CHAPITRE III

Théorie des asymptotes.

48. Ce terme est naturellement destiné à qualifier deux lignes quelconques qui tendent continuellement l'une vers

rautre^ de manière à se rapprocher autant qu'on voudra, sans cependant pouvoir jamais s'atteindre. Mais on l'emploie presque toujours comme substantif, pour désigner surtout les droites qui présentent envers certaines courbes une telle relation. Les asymptotes rectilignes sont, en effet, les seules dont la détermination puisse contribuer beaucoup à faire mieux connaître les courbes correspondantes. Elles sont directement propres à dissiper toute incertitude sur le sens de la courbure d'une courbe dans la majeure partie de son cours, puisque la courbe doit nécessairement être toujours convexe vers son asymptote, à partir du point où la tendance se caractéiflse, (c'est-à-dire dès la dernière sinuosité : une courbe qui se rapprocherait indéfiniment d'une droite en lui tournant sa concavité, ne saurait évi« ter de la traverser. .

Outre ce motif fondamental de restreindre ainsi la recherche des asymptotes, il faut d'ailleurs reconnaître que cette question^ si on l'envisageait dans toute son étendue, serait d'une nature beaucoup trop vague pour comporter jamais aucune solution vraiment générale. Car, deux lignes asymptotes d'une troisième pouvant toujours l'être aussi l'une de l'autre, toutes les courbes susceptibles d'asymptotes rectilignes peuvent, par cela même, être disposées de telle manière que chacune d'elles soit asymptote des autres, en faisant convenablement coïncider leurs asymptotes respectives. Il ne saurait donc exister aucun type d'équation assez général pour embrasser réellement toutes les asymptotes curvilignes d'une courbe donnée, puisqu'il s'en trouvé nécessairement parmi les courbes algébriques de tous les degrés possibles, et pareillement parmi les courbes transcendantes de toute espèce. Si on a cru quelquefois posséder des méthodes analytiques propres à une telle destination, c'est certainement faute d'avoir assez compris l'étendue nécessaire de cette question. La recherche ne peut devenir suffisamment pré-

cise qu'autant que Ton spéciûe dans quelle sorte de courbes ou dans quelle forme d'équations on choisit les asymptotes. Or, ainsi conçue la détermination des asymptotes curvilignes résulte naturellement, au moins en ce qu'elle peut offrir de vraiment utile, de la théorie des asymptotes rectilignes, comme on le reconnaîtra à la fin de ce chapitre.

Cette dernière théorie étant donc, à ce double titre, la seule qui doive essentiellement nous occuper, il faut maintenant expliquer les deux méthodes très-distinctes, quoique nécessairement équivalentes, que comporte son institution, soit d'après la théorie des tangentes, soit indépendamment. Mais, avant tout, pour éviter des discussions superflues, il convient de remarquer que les asymptotes parallèles aux axes coordonnés peuvent d'abord être spécialement obtenues sans difficulté, comme la première partie de ce traité nous en a offert quelques exemples spontanés, en reconnaissant, presque à l'inspection de l'équation proposée, que l'une des variables y devient infinie d'après une certaine valeur finie de l'autre ; sous la réserve toutefois des explications que j'aurai naturellement lieu d'indiquer ci-desBous sur le vrai sens général d'une telle condition analytique.

49. En rapprochant convenablement la définition des asymptotes de celle des tangentes, il est aisé de sentir que toute asymptote constitue la limite nécessaire d'une suite correspondante de tangentes, ou, en d'autres termes, peut être envisagée comme une tangente dont le point de contact s'est éloigné à l'infini : car, en même temps que ce point s'approche ainsi de l'asymptote, la direction de la tangente, déterminée par la coïncidence finale qui la caractérise, tend évidemment à se confondre aussi avec celle de l'asymptote ; pourvu d'ailleurs qu'on n'applique jamais une telle comparaison qu'à partir de la dernière sinuosité, où l'asymptotisme commence réellement à

