y::V/x--im»(|:=i^):V/x«-^m

Or, en simplifiant ce rapport autant que possible, on reconnaîtra facilement que y surpasse z tant que x reste moindre que x\ tandis que ce serait l'inverse pour x > x\ ce qui constitue une double confirmation décisive du sens d*abord supposé à la courbure de Thyperbole.

A regard d'une courbe quelconque, fermée ou indéfinie, la méthode précédente pourra toujours, sous Tun ou l'autre de ses deux modes, dissiper irrévocablement une pareille incertitude. Mais, quoique le principe en soit, sans doute, pleinement général, l'exécution en devient souvent impraticable envers les équationsunpeucompliquées;cequiferabientôtsentir le prix des procédés plus perfectionnés que nous trouverons ensuite. On ne doit pas moins hautement apprécier déjà cette remarquable transformation d'une question de forme en une pure question de grandeur.

20. 4** EXEMPLE. Équation du lieu d'un point toujours équidistant d^un point fixe et d'une droite fixe. Cette courbe, appelée parabole^ compose, avec les deux précédentes, le genre de figures si célèbre, depuis les Grecs^ sous le nom de sections coniques^ et qui constituera, dans la dernière partie de notre étude, la principale spécialisation des théories générales delà géométrie plane.

L'équation naturelle, moitié polaire, moitié rectiligne, est ici t/ = /, entre les distances variables du point décrivant au pôle Fetàl'axeBC (fig, 15). D'après la nature d'un telsystème où chaque point est déterminé par la rencontre d'un cercle ayant toujours son centre en F avec une droite MM' toujours parallèle àBC, toute équation y représentera nécessairement un lieu symétrique autour de la perpendiculaire DL menée de

F sur BC. En outre, cette intersection n*étant pas constamment possible, ce système impose aussi, comme le précédent, des conditions restrictives, puisque le rayon variable de ce cercle doit surpasser la distance variable de son centre à cette droite. Afin de mieux apprécier Tinfluence actuelle de cette obligation générale, il faut d'abord remarquer que, d'après Téquation tt = ^, elle sera toujours satisfaite à droite du point F^ et ne pourra jamais Tètre à gauche de BG, ou même du milieu A de FD, qui constituera donc la limite de notre courbe à gauche de F. Mais, à partir de ce point A, la parabole s'étendra indéfiniment vers la droite, en s'éloignant également de F et de BC, sans aucune discontinuité, puisque la condition de rencontre sera dès lors spontanément remplie.

D'après cette discussion préliminaire, il convient, évidemment, en passant à Téquation rectiligne, de prendre la droite DL pour l'un des axes rectangulaires, en vertu de la symétrie déjà appréciée analytiquement au numéro précédent. Quant au second axe, il n'existe pas de semblable motif, et les documents les plus immédiats ne semblent d'abord indiquer aucun point de DL comme une origine spécialement susceptible de simplifier l'équation cherchée. En faisant donc ce choix, d'ailleurs peu important, d'après des considérations de moindre poids, relatives à la'seule formation de cette équation, nous prendrons la droite BC elle-même pour Taxe des y. Le passage du système primitif au système définitif devient ainsi très-facile, puisque l'une des coordonnées naturelles/ est conservée, avec un simple changement de nom, et que l'autre u s'exprime aussitôt en coordonnées rectilignes, suivant la formule des distances. On obtient ainsi l'équation rectiligne

ou d désigne l'intervalle FD du point fixe à la droite fixe. D

66 GÉOUÉTRIE PLANE.

est aisé de constater que la discussion générale de cette équation, où la variable x ne peut jamais être négative ni inférieure

à - 6f, mais sans être assujettie àaucune autre condition,conQrme z

exactementles indications géométriques deréquationnaturelle. En outre, son degré seul suffirait, comme au numéro précédent^ pour démontrer spécialement la concavité constante de la courbe vers son axe AL. Mais on peut aussi décider aisément cette question d*aprës la méthode générale déjà appliquée à l'ellipse et à l'hyperbole. Car, en considérant la corde indéterminée AM,j[lont Textrémité M aurait une abscisse arbitraire x\ son ordonnée KP ou z, correspondante aune abscisse quelconque X moindre que x\ se calculera facilement à Taide des triangles semblables AKP, AMH, d'où il résultera

y:z:: \/ 2dx - cP : '^^—^^V px' — (P.

