CHAPITRE m

Théories préliminaires relatives : !<> à la ligne droite ; 2* à la transposition

des axes.

28. Pour compléter cette indispensable introduction à Tensemble de la géométrie analytique, il ne nous reste plus qu'à exposer deux théories préliminaires extrêmement usuelles, sans lesquelles l'explication des méthodes générales qui doivent constituer notre principal objet se trouverait fréquemment interrompue par des considérations incidentes, dont la reproduction superflue y deviendrait bientôt aussi gênante que fastidieuse.

Théorie analytique de la ligne droite. Elle consiste essentiellement à trouver les deux coefQcients, linéaire et angulaire,

propres à Téquation de chaque droite, quand, au lieu d'être immédiatement donnés, ils doivent résulter de tout autre mode élémentaire relatif à la détermination de la droite cherchée, d'après des conditions purement rectilignes. Judicieusement réduite à ce qui concerne sa vraie destination pour Tensemble de la géométrie analytique, cette théorie préliminaire se compose seulement de trois questions essentielles, dont les combinaisons pourraient ensuite se multipUer beaucoup, mais sans offrir presque jamais aucune utilité réelle.

1^ Équation éPune droite passant par deux points donnés. Spécialement envisagée, cette question ne constitue, au fond, qu'un simple problème de trigonométrie, où il s'agit, d'après les distances de deux points M' et M" {fig, 27) aux deux axes OX et OY, d'obtenir l'angle a formé avec OX par la droite qui les joint, et la distance b où elle coupe OY. En nous bornant, pour caractériser une telle solution, à y considérer ici le coefficient angulaire, qui représente tang a, si les axes sont rec-

v" — V' tangulaires, le triangle M' M" N l'exprimera aussitôt par 2-^; — ^,\

formule qui convient également au cas des axes obliques, en considérant la signification trigonométrique que prend alors ce coefficient.

Hais, sans insister davantage sur ce mode spécial, il faut surtout envisager la question proposée comme un simple cas particulier du problème général qui consiste à faire passer une ligne d'espèce déterminée par un nombre suffisant de points donnés. Quoique cette recherche ne doive pas encore être formellement examinée, il convient néanmoins de sentir déjà que la marche analytique qui va maintenant l'accomplir envers la seule ligne droite, comporterait nécessairement la même efficacité si, au lieu de l'appliquer à l'équation y == aa: -f" 6, on considérait toute autre équation générale.

PREinÂRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. 8*7

Ce principe évident consiste en ce que, lorsqu'une ligne passe eu un point donné, les constantes arbitraires de son équation doivent satisfaire à la relation fournie par la substitution des coordonnées propres à ce point. Ainsi, la condition relative au point M' assujettirait déjà les constantes inconnues a

et 6 à la relation

y' ^ax' +*,

qui insuffisante à Içs déterminer, permet de les subordonner Tune & l'autre. On y rapporte communément le coefficient linéaire au coefficient angulaire, demeuré seul arbitraire dans Téquation de la droite, qui devient alors

formule très-usuelle, et fort expressive, qu'il importe de retenir. En considérant maintenant le. second point M" , on aura, entre a et ô, une seconde relation y " =» clx' ' -f- 6> qui, combinée avec la précédente, les déterminera complètement, 'suivant la

v"— v' nature géométrique du problème. On trouve ainsi a^—^ ^

ar"— a:'

Le coefficient angulaire d'une droite passant par deux points donnés est donc égal au rapport entre la différence de leurs ordonnées et celle de leurs abscisses, conformément à la solution trigonométrique. Il en résulte l'équation

dont la seule composition indique clairement le passage de la droite aux deux points. Dans le cas particulier où ces deux points seraient simplement ses intersections avec les deux axes, on aurait, par exemple, x' = a, y' =0, et ^" = 0, y"= 6; l'équation prendrait la forme

qu'il peut être utile de remarquer.

Un troisième point étant évidemment superflu, son introduction ferait naître une relation conditionnelle entre ses coordonnées x"'^f/"\ei celles des deux premiers, afin que l'équation déterminée d'après ceux-ci pût lui convenir aussi. On aurait ainsi, pour chaque nouveau point, la condition analytique

rll ^.» «.»!

ou, en langue vulgaire, pour que plusieurs points soient en ligne droite il faut que les différences de leurs ordonnées soient proportionnelles à celles de leurs abscisses.

