnées à partir de l'horizontale BK, ce qui revient à les diminuer toutes de b, Alqrs, pour un poiDt quelconque M de

y — b la droite, le rapport *^ est constant. En le nommant a, et

résolvant l'équation par rapport à y, l'équation générale de la

ligne droite sera

y = ar + ô,

qui coïncide évidemment avec l'équation complète du premier degré à deux variables. La constante a, égale au rapport de

MQ à BQ, dépendra de la direction de la droite, d'après Tangle a qu'elle forme avec l'axe des x. Elle sera, suivant le principe fondamental de la résolution des triangles, égale à la tangente trigonométrique de cet angle, dans le cas le plus usuel, où les axes sont rectangulaires. Mais, s'ils sont obliques, le même principe indiquera a comme exprimant, en général, le rapport des sinus des deux angles formés par la

droite avec les deux axes des x et des y, ou -t-tt r.

^ sm(ô— a)

Le lecteur devra se rendre extrêmement familière, par un exercice fréquent et varié, la signification géométrique de toutes les circonstances algébriques ift*opres à cette équation fondamentale, qui représentera successivement toutes les droites du plan, en y attribuant aux constantes arbitraires a et 6 les valeurs convenables. D'abord, le nombre, nullement accidentel, de ces constantes correspond géométriquement au nombre de points par où doit passer une droite pour que son cours entier soit déterminé. Ensuite, la loi de l'homogénéité indiquerait seule, indépendamment de la figure, que la constante b doit être linéaire et a angulaire (*)

Réciproquement, si l'on examine, en coordonnées rectilignes, abstraction faite des notions précédentes, le lieu

(*) Si a était envisagé comme linéaire, en tant qu*ane tangente trigonométrique l*est en effet, l'équation ne serait plus homogène; mais cela proviendrait évidemment d'avoir pris pour unité le rayon trigonométrique. Il faudrait alors rétablir rhomogénéité, en écrivant, suivant la règle,

On doit donc préférer habituellement de concevoir a comme une simple fonction abstraite de l'angle a; c'est pourquoi je lui al, depuis longtemps, appliqué la dénomination caractéristique de coefficient angulaire, qui commence maintenant à devenir spontanément d'un usage universel.

géométrique de Téquation générale du premier degré à deux variables, on en fera aisément surgir la ligne droite. En y dégageant y, sous la forme y ts^ax -\'h^ cette équation indique d'abord, par sa composition, une ligne illimitée à droite et à gauche, continue, et d'une seule branche; puisque toute Taleur, positive ou négative, de la variable indépendante X fournit constamment une valeur réelle, finie, et unique, pour la variable dépendante y. Mais ces caractères, évidemment trop vagues, ne sauraient constater suffisamment la nature rectiligne (*) du lieu. On dissipe rationnellement toute incertitude à cet égard en concevant l'équation sous la

forme ^ = a, qui indique les ordonnées, préalablement

diminuées de b^ par le transport de Paxe OX en BK, comme proportionnelles aux abscisses : ce qui caractérise aussitôt la ligne droite. La constante h étant la valeur de y pour a; =s o, représente doncnééessairement la distance de Torigine au point . où la droite rencontre Taxe vertical. Quant à la constante a, évidemment angulaire, elle détermine aussitôt Tangle du lieu avec Taxe horizontal, suivant la loi tang a =» a, si les axes sont rectangulaires : en les supposant obliques, on aurait

- — ess a, d'où, en dégageant trigonométriquement

sm (6 — a)

l'angle a d'après la formule qui développe sin (6 — a), il est

(*) Qaandaet6 sontspécifiésennonibres,cette appréciation finale ressortirait matériellement de la construction correcte d'un grand nombre de solutions particulières exactement évaluées : les commençants ne doivent pas dédaigner, soit pour la ligne droite, soit pour le cercle, ou môme pour quelques autres cas bien choisis, Tusage provisoire de ces vérifications grossières, qui, malgré leur évidente insuffisance mathématique, ont Theureux privilège de mieux familiariser d'abord avec le sentiment élémentaire de ' l'harmonie fondamentale entre les lignes et les équations, ainsi réduitàune simpleintuition physique, constituantle plus hautdegré possible de clarté.

aisé de déduire la loi, plus générale, mais plus compliquée,

a sin 6 1 + a cos 0

qui comprend la précédente, lorsqu'on y fait 6 «= 90*.