Or, il s'ensuit évidemment, en simpliOant le rapport, que y surpassera z tant que x restera inférieur à j:', et au contraire en sens inverse : ce qui démontre pleinement la justesse de notre figure.

Au sujet de cette équation, on peut remarquer, en l'écrivant sous la forme

y^=^d(x^^-dy

que le binôme x — - d y deviendrait monôme si on transportait

l'origine en A. D'après un tel choix, l'équation devient finalement ';' y^ = "idx

qui constitue nécessairement l'étatle plusconvenabledel'équa- , tiondelaparabole.Cemotif de préférence eût été facile à pré-

& voir, en considérant que, l'origine A étant sur la courbe, Té-

lion naturelle 7^ = ;;, entre les distances variables du point

quation y doit perdre son terme constant, suivant une remarque déjà signalée ; mais j'ai cru devoir, pour les commençants, écarter d'abord cette réfIeidon,comme trop minutieuse eu égard à sa faible importance.

Quoique la forme générale de la parabole doive sembler ici fort analogue à celle d'une demi-hyperbole, je dois pourtant avertir ici que Ton découvrira bientôt, entre ces deux figures, des différences d'aspect très-appréciables en tout tracé judicieux, même grossier.

21. 5* EXEMPLE. Ëquationdulieu d'un point également éclairé par deux lumières donnéesy dont la clarté décrott inversement au carré de la distance. Si a et fr désignent les intensités .connues des deux lumières, cette définition fournit aussitôt Téqua-

décrivant M au deux foyers lumineux A et B [fig, 16). Il en

résulte u «= m/, en nommant m le rapport constant y - . Les

conditions restrictives propres à ce système \f)oy. le n» 19) assi-

gnent à t les limites, supérieure et inférieure, ; et — r—

d'où résultent celles de u, et entre lesquelles toutes les valeurs

sont évidemment admissibles. Ainsi, la courbe est fermée et

continue, d'ailleurs symétrique autour de AB, par la nature

du système.

En prenant cette droite pour axe des a;, d'après les motifs déjà appréciés, et plaçant l'origine en A, sans prétendre que cette position soit la plus propre à simplifier Téquation rectiligne, on trouve aussitôt

(a — 6) y» + (a — b) x* — Sadir + ad^ =» 0.

A l'inspection d'une telle équation^ on reconnaît immédiatement le cercle, d'après le double caractère établi au n* 18.

d e^ i~p= T^ et par suite, a = r 1 /- ; ce qui permettrait,

En achevant de la comparer au type correspondant, on voit que le centre est sur Taxe des x, comme la symétrie Texigeait,

à une distance « =» 7; le rayon r «s ^ V^ ab. On peut dès

lors constater aisémentque la plus faible des deux lumières est toujours intérieure au cercle, et la plus forte toujours extérieure. Je.crois devoir faire ici remarquer, en sens inverse,que deux lumières quelconques pourraient être constamment placées. Tune en dedans, ]*autre au dehors, d'un cercle donné au hasard, de manière à Téclairer également ; car,de ces formules, on déduirait, réciproquement, si r était connu, d'abord a — b

yâb

quel que fût r, de poser les deux lumières conformément à la condition proposée.

Dans le cas de a «=36^ les valeurs de a et de r deviendraient infinies ; ce qui, au fond, indiquerait la disconvenance spéciale du type adopté. Si, en effet, on remonte alors àTéquation du lieu, on y voit disparaître les termes du second degré, et la ligne change réellement de nature, suivant Téquation du premier degré — âarfa: + acP = 0, ou ar = ^ rf, qui indique la droite CD, équidistante des deux lumières, comme le cas l'exigeait.