2^ Angle de deux droites^ d'après leurs équations. Gomme cette seconde question est, par sa nature, particulière à la ligne droite, elle ne saurait comporter aucune solution vraiment analytique, comparable à la précédente. En n'y voyant donc qu'un simple problème de trigonométrie, on peut d'abord le résoudre aisément dans le cas, seul usuel, des axes rectangulaires, d'après ce principe évident que l'angle de deux droites équivaut à la différence de leurs inclinaisons sur une ligne commune. Alors, en effet, les coefficients angulaires pro* près aux deux équations données,'

yz^ax-^b^y^i a'x + b\

représentant les tangentes des angles a et a' (/Sp'.âS), cette relation générale v = a — a' donne aussitôt

tang V = — j ;.

Si les deux droites doivent être rectangulaires, tang v devra devenir infinie, ce qui exige la relation très-usuelle aa'+ ^■=^>

d'où a' = : en sorte que, dans ce cas, les deux coeffl-

cients angulaires sont réciproques et de signe contraire ; conformément à l'évidente indication spéciale de la figure, où

riin des angles devient ainsi le supplément du complément de

l'autre.

Avec des axes obliques, on n'aurait plus tang a «» a, mais

asinô

tang a = 7—; (n° 17), et le résultat prendrait la forme

i + acosô^ ' ^

plus compliquée

{a — a') sin 6

tang V

1 + aa' + (a + fl') cos ô' dont il faut éviter de se surcharger la mémoire, comme n'offrant aucune utilité réelle.

3® Intersection de deux droites données. Ce problème consistant à trouver, d'après les constantes propres aux équations de deux droites données,

les coordonnées de leur point commun, on peut certainement Tenvisager comme une question trigonométrique, relative à la résolution de la figure rectiligne qui résulte de l'assemblage spontané des diverses 'grandeurs connues. Hais, outre cette voie spéciale, qu'ilsufSt ici d'indiquer, cette troisième question comporte évidemment, comme la première, un^ entière généralisation envers des lignes quelconques, et c'est seulement ainsi que la recherche devient vraiment analytique. Les coordonnées despoints d'intersection se distinguant algébriquement de celles des points particuliers de chaque lieu par leur aptitude exclusive à vérifier simultanément les deux équations, leur détermination résulte donc, en général, de l'opération analytique qui assigne les solutions communes à ces équations simultanées. Dans le cas actuel, ce travail algébrique ne présente aucune difficulté, et fournit

b' — b ab'-a'b

pour les coordonnées du point cherché. Hais, au lieu de retenir ces formules, il sera plus commode ordinairement d'en reproduire Téquivalent envers chaque système de droites : le principe est seul important. On conçoit, en outre, que cette opération conduira à formuler la condition analytique du concours de trois droites en un même point, puisqu'il faudra alors exprimer que les coordonnées du point d'intersection de deux d'entre elles conviennent à la troisième.

Tels sont les seuls éléments essentiels qu'il faille admettre dans la théorie analytique de la ligne droite, communément surchargée de questions superflues, qui n'offrent qu'une com* binaison, rarement utile, de ces trois problèmes fondamentaux. J'y joindrai seulement celle de ces questions composées, qui, soit comme type, soit à raison de son utilité ultérieure, mérite une soigneuse appréciation.

4^ DUtance d'un pointdannéà une droite donnée. Cette détermination exige évidemment que l'on forme l'équation de la perpendiculaire indéfinie menée du point M' {fig. â8)^ dont les coordonnées sont x\ y\ à la droite NA, ayant pour équation y «s or -[- ô, et qu'on en déduise les coordonnées de leur intersection K : la formule des distances conduira dès lors à l'expression de la longueur cherchée M'K ou p. D'après la première de nos trois questions élémentaires, l'équation de la droite M'K, en tant que passant par M', est

En tant que perpendiculaire à la droite donnée, on a, suivant

le second problème, a' = . Si dès lors, conformément à la

troisième question, on calcule, sans aucun vain artifice algébrique, les coordonnées du point de rencontre N, on en déduira finalement, pour la distance demandée, la formule, utile à retenir,

ax' + ô — y'

La solution trigonomélrique y conduirait directement avec facilité, d'après le triangle rectangle NKM', où Tangle M' est égal à celui dont a est la tangente ; car, Thypoténuse de ce triangle peut être regardée commela différence enlrerordonnée y' du point donné et l'ordonnée correspondante oa:' + 6 de la droite, proposée.

