Cela posé, considérons d'abord le cas où Ton connaît

réquation la plus générale de la courbe proposée : c'est le seul

auc[uel doive se rapporter directement une telle détermination;

puisque cette équation est ici censée, en chaque occasion,

immédiatementdonnée, le problème consistant alors à trouver,

pour les constantes arbitraires qu'elle contient, un système de

valeurs propre à faire passer la courbe par les points indiqués*

Soit donc

/(a:,y, a, *, c, rf,..,)«iO,

cette équation, où les inconnues sont les constantes, quelquefois nommées géométriquement ;7aramè<re5, d'ailleurs linéaires ou angulaires, etc., qui doivent distinguer la courbe demandée d'avec toute autre delà même espèce. Tout point M' par où cette courbe devra passer assujettira ces constantes à la relation

f{x\y'ay b, c, rf,...)«0,

résultée de la substitution de ses coordonnées spéciales x' eXy* au lieu des coordonnées variables x et y. Ainsi le problème ne sera déterminé qu'autant que le nombre de ces conditions, ou des points qui les fournissent, se trouvera exactement égal à celui des constantes cherchées. Néanmoins, en se hâtant de rédiger, sous cette forme spontanée, notre règle fondamentale, on risquerait souvent de commettre de graves erreurs, en exagérant, quelquefois beaucoup, le nombre de points déterminant. Car, il peut arriver que les constantes arbitraires renfermées dansl'équation la plus générale soient plus nombreuses que les termes distincts quiles contiennent. Outre qu'une telle circonstance peut fréquemment résulter des transformations algébriques, elle peut aussi provenir de la nature même des

SECONDE PARTIE, CHAPITRE PREMIER. i09

définitions. Si, par exemple, on considère le cercle comme la ' courbe également éclairée par deux lumières, et qu'on place au hasard les axes rectangulaires, son équation générale contiendra certainement cinq constantes arbitraires, qui n'entreront pourtant que dans trois termes. De même, et à un plus haut degré, Téquation générale du cercle pourrait renfermer un nombre quelconque de constantes, en cherchant le lieu d*un point dont la somme des carrés des distances à divers points fixes, aussi multipliés qu'on voudra, demeure invariable. Or, en tous cas de ce genre, il est évident que le nombre des constantes arbitraires indiquerait mal celui des points déterminants, parce que les valeurs partielles de ces constantes ne sont alors nullement nécessaires pour que la courbe soit pleinement individualisée, pourvu que l'on connaisse seulement les valeurs collectives des divers groupes algébriques suivant lesquels elles constituent les coefficients vraiment différents, et dont le nombre effectif doit ici indiquer la véritable solution du problème proposé. Sans cette indispensable restriction, les diverses transformations, soit analytiques, soit géométriques, pourraient faire indéfiniment varier un caractère qui doit être essentiellement fixe. La règle fondamentale que nous cherchions doit donc finalement consister à opérer, sur Téquation générale donnée, une double énumération, en y comptant séparément etle nombre de ses constantes arbitraires et le nombre des termes distincts qui les contiennent : le moindre de ces deux nombres sera toujours celui des points qu'exige la détermination de la courbe correspondante ; s'ils étaient égaux, on adopterait leur valeur commune. C'est ainsi, par exemple, que le cercle sera analytiquement reconnu déterminable d'après trois points, de quelque définition que procède son équation générale. Il importe d'ailleurs de remarquer, en principe, au sujet de cette règle, que, par la nature de la

question, elle convient également à tons les systèmes possibles de coordonnées. C'est la seule théorie générale de géométrie qui comporte un tel privilège, éminemment propre à en faciliter l'application.

35. Supposons maintenant que, suivant le cas le plus fréquent, la courbe proposée ne soit d'abord caractérisée analytiquement que par une équation plus ou moins particulière en coordonnées rectilignes, comme la plupart des courbes introduites dans la première partie de ce traité. Le seul moyen universel de connaître alors le nombre de points déterminant consiste à en déduire Téquation la plus générale, en y opérant une transposition d'axes indéterminée, parla substitution des formules

ar=Ba?' cos.X' — %f sin. X'+ a, y«=a:'sin X*-|-y'cosX'+*i si les axes sont rectangulaires. Quelque particulière que puisse être l'équation primitive, et quand même elle ne conviendrait qu'à une seule situation, une telle transformation l'aura toujours assez généralisée, puisque la position de la courbe à l'égard des axes y sera devenue tout à fait quelconque, pourvu que l'on compte a^ b, et X' comme trois nouvelles constantes eùtièrementarbitraires. Cesecondcas étant dès lors rentrédans le premier, il suffira d'appliquer convenablement la règle fondamentale, de la même manière que si l'équation la plus générale eût été directement donnée.