se manifester. Tel est le principe, éminemment simple et général, de la première méthode des asymptotes, la senle pleinement universelle, parce qu'elle comporte naturellement la même extension que la méthode des tangentes, dont elle offre seulement une nouvelle application. On voit ainsi que, pour déterminer le coefficient angulaire et le coefficient linéaire propres à Tasymptote, il suffit de supposer infinies les coordonnées du point de contact dans les deux formules relatives à une tangente quelconque, conformément au chapitre précédent,

a fe b^y + x^^:

l y Ty

les valeurs correspondantes de a et 6 feront connaître Fexis tence, le nombre,et la situation des asymptotes cherchées. Quant au cas d'impossibilité, il faut bien distinguer, suivant Tesprit de la question, entre les courbes fermées et les courbes indéfinies. Pour les premières, si, par inadvertance, on y poursuivait une recherche évidemment contraire à leur nature, ce calcul en avertirait machinalement en attribuant à a et 6 des valeurs imaginaires, puisque la supposition de Tune des variables infinie y rendrait l'autre imaginaire. Mais, envers les courbes indéfinies, qui seules comportent raisonnablement une telle étude, la valeur extrême de a ne saurait être imaginaire, ni, par suite, celle de b ; car, soit que la courbe ait ou n'ait pas d'asymptotes, il existe alors une limite nécessaire de la direction des tangentes, d'ailleurs toujours utile à connaître. L'existence ou l'absence des asymptotes sera donc annoncée par la cohérence ou Tincompatibilité entre ces valeurs réelles de a et de b ; en termes plus précis, les asymptotes obliques seront ainsi indiquées ou interdites suivant que Ton trouvera b fini ou infini.

Si, dans l'usage de cette méthode, les commençants éprouvaient d'abord quelque difQculté à calculer directement les

ix^^'Xi,y='<a, ils pourraient en éluder aisémeot i, d'après la précaution algébrique de transformer

lent X et y en - et - , afin de supposer ensuite / = 0,

nd la formule aurait été ainsi convenablement préabitude d'un tel expédient finira d'ailleurs par indi- Lauément le moyeu de s'eu dispenser, en faisant sortir les principes relatifs à la substitution directe laquelle, quoique moins simple que celle de zéro, sentiellement à ne conserver, dans chaque formule , que le terme du plus haut degré, emiëre méthode des asymptotes n'offre vraiment ve inconvénient analytique que la difficulté trfes-fréliscerner ainsi les valeurs extrêmes de a et de b, qui eront souvent sous une forme d'abord indéterminée,

|, ou tout autre symbole équivalent. A la vérité, l'a-

iscendante fournit ensuite des procédés propres à une telle solution, en dissipant presque toujours une équivoque. Mais, outre que l'obligation d'y recourir alors la détermination, les faibles connaissances al- (ue j'exige ici du lecteur nous en interdisent l'usage ; le cette imperfection naturelle doit actuellement enicoup l'application d'une telle méthode, d'aprës le tée des artifices que fournit, à cet égard, l'algèbre e. Sans doute, il serait vicieux de regarder cet in- . comme strictement propre à la question présente; ihérentà toute évaluation quelconque des formules B, et pourrait aussi survenir pour une situation finie B contact. Toutefois, il faut reconnaître que, surtout équations algébriques proprement dites, que nous s ici principalement, des coordonnées infinies occa-

sionneront plus fréquemment que d'autres ce grave embarras. Le seul conseil général qui, sous ce rapport, contienne maintenant au lecteur, consiste à réduire d'abord, dans chaque formule à évaluer, les deux variables xei yk une seule, d'après Téquation proposée, et à préparer ensuite l'expression de manière que la variable indépendante n*y entre que d'une seule manière, ce qui ne sera possible que dans les cas suffisamment simples : quand cette dernière condition aura été remplie, l'indétermination cessera nécessairement.

Soit, par exemple, l'équation commune des trois sections coniques (n® 23)

y« + (4 — n') x^'-^dx + (fi = 0.