^ Outre cette question composée^ seule importante à mentionnerv le lecteur peut s'exercer utilement sur quelques autres combinaisons plus ou moins complexes. Je citerai surtout la formule remarqualde qui exprime Taire d'un triangle d'aprèsles coordonnées rectilignes de ses sommets. En partant de la règle géométrique ordinaivOt on pourra déduire de ces coordonnées, par des calculs peu compliqués si les axes sont rectangulaires, la base et la hauteur du triangle^ d'où résultera finalement

2S=(y'a:''--.a:'y'')+(y'"ar'— a:'"y')+(y"^'"— ^"y"%

conformément à l'indication géométrique directe, en concevant le triangle M'M"M"' [fig. 29) comme la somme des deux trapèzes M'P'M"P"etM"P"M"P'"diminuée dutrapèzeM'P'M' "P". Les commençants pourront aussi s'exercer, avec quelque utilité, sur la théorie analytique de la ligne droite, en y vérifiant algébriquement plusieurs théorèmes, déjà vulgaires géométriquement^ sur les convergences des trois droites qui peuvent résulter des trois côtés d'un triangle de diverses manières : 1^ comme perpendiculaires menées des sommets opposés; 2® comme joignant leurs milieux à ces sommets ; 3^ comme leurs perpendiculaires en ces milieux ; 4^ enfin, comme bissectrices des trois angles. Tout le mérite de ces exercices élémentaires consistera dans l'heureux choix des axes, qui simplifiera beaucoup des calculs autrement fastidieux. Au reste, après

avoir calculé^ envers des axes communs, les coordonnées, en général fort distinctes, de ces quatre intersections, on pourra compléter cette opération en reconnaissant ainsi que trois d'entre elles sonttoujoursenligne droite; proposition géométrique dont la démonstration directe serait embarrassante, mais qui d'ailleurs est fort oiseuse.

29. Théorie delatranspositiondes axes. Cette seconde théorie préliminaire, plus importante que la précédente, a pour objet propre de déterminer les modifications que comporte l'équation rectiligne d'une figure quelconque par suite du changement des axes correspondants. Il suffit, à cet effet, d'exprimer, en général, les coordonnées d'un point arbitraire relativement aux anciens axes d'après ses coordonnées par rapport aux nouveaux axes. La substitution ultérieure de ces formules invariables dans chaque équation considérée y spécifiera l'influence analytique d'une telle transposition, qui, en elle-même, se rapporte à un point isolé, à quelque ligne qu'il puisse ensuite appartenir. Or, l'établissement de ces formules ne constitue directementqu'un simple problème trigonométrique, dont la solution n'offre aucune difficulté essentielle. Mais, avant de s'en occuper^ il importe de caractériser nettement la double destination générale de cette théorie indispensable, très-imparfaitement appréciée d'ordinaire. Il faut, pour cela, considérer séparément ses deux relations nécessaires avec la conception fondamentale de la géométrie analytique, soit eu ce qui concerne la comparaison des lignes d'après leurs équations, soit qliant à la simplification algébrique, de chaque équation isolée.