La stricte exécution d'une telle opération exigerait souvent de longs calculs pour ledéveloppement algébrique de la substitution prescrite, quand les exposants seraient un peuconsîdérÀbles. Mais il importe de reconnaître que l'on pourra fré-^ quemment se dispenser d'accomplir cette substitution, en se bornant à l'indiquer, ou même à la concevoir. Car, on n'a réellement besoin ici de l'effectuer que pour la double énumération qu'exige notre règle envers l'équation généralisée. Or,

de ces deux dénombrements, le premier, celui des constantes arbitraires, peut évidemment toujours être fait d'avance, puisqu'il se réduira nécessairement à augmenter de trois le nombre indiqué par Téquation particulière donnée. Quant au dénombrement des termes distincts, il ne serait certainement praticable sans incertitude que d'aprës Taccomplissement effectif d'une telle généralisation analytique ; mais nous savons, en principe, qu'il ne devient réellement indispensable qu'autant que ce nombre de termes se trouvera inférieur au nombre total des constantes. Âinsi^ la première énumération, toujours immédiatement facile, indiquera d'abord, en un cas quelconque, une limite supérieure du nombre de points demandé, ce qui déjà peut être quelquefois fort précieux: mais, en outre, cette indication deviendra souvent définitive, lorsque, sans connaître exactement le nombre effectif des termes propres à l'équation généralisée, un premier aperçu de l'ensemble du calcul aura procuré la certitude que ce nombre ne serait pas moindre que celui des constantes, tant primitives qu'introduites.

En appliquant cette explication à la plupart des exemples cités dans notre première partie, il sera aisé d'y découvrir le nombre de points déterminant des courbes correspondantes, quoique connues seulement par des équations particulières et même uniques, qu'il sera pourtant superflu de généraliser formellement. C'est ainsi que l'équation du n*^ 19

cV+ (c^— cP) ^'= ? (c*— cP)

indique évidemment une courbe exigeant au plus cinq points pour sa détermination, et avec la certitude que ce nombre n'est pas trop considérable, puisque, sans exécuter la substitution, on reconnaît aussitôt que les constantes c, J, eta,6, X' entreraient effectivement dans cinq termes distincts. On doit

toutefois remarquer, sur ce premier exemple, que le cas du cercle âfeaO, fait exception à la justesse de cet aperçu ; car, Tune des constantes étant alors donnée, il en resterait encore quatre, ce qui excède le vrai nombre des points. L*anomalie tiendrait ici algébriquement à ce que, par une réduction spéciale, que manifesterait seule Texécution du calcul, les trois termes autres que ceux du second degré contiendraient exclusivement les quatre constantes arbitraires ; géométriquement, Texception proviendrait de ce que Téquation particulière ne manque alors de généralité que relativement à Torigine, et non quant à la direction des axes rectangulaires qui, en ce cas, 7 pourrait être quelconque, en sorte que cette équation serait suffisamment généralisée par un simple déplacement indéterminé de Torigine, qui n'élèverait qu*à trois le nombre total des constantes arbitraires. Quelque satisfaisaiite que soit assurément cette explication exceptionnelle, la nécessité d'y recourir et Tusagequ'ony fait des lumières déjà acquises sur une courbe tant étudiée, doivent faire sentir avec quelle circonspection il faut appliquerFabréviation indiquée, et combien il importe, en général, de se résigner à l'exécution du calcul prescrit, quandlesmotifs de dispense ne présentent pas une parfaiteévidence. On conçoit d'ailleurs que, envers un grand nombre de courbes, certaines définitions peuvent quelquefois donner des équations particulières trop surchargées de constantes arbitraires. Hais ces diverses sortes de restrictions propres à notre considération abréviatîve n'empêchent nullement qu'elle ne soit; en beaucoup d'autres cas, aussi certaine que commode.

Par exemple, l'équation commune des trois sections coniques, trouvée au n* 23,

y* -f (1— n") x^ — 2dir-{. rf»=- 0, indique aussitôt, et sans aucune incertitude, que le nombre de

points délerminant est cinq pour Tellipse et hyperbole, mais seulement quatre pour la parabole, puisqu'alors n=»i.