Quoique cette question nous offre un premier exemple intéressant des ressources générales que fournissent nécessairement les équations pour reconnaître les courbes malgré la diversité de leurs définitions, il convient pourtant de remarquer ici que Tétude spéciale de la définition actuelle aurait aisément permis de discerner la vraie nature du lieu. Car, en marquant, sur l'axe AB, les deux points F et F', où il doit couper la courbe cherchée, et considérant que la propriété donnée se réduit, en écartant toute circonstance physique, à la proportionnalité

^vàii

coastante des distances variables MA et MB^ on aurait les deux

proportions

MA : MB : : FA : FB,

MA:MB::F'A:F'B,

qui, d'après un théorème connu, conduisent à envisager les deux droites MF, MF' comme les bissectrices continues des deux angles supplémentaires AMB, NMB ; d'où il résulte que l'angle FMF' est constamment droit, ce qui fait aussitôt reconnaître le cercle, en indiquant d'ailleurs sa plus simple construction.

Le cercle précédent convenant indistinctement à tous les plans menés par les deux points lumineux, sans jamais changer de centre ni de rayon, il peut être utile de noter enfin que, si on demandait, en général, le lieu de tous les points de l'espace qui seraient également éclairés, on trouverait aussitôt une surface sphérique, ayant le même centre et le même rayon que notre lieu plan. Dès lors, l'intersection de cette sphère par un plan quelconque, ou par toute autre surface donnée, déterminerait la courbe d'égale clarté sur la surface correspondante, de manière à résoudre la question proposée dans toutes les variétés qu'elle comporte.

22. 6^ Exemple. Équation au Heu d'un point dont le produit des distances à deux points fixes demeure constant. Dans le système naturel, identique à celui'des n<*» 19 et 21 , l'équation est ut^=^m^. La nature du système indique, comme en tout autre cas, un lieu symétrique autour de la droite qui joint les deux pôles A etB {/îgr. 17). En outre, l'équation ne changeant point par réchange mutuel des variables, la courbe doit être pareillement symétrique autour de la perpendiculaire CD au milieu de AB. On conçoit aussi que les restrictions propres à ce système indiquent ici une courbe fermée, en assujettissant chaque variable àdeux limites déterminées, dontl'exacte appréciation ressortira

toutefois beaucoup plus nettement de Téquation rectiligne.La forme la plus simple qui puisse correspondre à rensemble de ces premiers renseignements offre une grossière ressemblance avec Tellipse, au point d^avoir été même systématiquement prise pour elle dans une célèbre aberration astronomique.

En passant au système rectiligne, d*après les axes AB et CD, dont la supériorité analytique est déjà motivée, on trouve aisément, par la formule des distances, Téquation

où d désigne la demi-distance des deux points fixes. Quoique du quatrième degré, cette équation peut être facilement résolue, et donne la formule

dont la discussion, plus compliquée qu'en aucun cas antérieur, constitue la seule difficulté et le principal intéi*êt d'un tel exemple : j'y ai d'ailleurs écarté le second signe du radical partiel, comme ne pouvant jamais fournir d'ordonnées réelles.

11 est d'abord aisé de sentir que la portion négative de la fonction placée sous le radical général finira par l'emporter de plus en plussm* l'autre, à partir d'uneabscisse suffisamment grande, pour laquelle, le terme constant de chacune d'elles devenant sensiblement négligeable vis-à-vis du .terme variable, la première tend à varier proportionnellement à x^ et la seconde à X seulement. La courbe est donctoujours bornée dansle sens horizontal, et par suite aussi dans le sens vertical, l'accroissement de y étant subordonné à celui de x. Pour trouver la limite supérieure de Xy il faut égaler les deux parties opposées de la formule, ce qui déterminera, de chaque côté, l'intersection, K ou K' , de la courbe avec son axe horizontal^ d'après l'équation