Sous le premier aspect, la théorie de la transposition des axes est directement destinée à décider si la diversité actuelle de deux équations indique une véritable distinction entre les lignes correspondantes, ou si seulement elle tient à une simple différence de situation : ce qui doit radicalement dissiper une

source fréquente de confusion que nous avons reconnue, des Torigine, naturellement inhérente à notre système de géométrie analytique, où les idées de position sont seules immédiatement exprimables. Car, en faisant subir S Tun des deux lieux comparés une transposition d'axes indéterminée, on réunira, dans un même type algébrique, toutes les modifications que le^déplacement de cette ligne pourrait apporter à son équation. Sidonc les deux lieux coïncident réellement, il faudra que cette équation, ainsi généralisée, puisse comprendre Tautre comme cas particulier^ en disposant convenablement des constantes arbitraires relatives à la situation dès nouveaux axes pour identifier les termes par lesquels ces deux équations différaient d'abord. Quand, au contraire, aucun système de valeurs réelles de ces diverses constantes nepourrasuffireàunetelleidentification, on aura pareillement constaté que les deux lieux sont réellement distincts. Les constantes ainsi introduites seront, en général, au nombre de quatre, deux linéaires, relatives au déplacementderorigine, et deux angulaires, indiquant la direction des nouveaux axes : mais, comme, dans cette comparaison, Tinclinaison des axes ne doit pas changer, ces deux dernières ne seront pas alors simultanément arbitraires ; en sorte que les formules de tranposition ne renfermeront ici que trois données vraiment disponibles.

Relativementàlasimplificationspécialed'uneéquationisoléey nous avons^eu, au chapitre précédent, plusieurs occasions de reconnaître Tinfluence notable que peut exercer, à cet égard, le choix des axes. Or, d*un autre côté, les définitions géométriques sont souventimpropres à indiquer directement les axes les plus favorables : les cas que nous avons examinés feraient concevoir, à cet égard, des espérances fort exagérées, si on ne les jugeait pas, sous ce rapport, comme de véritables exceptions. U faut donc, en général, penser que l'équation rectiligne

d'une courbe pourra fréquemment ne pas avoir d^abord la forme la plus simple dont elle soit susceptible à raison du choix des axes. Gela posé, la théorie actuelle fournit un moyen certain de découvrir toujours les axes les plus convenables, quelque compliquée que puisse être Téqûation primitive. En effet, il suffit d*y opérer une transposition totalement indéterminée pour découvrir aiissitôt la situation des axes propres à' y faire disparaître certains termes dont les coefficients contiendront les constantes arbitraires ainsiintroduites.Ges quatre constantes seront ici pleinement disponibles, puisque rien n'oblige alors à maintenir Tancienne inclinaison des axes, qui peut bien n'être pas toujours la plus propre à simplifier Téquation. Néanmoins, l'avantage de conserver des axes rectangulaires ayant ordinairement plus de prix que la faculté d'enlever un terme de plus en disposant de leur obliquité, les formules de transpositionne contiendront le plus souvent que trois constantes arbitraires^ comme dans leur première destination.

Quoique ce second but de la théorie actuelle soit, par sa nature, aussi général que l'autre, il a réellement une moindre importance dans Tensemble de la géométrie analytique. Car, la découverte del'identïté des courbes, malgré la diversité des équations, est également précieuse envers toutesleslignes possibles. Au contraire, la simplification de chaque équation d'après un choix convenable des axes ne saurait offrir le même intérêt pour tous lès cas ; puisque la faculté qu'on acquiert ainsi d'ôter au plus quatre termes à toute équation devient nécessairement moins efficace à mesuré que le nombre total des termes augmente par l'accroissenaiènt du degré. L'appréciation commune repose trop exclusivement, à cet égard, sur la considération des courbes du second degré, dont les équations peuvent perdre par là jusqù'auxdeuxtiersde leurs termes, ou la moitié en maintenant la rectangu^rité des axes ; tandis que, dès le

(piatriëme degré, ou même le troisième, la simplification correspondante n'a plus qu'une faible importance, du moins par rapport à l'ensemble des cas, (quoique chaque degré ultérieur présente d'ailleurs certaines occasions d'utiliser notablement une telle faculté analytique.

Après ces explications générales, relatives à la seule difficulté essentielle de la théorie actuelle, il est aisé de procéder à l'établissement direct des formules de transposition. Il convient toutefois d'y distinguer le déplacement de Torigine et le changement de direction des axes ; quand ces deux cas auront été formulés séparément, le cas général en découlera spontahément, si l'on conçoit les deux transpositions comme successives au lieu d'être simultanées. Cette décomposition est d'aiUeurs très-conforme à la nature du sujet, en ce qu'elle permet d'apprécier distinctement les modifications analytiques relatives à la simple translation des lieux et celles, plus profondes, qui résultent de leur rotation.