Si maintenant on demande Téquation générale de la ligne droite en coordonnées polaires, il est facile de sentir que la nature de ce second système est presque aussi favorable à une telle recherche que celle du premier. Car, on aurait aussitôt Téquation évidente <p «= a, pour une droite qui passerait au pôle. Or, quand elle en passe à une distance d sur Taxe 0^ [fig, 10), le caractère géométrique est toujours le môme, c'està-dire que la corde tirée d'un point quelconque M du lieu au point donné D, où ce lieu coupe l'axe, forme ici avec cet axe un angle constant», tandis qu'elle aurait, en toute autre ligne, une inclinaison variable. Seulement cette définition se formule alors plus péniblement que dans le premier cas. Mais on l'ex*^ prime aisément d'après le principe de la résolution des triangles, qui traduit immédiatement cette propriété par l'équation

polaire

(f sin a u =

sin ((p — «)*

Elle contient, comme l'équation rectiligne, deux constantes arbitraires, à raison du^ombre de points qu'exige la détermination de la ligne; on sent que cette circonstance analytique se reproduirait nécessairement en tout autre système de coordonnées. Ces deux constantes sont encore ici, Tune linéaire, l'autre angulaire ; parce que l'idée générale d'une ligne droite comprend, par sa nature, à la fois une idée de distance et une idée de direction. Quelquefois, à la constante linéaire (f, on substitue la plus courte distance p de la droite au pôle ; ce qui donne à l'équation la forme, un peu plus simple,

sin (cp — a)'

Outre rinfériopité générale du système polaire sous Taspect géométrique, on voit que Téquation de la ligne droite y est analytiquement beaucoup moins convenable, comme étant transcendante envers Tune des variables, quoique algébrique à regard de Tautre. Aussi cette équation est-elle très-peu usitée.

18. 2^ EXEMPLE. Equations du cercle. La définition élémentaire du cercle, comme lieu des points équidistants d'un point fixe, fournit aussitôt son équation, soit rectiligne, soit polaire, d'après notre formule préliminaire pour la distance de deux points quelconques. On a ainsi, en coordonnées rectilignes, et avec des axes rectangulaires, Téquation générale

ou, en développant, ordonnant et transposant,

y^ + a:» — 2 6y — 2aa;+(6^ + a2--ra) = 0^

a et 6 désignant Tabscisse et l'ordonnée du centre, r le rayon. Le nombre de ces constantes, pareillement linéaires, conformément à la loi d'homogénéité, se trouve encore ici spontanément conforme au nombre de points qu'exige la détermination d'un cercle.

Sous chacune de ces formes, et surtout sous la seconde, cette équation constitue un type extrêmement usuel pour reconnaître le cercle, dans un tel système de coordonnées, quelle que puisse ôtre sa source géométrique, conformément à Tesprit fondamental de la géométrie analytique. On reconnaît ainsi, en sens inverse, que, afin qu'une équation représente un cercle, il ne suffît pas qu'elle soit du second degré. Il faut, en outre, ces deux conditions, indispensables et suffisantes :

$4 GÉOMÉTRIE PLAUG.

i*» que le tenne où les deux variables sont mêlées y manque ; ^ que les deux autres termes du second degré y aient le même coefficient. Moyennant cette double obligation, Téquatiôn, qui ne contiendra plus que trois coefficients arbitraires, deviendra toujours exactement assimilable au type précédent ; et le développement de cette comparaison déterminera les éléments algébriques du cercle correspondant.

