CHAPITRE II

Théorie des tangentes.

38. Cette importante théorie^ base nécessaire du rapprochement fondamental entre les figures curvilignes et les figures rectilignes, repose tout entière sur une convenable définition de la tangente. Dans sa première acception géométrique, ce terme a été longtemps limité au cercle, où il désigne simple-

menl une droite qui n'a avec la courbe qu'un seul point commun. Il y aurait alors un vrai pléonasme à ajouter que tous les autres points de la droite doivent être extérieurs à la courbe, puisque cette circonstance résulte évidemment de la condition primitive, non-seulement envers le cercle, mais aussi quant à toute autre courbe fermée et non sinueuse. Toutefois, ce caractère additionnel deviendrait, en d'autres cas, indispensable, afin de distinguer suffisamment la tangente de certaines droites ne rencontrant, comme elle, la courbe qu'en un seul point ; ainsi qu'on le voit, par exemple, dans la parabole, pour les parallèles à Taxe. Quoiqu'un tel complément rende la notion initiale susceptible d'une assez grande extension, en permettant de l'appliquer à toutes les courbes, bien plus nombreuses qu'on n'a coutume de le supposer, qu'aucune droite ne saurait couper en plus de deux points, il est néanmoins aisé de reconnaître que ce caractère primitif, ne peut nullement devenir la base d'une définition vraiment générale. Car, en beaucoup de cas, cette unité d'intersection ne constitue point une condition, soit nécessaire, soit suffisante, tendant à déterminer la tangente. Dans lacissoïde, par exemple (fig, 32), la tangente en un point quelconque M coupera la courbe en un second point N ; tandis que, au contraire, on pourra mener de M une infinité de droites différentes, qui n'auraient que ce seul point commun avec la courbe, sans qu'aucune d'elles assurément fût tangente : on voit même que cette condition ne saurait alors donner lieu à aucune question précise ; c'est ce qu'offriraient presque toujoursles courbes ayant plus de deux points en ligne droite. Mais, malgré cette évidente impossibilité de conserver, en général, l'acception initiale du mot tangente, les lois du langage et de lapensée imposent l'obligation de ne la changer que par une judicieuse extension, qui reproduise spontanément le caractère primitif pour les cas

particnliers auxquels on Tavait destiné d'abord : cette importante prescription philosophique doit être soigneusement respectée envers toutes les conceptions scientifiques qui dérivent de notions vulgaires, afin de maintenir toujours la continuité et l'harmonie logiques, qui seraient gravement troublées par une arbitraire altération technique des expressions communes. La définition générale de la tangente, teUe qu'on la conçoit maintenant, satisfait pleinement à cette v condition indispensable. Elle consiste à considérer la tangente comme la limite vers laquelle tend une sécante dont l'un des points d'intersection supposé mobile se rapproche indéfiniment de l'autre supposé fixe, jusqu'à ce qu'ils se confondent exactement. Si Ton continuait ensuite la rotation, l'intersection mobile passerait au delà de l'intersection fixe; en sorte que, en chaque point d'une courbe quelconque, la direction tangentielle sert de ligne de démarcation entre les directions qui coupent d'un côté de ce point et celles qui coupent de l'autre côté. Quelque multipliées que puissent être les intersections, on n'en doit ici combiner que deux, puisque deux points suffisent pour déterminer une droite : la confusion finale des deux premières ne décide rien envers les autres, dont la coïncidence avec elles ne saurait être facultative, et constituera, en effet, dans la suite, le caractère propre de certains points exceptionnels.

On peut maintenant apprécier ce qu'une telle définition générale conserve spontanément de la notion initiale : car, envers une courbe quelconque, la tangente, ainsi conçue, aura nécessairement un pointcommundemoinsquelesdroites qui en ont le plus; par conséquent, pour toutes les courbes qui ne sauraient offrir plus de deux points en ligne droite, la tangente se trouvera caractérisée, en effet, par l'unité d'intersection, suivant la conception primitive, dont tout le vice consistait donc en une trop grande restrictiout Cette généralisa-

lion s'accomplit d'ailleurs d'une m anière parfaitement conforme à la destination fondamentale delà théorie des tangentes dans le système total de la géométrie; puisque Tindispensable rapprochement entre les figures curvilignes et les figures rectilignes, base naturelle des principales spéculations géométri- l

ques, suppose toujours qu'on ait d'abord déterminé la loi sui- ^

vaut laquelle varient les directions des côtés du polygone que • Ton substitue mentalement & la courbe, ce qui résulte évidemment d'une semblable considération des tangentes.

Afin de prévenir toute incertitude sur une notion aussi capitale, il importe enfin d'y apprécier spécialement la nécessité d'opérer la coïncidence caractéristique des deux intersections par la rotation de l'une, autour de l'autre^ et non d'après leur commune translation parallèlement à la position primitive. Ces deux modes seraient, sans doute, le plus souvent équivalents; mais ils ne sauraient l'être toujours : ce qui sufQt pour que leur dictinction doive être soigneusement introduite dans la définition générale. Lacisso!de en offre un exemple très-sensible, si l'on considère en particulier le point de rebroussement 0, où la tangente OB résulte de la rotatioitde OK jusqu'à ce que K et 0 se confondent; tandis que les perpendiculaires à OB, en se rapprochant de plus en plus de 0, y produiraient aussi la coïncidence de leurs deux intersections, sans y être nullement tangentes: on voit même que cette coïncidence provenue de la translation ne déterminerait, au point de rebrous* sèment, aucune direction précise; puisqu'un tel attribut y appartiendrait indifféremment à une infinité de directions obliques.

39. La définition fondamentale étant suffisamment établie, il

faut maintenant concevoir la théorie des tangentes comme

composée d'abord d'une question principale, consistant à déter^

j miner, en chaque point d'une courbe, la direction de sa tan*

124 * GÉOMÉTRIE PLAIŒ.

gente, et ensuite de plusieurs questions accessoires qui, quoique également générales, ne constituent, au fond, que des conséquences ou des transformations de la première. C'est sur celle-ci exclusivement que portera ici le défaut actuel de généralité de notre théorie analytique, bornée aux ressources de Talgèbre élémentaire : mais la manière dont toutes les autres s'y subordonnent sera déjà traitée aussi complètement que possible; en sorte que Textension ultérieure de la méthode des tangentes, à Taide d'une analyse plus élevée, pourra être réduite à la question principale, sans qu'il soit nécessaire d'y considérer spécialement les questions accessoires.