Supposons donc qu'il s'agisse d'abord de passer des axes OX et OY [fig. 30) à un système parallèle ayant son origine en 0'. L'inspection de la figure indique aussitôt les formules

or = a:' -f- a, y = y 4- 6,

où a et 6 désignent les anciennes coordonnées de la nouvelle origine, en ayant soin de leur attribuer, en chaque cas, les signes convenables, sans, lesquels ces formules ne sauraient être suffisamment générales. On voit, par leur composition , que nonseulement le degré d'une équation ne pourra jamais éprouver ainsi aucun changement, comme il était aisé dele prévoir, mais, en outre, que les modifications analytiques correspondantes ne pourront jamais affecter les termes de plus haut exposant. Considérons, en second lieu, le passage des axes OX et OY {fig. 31) à d'autres axes OX' et OY', différemment dirigés au-

96 GflOHéTRIE PLANE.

tour de la même origine. Pour rapporter les coordonnées anciennes MP et OP aux nouvelles MP' et OP', à Taide des données.angulaires, la difficulté trigonométrique consiste à résoudre le quadrilatère OPMP', d'après deux côtés et les angles. Tout Tartiflce de cette solution réside en une heureuse décomposition des côtés inconnus MP et OP en deux parties plus aisément appréciables, par les parallèles P'R et P'Q qui leur sont menées de P'^ artifice d'autant moins difficile à retenir qu'il est essentiellement analogue à celui qu'on emploie communément pour établir les formules de sin [a =b b) et cos {a±ib).

On a ainsi

a: = OR 4. P' Q, y = P' R -f MQ,

et dès lors on est assuré de la solution^ puisque ces quatre inconnues auxiliaires appartiennent à deux triangles OP'R et P'MQ, dans chacun desquels on connaît directement un côté et les angles.. En exécutant l'opération trigonométrique, on trouve les formules

a:sinX'-f-/sinY^ a?'sin(Y-X')+y* sin(Y— YQ

^^' sty ' ^'^ nrv^ '

où les grandes lettres désignent les angles formés par les axes correspondants avec l'ancien axe des x- Cette notation expressive, émanée decelledeCamotpourlagéométrieàtroisdimensions, dérive, au fond, de l'universelle notation géométrique des angles, en y supprimant, comme inutiles, d'abord la lettre relative au sommet identique de tous les angles considérés, et ensuite celle qui indique leur côté commun»

La composition de ces nouvelles formules montre que le changement de direction des axes ne peut pas non plus altérer le degré d'une équation, suivant une appréciation naturelle qui dispose à regarder, en général, ce degré comme constituant un caractère essentiel de chaque courbe : mais on voit

ici que la rotation d'unecourbe pourra modifiertouslestermes de son équation, sans excepter ceux du plus haut exposant, que la simple translation ne pouvait atteindre.

Pour changer à la fois l'origine et la direction des axes, il sufDt d'introduire un système auxiliaire, ayant même origine que l'un des deux systèmes comparés et même direction que l'autre. En combinant ainsi les deux sortes de formules, on obtient aussitôt lesformules de transposition les plus complètes

ar'sinX'+y'sinY^ , ^ a?'sin(Y-X')+y'sin(Y^Y') ^^ sinY "^^'^ sinY +^'

qui circonscrivent exactement l'influence générale que le simple déplacement d'une ligne quelconque peut exercer sur son équation.

Comme les axes primitifs sont presque toujours rectangulaires, il importe de remarquer la simplification qu'éprouvent alors ces formules. En y supposant Y = 90*, elles prennent la forme ti*ès-symétrique,

y = a;' sin X' + y' sin Y', a: = a:' cos X' + y' cos Y',

si l'origine n'est pas changée. Les nouveaux axes étant aussi le plus souvent rectangulaires, on aura, en outre,. Y' — X' =: 90*, d'où Y' = 90® + ^ î et, par conséquent, les formules deviennent

y =s x' sin X' + y' cos X', a: = a:' cos X' — y* sin X'.