Quand les axes sont obliques, la formule des distances fournit aussitôt Téquation plus compliquée

{y — 6)^+ (^ — «)* + 2 (y — b) [x — a) cos 6 = r^ ou

y2-}.a;a-j-2cosO. a;y — 2{6 + ^cosô)y — 2(a + 6cosô)a: +

(6*+ a^+ ^ab cos 6 — r^) = 0.

La première des deux conditions ci-dessus formulées pour qu'une équation du second degré soit circulaire, est alors seule modifiée, sans toutefois changer de nature. Elle consiste toujours en ce que le terme en a: y doit avoir un coefficient déterminé : seulement sa valeur fixe, au lieu d'être 0, correspond mainte* nant^ en général, au double du cosinus de Tangle des axes, quand on a préalablement ramené à Tunitéle coefficient commun des deux termes en y^ eix^. Suivant cette relation, prise en sens inverse, une équation du second degré, où les deux carrés auraient des coefficients égaux, pourrait représenter un cercle, quoique les variables n'y fussent pas séparées. Mais cela n'arriverait que pour des axes dont l'inclinaison aurait un cosinus égal à la moitié du coefficient du terme où les variables sont mêlées. Sous toute autre obliquité, le lieu géométrique serait une autre courbe fermée, ultérieurement appréciée, qui naturellement devrait ainsi comprendre le cercle comme cas particulier.

En revenant aux axes rectangulaires, seuls vraiment usuels, il convient de remarquer deux formes spéciales qu'y prend Té-

qnation rectiligne du cercle. Quand le centre est sur Faxe des or, b étant nul, Téquation devient

y* +x^— 2ax + (a" — r^) =0.

Si on suppose, en outre, que le cercle passe à Torigine, on aura a=r, et le terme constant disparaîtra ; comme cela doit avoir lieu, en pareil cas, pour une courbe quelconque, afin que son équation puisse être satisfaite par les coordonnées de l'origine a: = 0, y = 0, dont la substitution n'y laisse subsister que le terme indépendant des deux variables. En ayant égard à cette nouvelle simplification, l'équation prend finalement la forme remarquable

y«=s2ra: — ar>,

dont l'interprétation géométrique se vérifie directement, puisque l'ordonnée M P {fig. il) devient ainsi une moyenne proportionnelle entre l'abscisse OP et le reste AP du diamètre 2 r, suivant une propriété bien connue du cercle.

Dans le cas où le centre serait à l'origine^ a ei b s'annuleraient à la fois, et l'équation serait alors

conformément à l'indication immédiate de la figure. Cette dernière forme est, à tous égards, la plus convenable ordinairement, lorsqu'on a le libre choix des axes.

Quant à l'équation polaire du cerple, elle est évidemment, d'après la formule des distances,

u'^ — ^au cos (?— a) + (a» — r') «=» 0,

en nommant â^ et a les coordonnées, linéaire et angulaire, du centre. Le seul cas particulier qu'il importe d'y signaler est celui où le cercle passe au pôle : alors a«=» r, et le terme indé* pendant de u disparait, ce qui doit, à priori, arriver, en pareil cas^ à toute autre équation polaire, afin que t/ = Oy satisfasse.

quel que soit 9. On peut alors abaisser toujours d'une unité le degré en u de cette équation, par la suppression du facteur commun superflu. A Tégard du cercle, si Ton fait, en outre, passer Taxe au centre, l'équation devient finalement

t/ = 2rcos9

forme très-simple, dont la vérification géométrique peut aisément se faire directement, en considérant que, d'après un théorème connu, le triangle OM A {fig. 12) est ainsi constamment rectangle.

19. 3^ EXEMPLE. Équation du lieu d'un point dont la somme ou la différence des distances à deux points fixes demeure constante. Quoique cette définition comprenne deux cas distincts, leur grande analogie analytique doit ici les faire traiter simultanément, sauf la juste appréciation de leurs différences nécessaires, soit géométriques, soit algébriques.