On aura ici

Rapportant tout à a:, il vient

d-f(7i* — l)a: dx — d*

V (n*— l)x^+2ûte— d*' V (n*— i)x^+ 2dar— cP'

Il suffît de diviser par x les deux termes de chaque fraction pour que cette unique variable n'y entre plus que d'une seule manière, de façon à dissiper toute indétermination; car, alors

d comme - devient nul quand x est infini, on trouve enfin, sans

équivoque

ppréciatioD générftle, ces valeurs ne sont ans l'ellipse, où n est inférieur à i. Pour > 1, elles indiquent deux asymptotes syméi envers l'axe de la courbe et s'y croisant au ! lecteur peut aisément le constater. Quant à = 1, la valeur de a est nulle, ce qui assigne Dite unique de la direction des tangentes; ini, ce qui constate l'absence d'asymptotes. 3ore réqnatioii

mie ne présente aucune équivoque, et donne . Quant h la première, il suffit encore d'y tout écrivant

qu'une seule fois, on trouvera aussilAt, = — 1 . Ainsi, l'équation de l'asymptote est r, qui indique la bissectrice du second angle

npks pussent faire illusion sur la facilité de invénients algébriques propres à cette pre- I asymptotes, il serait superflu de lesmulli- , puisque nos réflexions générales ont déjJi itérisé de tels embarras, dont la troisième

partie de ce traité nous fournira de fréquentes occasions de sentir spécialement la gravité.

50. C'est surtout comme spontanément dégagée d'une telle imperfection pratique, que se recommande, envers les courbes algébriques proprement dites, la seconde méthode des asymptotes, qu'il faut maintenant expliquer. Directement indépendant de la théorie des tangentes, le principe de cette méthode consiste à voir, dans toute asymptote, une droite dont deux intersections avec la courbe se sont éloignées à Tinfini. Pour bien apprécier cette conception, il faut envisager séparément rinfluence d'une telle hypothèse envers chaque intersection. Si, dans la courbe BC [fig. 36), dont AD est l'asymptote, on considère une sécante quelconque M'M", tournant autour de M', de telle manière que M" s'en éloigne indéfiniment ; il est clair que, à la limite M'N, au delà de laquelle le second point M" reparaîtrait sur l'autre partie de la courbe, la droite sera devenue parallèle à l'asymptote : quand le point M" sera à l'infini, il appartiendra, en effet, indifféremment à la courbe età l'asymptote. Ce premier mouvement, exactement inverse de celui qui produit les tangentes, détermine donc, en chaque point quel* conque de la courbe, une direction fixe, parallèle à l'asymptote, ou, plus généralement, à la limite de la directioji des tangentes. Or, si maintenant on fait aussi varier le point M , en opérant une pareille rotation en un point de plus en plus éloigné sur la courbe, et par suite de plus en plus rapproché de l'asymptote, il en résultera une droite qui, toujours parallèle à celle-ci, tendra à se confondre avec elle, comme d'après une translation directe. Ainsi, l'asymptote constituera naturellement la limite finale des sécantes dont deux intersections ont disparu àl'inflni. La nécessité de se borner à deux intersections, sans rien préjuger sur les autres quelconques, résulte ici, comme dans la théorie des tangentes, du nombre de points

céohéthie plahe.

jrminer uoe ligne droite. Un eboI point à l'infini ic la courbe ne caractériserait pas suffisamment en tant que pouvant également convenir k touteE s ; mais trois points seraient supertlus, etne san- : être facultatifs, pas plus qu'envers la tangente : la lu la persistance du troisième point après l'éloigneiix premiers dépendra de ce que, suivant les cas, si obtenue serait également asymptote ou simplee envers une autre partie de la courbe proposée. 1 rapprocberune telle conception decellequi sertde imiëre méthode, pour sentir aassitAt l'équivalence es deux principes : puisque, d'après la coïncidence finit les tangentes, une tangente dont le point de igné indéfiniment constitue naturellement unedroite fini deux points communs avecla courbe. Hais, afin iprécier ce rapprochement fondamental, il importe abord du contraste préliminaire ci-dessus caracid la première intersection a seule disparu, et en l d'iùlleurs le discours par l'exclusive mention des ne comportent ~pas plus de deux points en ligne } avons ainsi reconnu que, en chaque point d'une finie, il existe nécessairement deux directions trësilon lesquelles unedroite ne coupe qu'une seule fois l'une, celle de la tangente, variable d'un point à lisse toute la courbe adjacente d'un même cAté; Ulèle k l'asymptote, ou k la limite de direction des !St toujours la même en tous les points, et pénètre ^avité delà courbe ; la première résulte d'une rota- >proGhe indéfiniment l'intersection mobile de l'inter- ; la seconde provient d'une rotation inverse, qui, !, écarte indéfiniment l'une de l'autre. Or, ces deux ffêrents d'étabUr l'unité d'intersection tendent à se