Hais, cette équation étant du quatrième degré, sa résolution

fournit, outre le couple cherché a?' = db \/rri? + ^*i 9^^ ^^ présente aucune difficulté et ne comporte aucune distinction,

un second couple ar" =±: y/cP — /w^, jusqu'alors entièrement imprévu, et dontrappréciation indique aussitôt que la courbe ne saurait offrir toujours la même forme suivant les diverses relations de m à e/. Car, si m surpasse cf, ce couple devra être rejeté comme imaginaire, et la fonction sous le radical général, ne pouvant s'annuler qu'une seule fois pour x positif, l'ordonnée sera constamment réelle depuis a: <= 0, qui donne, en

effet, y = ±: \/m^ — rf*, jusqu'à la limite supérieure de a:, conformément à la figure 17. Mais, quand, au contraire, m est inférieur à d^ cette fonction, s'annulant deux fois de chaque côté, ne peut être positive que dans l'intervalle entre a:'et x'\ en sorte que le lieu^ qui coupe alors quatre fois son axe horizontal, et ne rencontre plus son axe vertical, devient discontinu, et se compose nécessairement de deux ovales égales et séparées (^^. t8),sans rien préj uger d'ailleurs sur les formes précises.Entre ces deux cas nettement tranchés,se place naturellement l'hypothèse moyenne m := rf, qui, suivant une règle logique universelle, aussi importante que méconnue, ne doit être conçue que d'après les deux extrêmes qu'elle doit lier, et surtout ici d'après le second, en y supposant diminué graduellement l'excès de d sur m ; l'écartemenl des deux ovales décroît simultanément,ét, à la limite, elles deviennent enfin contiguës (fig, 19j. Telles sont les trois formes distinctes que comporte le lieu actuel : le centre 0 de la courbe s'y trouve placé tantôt en dedans, tantôt en dehors, ou enfin sur sa circonférence.

Dans les deux derniers cas, la considération du degré suffirait à démontrer spécialement que le sens de la courbure est conforme à nos suppositions, sans lesquelles le lieu pourrait offrir plus de quatre points en ligne droite. Mais ce motif de*

viendrait insuffisant pour le premier cas, où le degré ne serait pas incompatible avec une forme inverse du quart de courbe KL. Quoique l'analogie analytique doive alors . nalurellement disposer à y étendre la disposition reconnue envers les deux autres, cette présomption légitime n'y saurait dispenser d'une rigoureuse appréciation. En y appliquant la méthode générale qui nous a jusqu'ici réussi facilement, on confirmera la figure supposée, mais avec des embarras algébriques tenant à la complication de l'équation actuelle, et très propres à faire déjà sentir le besoin de moyens plus perfectionnés.

Afin que l'image de ces trois courbes soit, dès ce moment, aussi nette que possible, je crois devoir indiquer ici, à leur égard, par une utile anticipation, une propriété qui en éclaircira beaucoup la notion, quoique la démonstration en doive être renvoyée à la géométrie à trois dimensions. Elle consiste à envisager ces courbes comme les diverses sections planes d'un tore^ surface facile à concevoir, et fréquemment employée, d'après sa génération par un cercle tournant autour d'un axe extérieur. . Si le plan coupant, contenant d'abord l'axe, s'en éloigne parallèlement, il déterminera, en premier lieu, la section tracée fig. 18, jusqu'à ce qu'il vienne à toucher la partie inférieure du tore, ce qui donnera la courbe fig, 19, après quoi la section, devenant continue, prendra la forme indiquée fig. 17. Ces trois- courbes pourront donc être commodément qualifiées de sections torigues.

23. 7* EXEMPLE. Equation du lieu d'un point dont les distances à un point fixe et d une droite fixe sont toujours propor^ tionnelles. Quand le rapport constant n est l'unité, cette définition coïncide avec celle du n* 20, en sorte que la parabole doit ici constituer un cas particulier, sur lequel il serait superflu d'insister.

L'équation spontanée u =» n/, entre les distances varia-

bles MF et MQ {fig. 20), indiquera d*abord, comme au n* 20, par la nature du système, un lieu toujours symétrique autour de la perpendiculaire FD menée du point fixe F à la droite fixe BG. Pour avoir convenablement égard aux conditions restrictives, considérons d'abord les valeurs de t supérieures à (f, qui correspondent à des parallèles telles que MM' à droite de F : alors leur distance au centre F des cercles de construction étant / — rf, la condition d'intersection t — d<Uy déjà indistinctement satisfaite, quelque grand que soit ^, si le rapport donné n est égal à Tunité, le sera, à plus forte raison, pour n > 1. Mais, si n est inférieur à i, cette inégalité assignera, au contraire, à t une limite supérieure r , qui map-

