Ces théories sont au nombre de sept, savoir
i*^ La tliéorie du nombre de points nécessaire à la détermination de chaque espèce de courbes ;
^ La théorie des tangentes ;
3^ La théorie des asymptotes ;
4"^ La théorie des diamètres ;
5^ La théorie des centres ;
G"" La théorie de la similitude des courbes ;
7* La théorie des quadratures, et, par suite, des rectifications et des cubatures.
A Texception de la seconde, de la troisième, et de la septième, elles peuvent être complètement établies par l'analyse ordinaire, sans qu'une analyse supérieure doive réellement y ajouter jamais rien d'essentiel. Quant à ces trois théories, l'analyse transcendante est vraiment indispensable pour leur procurer une entière généralité. Ce n'est qu'à l'aide du calcul différentiel que la théorie des tangentes, et par suite celle des asymptotes, qui en constitue, au fond, un appendice naturel, peuvent être étendues à toutes les courbes actuellement exprimables par nos équations. De môme, la théorie des quadratures exige, encore plus fréquemment, l'emploi du calcul intégral. Mais, quoique ces trois théories ne puissent, en effet,
recevoir ici toute la plénitude dont elles sont susceptibles, il n'en reste pas moins indispensable de les y traiter sous un point de vue général, sans les rendre vicieusement adhérentes à aucun des cas particuliers qu'elles pourront actuellement embrasser. Outre l'avantage philosophique d'une telle expo&iiUon, seule conforme au véritable esprit delà géométrie analytique, il est certain que, même envers la dernière théorie, la moins accessible, par sa nature, à Tanalyse ordinaire, on s'exagère communément l'ofTice de l'analyse transcendante, qui n'a pu réellement que perfectionner des recherches antérieures à sa formation, 'et qui l'ont même historiquement déterminée. Notre théorie des tangentes, sans rien exiger au delà des plus simples éléments d'algèbre, s'étendra immédiatement à toutes les équations algébriques proprement dites, du moins après certaines préparations, à la vérité quelquefois gênantes. Sans comporter une telle extension directe, notre théorie des qua* dratures embrassera pourtant des cas assez variés pour qu'il convienne beaucoup de les ramener ici aune marche commune, à laquelle l'analyse transcendante n'aurait ultérieurement qu'à fournir des moyens de formulation et de développement mieux adaptés à la nature du sujet. A l'un et à l'autre titre, ce premier état didactique de la géométrie générale se trouve historiquement représenté par la phase géométrique, très-mémorable quoique peu prolongée, qui s'est accomplie entre Descartes et Leibnitz, sous les efforts convergents de Fermât, de Wallis, et d'Huyghens. Du reste, autant il importe d'attribuer ainsi à l'analyse ordinaire toute la portée géométrique dont elle est vraimentsusceptible, autant ilfaut éviter de l'exagérer puérilement par une imitation plus ou moins déguisée des méthodes essentiellement infinitésimales.
Toutes les théories ci-dessus énumérées conviennent évidemment à des courbes quelconques, sans aucun mélange de théo-
SECONDE PARTIE. 105
ries purement spéciales. J'ai renvoyé à la quatrième partie une théorie souvent qualifiée indûment de générale, celle des foyers, qui est nécessairement particulière aux courbes du second degré.
Quant à Tordre que j'ai établi entre ces diverses théories, j'y ai d'abord considéré leur dépendance, et ensuite la facilité ainsi que la perfection respectives. Tous ceux qui s'exerceront à changer cet arrangement didactique reconnaîtront aisément, j'espère, qu'il ne comporte réellement aucune modification essentielle^ ni même utile. Dans un traité directement relatif au système total de la géométrie générale, tant élémentaire que transcendante^ il importerait beaucoup de suivre rigoureusement l'ordre rationnel, que j'ai depuis longtemps établi au tome I" de ma Philosophie positive^ et qui résulte naturellement des diverses sortes demoyens analytiques propresàl'entière appréciation de chaque théorie géométrique, suivant qu'elle dépend seulement de l'analyse ordinaire, ou qu'elle exige l'un des trois principaux degrés de complication successive de l'analyse transcendante, bornée d'abord à l'emploi du calcul différentiel, poussée ensuite, envers d'autres questions, jusqu'aux différentes branches du calcul intégral ; et enfin, quant aux plus difficiles recherches, étendue même jusqu'au calcul des variations. Mais, ici, où nous ne considérons que les études géométriques plus ou moins accessibles à la simple algèbre, il ne peut exister aucun semblable motif d'assujettir cet arrangement provisoire à une règle invariable, dont la discussion offrirait maintenant aussi peu de consistance que d'utilité.
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