confondre, à mesure que le centre commun de ces deux rotations opposées s'éloigne de plus en plus ; et les deux limites partielles coïncident nécessaii*ement quand ce point est à Tinfini. Telle est Texplication générale de Téquivalence fondamentale de deux conceptions qui, sous un certain aspect, semblent d*abord contradictoires.

Quoique cette nouvelle manière d'envisager les asymptotes coïncide géométriquement avec la précédente, la forme qui lui est propre conduit à une méthode analytique très-différente de la première, et ordinairement bien plus commode, mais seulement envers les courbes algébriques. Q suffit ainsi, en effet, pour déterminer les deux coefficients de Tasymptote cherchée y = or -|- 6, d'éliminer y entre cette équation et celle de la courbe donnée / (a;, y) = 0, afin de constituer Téquation

finale,

/ (j?, ûu: -f- ô) = 0,

de façon que deux de ses racines deviennent infinies ; ce qui fournira deux relations, d'après lesquelles on calculera a et 6. Mais, quoique ce principe soit pleinement général, on ne saurait prescrire aucune règle fixe quant à la manière de formuler une telle condition analytique, soit à l'égard des équations transcendantes, soit même envers les équations algébriques surchargées de fonctions fractionnaires et surtout irrationnelles. C'est seulement pour les équations rationnelles et entières, d'un degré quelconque d'ailleurs, et de la forme,

ka^ -f Ba:«»-i + Ca:»"^ -f. etc.. -|- Ka: -f- L = 0,

que l'on peut nettement caractériser d'avance l'existence de

deux racines infinies, en y concevant x remplacé par -, afin

de ramener ce cas à celui des racines nulles. Le lecteur le moins exercé aux spéculations algébriques pourra ainsi consta-

GÉOHÉTBIE PUNE.

ent qu'une première racine infinie suppose annulé le t du plus haut degré, et que ^chacune des autres exigelulation de l'un des coefScienIs suivants, d'après tnrel des exposants. En développant de cette manière i / (x, or + 6) =■ 0, on obtiendradonc les deux con-

A = 0, B = 0, déterminer a et b. Si leur accomplissement entraîne nellement l'annulation d'un on plusieurs des coefBvants C, D, etc., l'asymptote obtenue se trouvera aussi à autant de nouvelles parties de la conrbe. re appréciation decettemélbode et sa judicieuse appliigent également que l'on s'attache k bien interpréter le ces deux conditions algébriques. D'après sa formaremière, A = 0, sera naturellement indépendante lis que l'autre le contiendra avec a ; ce qui pourra leaucoup l'évaluation successive des deux inconnues, le cette circonstancealgébrique correspond il'imporarque géométrique ci-dessus expliquée, que la dispal'une des intersections, en lussant subsister l'autre, i la direction fixe de la droite, quel que puisse &tre cientlinéaire ; en sorte que l'indépendance nécessaire ient angulaire envers celui-ci se trouve ainsi confir- ^tiquement, outre son évidence directe. Cette séparatanée des deux parties de l'opération est donc pleineforme àla nature de laquestion, et constitue l'un des X avantages de la méthode actuelle. Judicieuse- Usée, elle tend à simplifier extrêmement les calun grand nombre de cas. Si, en effet, on procède i l'évaluation propre du coefficient angulaire de ite, suivant l'esprit d'une telle recherche, on pourra •quatloncorrespondante,A = 0,en substituant seule-

ment y = aXy puisque, b n'y devant pas entrer, elle sera la même que pour 6 =» 0. Or, cette substitution monôme, trèsfacile & pratiquer, et d'après laquelle on déterminera a par Tannulation des termes du plus haut degré, équivaut réellement à ce que renferme d'utile une méthode mal à propos qualifiée de nouvelle, où Ton cherche la limite du rapport - pour

