CHAPITRE PREMIER

Théorie du nombre de points nécessaire à l'entière détermination de

chaque espèce de courbes.

33. Quoique le principe général d'une teUe règle doive être «ussi ancien que l'idée mère de la géométrie analytique, je puis assurer que, quand j'entrepris, il y a vingt-cinq ans, de régénérer Fenseignementmathématique, cette théorie n'était encore ni formulée, ni même conçue, dans son ensemble, en sorte que je dus alors la construire directement. Malgré sa grande simplicité, cet important sujet élémentaire continue aujourd'hui à être habituellement enveloppé de confusion et d'incertitude, au point que des géomètres, d'ailleurs habiles, y commettent quelquefois de graves erreurs, faute d'en avoir convenablement systématisé l'étude fondamentale.

Logiquement envisagée, cette première théorie est éminemment propre à fournir le type spontané de la perfection que comportentles méthodes de la géométrie analytique, soit quant à leur généralité, qui s'étendra ici à toutes les équations possibles, soit quant à leur facilité, le plus souvent poussée, à cet égard, jusqu'à dispenser presque de tout calcul effectif. Néanmoins, un tel modèle donnerait une idée exagérée de ce qui est communémentréalisable,sionespéraitmalàpropos pouvoir obtenir des règles aussi satisfaisantes envers des suj ets plus difficiles.

Pour déduire, de l'équation d'une courbe d'espèce donnée, le nombre de points qu'exige sa détermination totale, à la fois de position et de grandeur, il faut, avant tout, établir soigneusement une distinction fondamentale, ordinairement très-mal

conçue, entre le cas où Ton a directement Téquation la, plus générale correspondante à la définition proposée et celui oùFon ne connaît d'abord qu'une équation plus ou moins particulière. Ces deux dénominationssontici destinées à indiquerqueFéquation convient à toutes les situations possibles de la courbe, ou qu'elle est restreinte à certaines situations, quelquefois même à une seule. Ainsi les équations y^+a:*— 26y— 2ûw:+(6^+a* .— r*)«-0, et y=€w:+6, sont les plus générales du cercleet delà ligne droite, tandis que les équations t/^-^-x^^^r^^yesBox^ sont, au contraire, particulières envers les mêmes lignes. On confond encore trop souvent Téquation la plus générale de chaque espèce de courbes avec Téquation la plus étendue du degré correspondant ; ce qui est presque toujours erroné, même pour le second degré, où Téquation la plus générale du cercle, aussi bien que celle plus compliquée de la parabole, sont loin de coïncider avec le type analytique le plus complet : à mesure que le degré s'élève, ces cas se multiplient davantage, comme on le sentira bientôt, comparativement aux autres.

D'après Texplication précédente, l'équation la plus générale de chaque espèce de courbes est, en tout système de coordonnées, nécessairement unique. Mais, au contraire, l'équation peut être plus ou moins particulière, selon qu'elle correspond à des situations plus ou moins déterminées : c'est ainsi que, par exemple, y'+^^ — Sor-j-fl* — r*=0, constitue évidemment une équation du cercle qui n'est ni la plus générale ni la plus particulière. Le degré de particularité s'estimera analytiquement d'après le nombre de constantes arbitraires que perd alors l'équation la plus générale : en sorte que les deux équations au cercle y*+x*=»r^,y^=2ra: — x', quoique distinctes, sontégalement particulières, en tant que relatives à des positions aussi restreintes. On aura lieu de reconnaître ci-dessous que cette diminution variable du nombre de constantes arbitraires com-

porte nécessairement une limite commune à toutesles courbes,

dont Téquation la plus étendue ne peut jamais perdre ainsi plus

de trois constantes.