Discutons d'abord sommairement, autant qu'il convient à la nature du système, l'équation spontanée w ± ^ = m, entre les coordonnées primitives du point décrivant M par rapport aux deux pôles F et F' (fig. 13). U faut, avant tout, considérer que, dans un tel système, chaque solution de l'équation fournit nécessairement deux points Met M', symétriquement placés relativement àl'axe FF', d'aprèsla double intersection des deux cercles correspondants. Ainsi, toute équation relative à ce système indiquera naturellement un lieu symétrique par rapport à cet axe. En outre, l'équation actuelle ne changeant point après l'échange mutuel des deux coordonnées, il est aisé d'en conclure que la courbe sera pareillement symétrique(*), autour de la perpendiculaire GG' menée au milieu de FF'.

{*) U peut ôtre utile, pour abréger le discours, d'avertir, dès ce moment, que celte symétrie d'une courbe autour d'une droite, s'exprime

Toute discussion relative à ce système doit être soigneusement subordonnée à une .restriction élémentaire qui lui est propre, et dont ni le système rectiligne, ni le système polaire ne sauraient nullement offrir l'équivalent. Elle consiste évidemment en ce que toutes les solutions réelles de Téquation n'y sauraient être géométriquement représentées, puisque les deux cercles ne se couperaient pas si leurs rayons étaient ou trop petits ou trop différents, comparativement à Tintervalle fixe de leurs centres : en le nommante/, la figure ne pourra admettre que les solutions conformes aux deux inégalités u + t>d^ u — / <cf, ce qui constituerait d'ailleurs une grave imperfection spéciale de ce système, si sa nature ne le rendait déjà radicalement impropre à une heureuse peinture des équations. L'appréciation effective de cette double restriction pertnanente détermine, en chaque cas, les limites finales enlre lesquelles doivent être comprises les valeurs admissibles des deux coordonnées.

Après ces notions générales, que j'appliquerai désormais sans les reproduire, examinons d'abord Téquation u-{-tz=m. Ici, la condition u-i-txi^ sera spontanément satisfaite, à moins que m n'eût été pris inférieur à d, ce qui constituerait une définition contradictoire.On doit donc seulement considérer la restriction u — / <rf, qui, en y rapportant w à ^, assigne

r (m — d) pour limite inférieure de ^, et, par suite^ 0 (^^ "H ^

pour limite supérieure de u. En vertu de la symétrie algébrique, chacune de ces limites convient aussi à l'autre coordonnée. Comme, entre ces limites, toutes les solutions seront évidemment admissibles, la courbe sera certainement fermée et continue. Les points N et N', où elle coupera l'axe 66', et dont

songent en nommant la droite axe géométrique, ou axe de figure, on même simplement axe de la courbe.

58 GÊOMÉTRIB PLANE.

les coordoonées seront toutes deux égales à - /n, se trouveront

nécessairement les plus éloignés de Taxe FF'. Quant aux points À et A', où elle rencontrera ce dernier axe, ils seront, Tun le plus près, l'autre le plus loin, de chacun des pôles F et F'. En lui attribuant, suivant une règle logique (*) qu'il importe de se rendre déjà familière, la figure la plus simple qui puisse satisfaire à Tensemble des renseignements obtenus, on aura la courbe ANA'N', sauf confirmation ou infirmation ultérieure : elle porte habituellement le nom d'ellipse.

Quant à Téquation u — ^<b m, dont le lieu se nomme hyperbole^ la condition u-^t<ds'y trouvera, au contraire, spontanément satisfaite, à moins de contradiction entre les données. C'est donc de la restriction m + / > rf que proviendront ici les limites de u et de /,lesquelles, par conséquent, seront seu-

lement inférieures. Leurs valeurs - {d — m), - (d+ ^)» déter-

mineront les points A, A', où la courbe rencontrera Taxe FF', et qui seront alors placés entre les deux pôles F, F' {fiff, 14). Au-dessus de ces limites, les deux variables pouvant croître indéfiniment et à la fois, la courbe sera nécessairement illimitée,