y ^\,x infinis, sauf à calculer ensuite, quant au coefficient linéaire, la limite correspondante de y — «a? ; il est aisé de sentir que cette prétendue innovation ne constitue qu'un simple changement de forme dans l'ancienne méthode ; et que cette récente transformation, très-défavorable envers le coefficient linéaire, n'offre véritablement, à l'égard même du coefficient angulaire, aucune utilité qui mérite une mentionplus spéciale, n importe d'autant plus de séparer ainsi habituellement les deux parties de la recherche des asymptotes, que la détermination propre du coefficient angulairecorrespondantconstitue, par sa nature, une question commune à toutes les courbes indéfinies, avec ou sans asymptotes, indiquant, pour chacune d'elles, la limite, toujours utile à connaître, de la direction des tangentes. Enfin, il faut aussi remarquer que cette première notion offrira seule, en beaucoup de cas, une véritable difficulté ; parce qu'une judicieuse discussion préalable de l'équatioD, ou même de la simple définition, imposera souvent aux asymptotes possibles des restrictions spontanées relativement à leur coefficient linéaire, dont il sera dès lors superflu de s'occuper distinctement. C'est ainsi, par exemple, que la double symétrie de l'hyperbole nous avertit aussitôt que, si cette courbe a des asymptotes, elles doivent se croiser symétriquement au centre ; en sorte qu'il sufQra de déterminerleur coefBcient angulaire, par la simple substitution de ax au lieu d'y dans l'équation ci-dessus considérée, ce qui reproduira trèsaisément le résultat déjà obtenu.

GÉOMÉTRIE FLANE.

pliquanl l'ensemble de cette seconde méthode des tes à l'équation

ff' + a:» = 1.

l'équation finale ' + 1) x" + Sa'bx' + Zab'x + (é" — 1) = 0,

fl»-f-l = 0, et3a'ô=0; onduit à a sa — 1, et } =— 0, conrormëment à la preéthode. On voit ici que l'autre terme en x s'annule lément, en sorte que la troisiitme racine ne peut alors £tre pareillement infinie ; ce que nous reconnaîtrons I spécialement conforme à la nature de cette courbe, nptote s'adapte également aux deux parties. Qcore l'équation

î/* + a:* + 3iy-=i; uve les deux conditions

a»-f-l=.0, 3fl*6 + 3a = 0, nent a = — 1 , d =— 1 ; et, par suite, l'asymptote est = 1 : on reconnaîtra semblablement qu'elle convient oute l'étendue de la courbe.

Lioique les deux méthodes générales que nous avons vement établies soient les seules vraiment usuelles que vions appliquer habituellement aux courbes algébri-

ne sera pas inutile à l'instruction logique du lecteur dérer sommairement une autre méthode qui semble très-distincte des deux précédentes, et qui, mieux apne constitue, au fond, qu'une transformation, d'ailllement avantageuse, de notre seconde méthode. Cet

caractéristique pourra contribuer à faire éviter celte )le fécondité, qui, portant essentiellement sur le style

SECONDE PARTIE, GHAnTRE TROISIÈME. 165

analytique sans atteindre réellement la pensée géométrique, encombre trop souvent les ouvrages mathématiques d'une vaine répétition de la même notion sous des formes diverses, dont la plupart doivent être écartées.

Le principe de cette troisième méthode reposerait sur Tinfluence algébrique de la coïncidence de Tasymptote cherchée avec Tun des axes des coordonnées. Si Taxe des a: est asymptote, Téquation, devant fournir deux valeurs infinies de a: pour y = 0, devra manquer des deux termes en x du plus haut exposant. Quand cette condition ne sera pas spontanément remplie, elle indiquera que Taxe actuel n'est point une asymptote de la courbe proposée : mais on conçoit qu'un tel effet analytique résulterait du choix de Tasymptote pour axe. Donc, en opérant, dans Téquation donnée, /(x, y) = 0, une transposition d'axes totalement indéterminée, cette substitution,

/ {x' cos X' -f- y! cos Y'+ a, x' sin X'+ y' sin Y'+ 6) = 0,

permettra de discerner les valeurs des constantes introduites a, 6,X', Y', propres à l'accomplissement de celte condition, d'après l'annulation des coefficients totaux des deux plus hautes puissances de x seul ; et l'asymptote cherchée se trouvera déterminée.