On trouvera pareillement, et avec encore plus d'assurance, vu le degré supérieur, d'après Téquation des sections toriques (no22), que ces courbes sont déterminables par cinq points, sauf celle que caractérise Tégalité des deux données linéaires, et qui, à ce titre, n'en doit exiger que quatre. Pour la conchoïde (n"^ 24), le nombre de points déterminant sera également 5, avec la même réduction dans le cas analogue d'égalité. Enfin, l'équation de la cissoîde (n''26)

montrera, sansplus d'embarras, que cette courbe est déterminée par quatre points.

Il serait également facile de constater, sur de nouveaux exemples, comprenant une infinité de courbes distinctes, que les équations de la forme

y«c=3 oar», ou y**= aa:«+ A,

indiquent toujours des courbes exigeant^ les unes quatre points, les autres cinq, pour leur détermination: le motif de dispense algébrique sera d'autant plus évident que les exposants m et n seront plus élevés. On conçoit d'ailleurs que la théorie actuelle est déjà aussi complètement applicable aux équations dites transcendantes qu'à celles qualifiées spécialement d'algébriques, sauf les difficultés analytiques correspondantes. C'est ainsi que la même méthode, pareillement simplifiée, démontrerait, d'après les équations particulières

y =a 6a*, y = a sin bx,

quelenombredespointsdéterminant y estencore égal à 5. Sans multiplier davantage ici de tels exemples, le rapproche-

ment^àlafoisan&lytique et géométrique, de tous les cas cités suggère aussitôt cette réflexion générale que le nombre de points nécessaire à la détermination d*une courbe ne dépend point essentiellement du degré, ni même delà nature, de son équation, et pasdavantage de sa figure essentielle. Nous trouvons surtout une exacte parité, à cet égard, entre des courbes qui, sous tout autre aspect, ne semblent offrir aucun caractère commun. Cependant une identité aussi importante ne doit pas, sans doute, rester isolée. L'ensemble de mes méditations sur la géométrie comparée^ dont Tétude, à peine ébauchée, est encore si mal conçue, m*a depuis longtemps conduit à penser que les courbes qui exigent le même nombre de points pour leur détermination présentent, par cela même, beaucoup d'autres propriétés communes. Mais Tétat présent de la science n'a manifesté jusqu'ici, à cet égard, que l'exacte parité ainsi assurée à ces diverses courbes quelconques, dans la géométrie transcendante, quant aux degrés de contact ou d'osculation qu'elles comportent envers toute autre figure : encore même cette analogie nécessaire est-elle communément très-mal appréciée.

36. Afin de compléter notre règle fondamentale, il reste à y caractériser l'indispensable modification qu'elle doit éprouver lorsque, parmi les points que l'on fait concourir à la détermination de la courbe, on introduit quelque point singulier; c'està-dire, suivant l'acception géométrique la plus étendue, un point distinct de tous les autres par une propriété précise , d'ailleurs quelconque, à laquelle on a égard; soit que ce point appartienne, en effet, à la circonférence de la courbe, comme un point d'inflexion ou derebroussement, etc., soit même, en général, qu'il y adhère, intérieurement ou extérieurement, comme un centre, ou un foyer, etc. De quelque manière que s* opère la singularisation, chaque point de ce genre devra toujours compter pour deux points ordinaires, parce qu'il don-

nera lien à deux équations de condition. S'ilestsurlacourbe^ il faudra, outre la condition commune

f {^'y ', a, ft, c, rf. . . ) t= 0,

considérer aussi la relation quelconque

qui formulera sa propriété caractéristique. Quoique cette seconde équation puisse être fort différente de la première, elle participera tout autant à la détermination des inconnues a, 6, e, dy etc., qui se trouveront ainsi tout aussi liées que d*après deux points ordinaires. Lorsque le point singulier n'appartient pas à la circonférence de la courbe, il faut concevoir, en général, que, par cela même qu'il est unique, ses propres coordonnées a, 6, doivent dépendre, d'une manière déterminée, des constantes qui spécifient la courbe, suivant deux fonctions,

0 = ^ (a, 6,^, rf...), 6 == ^ (a, 6, c, rf...),

dont la forme sera, dans chaque cas, exactement assignable^ d'après l'équation de la courbe, et le caractère du point. Donc, réciproquement, l'indication de ces deux coordonnées assujettit ces constantes, quand elles sont inconnues,|à deux conditions distinctes, qu'on peut envisager comme tenant lieu, pour leur détermination, de deux points quelconques de la courbe.