On retient aisément l'opposition de signes qui altère la symétrie de ces dernières formules, d'aprèsla considération évidente que la fonction y^ -|- ^^ ^^^^ dlovs demeurer invariable, comme relative à la distance du point à la commune origine, pareillement exprimable dans les deux systèmes rectangulaires : car, on conçoit ainsi la nécessité d'un tel contraste algébrique, dont le sens effectif peut ensuite se spécifier nettement, en ayant

égard, sur la figure, à l'hypothèse particulière x' — 0. Ces remarques ont d'autant plus d'intérêt que ces formules doivent être, au fond, les plus usuelles.

Afin de mieux caractériser déjà la principale destination générale des formules précédentes, appliquons-les à la reconnaissance de ridentité des courbes représentées par les deux

équations

dont la difi'érence affecte même les termes du plus haut degré. Le calcul prescrit peut ici s'abréger beaucoup, en remarquant que Torigine est alors le centre commun des deux courbes, évidemment symétriques Tune et Tautre autour des deux axes. Si donc les deux courbes coïncident réellement, leurs équations doivent être identifiables par une simple rotation des axes, sans déplacer aucunement Torigine. On substituera, par conséquent, dans la première, les formules

xc=sx' cos X' — y' sin X*, y = a:' sin X' -j- y' cos X', ce qui lui fera prendre la forme

y'*+sin*X'

sin* X' -|-cos*X' 4- 4 sin* X' cos X' — 4 cos« X' sin X'

a:'*-f-i2sin»X'co8«X'

3 ti*^

+ cos* X'

^" y' + 4 sin X* cos^ X' | j:' y '» «= 1 . — 4 cos X' sin» X'

En la comparant à la seconde, après avoir rendu le premier coefQcient égal à Tunité, pour éviter toute condition superflue, on voit que leur identification exige d'abord la disparition des deux derniers termes, d'où résulte la relation unique

4 sin X' cos X' (sin^ X' — cos» X') == 0.

Les facteurs sin X* et cosX' n'y pouvant être annulés, puisque les axes ne seraient pas changés, la valeur de X' résultera du

PREMIÈRE PARTrE, CHAPITRE TROISIÈME. 99

troisième, qui donne X' = 45^. On s'assurera aisément que cette hypothèse satisfait aux autres conditions d'identification. Ainsi la seconde courbe n'est réellement que la première qui aurait tourné d'un demi-angle droit.

30. Quoique le passage du système rectiligne au système polaire constitue, par sa nature, en géométrie analytique, une opération très-différente de celle dont nous venons d'établir les lois, puisqu'il s'y agit d'un vrai changement de système, et non d'une simple modification de constantes, c'est ici néanmoins qu'il convient le mieux de poser les formules, indispensables à connaître, qu'exige une telle transformation, qui d'ailleurs a ordinairement besoin d'être précédée d'une transposition d'axes, destinée à la faciliter autant que possible. Nous supposerons, en effet, que les axes du système rectiligne sont rectangulaires, que l'un d'eux coïncide avec Taxe polaire, et que leur origine est placée au pôle. Quand ces conditions préalabiés ne seront pas remplies, elles constitueront une difficulté préliminaire, aisément levée, en chaque cas, d'après les formules précédentes. Ce préambule simplifie beaucoup, etmème caractérise mieux, l'opération propre au vrai changement de système. Les ancienneset les nouvelles coordonnéesd'un point quelconque appartiennent alors à un même triangle rectangle, qui fournit aussitôt, pour passer du système rectiligne au système polaire, les formules très-simples

X =» u cos f^y y ^^ u sin (p, ou, en sens inverse,

w = V/ y* + ^y tang cp = ^.