En considérant l'ensemble de cette opération analytique, on sent d'abord qu'elle contient d'inutiles complications, puisqu'elle ne fournit que deux équations pour calculer desinconnues qui semblent y être au nombre de quatre. Gela tient à ce que le caractère adopté exige seulement que l'asymptote soit prise pour axe des or, sans rien prescrire envers l'autre axe, ce qui permet et même prescrit de ne point changer celui-ci, en sorte que l'on peut et doitsupposer Y'=9(>* et a = 0; la disponibilité de ces deux constantes ne saurait faciliter en rien l'accomplissement effectif des conditions convenables, et surchar-

'rtçl^'iiî^;'

'li

îi^ t

gérait inutilement les calculs. L'équation précédente se réduit donc, au fond, à

/ {x' cos X', X' sin X' + y' + 6) = 0.

Or, comme on n'y doit finalement considérer queles termes en or' seul, on pourrait encore faciliter leur formation en posant d'avance y' «= 0, ce qui donnera, en dernier lieu, l'équation

/ {x' cos X', X' sin X' + 6) = 0,

où il s'agit d'annuler les coefficients des deux termes prépondérants, afin de déterminer les inconnues X' et 6, qui représentent le coefflcientangulaireet le coefficient linéaire de l'asymptote cherchée. Ainsi dégagée de toute superfiuité algébrique, cette opération équivaut évidemment à former les deux équations propres àla seconde méthode, avec celte unique innovation, nullement favorable, que l'angle X' y entrera maintenant par son sinus et son cosinus, au lieu de sa seule tangente.

Cette appréciation finale d'une méthode qu'un vain appareil analytique présente d'abord très-spécieusement comme distincte, peut suggérer aux élèves et aux professeurs d'utiles rapprochements semblables envers plusieurs autres questions, qu'il ne convient pas de mentionner ici.

52. Aucune de nos deux méthodes n'étant arrêtée par l'indétermination des coefficients dans les équations proposées, pourvu que les exposants soient spécifiés, chacune d'elles, appliquée en sens inverse, conduit aisément à formuler les conditions analytiques de Tasymptotisme entre une courbe, donnée seulement d'espèce, mais inconnue de grandeur ou de position, et une droite entièrement donnée. 11 suffira de chercher, d'après l'équation proposée,

f {x, y, a, 6, Y, S, etc.) = 0,

les coefficients angulaire et linéaire de l'asymptote correspon-

SECONDE PARTIE, CHAPITRE TROISIÉliE. 167

dante, suivant celle des deux méthodes que Ton croira devoir préférer, etd'en égaler l'expression aux valeurs respectivement indiquéespar la droite donnée. On formera ainsi deux relatioAS tendant à déterminer les constantes inconnues de la courbe a, 6, Y, etc., conjointement avec d'autres conditions déjà formulées, comme des passages ou des contacts : on vérifie ici que toute asymptote équivaut à deux points pour la détermination d'une courbe quelconque, selon Tesprit de notre première théorie, qui reçoit maintenant une nouvelle extension générale. L'opération est donc la même que lorsqu'il s'agissaitde trouver l'asymptote : il n'y a maintenant de changé que la destination ultérieure des deux conditions obtenues, où il n'est plus indispensable alors, si l'on emploie la seconde méthode, de dégager les coefficients de l'asymptote.

Cette question conduit naturellement à la recherche des asymptotes curvilignes d'espèce donnée, dans le cas, seul vraiment usuel, où les courbes proposées seraient toutes deux susceptibles d'asymptotes rectilignes, en y constituant alors la coïncidence de ces asymptotes. Il est d'abord évident que, si la courbe donnée a une asymptote, la courbe cherchée en devra admettre aussi, sans quoi leur asymptotisme mutuel serait contradictoire. Cela posé, un tel asymptotisme pourra toujours être conçu comme consistant en ce que les deux courbes comportent une asymptote commune, etparconséquent cette question rentrera dans la précédente, après avoir d'abord déterminé l'asymptote de la courbe donnée. Si f[x, y) =>0 désigne son équation, <p (^, y, a, 6^ y» etc.) =«0 celledela courbe cherchée, enadoptantla deuxième méthode, on substituera préalablement y = ax-\' b dans la première, afin de calculer, àl'ordinairoi les valeurs de a ei b propres à Tasymptote ; quand elles seront obtenues, on fera la substitution déterminée y «Baa:-|-6dans laseconde équation, et l'annulation des deux