(*) Cette maxime, directement conforme au véritable esprit philosophique, est fort importante pour la discussion géométrique des équations, où il cohvient de former, aussitôt que les documents analytiques le permettent, une première hypothèse sur ia figure générale du lieu correspondant, afin d'accélérer sa détermination rigoureuse, en dirigeantplus nettement les comparaisons ultérieures; pourvu toutefois que l'on se tienne toujours disposé à modifier cette supposition initiale autant que le progrès de ia discussion pourra l'exiger, jusqu*à ce qu'il ne reste plus aucune incertitude réelle sur la figure finale. Lors même que celle-ci devra être beaucoup plus compliquée que celle supposée d'abord, la simplicité de l'hypothèse provisoire n'en sera pas moms propre à mieux conduire Tensemble de la discussion ; tant que les motifs de complication n'auront pas été suffisamment dévoilés, il serait peu judicieux d'introduire une autre figure, dût-elle être accidentellement plus rapprochée de la véritable.

en tous sens, adroite de A et à gauche de À'. Mais elle ne pourra pas couper son second axe G6', u ne pouvant jamais devenir égal à ^ : et, afin que ces variables puissent conserver entre elles la différence constante m, il est clair aussi que le lieu ne rencontrera pas non plus les parallèles à cet axe qui s'en écarteraient trop peu, jusqu'à une distance qu'il serait superflu de fixer ici, et que l'équation rectiligne indiquera spontanément. En même temps qu'indéfinie, cette courbe sera donc discontinue^ de manière à contraster totalement avec la forme propre au premier cas.

Pour procéder maintenant à la formation de l'équation rectiligne, il suffit évidemment d'employer notre formule préliminaire des distances, qui remplaceraaussitôtles coordonnées primitivespar les coordonnées définitives, à quelques axes qu'on veuille rapporter l'une ou l'autre courbe. C'est ici le lieu de remarquer que l'ébauche de discussion qui vient de résulter de l'équation naturelle indique d'avance les axes les plus propres à simplifier l'équation cherchée, d'après l'influence analytique de la double symétrie du lieu autour des droites FF' et GG'. Si, en effets on les prend pour axes, cette propriété géométrique obligera l'équation à supporter sans altération le changement de signe de y quant à la première, ou de x quanta la seconde : ce qui exige évidemment Tabsence des puissances impaires de la variable correspondante ; tandis que, envers des axes diiigés au hasard, lesexposants impairs se seraient mêlés aux pairs. On a donc déjà la certitude d'obtenir, avec de tels axes, une importante simplification de l'équation demandée. G'est^ autant que possible, en vue d'une semblable réduction permanente que les axes doivent être, en général, choisis, et non d'après les motifs secondaires relatifs à l'abréviation passagère des calculs qu'exige la formation de l'équation; ou, du moins, ces derniers ne doivent être pris, à cet égard, en con-

sidération décisive que seulement à défaut des autres, qui, en effet, ne sont pas toujours sufQsamment sensibles.

En exécutant, envers ces axes FF' et GG' (fig. 13 et 14), d*après la formule des distances, le passage des coordonnées primitives aux coordonnées définitives, on obtient Téquation rectiligne

qui, par la suppression des radicaux, suivant le mode ordinaire, sans aucun vain artifice algébrique, dévient enfin

Les deux courbes y paraissent confondues, puisque la disparition des radicaux semble avoir ôté toute trace de la distinction des deux cas. Mais, au fond^ malgré leur inévitable analogie analytique, la différence des deux définitions est tout aussi marquée dans' cette équation rectiligne que dans Téquation naturelle. Car nous avons déjà reconnu que, pour Tellipse, m surpasse nécessairement rf, tandis que Tinversealieu pour Thyperbole. Ainsi, le coefficient de x^ passe du positif au négatif, en substituant la seconde définitionà la première. 11 est aisé de reconnaître qu'un tel changement, parfaitement semblable à celui qu'éprouve alors Téquation naturelle, représente fidèlement le contraste géométrique des deux courbes.