D'après notre définition^ si Ton conçoit d'abord, par le point donné {x\ y% une droite qui ccupe la courbe, en un second

point (x*\ y"), son coefficient angulaire sera ^7^ — ^, : la recherche proposée consiste donc à trouver la limite vers laquelle tend ce rapport à mesure que les coordonnées variables^:" et y" se rapprochent indéfiniment des coordonnées fixes œ' et y'. Si l'on y posait aussitôt l'hypothèse extrême, x"^=»x\ y" = y', il deviendrait indéterminé, parce qu'on n'y a eu encore aucun égard aux conditions qui Otent l'équivoque naturellement inhérente à cette coïncidence, et qui résultent de la situation continuelle des deux points sur la courbe donnée / (a:, y) =0. Ainsi, la difficulté du problème se réduit essentiellement à cette question purement algébrique : utiliser les deux équations de condition, f(po\y')^^0 eif{x"y y")=0, de manière à trans-

V" -- y' former la fraction ^, — ^ en une autre équivalente qui ne

puisse plus devenir indéterminée, quand on y supposera x*'tssax* et y"s=sy'. Cette transformation une fois accomplie, l'évaluation de ce rapport, pour cette hypothèse finale, déterminera immédiatement l'expression générale du coeffi-

cient angulaire de la tangente, propre à la courbe proposée. On surmonte cette difficulté algébrique, en retranchant les deux relations Tune de l'autre, afin de mettre en évidence, dans chaque' partie de cette relation composée,

ou le facteur y" — y' ouïe facteur x" — x\ de manière à dégager ensuite aisément le rapport cherché. Mais, pour expliquer convenablement cette opération, naturellement fondée sur la divisibilité connue de a^ — 6» par a — 6, il faut maintenant spécifier la composition de Téquation proposée, que nous supposons algébrique, rationnelle, et entière, d'ailleurs d'un degré quelconque. En n'y mentionnant qu'un seul terme général de chaque espèce, son type sera :

en sorte que notre relation composée devient

A (y"«— y'«) + B {x''»— x'*) + C {x"p i/*'9 — x'p yV) — 0.

La transformation proposée, n'y offre quelque difQculté que relativement au dernier terme, qui n'est spontanément divisible ni par y" — y' ni par x" — x'. Or, la nature algébrique de ce terme, où les deux variables sont mêlées, suggère aussitôt l'artifice préparatoire d'après lequel il devient aussi convenable que les autres, en portant à le regarder comme tenant lieu de Tensemble de deux termes distincts^ Tun analogue à ceux en y, l'autre à ceux en x^ suivant la décomposition évidente

qui transforme la relation primitive en

Tous les termesyétantmaintenantdivisiblesou par y" —y' ou

par x" — x\ on en déduit aussitôt, d'après les règles connues,

La transformation proposée étant ainsi accomplie, il suflit de poser maintenant y" «= y' et a;" 8= x* pour que cette fraction détermine immédiatement le coefficient angulaire de la tangente,

tang a = — ^^y.^^ i. gQy>q^i y.y

Au lieu de retenir cette formule, ou d'en renouveler la recherche spéciale sur chaque exemple, il convient d'y saisir algébriquement le mode de dérivation de ses termes envers ceux de Téquation primitive. Un premier aperçu comparatif montre d'abord que les termes en or, de cette équation ont seuls influé sur le numérateur de ce résultat, et les termes en y sur le dénominateur : quant aux termes en a; et y ils ont influé des deux parts, mais toujours comme uniquement relatifs tantôt à a: et tantdt à y. On voit ensuite que la dérivation a consisté à multiplier, en chaque terme de Tune ou l'autre espèce, le coefficient par l'exposant et à diminuer cet exposant d'une unité. Telle est donc la loi générale suivant laquelle le coefQcient angulaire de la tangente résulte de l'équation rectiligne de a courbe correspondante, dans tous les cas ci-dessus caractérisés.

On en simplifie beaucoup l'énoncé et la notation par l'usage élémentaire d'une grande notion analytique, dont la haute importance géométrique va être bientôt appréciée directement, outre sonimmédiate efficacité comme moyen d'expression: c'est celle des dérivées proprement dites. Ce nom, devenu spécial depuis Lagrange, désigne, envers chaque fonction quelconque d'une seule variable, le coefficient de la première puissance de

raccroissement de la variable dans le développement de Taccroissement de la fonction selon les puissances de celui de la variable. Quand la fonction contient deux variables, elle comporte naturellement deux dérivées distinctes, suivant que Ton considère le changement exclusif de chacune d'elles, en traitant l'autre comme une simple constante. D'après ces explications, il est aisé de constater que la loi précédente peut s'énoncer ain^i : le coefficient angulaire de la tangente est égal au rapport^ changé de signe^ entre les deux dérivées du premier membre de Véquation proposée^ relatives, l'une à rabscisse, Vautre à Fordonnée, du point de contact. Car, chacune des parties de notre formule de tang a constitue évidemment, d'après la définition précédente, la fonction dérivée de la partie correspondante de l'équation primitive. La dérivée d'une somme étant d'ailleurs nécessairement équivalente à la somme des dérivées de ses parties, il est clair que la même loi de formation conviendrait aussi au cas où l'équation eût renfermé plusieurs termes de chaque espèce, chacun d'eux ayant séparément participé au résultat comme son type unique. Nous allons bientôt reconnaître que cette énonciation définitive de la règle des tangentes ne constitue pas seulement une commode abréviation usuelle de la loi algébrique ci-dessus obtenue, mais qu'elle exprhne déjà le mode le plus général pour la formation du coefficient angulaire de la tangente envers une courbe quelconque, sauf la difficulté de trouver les dérivées de l'équation correspondante. Quant à la notation analytique de cette même règle, îl suffît d'y appliquer aussi le mode éminemment simple et lumineux que Lagrange a introduit pour les fonctions dérivées, en modifiant seulement par un accent les caractéristiques des fonctions primitives ; en sorte que f'{x),ff' (x), y [œ), etc., désignent suffisamment lesdérivéesrespectivesde/'(a:),ç(a:),4»(ar), etc. Envers les fonctions à deux variables, il convient d'y distingner les

deux dérivées, non diaprés le mode trop incertain que Lagrange avait déduit du déplacement de Taccent, mais à Taide d'une sorte d'adjectif analytique, consistant à placer, en indice, au bas de la caractéristique, le nom de la variable considérée : ainsi, /*j? (x, y) et fy (ar, y) indiqueront les deux dérivées de f[x^y)\ relatives, Tune à x, l'autre à y. De cette manière, notre loi des tangentes pourra être analytiquement formulée par cette expression, très-concise et pourtant fort claire,

où aucune des indications essentielles n'est réellement omise. On pourra même, après une suffisante habitude, augmenter familièrement son laconisme sans altérer nullement sa netteté, en faisant seulement porter sur l'indice adjectif la mention spéciale du point de contact, ce qui permettra de supprimer les parenthèses, où il est trop lourdement indiqué. Aussi écrironsnous souvent cette loi sous la forme rapide

tong.a«=- — '— ,

où rien ne pourrait être supprimé sans introduire aussitôt une confusion radicale.