quera, sur Taxe du lieu, le point A' le plus éloigné de F et de BC. Dans ce cas, la courbe sera donc limitée à droite de F. Entre ce point et BC, la distance de la parallèle au centre devient d — ^, et la condition de rencontre, d — ^ < w, in-

dique pour t une limite inférieure j^-- , évidemment commune à toutes les hypothèses, et qui déterminera en A Tintersection nécessaire du lieu proposé, quel qu^en soit la forme, avec son axe naturel FD. Enfin, de l'autre côté de BC, la courbe, qui ne pourrait y pénétrer si n était égal à i, en sera encore plus évidemment exclue pour n < 1 ; mais elle pourra s'y étendre, et même indéfiniment, dans le cas de n > 1, qui, jusqu'alors confondu avec celui de la parabole^ commence ainsi à s'en distinguer nettement. Afin de mieux apprécier cette diversité, considérons une de ces dernières parallèles NN' : sa distance au centre des cercles sera exprimée par / 4* (/, et la condition d'intersection t -{-d <u imposera, à ce genre de

valeurs de ^, la limite inférieure — ; , correspondante à une

seconde rencontre A" du lieu avec son axe, et à partir de

laquelle la courbe, interrompue enlre  et A " , s'éloignera à l'infini.

D'après l'ensemble de cette discussion préliminaire, la définition actuelle comprend donc, comme la précédente, trois

courbes nettement distinctes : d'abord, pour n sa i, la parabole, limitée ii gauche de F et illimitée à droite ; ensuite pourn < i, une courbe fermée et continue, commençant en A et finissant en A' ; enfiU; pour n > i, une courbe illimimitée et discontinue, dont les deux parties s'étendront indéfiniment, Tune à droite de A, l'autre h gauche de A " .

Le passage à l'équation rectiligne ne présente pas plus de difficulté ici qu'au n^ 20. En adoptant, par les mêmes motifs, les mêmes axes FD et 6C, on aura Téquation

Sa discussion ne ferait que confirmer la distinction ci-dessus établie. Mais, en écartant le cas de n =» i, déjà examiné, son appréciation peut nous offrir un nouvel intérêt,comme exemple très remarquable de reconnaissance analytique d'une courbe. En effet, outre que les cas de n < 1 et n > i nous ont indiqué des figures générales évidemment analogues à celles des courbes du même degré considérées au n*^ 19 sous les noms d'ellipse et d'hyperbole, la comparaison algébrique des équations correspondantes vient constater l'équivalence fondamentale des définitions qui les ont fournies, malgré leur grande diversité géométrique. Car, l'équation trouvée au n^ 19 étant écrite sous la forme

sa confrontation avec la précédente montre qu'elles ne diffèrent essentiellement que par la présence dans celle-ci d'un terme du premier degré en â? qui manque à l'autre. Or, comme nous

savons, en principe, que Téquation d'une ligne peut changer par suite de son simple déplacement, sans aucune variation de forme ou de grandeur, il reste à décider si une telle diversité algébrique ne proviendrait pas uniquement d'une différence de situation des axes envers la courbe commune. Cette différence ne saurait porter sur Taxe des x^ autour duquel le lieu est dans les deux cas, pareillement symétrique : mais Tautre axe ne présente point la même parité ; puisque la symétrie qui existe aussi autour de lui d*après la seconde équation est certainement incompatible avec la première.Ufaut donc examiner finalement si celle-ci ne pourrait pas perdre son terme distinctif — ^dx en déplaçant convenablement Torigine le long de FD. Un tel déplacement équivaudra algébriquement à y changer x en x' -|- A, si A désigne l'avancement indéterminé de l'origine actuelle D dans le sens DA'. En opérant cette transformation, il est aisé de voir que les deux termes du premier degré en x' se détruiront mutuellement, pourvu qu'on

prenne h = -j, ce qui place cette nouvelle origine à droite

ou à gauche de BC, selon que n est inférieur ou supérieur à i, en 0 ou 0 \ toujours au milieu de AA' ou de AA" . L'équation ainsi modifiée

devient rigoureusement assimilable à celle du n^ 19, comme ayant évidemment la même forme, et offrant d'ailleurs une équivalente généralité, puisqu'elle contient un pareil nombre de constantes arbitraires. On ne peut donc plus douter de l'identité des lieux, et, en achevant la confrontation algébrique, de manière à passer indifféremment d'un système de constantes à l'autre, on établira, entre ces deux définitions, une exacte transition mutuelle, soit que Ton prenne

<f nfi — d'^

ou en sens inverse, ;

2rfn , -, 2n«rf • '^^ - , et a = ; r.