En effet s'il s'agit de l'ellipse, on aura ainsi

Or, le facteur constant sous le radical étant positif, y ne sera

réel qu'autant que le facteur variable conservera ce même si-

gne, ce qui exige que x ne surpasse pas ~ m, & droite ou à

gauche ; en sorte que la courbe est horizontalement comprise en- Ire ce et DD' {fig, 13). Comme y varie d'ailleurs en sens inverse de a:, il est clair que les points N, N' où la courbe coupera Taxe des y seront les plus éloignés de Taxe des x, à la

hauteur-\/ nû-^d^. L'ellipse sera donc renfermée dans le rectangle CDD'C, et du reste continue entre ces limites, puisque les valeurs dey et de a: pourront diminuer autant qu'on voudra. Dans le cas de Thyperbole, il conviendra d'écrire

afin que le facteur constant soit positif, ce qui, obligeant

l'autre à l'être aussi, assignera à a: la limite inférieure - m,

sans aucune limite supérieure: y croîtra dès lors avec x. Ainsi, ^ la ^courbe, discontinue entre les verticales CD, CD' {fig. 14), sera d'ailleurs indéfinie au delàde chacune d'elles, dans le sens des deux axes à la fois.

On voit comment l'équation rectiligne confirme et perfectionne les indications déjà fournies par l'équation naturelle sur la figure générale de ces deux courbes. Mais elle est surtout propre à compléter une telle détermination, en dissipant l'incertitude qui nous reste encore au sujet du sens effectif de la courbure. Rien jusqu'ici ne décide, en effet, si les quatre parties égales dont l'ellipse est composée sont, suivantnotre hypothèse, concaves vers Taxe des ar, ou convexes, ou même tortueuses. Les documents déjà recueillis pourraient convenir également à ces diverses figures, et pareillement pour l'hyperbole. A la vérité, une considération préjudicielle tirée du degré de l'équation rectiligne trancherait spécialement cette difficulté, en indiquant que le lieu actuel ne saurait être coupé

•*iS

lit

6â GÉOMÉTRIE PLANE,

en plus de deux points par aucune droite : car, Téiiuation delà ligne droite étant toujours du premier degré, sa combinaison avec celle d'une courbe quelconque fournira nécessûrement^ en général, pour les abscisses des points communs, une équation de même degré que celle-ci ; ce qui indiquera une limite supérieure, mais souvent trop grande, comme on le reconnaîtra bientôt, du nombre d'intersections. Une telle notion dissiperait ici toute incertitude, en excluant évidemment toute autre figure que celle déjà supposée. Mais il serait peu confirme à Tesprit éminemment général de la géométrie analytique, d'éluder ainsi la difficulté actuelle d'après une considération spéciale, qui deviendrait presque toujours insuffisante envers d'autres courbes, quoiqu'il convienne, au reste, de l'utiliser dans les cas qui le comportent. Nous devons donc, pour caractériser déjà la discussion géométrique des équations, écarter ce document accidentel, et décider laquestionproposée par une méthode plus ou moins applicable à une courbe quelconque, malgré qu'elle ne puisse guère être maintenant aussi simple que les moyensultérieurement résultés d'une étude plus approfondie.

Afin de transformer ces considérations géométriques purement relatives à la forme en de simples considérations de grandeur, seules directement accessibles aux comparaisons analytiques, il faut ici, comme à tout autre égard, faire intervenir les considérations de position, toujours ' naturellement destinées à ménager de telles transitions. Il suffit de remarquer, en effet, que, si le quart d'ellipse AMN [fig, 13) est concave vers l'origine, il sera placé au-dessus de sa corde AN, tandis que, s'il doit être convexe, il se trouvera, au contraire, audessous: et enfin, alternativement d'un côté etderautre,encas de sinuosité. Or, cette distinction du dessus au dessous devient gisement réductible à de simples idées de grandeur, en compa-

rant, à abscisse égale, Tordonnée MP ou ^ de la . courbe avec Tordonnée KP oujs delà corde; la question proposée reviendra finalement à discerner laquelle de ces deux variables surpasse l'autre. En calculant z d'après les deux triangles semblables APK et AON, on trouve

d'où