40. A ce mode éminemment élémentaire d'établir la règle des tangentes, je crois devoir en joindre un second qui, sans excéder d'avantage, au fond, les premières notions algébriques, permet déjà de démontrer suffisamment l'entière généralité de cette loi géométrique, sous la seule réserve des difficultés analytiques que nous offrirait actuellement son application effective au delà des cas que nous venons de considérer. Il repose sur la convenable appréciation d'un artifice envisagé d'oi'dinaire comme purement spécial, mais qui, mieux jugé, peut aisément devenir la base d'une véritable méthode générale.

C'est celui par lequel on trouve commodément la valeur du coefBcient angulaire de la tangente quand le point de contact est situé àTorigine des coordonnées^ en évaluant, dansTéqua-

tion de la courbe donnée, le rapport - pour a; es o, ce qui est

le plus souvent très-faci]e. Si, par exemple, d'après Téquation de la cissoïde

9/2 es

on veut connaître la direction de sa tangente à Torigine, on aura

ainsi la limite du rapport de l'ordonnée àrabscisseindéflniment décroissante est ici 0, en substituant 2; «* 0, ce qui montre la tangente alors confondue avec Taxe de la courbe, conformé-, ment au résultat fourni déjà (n° 26) par la définition.

Une telle considération peut évidemment conduire à trouver la loi générale du coefBcient angulaire de la tangente en un point quelconque d'une courbe : car, il suffit de transporter l'origine en ce point [x' y'), sans changer d'ailleurs la direction des axes ; ce qui oblige à changer x&ax' -\-x ety eny '4"^ . dans l'équation proposée f (x, y) = 0, qui devient alors

Toute la difBculté, afin de retrouver ainsi la règle des tangentes, consiste à bien discerner les seuls termes de cette nouvelle équation qui doivent être pris en considération quand on

évalue - pour x «= 0, y = 0, en écartant avec soin ceux qui, ne

pouvant exercer à cet égard aucune influence, compliqueraient inutilement cette appréciation analytique. Or, il est évident

que, si on développe réquation selon les puissances croissantes de X et de y, sous la forme

A + Bo: +Cy + Da:« + Exi/ + Fy> +,etc., = 0,

le terme A indépendant de x et de y, coïncidant spontanément avec/ {x\i/% se trouvera annulé suivant Thypothèse indiquée, et que, après avoir ensuite tout divisé par x^ dans la vue d'introduire le rapport cherché, l'équation, devenue

B + C^ + Dx + Ey + F(^]y +, etc.,c=0, X \x/

ne conservera, lorsqu'on y posera x «=»0, y=0, que ses deux premiers termes : en sorte que, à la limite voulue, le rapport

- sera exprimé par — -, sans dépendre aucunement des

termes d'un degré supérieur au premier. Si maintenant on rapproche ce résultat de la définition précédente des dérivées, on reconnaîtra aisément, avec un peu d'attention, surtout en ayant soin, pour plus de clarté, de n'opérer que l'une après l'autre les deux substitutions primordiales x' -{-x ety ' + y^ que ces coefficients B et G des premières puissances de x et de y constituent précisément les dérivées respectives du premier membre de l'équation primitive relativement à a: et y, où l'on aurait, bien entendu^ remplacé les coordonnées générales or, y par les coordonnées spéciales a:', y' du point de contact. Ainsi se trouve directement établie la loi fondamentale des tangentes, qui ci-dessus n'était encore qu^m simple résultat de calcul, alors limité aux seuls cas considérés, maïs désormais étendu, du moins en principe, à toutes les équations possibles, sauf la difficulté purement analytique de trouver les dérivées convenables.

41. D'après les seules connaissances algébriques qu'exige ce traité, ces dérivées ne pourront être immédiatement formées

que pour des fonctions algébriques proprement dites, qui soient en outre rationnelles, et même entières, ou, en d'autres termes, exclusivement composées de simples puissances des variables. La dérivation y consistera donc toujours à multiplier chaque coefficient par l'exposant correspondant, et à diminuer celui-ci d'une unité ; ce qui reproduira textuellement la formule obtenue spécialement au n° précédent. Mais, quoique ces cas soientles seuls où nous puissions ici déterminer immédiatement les tangentes, la loi fondamentale de cette théorie géométrique n'en est pas moins déjà complètement établie, en ne laissant plus à désirer que l'extension ultérieure desnotions analytiques sur la formatioE eifective des dérivées.

Quand les équations données, quoique algébriques, seront irrationnelles ou fractionnaires, notre règle des tangentes pourra, même dans son état actuel, y devenir finalement applicable, mais seulement après les préparations plus ou moins pénibles destinées à enlever les dénominateurs et les radicaux. Si l'on a, par exemple, l'équation

on Atera d'abord le dénominateur en écrivant

et puis le radical en isolant et carrant, ce qui donnera, après avoir développé et transposé, Téquation

x^y^ — rc* — 2a?y + 1 =» 0.

C'est uniquement alors que nous pourrons immédiatement appliquer la règle des tangentçs, d'où il résultera ici

3iC* — 2xy^ + 2y

où l'on pourra, d'après l'équation primitive, mettre y en x de manière à obtenir finalement

lang. a = — -j +

Dans les cas semblables, rimperfection actuelle de nos connaissances analytiques sur Tapplication effective de la règle des tangentes consiste à ne pouvoir obtenir directement cette expression définitive, à laquelle nous n'aboutissons que par un circuit algébrique plus ou moins laborieux, faute de savoir prendre immédiatement lesdérivées des fonctions proposées. Il convient que le lecteur sente déjà, d'après quelques exercices spontanés, ces divers embarras algébriques, qui caractérisèrent, à cet égard, Tétat de la géométrie analytique entre Descartes et Leibnitz, et dont l'appréciation croissante constitua Tun des principaux stimulants qui poussèrent àTinvention de Tanalyse transcendante. Les difficultés relatives aux dénominateurs sont toujours bientôt surmontées : mais il n'en est nullement ainsi pour celles que suscitent les radicaux. Si on pouvait partout, comme dans l'exemple précédent, ôter ceux-ci en les isolant successivement afin d'élever ensuite aux puissances correspondantes, une telle préparation ne serait pas très-gênante. Mais cette marche n'est pleinement efficace qu'envers un radical unique, et ne s'applique aux radicaux simultanés qu'autant qu'ils sont du second degré seulement; encore faut-il, même alors, qu'il n'en coexiste pas plus de cinq : en tout autre cas, la suppression des radicaux exige l'intervention des pénibles méthodes d'élimination propres aux équations algébriques d'un degré quelconque, dont l'usage devient presque toujours impraticable.