Le mode de distinction entre TelUpse et Fliyperbole qui, au n^ 19, consistait en m> (/' ou m < rf',est ici maintenu,sous une forme évidemment équivalente, en supposant n < 1 ou n> i.

Pour utiliser autant que possible ce rapprochement remarquable, il convient de le poursuivre, en particulier, jusqu'à décider si le point fixe de la définition actuelle coïncide avec Tun de ceux relatifs à Tancienne. Or, il suffit, à cet effet, de les rapporter tous à ime origine qui doive être nécessairement commune aux deux systèmes, telle que le centre 0, où se croisent les axes géométriques du lieu, droites dont Tidentité ne saurait être douteuse. La difficulté se réduit donc à comparer OF ou A — d avec -s ^' ; ce qui démontre pleinement la coïncidence des deux sortes de points fixes. Dès lors, la duplicité propre à celui du n** 19 se trouve devoir aussi convenir au point actuel, et, par suite, à la droite correspondante ; comme l'indiquait d'ailleurs la symétrie du lieu autour du second axe GG' mené du centre 0.

Cet exemple de comparaison algébrique entre deux définitions a plus d'importance que celui du n^ 21 relatif au cercle, soit par la difficulté beaucoup plus grande de saisir géométriquement l'équivalence des deux générations, soitd'aprèsla modification algébrique qu'il a fallu apporter à l'une des équations avant de les assimiler, suivant une marche qui sera bientôt systématisée.

La nature, moitié rectiligne, moitié polaire, du système de coordonnées inhérent à cette définition, y rend le passage à l'équation polaire tout aussi facile que la formation de l'équa-

tion rectiligne. Comme cette équation polaire des trois sections

coniques est utile à connaître, je crois devoir la déduire ici de

Téquation naturelle u ^^nt, en plaçant le pôle au point fixe F

et comptant les angles à partir de FA'. L'une des coordonnées

primitives u est alors conservée : "quant à l'autre /, il suffit de

la concevoir en DP pour reconnaître aussitôt qu'elle équivaut

kd-^ u cos(f;ce qm conduit finalement à Téquatioû polaire.

nd

1 — n cos f

Elle indiquera un lieu illimité ou fermé, selon que la valeur

de w y pourra ou non devenir infinie, ce qui exige cos ç = - ;

hypothèse inadmissible pour n < i , mais acceptable en tout autre cas, conformément à la distinction déjà établie.

24. 8« Exemple. Equation de la conehoîde. On appelle ainsi, depuis les Grecs, le lieu d'un point dont la distance à une droite fixe BC demeure constante, en l'estimant selon des rayons convergents vers un point fixe A (/îg. 21). Son équation naturelle est donc MN ou z =» c. Elle indique d'abord que la courbe est évidemmentsymétriqueautourdelaperpendiculaire KK' menée du point fixe à la droite fixe. Nous voyons ensuite que la plus courte distance MP du point décrivant M ou M ' à la droite BC devra s^ns cesse diminuer,d'après l'invariabilité del'hypoténuse MN, à^ mesure que l'angle N deviendra plus aigu, et proportionnellement à son sinus, qui équivaudrait toujours à MP si la constante c était prise pour rayon trigonométrique. Ainsi, d'une part, le maximum de MP devant se trouver en K et K' sur l'axe AO, les deux branches, supérieure et inférieure, .de la courbe serontconstamment renfermées entre les horizontales correspondantes. D'une autre part, et c'est icila plusremarquable singularité d'une telle définition, chacune de ces branches, dans son cours horizontal indéfini, se rapprochera continuelle-