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ment de BC,à tel degré qu'on voudra, mais sans pouvoir cependant Tatteindre jamais, car MP ne saurait s'annuler rigoureusement, quelque aigu que devienne Tangle N ; en sorte que BG ne pourra être censé rencontrer la courbe qu'à Tinfini. Cette nouvelle relation géométrique", d'après l'aquelle la droite est ordinairement qualifiée ^asymptote de la courbe, nous fournira bientôt le sujet d'une importante théorie générale, comme très propre à mieux caractériser la forme des lignes qui en sont susceptibles. On sent, en effet, dès ce moment, que toute courbe doit finir par être convexe vers son asymptote, sans quoi elle la couperait nécessairement.

Cette discussion préliminaire indique aussitôt les axes rectangulaires les plus favorables à la simplification de Téquation rectiligne. Un motif de symétrie, dont l'appréciation algébrique nous est déjà familière, conduit d'abord à prendre AKK' pour l'un des axes. Quant à l'autre, l'asymptotisme de BC ne saurait permettre aucune hésitation. Sans doute, l'influence algébrique de cette nouvelle relation géométrique n'est ni aussi facile à prévoir ni même aussi considérable que celle de la première. Mais on conçoit pourtant, sauf à mieux préciser ultérieurement un tel apperçu, que, en prenant cette asymptote BC pour axe des or, l'équation, devant ainsi donner x^=»(x> pour y = 0, devra manquer, à cet effet, ou de tous les termes en x seul, ou, au moins, de ceux du plus haut degré ; de manière à devenir nécessairement plus simple qu'avec un axe quelconque.

D'après ce choix des axes, le passage de l'équation naturelle à l'équation rectiligne résulte aussitôt de la comparaison des triangles AON et MPN, qui conduit, en nommant d la distance AO, seconde donnée de la définition, à l'équation

(^ue la suppression du radical élèverait au quatrième degré. On

voit que, selon nos doubles prévisions, x n'y entre point à des puissances impaires ni séparé de y. En y dégageant x, sous la forme.

arc=±:i-— 1) v/c»— y«.

on retrouve immédiatement les limites verticales de la courbe, son cours horizontal indéfini, et son asymptotisme envers l'axe des X, Le seul document nouveau que nous offre cette équation résulte de ce que la valeur de x, déjà annulée pour y = ±: c, peut l'être aussi pour y = rf, quel que soit c; ce qui indique le point A comme appartenant au lieu. Dans la figure actuelle, où d surpasse c, ce point se trouve isolé du reste de la courbe, puisque les valeurs de y intermédiaires entre c et cf ne sont pas admissibles : c'est un accident géométrique qui n'a réellement d'étrange que sa nouveauté, et qui peut d'ailleurs être aisément conçu, soit algébriquement, soit même graphiquement. Quand, au contraire, d est inférieur à Cy ces ordonnées de c à c? donnent des abscisses réelles, d'abord croissantes, puis décroissantes, en tant que nulles aux deux extrémités de cet intervalle : la partie supérieure de la courbe est donc modifiée, et prend alors la forme indiquée fig. 22, l'autre partie n'éprouvant d'ailleurs aucun grave changement. Enfin, si c? s» c, cette position fermée additionnelle ÂHKH', après un rétrécissement continu, s'effacera totalement, conformément à la fig. 23. C'est ainsi que l'équation rectiligne dévoile spontanément une distinction nécessaire, que la définition primitive était peu propre à indiquer. Il existe donc, en réalité, trois sortes de conchoîdes, comme trois sortes de sections toriques et de sections coniques.

Quoique cette équation dût susciter beaucoup d'embarras algébriques \ la seule méthode générale que nous connaissions déjà pour déterminer analytiquement le sen^ de la courbure,

le lecteur pourra constater aisément, à cet égard, l'exactitude des suppositions ici figurées, d'après une suffisante combinaison de la définition, et surtout de Tasymptotisme qui en dérive, avec la considération du degré obtenu : il sera même facile de déterminer spécialement, en chacun des trois cas, la vraie direction de la tangente en K, ainsi qu'en K' ; ce qui achèvera de dissiper, à cet égard, toute incertitude.