On peut aisément vérifier cette loi uniforme sur toutes les lignes introduites dans la première partie, et dont les définitions contiennent des points évidemment singuliers. Si, d'après la découverte, déjà accomplie, de leur nombre ordinaire de points déterminant, on examine, par contraste, la réduction spéciale qu'il éprouve spontanément quand on y mêle ces points exceptionnels, il sera facile de constater successivement, suivant les définitions respectives, que le centre du cercle, que chacun

116 GÉOMÉTRIE PLAlfE.

des points fixes inhérents à Tune ou à Tautre génération des sections coniques, que chaque point analogue propre à la notion des sections toriques ou de la conchoïde, ou de la cissoïde, équivaut toujours effectivement, pour la détermination delà courbe, àrobligation dépasser en deux points arbitraires. La seule dérogation apparente à Tuniformité de cette loi additionnelle, semble devoir résulter d'abord de l'inégale pluralité des propriétés des divers points singuliers. Ainsi, parexemple, un même point peut quelquefois être un centre et un point d'inflexion : les sommets de Tellipse, primitivementdéfiuispar sa rencontreavecsesaxeSfSontaussi caractérisés par une tangente perpendiculaire au rayon correspondant, et ils se distinguent également comme points de plus grande ou de moindre courbure. En tous ces cas, on peut croire que Tintroduction de tels points singuliers fournira de nouvelles équations de condition, & mesure qu'on formulera leurs diverses propriétés, en sorte qu'ils tiendraient ainsi lieu, dans la détermination delà courbecherchée, tantôt de deux, tantôt de trois, ou de quatre, etc. points ordinaires. Mais il est aisé de sentir que cette objection générale est purement spécieuse. On peut d'abord l'écarter par une considération préjudicielle tiréede l'évidente absurdité qu'offrirait ainsi la variation continue dunombrede points déterminant propre à chaque courbe par la découverte, toujours possible, de nouvelles particularités envers les points déjà singularisés, àmesure que l'étude spéciale de la courbe serait plus avancée. Un examen direct fait ensuite sentir, en principe, que, par quelque caractère précis qu'un point singulier ait été primitivement défini et formulé, toute autre propriété quelconque qu'on en découvrirait ultérieurement ne saurait fournir aucune condition vraiment distincte; d'après l'enchaînement, sensible ou inaperçu, général ou spécial, qui existerait nécessairement entre les deux attributs géométriques, les relations analytiques

correspondantes se trouveraient, en chaquecas, essentiellement équivalentes ; en sorte que la multiplicité de ces conséquences ne contribuerait pas davantage à déterminer les constantes cherchées que Téquation initiale d*où elles pourraient toutes dériver, plus ou moins péniblement.

37. Pour procurer toujours à la théorie actuelle toute la perfection effective dont elle est susceptible; il faut enfin expliquer comment le principe analytique sur lequel elle repose uniformément devient souvent applicable sans connaître encore aucune équation rectiligne, même particulière, de la courbe proposée, et en consultant uniquement sa définition géométrique. On en concevra la possibilité si Ton considère que Téquation ne sert ici que comme base d'un dénombrement qui peut quelquefois être suffisamment accompli d'après la seule définition. Car, si le nombre total des constantes arbitraires propres à Téquation générale se détermine toujours aisément par une équation particulière, il se déduit encore mieux de la définition même. Il suffit, pour cela, d'y analyser exactement les diverses données géométriques qu'elle indique commeindispensables à rentière détermination de la courbe : chaque point fixe qu'elle contiendra introduirait certainement, par ses coordonnées, deux constantes arbitraires dans l'équation la plus générale, à laquelle il faut sans cesse se reporter mentalement; il en sera de môme pour chaque droite fixe, à cause de ses deux coefficients angulaire et linéaire ; chaque cercle entièrement donné qui s'y trouverait ferait naître ainsi trois constantes ; chaque longueur ou chaque angle une seule, etc. Cette nouvelle abréviation de la règle fondamentale aura la même légitimité et offrira aussi la même chance d'erreur que celle précédemment appréciée, puisqu'elle repose sur le même motif analytique. On trouvera donc toujours ainsi une limite supérieure du nombre depoints déterminant. Quand elleneserapas