Pour faciliter, en beaucoup d'occasions, l'application de notre règle des tangentes, il convient enfin d'y remarquer que si l'équation proposée est résolue par rapport à y, sous la forme

la loi générale se simplifie, et devient tang. an» «p' (^), la dérivée relative à y étant ici 1. Ainsi le coefficient angulaire de la tangente est toujours exprimable par la dérivée de la fonction qui représente l'ordonnée ; ce qui nous permettra, dès ce moment^ de le former plus aisément, quand cette fonction sera de Tespëce de celles dont nous savons actuellement trouver les dérivées.

Au sujet de ce principal problème, ainsi qu'envers les recherches secondaires qui vont s'y rattacher, il est presque superflu d'avertir expressément que toutes les solutions relatives aux tangentes conduisent aisément à celles qui concernent les normales^ c'est-à-dire les perpendiculaires qui leur sont menées des points de contact; quoique cette nouvelle forme d'une telle étude puisse d'ailleurs en augmenter souvent, sous l'aspect algébrique, les difficultés spéciales, elle ne saurait exiger jamais aucun nouveau principe géométrique.

42. La question fondamentale de la théorie des tangentes étant désormais sufQsamment traitée, considérons maintenant la manière générale d'y rattacher successivement, selon leur complication croissante, les diverses questions accessoires qui peuvent en être envisagées ou comme des conséquences ou comme des transformations.

n faut d'abord examiner le cas où l'on demande une tangente parallèle à une droite donnée. On connaît alors la valeur spéciale du coefficient angulaire de la tangente, et U s'agit d'en déduire réciproquement les coordonnées correspondantes du point de contact. Notre règle fondamentale, qu'il faut seulement ici appliquer aune destination inverse, fournit aussitôt le moyen de mettre le problème en équation. Si f[x^y) = 0 est l'équation de la courbe donnée, et ^e= aar+ d celle de la droite proposée, on aura donc ainsi, entre les coordonnées inconnues x\ y* du point du contact cherché, la relation

- fx (X'. y')

qui, combinée avec la condition nécessaire / {x' y') = 0, déterminera ces inconnues, sans que la question puisse jamais offrir d'autres difficultés que celles de Texécution algébrique. Qu'il s'agisse, par exemple, de la courbe y' = a:*, et qu'on veuille lui mener une tangente parallèle & la droite y = x^ les équations seront, en supprimant les accents inutiles,

— c=i, ety>=a:",

d'où il résultera a? = - et y = r^i pour le point où la tangente

est inclinée à 45^. Quand le problème sera impossible, on le reconnaîtra ainsi, comme de coutume, en trouvant des coordonnées imaginaires, ou tout au moins infinies si la direction donnée appartenait à la limite des tangentes d'une courbe indéfinie.

Supposons, en second lieu, qu'on demande une tangente passant par un point extérieur donné. En renversant encore le problème fondamental, on introduira les coordonnées inconnues du point de contact, d'après lesquelles l'équation de la tangente serait

où il faudra exprimer la condition de passer au point donné (6, a), ce qui fournira la relation

6 — y esa ^^-r — . fa X )

pour déterminer, conjointement avec la condition spontanée f {x\y*) = 0, les deux inconnues x' et y'. Dans la courbe

y3c= a:» on trouverait ainsi x\ et par suite y\ d'après Téquation

ar» — 6cur'* + 9aaa:' — 4^ ==. 0,

qui ne peut plus présenter que des difficultés d'algèbre.

43. Considérons maintenant une troisième question générale qui, quoique semblant purement préparatoire, mérite d'être soigneusement séparée, soit à raison de son importance propre, soit en vertu du nouvel aspect sous lequel elle conduit à envisager l'ensemble de la théorie des tangentes : c'est celle où l'on se propose de trouver la relation constante entre le coefficient angulaire et le coefficient linéaire de toute droite y = ox -}- ^ tangente à une courbe donnée, indépendamment de la position particulière du point de contact. Une fois obtenue^ cette relation caractéristique pourra indifféremment concourir à déterminer, suivant les cas, ou la droite ou la courbe.

On peut d'abord envisager cette nouvelle recherche comme une simple conséquence de la question fondamentale. Car, en introduisant encore, à titre d'auxiliaires provisoires, les coordonnées x' et y' du point de contact indéterminé, on exprimera la coïncidence de la droite proposée avec l'une des tangentes de la coui'be / (a:, y) = 0, d'après les deux formules d'identification

/y fy

il ne s'agira plus que d'éliminer x' et y' entre ces deux équations et la condition spontanée f[x\ y') = 0, ce qui fournh'a la relation demandée entre a et 6. Soit, par exemple, la courbe y« = ar» : on aura

et rélimination donnera aisément 6 = — ;^ ; en sorte que Téquation

représentera l'ensemble des tangentes de cette courbe^ si a y reste arbitraire, et successivement chacune d'elles suivant les valeurs spéciales de ce coefficient angulaire.

Cette manière de découvrir la condition cherchée est, par sa nature, aussi générale que la méthode des tangentes d*où elle dérive, et offrira môme le plus souvent, outre cette pleine généralité intrinsèque, une moindre difficulté d'exécution qu'aucune autre. Mais il n'en importe pas moins de caractériser ici soigneusement un second mode, non moins général en principe, quoique d'une application ordinairement plus pénible et moins étendue. Indépendant de la règle primitive, cet autre mode pourra, réciproquement, d'après l'intime connexité naturelle des deux questions, en reproduire finalement l'équivalent essentiel. C'est même sous une telle forme que la théorie des tangentes fut analytiquement créée par Descartes. Bien que l'usage ait ensuite justement conduit à préférer la forme mieux exprimable que nous avons expliquée d'abord, cet ancien mode conserve encore, en certains cas, une haute utilité scientifique, indépendamment de son importaace historique.

Il repose sur le principe des racines égales, immédiatement dérivé de la définition des tangentes. Si une droite y =ax ^b touche une courbe f {x, y) = 0, l'équation

f[x^ax -f- ô)=jO

qui détermine les abscisses des points communs doit alors offrir, entre deux de ses racines, une égalité caractéristique, qui,

algébriquement formulée, fournira la relation Aeakb propre à distinguer toute tangente d'avec une simple sécante.L'obligation de n'envisager que deux racines égales résulte évidemment de la vraie notion des tangentes, où deux points doivent seuls être combinés ; on conçoit^ au reste, algébriquement, qu'un plus haut degré de multiplicité établirait, entre a et b, plusieurs relations ; ce qui est manifestement contraire à l'esprit de la question, où ces constantes,quoique liées, doivent rester chacune indéterminée. Quand l'égalité de deux racines entraînera celle d'un plus grand nombre, cette circonstance, nécessairement exceptionnelle, constituera naturellement le caractère analytique de certains points singuliers.