25. 9* EXEMPLE. Équation du lieu du sommet d'un angle invariable dont chaque côté passe toujours par un point fixe. L'équation naturelle est ici ç — i* = v, entre les inclinaisons variables des deux côtés de l'angle donné v sur la droite qui joint les deux points fixes A et B {fiff. 24). Elle indique aussitôt un lieu limité, puisque, les deux coordonnées angulaires ne pouvant ainsi devenir jamais égales, les deux droites mobiles ne seront, en aucun cas, parallèles, et par suite le point décrivant M ne pourra point s'éloigner indéfiniment de AB. La courbe doit d'ailleurs être symétrique autour de la perpendiculaire CK menée au milieu de AB ; car, l'équation ne change pas en substituant à chaque inclinaison le supplément de l'autre, de. manière à passer de M en M'. L'équation étant satisfaite par v|/=!0 et 9 esa v, le lieu passe en A, et pareillement en B : U est aisé de sentir que cette valeur de 9 y marque la direction de la tangente correspondante ; puisque l'angle MAX tend vers cette limite v^ à mesure que le point M se rapproche indéfiniment du point A, conformément à la définition générale des tangentes.

Pour passer à l'équation rectiligne, d'après les axes AB et CK, spontanément indiqués par cette discussion préalable, il convient de mettre d'abord l'équation naturelle sous la forme trigonométrique, surtout en y prenant les tangentes des deux membres, ce qui donne

tang cp ^ tang ^

l-ftang^tang^^

tn.

Dès lors, les triangles rectangles MAP et MBP conduisent aisèment à exprimer ces deux tangentes par — ^ ©t -4-3, d désignant la demi-distance des deux points fixes A et B, et m la tangente de Tangle donné v. On obtient ainsi Téquation rectiligne.

où Ton reconnaît aussitôt, conformément à l'indication géométrique, un cercle dont le centre est sur Taxe des y, en un point G tel que Tangle AGO y soit égal à Tangle donné, le rayon étant d'ailleurs égal à GA.

26. 10« EXEMPLE. Équation de la cissoïde. On nomme ainsi, depuis les Grecs, une courbe dérivée du cercle en y tirant, d'un point fixe A (fig. 25) de la circonférence, une sécante quelconque, prolongée jusqu'à sa rencontre en G avec la tangente opposée BK, et portant, sur cette sécante, à partir de. ce point fixe, une distance AM constamment égale à sa partie extérieure GN, comprise entre la tangente et le cercle. L'équation naturelle est donc AM = GN, entre ces deux longueurs variables. Elle indique d'abord un lieu évidemment symétrique autour de AB. De plus, la courbe commence en A, où sa tangente est nécessairement AB, limite irrécusable de la direction MA, à mesure que le point décrivant M se rapprocherait de A. Intérieure d'abord au cercle donné, elle le coupera vis-à-vis son centre, en D et D', et s'en dégagera ensuite de plus en plus, quand l'angle variable MAB surpassera 45^. Mais^ en s'éloignant du cercle, elle s'approchera continuellement de la tangente BK, d'après l'équation MG s= AN, qui indique la distance oblique MG, et à plus forte raison la distance perpendiculaire MH, comme pouvant diminuer autant qu'on voudra, sans pourtant devenir jamais rigoureusement nulle. La droite BK est donc une asymptote de la courbe, qui d'ailleurs ne saurait

la dépasser. Cette discussion conduit évidemment h la forme tracée sur la figure, sauf les chances accoutumées de sinuosité entre le pôle A et Tasymptote BK.

Le passage de Téquation naturelle à Téquation rectiligne présente, dans cet exemple, une circonstance nouvelle, qu'il importe de remarquer, d'après l'utilité notable qu'on y trouvera à introduire, comme intermédiaire, l'équation polaire autour du point A, qui résulte presque immédiatement de la première, et qui conduit également à la seconde. D'abord, l'une des coordonnées naturelles MA, est précisémentle rayon vecteur u du point M; quant & l'autre, NC, elle constitue, relativement à l'angle 9, une sorte de ligne trigonométrique inusi-. tée, égale à l'excès de sa sécante AC sur son cosinus AN, eu égard à l'angle droit ANB, et en prenant AB pour rayon trigonométrique. On forme ainsi l'équation polaire

2r ^ « sin^cp

u =» 2r cos 9 =a 2r ^,

C0S9 cos 9

où r désigne le rayon du cercle donné. Dès lors le passage à l'équation rectiligne se fera sans difficulté, d'après le triangle rectangle AMP, relativement aux axes, déjà motivés, AB et AY. Cette équation sera finalement

Il est aisé d'y retrouver les indications géométriques déjà obtenues. Quant au sens de la courbure, encore indécis pour les parties moyennes, le degré seul de l'équation confirmerait suffisamment notre hypothèse, en indiquant l'absence de toute inflexion, afin que la courbe ne puisse jamais offrir plus de trois points en ligne droite. Mais, d'ailleurs, on peut ici appliquer aisément la méthode générale employée jusqu'à présent, en considérant la corde indéterminée AM', dont l'extrémité a une

ii#.