GËOHÊTHIE PLANE.

ulespuissancesyforinuleralescoQâitions nécessaires de ilotisme proposé, qai.ainsi conçu, ne contribuera jamais Time deux points à la détermination de la courbe cber- .'introduction de l'asymptote commune, ultérieuremeat ■e, aura finalement servi à facilîterbeaucoup la formaces deux relations.

1 ne reste plus maintenant qu'à considérer les conditions ptotisme entre des courbes qui ne comportent pas d'aite rectiligne, et qui cependant peuvent être souvent ^otes l'une del'autre, comme il est aisé de le faire sentir niques exemples. C'est ainsi que deux paraboles égales, i sur le même axe, sontnéccssairementasymplotesrnne tre, d'après leur seule définition : la comparaison de ^uatioDS le confirme d'ailleurs très-clairement en mona'il existe alors une différence constante entre les carrés 8 ordonnées, et, par suite, une différence indéfiniment santé entre ces ordonnées elle-mèmes. On trouverait tment que les denx courbes

yt = mxi, et t/f = mxi + n.

icessairement asymptotes l'une de l'autre ; ce qui comme infinité d'exemples distincts quoique analogues,

l'indétermination des exposants p et q.

rincipe fondamental de notre seconde méthode s'adapte ent à la recherche directe des asymptotes curvilignes,

qu'ony définisse convenablement l'asymplotisme. Cette n géométrique doit, en efTet, autant que celle du contact, le offre, au fond, une pure modification générale, être fe comme susceptible de degré, suivant les explications 4, où il suffit ici de remplacer la coïncidence desinters par leur éloignement Jt l'infini. Une droite, toujours inable d'après deux points, ne comporte envers une

courbe quelconque, que le moindre asymptotisme, correspondant à deux intersections inflnies. Mais une parabole, déterminée seulement par quatre points, serait susceptible, à regard des mêmes courbes, d'un asymptotisme plus prononcé, où quatre intersections disparaîtraient. Ainsi le mode ordinaire suivant lequel est posé le problème des asymptotes ne saurait être suffisamment précis qu'envers la seule ligne droite, et constituera, pour tout autre genre d'asymptotes, une recherche nécessairement indéterminée. En s'y bornant, il suffira donc d'éliminer y entre les équations des deux courbes considérées,

f[x, y) = 0, (p {x, y y a, 6, Y, etc.) «= 0,

et d'annuler les deuxpremierscoefficients de Téquationfinalé ; ce qui fournira deux relations entre les constantes inconnues a, 6, Y, etc. de la seconde courbe. Un tel asymptotisme ne contribuera encore que comme deux points ordinaires àla détermination ultérieure de cette courbe.

Quoique ce procédé soit généralement applicable aux courbes algébriques, on conçoit que son usage deviendra souvent impraticable, à cause des difficultés analytiques que suscite l'élimination fondamentale, quand les deux équations . sont assez compliquées pour qu'on ne puisse l'accomplirpar substitution ; ce qui oblige de recourir aux méthodes, spéculativement suffisantes, mais habituellement impraticables, que fournit, à cet égard, l'algèbre supérieure. Tel est le principal motif qui doit faire sentir l'importance de la solution ci-dessus expliquée envers les courbes susceptibles d'asymptotes rectilignes ; et où cet utile intermédiaire permet d'éluder heureusement ces graves embarras algébriques.