Toute la difficulté étant ainsi réduite à exprimer,dans l'équation précédente, une telle égalité, cette question analytique est facile à résoudre^ indépendamment de toute théorie spéciale d'algèbre, en déterminant, à la manière de Descartes, la condition de divisibilité du premier membre de cette équation en x par un facteur du second degré carré [x — A)^, comme on le faisait avant la naissance de la théorie des racines égales proprement dite, dont l'intervention ultérieure sera d'ailleurs ordinairement beaucoup moins favorable qu'on n'a coutume de le supposer à la simplification effective des calculs. Le moyen le plus naturel, et presque toujours le plus commode, de formuler cette divisibilité caractéristique, consiste, comme on sait, à accomplir la division, pour annuler identiquement le reste du premier degré. On obtiendra ainsi deux équations, entre lesquelles il faudra éliminer l'indéterminée auxiliaire /t, qui représente ici l'abscisse du point de contact ; le résultat de cette élimination constituera la relation cherchée. En opérant ainsi sur la courbe y^ »= a:*, on retrouvera, mais plus péniblement, la condition ci-dessus obtenue.

Quoique le principe de cette seconde méthode comporte évi-

demment une entière généralité, son expression analytique est essentiellement bornée aux équations algébriques proprement dites, rendues même préalablement rationelles et entières. Car, dans une équation transcendante, ou simplement irrationnelle, on ne saurait aujourd'hui comment découvrir directement la condition de Tégalité de deux racines. A.insi, la première méthode,ultérieurementapplicableàtoutesles équations, est, en général, préférable, bien que le lecteur ne puisse actuellement remployer qu'avec les mêmes restrictions que pour la seconde. Toutefois, celle-ci mérite d*être soigneusement étudiée, outre l'importance généraledu principe correspondant, à cause des facilités analytiques qu'elle présente quelquefois, quoiqu'elle soit, tout compensé, habituellement plus pénible. Elle offre surtout un grand avantage envers les courbes du second degré, puisque la condition d'égalité s'y exprimera immédiatement d'après une formule très-élémentaire, sans exiger ni la division, ni surtout l'élimination subséquente, qui constituent les plus grands embarras algébriques de cette méthode.

De quelque manière que soit traitée cette importante question du contact indéterminé, elle fournit aussitôtle moyen de mettre en équation le problème général de géométrie qui consiste à mener une tangente commune àdeux courbes données : puisque, en formulant ainsi chacune des conditions du problème, on établira les deux équations propres à déterminer le coefQcient angulaire et le coefficient linéaire de la droite cherchée. Qu'on demande, parexemple, la tangente commune aux deux courbes,

y2 = a:», ya + a;* = i, on aura d'abord, pour la première, la condition de contact déjà obtenue ô=—— ; quant à l'autre, il convient évidemment de

préférer la seconde méthode, qui donnera finalement la condition 42 -=a û5* + 1 : telles sont donc alors les deux équations du problème ; en y éliminant 6, tout dépendra enfin de Téquation

réductible au troisième degré, et qui ne comportera, conformément à la figure, qu'un seul couple de valeurs réelles de a.

44. Passons maintenant à la plus vaste et la plus difficile de ces questions accessoires, en cherchant d'abord, par la généralisation du problème précédent, la condition analytique d'un contact indéterminé entre deux courbes quelconques., Mais ici il faut, avant tout, et c'est en cela que consiste, en principe, la seule difQculté propre à cette nouvelle recherche, il faut, dis>je, caractériser soigneusement ce qui constitue le contact de deux courbes.

Rien n'empêche, sans doute, d'étendre immédiatement à une ligne quelconque la définition du n^ 38 relative à la tangente proprement dite, en concevant, par exemple, un cercle passant en deux points distincts de la courbe donnée, et considérant la limite vers laquelle il tend quand le point mobile se rapproche indéfiniment du point fixe. Mais îl existe évidemment, entre les deux cas, cette différence radicale que, toute ligne droite étant déterminée d'après deux points, tandis qu'un cercle nel'est pas, une telle limite sera essentiellement précise envers la première ligne, et au contraire vague, sans être arbitraire, quant à la seconde : on pourrait, par exemple, choisir à volonté le rayon du cercle, et alors seulement sa situation extrême deviendrait aussi déterminée que celle de la droite. Si, au lieu d'un cercle, on considérait une parabole, dont la détermination exige un point de plus, la limite d'une telle relation serait encore plus indéterminée et ainsi progressivement à l'égard de courbes où le nombre de points déterminant croîtrait peu à peu. Ce

mode primordial dé définir le contact de deux courbes, d'après une servile imitation de ce qui convient à la ligne droite, constitue donc une notion géométrique nécessairement imparfaite et même confuse, pour tout autre cas que celui qui en a fourni le type spontané. Le seul moyen général de compléter convenablement une telle notion, en lui imprimant toujours un caractère pareillement déterminé, consiste, suivant la grande conception de Lagrange, à imiter plus judicieusement la définition initiale, en y remplaçant, dans chaque cas, le nombre deux des points coïncidents par celui qui correspond à l'entière détermination de la ligne introduite, trois quant au cercle, quatre envers la parabole, etc. C'est ainsi que, comme toutes les autres idées scientifiques, l'idée de contact, d'abord absolue, parce qu'on n'en avait apprécié qu'un seul cas, devient essentiellement relative, et comporte divers degrés de plénitude, ordinairement qualifiés aujourd'hui (Toscnlatians. Mais cette manière, seule vraiment philosophique, de concevoir, d'après Lagrange, la théorie générale des contacts des courbes, ne peut être convenablement suivie quejpar l'analyse transcendante, sauf l'indication ci-dessous du mode selon lequell'analyse ordinaire pourrait, en certains cas, l'ébaucher. Nous devons donc, après en avoir posé ici le principe géométrique, en renvoyer la constitution analytique à la géométrie transcendante,et nousborner maintenant à considérer envers les courbes ce degré élémentaire de contact déjà familier & l'égard de la ligne droite, et seul pleinement accessible à la préparation analytique que ce traité exige du lecteur.

Ainsi conçue, la recherche de la relation, alors aussi unique que dans le n^ précédent, entre les constantes arbitraires de deux courbes,

par suite d'un contact indéterminé, devient aussitôt une conse-

quence naturelle de noire question fondamentale. Car, il résulte évidemment des définitions respectives, que les deux courbes ont dès lors en un même point une même tangente. Introduisant donc, comme auxiliaires, les coordonnées x eiy du point de contact, elles devront vérifier, outre les deux équations proposées, la condition

qui exprime, d'après cela, la coïncidence des deux tangentes. Si donc, entre ces trois équations,on élimine ces coordonnées, on obtiendra finalement la relation demandée. Qu'on cherche par exemple, la liaison de ak b propre à rendre la courbe indéterminée

xyt=aax + by

tangente à la courbe déterminée

il faudra donc éliminer x eiy entre ces deux équations et Téquation

L ^lizl

Celle-ci donne aussitôt ar = ô -f- 2ay — 2y*, qui, substitué dans y^j= x^ fera trouver aisément y, et par suite or, en a et d :

on n'aura donc qu'à porter ces expressions dans la première

équation, et l'on trouvera finalement la relation 0 = — - a*.