118 GÉOMÉTRIE PLAIfE.

trop élevée, ce qui correspond au cas analytique où le nombre effectif des termes de Téquation générale ne se trouverait point inférieur à celui des constantes, on le reconnaîtra géométriquement si la définition proposée est assez simple pour qu'on puisse s'y assurer que les changements simultanés des diverses données ne pourraient jamais se compenser de maniée à ne faire aucunement varier la courbe.Cette condition est facile à vérifier envers les définitions déjà citées du cercle, des sections coniques, des sections toriques, de la conchoîde, et de la cissoîde, où Ton connaîtrait ainsi le nombre de points déterminant indépendamment de toute équation, en parfaite conformité avec le résultat analytique. Pour la signaler ici envers une définition nouvelle, où Téquation ne nous est réellement pas connue encore, j'indiquerai la cycloïde ordinaire, engendrée parun point de la circonférence d'un cercle roulant sur une droite fixe, à partir d'une certaine position, et tournant simultanément autour de son centre avecla même vitesse: la méthode précédente conduit aussitôt à reconnaître, sans la moindre incertitude, qu'une telle courbe est déterminable d'après quatre points. Afin de mieux apprécier cet extrême perfectionnement de la théorie actuelle, il fautd'ailleurs sentir que la définition proposée pourrait n'être pas même purement géométrique : pourvu qu'elle soit précise, et que, du reste, elle se prête suffisamment à l'analyse prescrite, elle conviendra pareillement à une semblable distinction. Qu'il s'agisse, par exemple, de la ligne suivant laquelle un poids doit descendre pour arriver le plus promptement possible d'un point donné à un autre point donné : quoique cette définition transcendante soit uniquement dynamique et très-difficile à mettre en équation,notre méthode subsidiaire y indique déjà clairement quatre points déterminants ; ce qui sera ultérieurement confirmé quand on y aura reconnu la cycloïde.

La grande facilité propre à ce perfectionnement final de notre règle fondamentale, doit ici faire insister davantage sur le danger, ci-dessus caractérisé en principe, qu'offrirait, en beaucoup de cas, son intempestive application, quand le nombre effectif des termes de l'équation générale se trouverait inférieur au nombre ainsi prévu des constantes introduites. Cette circonstance analytique correspondrait géométriquement à la possibilité de faire varier à la fois plusieurs des données inhérentes à la définition proposée , sans que la courbe en éprouvât aucun changement réel, soit de forme, soit même de situation. Or, de tels cas, quoique fréquents, sont difficiles à constater clairement d'après la seule définition, surtout envers des courbes peu étudiées ou très-compliquées ; et, quand une fois on les a reconnus, il est presque toujours impossible d'y réduire convenablement la limite supérieure d'abord obtenue ainsi pour le nombre de points déterminant. Il est aisé d'en citer quelques exemples caractéristiques, même envers le cercle,la courbe la plus simple et la mieux connue : telle est sa définition comme courbe également éclairée par deux lumières, qui indiquerait aussitôt cinq points déterminants, parce que les deux points fixes, et le rapport donné, pourraient varier conjointement, comme je l'ai montré au n<»21, sansquelacourbe changeât aucunement ; telle est aussi sa définition comme segment capable, où les deux points fixes et l'angle donné pourraient certainement changer de manière à ne pas affecter du tout le cercle correspondant; telle est, enfin, éminemment sa définition, déjà citée, comme lieu d'un point dont la somme des carrés des distances à divers points fixes demeure constante. On peut ainsi juger des difficultés souvent insurmontables que susciteraient de semblables inconvénients envers des courbes plus compliquées et moins connues; surtout enconsidérantque la recherche du nombre de points détermi-

120 GÉOXÉTRnS PLANE.

nant doit être naturellement, à raison de sa simplicité supérieure, le premier sujet d'études envers la plupart des lignes. La règle analytique du n*^ 34 est donc finalement la seule qui comporte une universelle efficacité, et rien ne saurait dispenser d*y recourir en général. Mais les inconvénients irrécusables que présente, enbeaucoup d'occasions, l'abréviation subsidiaire que je viens d'expliquer n'altèrent nullement son heureuse aptitudeenversles cas très-nombreux oùlesconditions nécessaires de sa légitime application se trouvent être suffisammentremplies. En terminant ici l'exposition de cette première théorie générale, il importe de remarquer que, quoique nous n'y ayons considéré d'autres conditions de détermination des courbes que celles de passer pai* des points donnés, comme étant maintenant les seules que nous sachions uniformément formuler, cependant l'ensemble des règles précédentes s'appliquera nécessairement à toute autre sorte de conditions géométriques, exprimables chacune par une seule équation, à mesure que nous en apprendrons ultérieurement la représentation analytique; ce qui devra beaucoup augmenter la portée et l'utilité des divers principes que nous venons d'établir.