PREMlàRE PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 83

abscisse arbitraire x\ L'ordonnée LQ ou zde cette corde, déduite de la comparaison des triangles ALQ et AMT', sera ex-

^VîS''

primée par x \ -z — — ,» en sorte que

d'où il résulte, conformément à la forme supposée, que ^ sera moindre que z, tant que x restera inférieur à x' .

A cette dé&nition primitive de la cissoîde, il convient de joindre ici, d'après Newton^ une génération remarquable par un mouvement continu. Elle consiste, après avoir prolongé le diamètre AB {fig. 26) d'une longueur AF égale au rayon, à faire mouvoir un angle droit, dont un côté est de la longueur AB, de telle manière que, son côté indéfini passant toujours en F, l'extrémité L de son côté défini IL doive décrire la perpendiculaire DOD' : alors le milieu M de ce côté décrit nécessairement la cissoîde. Car, l'égalité des triangles rectangles FLI et FLO, où, par construction, FO = IL, donne FI = LO ce qui conduit à reconnaître l'égalité des triangles FEI et LEO, d'où îl résulte FE = LE, et, par suite AË ^a EM, puisque AF et ML sont tous deux égaux au rayon du cercle. Dès lors, la droite AH devenant parallèle h FL, les triangles ACB et FLO seront égaux, d'où BC «» OL, et, par suite, LC, égal et parallèle à OB ou AO. On reconnaît ainsi l'égalité constante des triangles isocèles AON etCLH, et, en conséquence, des longueurs AN et CM, ce qui équivaut à AM =CN, caractère primordial de la cissolde.

Cette seconde définition pourrait fournir im utile exercice de géométrie analytique, que je recommande aux commençants, quand ils seront assez avancés pom* surmonter les difficultés qu'elle offre à la reproduction directe de l'équation rectiligne, ce qui deviendra suffisamment possible dès la fin du chapitre suivant.

- 27. Il serait maintenant superflu de prolonger davantage la série d'exemples préliminairesque j'ai jugée indispensable pour rendre déjà convenablement familière la conception fondamen- ' taie de la géométrie analytique. Toute la suite de notre étude offrira d'ailleurs beaucoup d'occasions naturelles d'en indiquer d'autres de plus en plus difiiciles. Du reste, le lecteur peut ici les multiplier spontanément, avec d'autant moins d'embarras que la plupart des définitions ci-dessus considérées peuvent en suggérer aisément de nouvelles ; c'est ainsi, par exemple, que celles de laconchoïde et de la cissoîde pourraient être facilement généralisées en y substituant, pour l'une à la ligne droite, pour l'autre, au cercle telle courbe qu'on voudrait. Je crois seulement devoir encore signaler ici, mais sans aucun examen, quelques défmitions propres à fournir d'utiles exercices.

On doit surtout remarquer la double suite de courbes que Descartes a tirées du cercle. Les unes, fer^iées, se forment d'abord en projetant sur un rayon quelconque la projection de son extrémité sur un diamètre fixe ; en redoublant la même construction envers la courbe ainsi obtenue on en déduit une nouvelle, et pareillement à l'infini. Quant aux autres, qui sont illimitées, on formela première en prenant, sur chaque rayon, le point dont la projection sur le diamètre fixe appartient àla perpendiculaire menée à ce rayon de son extrémité; chacune des autres courbes de cette suite se déduit de la précédente selon le même mode graphique, indéfiniment applicable. Ces deux séries de lignes fournissent des exemples intéressants d'équations rectilignesde tous les degrés pairs, les uns simplement, les autres doublement. En y substituant au cercle primitif une courbe quelconque, on pourra saisir, en général, le mode analytique invariable suivant lequel son équation polaire produira celles des deux suites correspondantes : la subordination des équations rectilignes en résultera facilement.

Je signalerai encore le lieu des points dont la somme des carrés des distances à divers points fixes du plan demeure constante. Le lecteur y reconnaîtra aisément un cercle dont le centre coïncide avec le centre de gravité du système des points donnés, supposés tous de même poids.

Enfin, j'indiquerai Tespëce la plus simple i'épicycloïde plane, c'est-à-dire, le lieu d'un point de la circonférence d'un cercle invariable qui roule sur un cercle fixe, de pareil rayon^ et qui, en même temps, tourne autour de son centre avec une égale vitesse. Suivant que les deux mouvements sont contraires ou conformes, le lieu est ou un cercle aisé à vérifier, ou une courbe remarquable du quatrième degré. Cette équation se formera facilement en introduisant, comme variable auxiliaire, la direction de la ligne des centres. On pourra constater ainsi, sans traiter formellement le cas général, trop compliqué, où les deux cercles seraient inégaux, que le degré de Téquation y dépendrait du rapport de leurs rayons.