Ici, comme au n* précédent, la question comporte évidemment un second mode de solution, d'après le principe des racines égales. Une fois y éliminé entre les deux équations proposées, il suffira de formuler, de lamêmemanière que ci-dessus, l'égalité de deux racines dans cette équation finale propre aux abscisses des points communs. Pour les coudées qui viennent

ax

d'être considérées, on aurait, suivant la première, y =- - — . ,

et Téquation finale serait

qui reproduit aisément la relation déjà obtenue par l'autre méthode . L'application habituelle de ce second mode donnerait lieu & une simple extension des réflexions suffisamment indiquées au n® précédent envers les contacts rectilignes.

La principale propriété théorique de cette dernière méthode consisterait à nous permettre déjà de caractériser analytiquement, dans les cas où elle est applicable, les divers degrés de contact, dont j'ai tout & l'heure établi l'appréciation géométrique. Car, le principe des racines égales n'a besoin, pour cela, que d'une suffisante extension, en considérant alorâ l'égalité, non plus seulement entre deux radnes de l'équation finale, mais entre trois, ou entre quatre, etc., d'après la divisibilité par [x — hy ou {x — A)*, etc,, selon qu'on chercherait le cercle, ou la parabole, etc. , susceptible du plus intime contact possible avec la courbe donnée. Il est aisé de sentir que l'on obtiendrait ainsi toujours autant d'équations qu'il en faudrait pour déterminer la courbe osculatrice, sauf une seule constante arbitraire qui servirait à la faire passer ensuite, si on le jugeait convenable, par un point particulier. Mais l'analyse transcendante fournira ultérieurement, à cette fin, des moyens bien plus commodes, même envers les courbes algébriques^ auxquelles convient exclusivement le mode que je viens d'indiquer.

En revenant au simple contact ordinaire formulé par une seule relation, on conçoit que les conditions de ce genre pourront désormais contribuer à la détermination des courbes conjointement avec leur passage en certains points, unique phénomène géométrique dont l'expression analytique nous était pri-

mitivementpossible : cette participation serad'ailleuTBtoujours assujettie à la théorie fondamentale du chapitre précédent,qui vient de recevoir ainsi sa première extension générale. Il sera maintenant facile, quand le nombre des contacts, rectilignes ou curvilignes, sera par là jugé suffisant, de mettre en équation ce problème géométrique très-étendu et fort difficile, résultat définitif de notre théorie des tangentes : déterminer une courbe d'espèce donnée tangente à certaines courbes entièrement don« nées. Quoique les relations ainsi obtenues pour calculer les paramètres inconnus de la courbe cherchée doivent être souvent inextricables, môme dans le cas d*un cercle tangent à trois courbes peu compliquées, une telle considération n'en est pas moins éminemment propre à faire dignement apprécier l'admirable généralité qu'ont acquise les spéculations géométriques sous un judicieux ascendant des conceptions analytiques, d'après la grande rénovation cartésienne.

45. Après avoir suffisamment expliqué la théorie des tan«gentes, il nous reste à considérer un exemple caractéristique qu'elle nous ojDTre spontanément de l'aptitude naturelle des conceptions géométriques à perfectionner, à leur tour, les spéculations analytiques, en y facilitant, par une lumineuse représentation, la découverte des principes essentiels, comme je l'ai indiquée, en général, au début de ce traité. Il s'agit de l'importante détermination des moxtma et mtnma pour les fonctions d'une seule variable, dont nous aurons d'ailleurs besoin bientôt à divers égards, et que cette heureuse intervention va déjà nous permettre d'étendre à des cas beaucoup plus variés et plus difficiles que ne semblent le comporter les connaissances analytiques purement élémentaires exigées ici du lecteur. Mais, avant tout, il faut caractériser soigneusement ]a natupe générale de cette recherche, et même ensuite résumée sq^ip^^rement les mpyens priSajablement foupis, 1^ ce suj^^ par IV nalyse ordinaire.

144 GËOHÉTBIE PUHE.

Les ilénomiii&tioBS usitées sont très-propres à bien rappeler en quoi consiste ce genre de questions, car elles indiquent une '"' de plus grande ou moindre valeur qui, convepablemeat ie, distingue, en effet, ces états remarquables. Une foncne comporterait réellement ni maximum ni minimum si était toujours croissante ou toujours décroissante à meque sa variable augmente, même quand elle tendrait indexent vers une limite assignable. Hais si, comme dans la ■art des cas réels , la fonction est tantôt croissante et tantôt 'oissante, cbaque passage de l'un à l'autre sens sera marpar un état maximum quand la fonction cessera d'augmenïour commencer à diminuer, bu par un minimum au cas raire. Ces états critiques sont doncnécessaipementaltemaen sorte que tout maximum tombe entre deux minima, et minimum entre deux maxim&.On voit ainsi que la valeur imum d'une fonction est en effet la plus grande, non de ,es absolument, ce qui est fort rare, mais seulement depuis linimum précédent jusqu'au minimum suivant, et de même r la valeur minimum : c'est pourquoi l'usage a consacré ici iploi des dénominations latines, dont la traduction littérale querait une vicieuse définition.

Es l'origine des spéculations mathématiques abstraites ou irëtes, de telles recherches se présentent fréquemment. i l'analyse ordinaire ne fournit, à ce sujet, que des res- 7ces peu étendues. Sa marche propre consiste alors à traiter uesUon du maximum ou minimum de chaque fonction/ (x) ime un cas particulier de la question qui consisterait à lui e acquérir une valeur quelconque n : dès lors, si l'on peut ludre algébriquement l'équation / [x) = n, la discussion de irmule x= f{n) indiquera les limites de n en deçii ou en , desquelles x cesserait d'être réel, et par suite on aura il les valeurs correspondantes Aef{x). Quoique ce principe

soit^ sans doute, pleinement général, Textrême imperfection de la résolution algébrique des équations en borne infiniment Tusage, quand Téquation proposée dépasse les quatre premiers degrés ; ce moyen élémentaire n'est même vraiment usuel qu'autant qu'elle n'excède pas le second degré, auquel cas ce procédé est ordinairement le plus commode.