D'après leur nature, on voit que les équations qui seront algébriques dans l'un des systèmes deviendront nécessairement transcendantes dans l'autre, et que l'influence réciproque aura

lieu quelquefois, ce qui définit nettement le contraste analytique de ces deux systèmes, et caractérise l'aptitude spéciale de chacun d'eux envers certaines courbes, quoique beaucoup d'équationsdoiventd'ailleursyëtrepresqueégalementcotnpliquées. 31. La première partie de notre étude étantmaintenantcomplétée, le lecteur peut désormais en saisir convenablement le plan systématique, qui n'eût pas été d'abord suffisamment appréciable. Ce préambule indispensable constitue une introduction fondamentale à l'ensemble total de la géométrie plane : quelque extension analytique qu'elle puisse ultérieurement recevoir, toutes les notions s'y rapporteront toujoursà la conception générale que nous avons ici directement établie, puis éclaircie par des exemples sufQsants, et enfin appuyée des

moyens préliminaires convenables. Dès lors, la formation des méthodes générales qui constituent l'objet essentiel de la géométrie analytique se trouve maintenant assez préparée pour que nous devions y procéder immédiatement, sans nous préoccuper encore d'aucune application spéciale : telle sera la destination delà seconde partie. Mais, après avoir ainsi appris à résoudre, envers une courbe quelconque, chacune des questions analytiquement accessibles, il restera & combiner, dans la troisième partie, ces diverses conceptions d'abord isolées, afin d'apprécier, en général, comment leur connexité mutuelle peut faire surgir graduellement des diverses équations l'ensemble des figures correspondantes. Ainsi, la seconde partie se rapportera surtout à la géométrie générale; la troisième sera essentiellement relative à la géométrie comparée. Enfin, pour achever de préciser autant que possible l'harmonie fondamentale entre les lignes et les équations, constituée dans la première partie, et développée dans les deux autres, il faudra réserver une quatrième et dernière partie à l'application spéciale de ces méthodes universelles envers certaines courbes

PRKMlàRE PARTIE, CHAPITRE TROISIÈME. iOi

choisies, où Tidée mère de la géométrie analytique devra recevoir une élaboration complémentaire, destinée à caractériser sa modification finale d'après les convenances de chaque cas. Tel est le nouveau plan didactique que j'ai trouvé le plus propre à faire dignement ressortir Tunité philosophique que doit offrir désormais l'ensemble de la géométrie plane, en manifestant la participation distincte de chacune de ses parties essentielles à l'essor continu de la grande pensée que Descartes lui a donnée pour base invariable.

n imporCe de sentir que ce plan rationnel n'est, par ^a nature, aucunement restreint à la branche élémentaire delà géométrie analytique, quoique nous devions ici la considérer exclusivement. La première partie est nécessairement aussi complète maintenant qu'elle doive jamais l'être, quel que soit le progrès ultérieur delà géométrie plane. Quant à la seconde, et par suite à la troisième, elles seront actuellement limitées par l'imperfection de nos connaissances analytiques, qui ne permettent pas d'aborder suffisamment plusieurs importantes recherches géométriques : mais elles ne feront plus tard que s'étendre davantage, quand une analyse supérieure rendra graduellement accessibles des questions qu'il faut écarter ici. Il en sera de même essentiellement pour la quatrième partie, où, faute des procédés analytiques convenables, nous ne pourrions immédiatement entreprendre l'étude spéciale de plusieurs courbes intéressantes, auxquelles on pourra ultérieurement appliquer les diverses méthodes générales. Notre plan nedevra donc jamais subir aucune altération essentielle, quelle que puisse être ensuite l'extension réelle des moyens analytiques, d'où résultera seulement son développement continu. Ainsi, pour convertir cette étude élémentaire de la géométrie analytique, en un système complet de géométrie, qui n'a jamais été institué ni même conçu jusqu'ici, il suffirait d'y joindre conve-

nablement, comme jerai indiqué dans le tome I*' de ma Philo-

Sophie positive, les diverses classes de questions géométriques

^; qui correspondent aux divers degrés principaux de Tanalyse

v^ . transcendante, tandis que nous devons maintenant nous réduire

aux spéculations suffisamment accessibles à la seule analyse ordinaire.

SECONDE PARTIE, 103

SECONDE PARTIE

THÉORIES GÉNÉRALES DE GEOMETRIE PLANE, SUFFISAMMENT ACCESSIBLES A l' ANALYSE ORDINAIRE.