Pour que la recherche des asymptotes curvilignes devînt, en chaque cas, aussi précise que ceUe des asymptotes rectilignes, il faudrait y pousser toujours l'asymptotisme jusqu'au

vî**

ii^:

degré marqué par le nombre de points déterminant, comme je Tai expliqué, au n** 44, à Tégard du contact. Alors, par exemple, la parabole asymptote serait celle dont les quatre intersectionsavec la courbe donnée s'éloigneraient simultanément àrinfini ; ce qui fournirait quatre conditions nécessaires, d'après Tannulation des quatre premiers coefBcients de Téquation finale correspondante, où quatre racines devraientàla fois devenir infinies. En rapprochant convenablement ces deux grandes questions géométriques, on reconnaît que la même équation permet de formuler, tantôt chaque degré de contact, tantôt chaque degré d'asymptotisme, en y exprimant qu'un certain nombre de racines deviennent tantôt égales, tantôt infinies, la seconde relation y étant d'ailleurs bien plus facile h constituer que la première.

54. Afin de ne rien omettre d'usuel relativement à cette troisième théorie générale, ilnous reste ày considérer sommairement, à titre de méthode subsidiaire propre à certains cas, un artifice analytique assez étendu ; quoique son importance aitété vicieusementexagérée, son judicieux emploi comportera quelquefois une véritable utilité, pour trouver commodément diverses asymptotes, tantôt rectilignes, tantôt curvilignes. Il repose sur la décomposition de la fonction, algébrique ou transcendante, qui exprime l'ordonnée d'après l'abscisse, en deux parties dont Tune s'anéantisse quandl'abscissey devientinflnie ; l'autre partie représente dès lors l'ordonnée d'une ligne nécessairement asymptote de la proposée. Si, en effet, on a

et qu'on suppose <p (oo ) «= 0, il est clair que la différence de cette ordonnée à celle de la ligne z = f [x) ne peut s'annuler pour X infini sans devoii* finir par décroître indéfiniment pour des valeurs croissantes de x. On conçoit quMl en serait ainsi, à

plus forte raison, si les équations, au lieu de contenir ^etsàla première puissance, en renfermaient d'égales puissances quelconques; puisque Tasymptotisme existerait alors, d'après une remarque antérieure, quand même la différence des seconds membres, au lieu de diminuer, resterait constante : ce qui pourra augmenter un peu la portée de cet artifice, en n'obligeant pas à dégager totalement y. Il faut d'ailleurs reconnaître que, si la fonction ^ [x) est composée de plusieurs termes, on en pourra joindre telle partie qu'on voudra à la fonction /(a:), sans altérer aucunement la remarque fondamentale, et de manière à obtenir de nouvelles asymptotes. Mais il est évidemment indispensable de ne laisser dans la fonction f (2:) aucun terme autre que ceux qui s'annulent pour x infini.

A l'égard des équations algébriques, que nous devons ici avoir essentiellement en vue, cette fonction 9 (a;) se composera de puissances négatives, soit entières, soit même fractionnaires. 11 n'en pourra point exister quand l'ordonnée sera une fonction rationnelle et entière de Tabscisse.En tout autre cas,leur introduction sera spontanée ou deviendra facultative, en développant convenablement les quotients ou les radicaux, suivant les règles de division ou d'extraction. Quoique ces développements doivent ordinairement faire naître une suite infinie de pareils termes, cette circonstance ne saurait, évidemment, opposer aucun obstacle à la détermination des asymptotes correspondantes; pourvu qu on n'y omette aucun des termes à exposants positifs^ on y pourra comprendre autant et aussi peu qu'on voudra des autres. Par exemple, envers l'équation y*-f- a:'= 1, considérée ci-dessus, on aurait y = — y/ar* — 1, et Textraction de la racine ne donnerait que le terme x affecté d'exposant positif; ce qui reproduirait aussitôt l'asymptote y =» — or, déjà obtenue.

Outre sa restriction évidente, cet expédient analytique est

GÉOKËTRIE PLANE.

.imparfait eoceque la nature des asymptotes n'y saue racultattve, en sorte que le plus souvent il indiquerait rbes fort oiseuses, sans déterminer les asymptotes rec- :, qui seules peuvent habituellement offrir un véritable Hais il importe néanmoins de connaître un tel artifice, 1 faire un judicieux emploi dans les cas qui le permet- ;omme nous aurons lieu d'en citer ultérieurement quel- :emples remarquables, au delà même des équations du degré, trop exclusivement considérées à cet égard.