A la vérité, Talgèbre supérieure perfectionne beaucoup cette méthode primitive, en assignant un caractère direct et spécial pour les valeurs de n qui séparent ainsi, quant à x^ la réalité de Timaginarité. Ce caractère, d'abord indiqué spontanément parles formules du second degré, consiste dans Tégalité nécessaire des deux valeurs de x susceptibles de devenir tantôt réelles et tantôt imaginaires. On peut, en effet, concevoir généralement, d'après la nature de la question, queTétat d'égalité correspondant au maximum ou minimum distingue toujours ce passage de la réalité à rimaginarité. Il sufiBt, pour cela, de remarquer que la fonction reprend nécessairement, après le maximum ou le minimum, les mêmes valeurs qu'auparavant, avec ou sans symétrie : ainsi, tant que la valeur n n'est pas le maximum ou le minimum, il lui correspond deux valeurs distinctes de x si elle est possible, et ce couple devient imaginaire si elle est hors de la limite ; à la limite même, ces deux valeurs coïncident, parce que l'état de n est alors unique. D'après cette considération fondamentale, le maximum ou le minimum de n se trouve donc caractérisé directement par la propriété de faire acquérir deux racines égales à l'équation f[x) — n = 0 : ce qui permet à l'analyse ordinaire de déterminer ces valeurs principales sans avoir nullement besoin de résoudre cette équation, en se bornant à y formuler, comme je Tai ci-dessus indiqué, l'égalité de deux racines. On divisera donc son premier membre par {x — A)*, et le reste, identique^ ment annulé, fournira deux équations tendant à déterminer n

146 GÉOKÉTBIE PIAIŒ.

et en même temps A, quL, loin d'Mre ici un auxiliaire superflu, constitue précisément la valeur cherchée de x.

ais, quelque précieux que soit eu lui-même un tel progrÈs 1 méthode primitive fourme par l'analyse ordinaire pour la rmination des maxima et minima, il se trouve nalurellet borné aux fonctions algébriques à la fois rationnelles et ëres. Or, l'intervention des courbes va nous permettre er déjà beaucoup plus loin, outre que c'est d'elle qu'émane iriquement la premiÈre notion' générale du principe précé- ,, quoiqu'on puisse le concevoir aujourd'hui d'une manière ;ment abstraite.

naginons donc la fonction /(.r) représentée par l'ordonnée y le courbe dont x est l'abscisse [fig. 33). La seule inspection ^rale d'un tel tableau fait aussitôt saisir un caractère propre terminer directement les points M", M', H'", etc. où la :he, auparavant ascendante, devient descendante, ou réci- [uement, en considérant la marche correspondante des pentes. Tant que la courbe monte, la tangente fait avec e un angle aigu ; cet angle est, au contraire, obtus quand la rbe descend : or, dans le passage de l'un à l'autre cours, à itant précis du maximum ou du minimum, l'angle est 1 180", et la tangente se trouve parallèle à l'axe. Ainsi la lerche de ces points rentre dans la question,ci-des8U8 Irai- (n* 4i), où il s'agit de mener, à une courbe donnée, une ;ente parallèle i. une droite donnée . On obtiendra donc les iurs de x propres au maximum ou au minimum en annu- . le coefRcient angulaire de la tangente, qui est ici /'(x). notions d'algèbre supposées dans ce traité ne permettront jnnatioa directe de celte équation caractéristique /"{3;)=0 nulant que la fonction proposée sera, d'abord algébrique, ussi rationnelle et entière. Hais, outre que la règle fondaitale est ainsi complètement découverte, sauf les connais-

sances analytiques qu'exigerait son application totale, nous pourrons déjà l'utiliser, comme la loi des tangentes d'où elle dérive, envers les fonctions fractionnaires ou même irrationnelles, d'après les préparations plus ou moins pénibles dont nous y avons reconnu la nécessité provisoire.

Un tel caractère est, philosophiquement, d'autant plus convenable qu'il constitue l'expression directe d'une remarque générale fréquemment suggérée par les divers phénomènes naturels qui présentent des exemples familiers de maximum ou de minimum, tels que les changements de la hauteur du soleil dans le cours de la journée, Tinégale durée des jours ou des nuits aux différentes saisons, etc. En tous cas semblables, les observateurs judicieux ont toiljours senti que l'état de maximum ou de minimum se trouve spontanément distingué des états antérieurs ou postérieurs par une sorte de station spéciale, que rappellent quelquefois les dénominations consacrées, surtout quant aux saisons. Or, cette disposition stationnaire est heureusement exprimée d'après notre méthode géométrique, qui indique alors la direction de la courbe comme parallèle à l'axe.

Quoique ce caractère fondamental, et la règle analytique correspondante, doivent également convenir au maximum et au minimum, il ne faut guère craindre que l'on soit ainsi exposé à confondre ces deux cas extrêmes, qu'on séparera presque toujours sans difQculté, soit d'après les indications suggérées par la nature de la question, soit au plus par une sommaire discussion des valeurs voisines : en sorte que cette inévitable coexistence ne constitue, en réalité, aucun grave inconvénient delà méthode précédente. Toutefois, en prolongeant davantage l'appréciation géométrique, on découvrirait aisément un caractère secondaire propre à distinguer le maximum du minimum. Nous avons déjà noté que la marche de

GÉOHÉTRIB PURE.

iDle est inverse de l'un i, l'autre cas ; puisque son incli- )asse, dans le premier, de l'aigu k l'obtus, et au conins le second; par suite, son coeflicient angulaire passe ifauuégatir,etpuisréciproquement.SiâoncroDiQiagiQe tte auxiliaire y'^f [x\ , dont ce coelScient deviendrût lée, elle traversera l'axe aux divers points cherchés,

descendant pour le maximum, et en montant pour le m, comme l'indique la partie ponctuée de la figure. La .on demandée consistera, par conséquent, en ce que la B à cette seconde courbe devra faire avec l'axe un angle irs du maximum et aigu lors du minimum : ainsi son îoefficient angulaire, naturellement exprimé par la se- Srivée de la fonction proposée,sera négatif dans le premier isitif dans le second. On pourrait même, en redoublant i de cet artifice géométrique, apprécier aussi l'hypotbëse diaire, où f {x) s'annulerait, s'il ne convenait pas de dreicicettetbéorieàcequ'elle offre de vraimentessentiel. afin, pour mieux sentir, à ce sujet, combien la géomé- :ut éclairer l'analyse, il faut remarquer que la considéles courbes nous indique spontanément la double imon radicale que présente nécessairement la méthode nte, et qui d'ailleurs n'altère aucunement son imporlux yeux des bons esprits qui, suivant une tendance 'huî trop rare, reconnaissent l'impossibilité nécessaire

jamais acquérir \ nos règles quelconques, même ana- I, une perfection absolue. D'abord, le caractère ainsi

par l'équation fondamentale, tang. a = 0, /" (a:) = 0, tient pas exclusivement aux points où l'ordonnée est im ou minimum : il pourrait convenir aussi à des points on teIsqueM', M" (/Î5r.34),si la courbey étaitconveint tournée.Ce cas estd'autant plus possible que,comme e la f,g. 33, il existe toujours quelque inflexion entre

chaque maximum ou minimum et les minima ou maxima qui le comprennent, et rien n'empêche que Taxe ne puisse être placé parallèlement à la tangente correspondante, quoique cette coïncidence doive être exceptionnelle. Sous cet aspect, Téquation f (a:)=0 peut donc contenir des racines étrangères àla question proposée, et dont le mélange exigera, en chaque cas semblable, une discussion spéciale plus ou moins pénible. Mais un inconvénient beaucoup plus grave de ce caractère fondamental consiste à pécher aussi par défaut, comme la considération géométrique le dévoile nettement, en supposant une courbe susceptible de rebroussement, sans que l'ordonnée y soit pourtant multiple. Dans les points N' et N" {fig, 34), l'ordonnée est certainement maximum ou minimum, tout aussi bien qu'en K' et K", et cependant la tangente, au lieu d'y être parallèle àl'axe, comme en ceux-ci, lui est perpendiculaire. C'est en vain que, pour garantir aux méthodes analytiques une perfection absolue, nécessairement interdite à nos conceptions quelconques, on a imaginé des distinctions sophistiques, d'après lesquelles il n'y aurait pas maximum ou minimum en N'et N" : il est clair que la définition abstraite de ces deux états convient tout aussi littéralement à ces deux ordonnées qu'à celles de K' ou K"; sans la figure il serait impossible de faire sentir la diversité des deux cas. Il est plus judicieux, en reconnaissant avec franchise que la méthode établie est, à cet égard, imparfaite, de remarquer que les courbes de ce genre, spéculativement aussi admissibles que d'autres, doivent toutefois s'offrir très-rarement dans l'expression géométrique des lois naturelles,parce que les changementsbrusques,géométriquementreprésentésparles rebroussements,y sont, quoique possibles, éminemment exceptionnels, envers tous les ordres réels de phénomènes ; ce qui doit rendre, au fond, peu regrettable une telle imperfection. 47. Avant d^abandonner l'étude des tangentes, je crois devoir

fe^'

GÉOMÉTRIB PLANE.

caractériser sommairement la méthode, historiquement remarquable, par laquelle Rober val, touten combattant, avec une aveugle obstination, la grande rénovation cartésienne, rendit, à sa manière, un témoignage involontaire du besoin de généralisation qui préoccupait alors Tesprit mathématique, en tentant un effort, plus estimable qu*heureux, pour constituer, sans le secours des conceptions analytiques, une théorie générale des tangentes.

Cette méthode consiste à concevoir le mouvement du point qui décrit la courbe proposée comme continuellement décomposable en deux autres, dont les directions et les vitesses relatives soient exactement assignables : la tangente devient alors suivant la loi des mouvements composés, la diagonale du parallélogramme construit, selon ces deux directions, avec des côtés proportionnels à ces deux vitesses. Par exemple^ la première définition de rellipse(n** 19) montre que le point décrivant s'y éloigne autant de Tun des points fixes qu'il se rapproche de l'autre : on le concevra donc attiré par Tun d'eux et repoussé par Tautre avec des forces égales, et la règle de Roberval assignera aussitôt, pour la tangente, la bissectrice de Tangle que fait Tune des droites avec le prolongement de l'autre; ce que nous trouverons plus tard exactement conforme aux résultats analytiques. SU s'agissait de l'hyperbole, cette considératiorr indiquerait la bissectrice môme de l'angle des deux distances, puisque celles-ci augmenteraient alors ou diminueraient à la fois, et d'ailleurs toujours également. Quant à la parabole, la méthode de Roberval y conduirait aisément, d'après la définition du n<* 20, à la bissectrice de l'angle formé par les deux distances constamment égales. Enfin, pour citer aussi une courbe transcendante, à laquelle on doit d'ailleurs s'étonner historiquement que Roberval n'ait pu appliquer convenablement sa règle, considérons la cycloïde ordinaire [fig. 35), où,

suivant la génération déjà citée, le point décrivant M est natntorellement animé de deux mouvements^ Tun de translation, parallèlement à la base ÂB, Tautre de rotation, dans le sens de la tangente MK au cercle correspondant : puisque Tare MN est constamment égal à la distance AN, les deux mouvements élémentaires ont encore ici la même vitesse ; la tangente doit donc coïncider avec MT, bissectrice évidente de Tangle KML. Les heureuses applications que comporte quelquefois cette méthode ne doivent faire aucune illusion sur sa généralité propre, qu'on ne pourrait réaliser qu'en recourant aux conceptions analytiques, de façon à reproduire, sous une autre forme, notre règle primitive ides tangentes, sans que Tintervention de ces considérations dynamiques en eût d'ailleurs aucunement amélioré la formation. Gai*, en imaginant ainsi le point décrivant animé, en général, de deux mouvements, l'un horizontal, l'autre vertical, la difficulté d'estimer le rapport des vitesses consistera toujours à déterminer abstraitement la limite du rapport entre l'accroissement de l'ordonnée et celui de l'abscisse, à mesure que la seconde position du mobile se rapproche indéfiniment de la première : puisque, si le mouvement peut être supposé uniforme dans un sens, horizontalement par exemple, il ne saurait l'être aussi verticalement, à moins que le trajet ne fût rectiligne; ce qui obligera, pour mesurer la vitesse correspondante, à considérer l'élévation verticale d'un point qui tende à se confondre avec le point donné. On revient donc ainsi nécessairement, et d'après une conception plus pénible parce qu'elle est moins directe, à ce problème analytique qui constituera toujours la difficulté fondamentale de la théorie générale des tangentes : évaluer la limite vers laquelle tend le rapport de la différence des ordonnées à celle des abscisses, entre deux points d'une courbe donnée dont l'un se rapproche indéfiniment de l'autre.

11 ne faut point, au reste, mentionner cette méthode de Roberval sans signaler soigneusement les graves erreurs que pourrait déterminer son application irréfléchie. En considérant, par exemple, la définition du cercle (n° 21) comme .lieu d'un point dont les distances à deux points fixes sont en raison constante, une telle règle semblerait assigner, pour la tangente, tout aussi clairement que dans les cas déjà cités, la diagonale du parallélogramme construit sur ces deux distances : et cependant il est aisé de reconnaître que cette construction serait entièrement fausse. De môme, la définition commune aux trois sections coniques (n® 23) paraîtrait aussi indiquer une tangente dirigée suivant la diagonale du parallélogramme déterminé par les deux distances constamment proportionnelles : or, ce résultat, exact pour la parabole, serait certainement erroné pour Tellipse ou Thyperbole. Ces exemples montrent suffisamment que la méthode de Roberval, outre son inaptitude évidente à une vraie généralisation, ne deviendrait même rigoureuse que d'après certaines précautions, à Tégard desquelles ceux qui désireraient une plus complète appréciation pourront utilement consulter le travail spécial de M. Duhamel, où ce sujet accessoire est essentiellement épuisé. Il serait ici superflu d'insister davantage sur une conception qui n'oflfrc réellement aujourd'hui qu'un simple intérêt historique.