CHAPITRE IV

Théorie dcx diamètres.

«nglemps borné au cercle, pour y désigner toute droite '. au centre, ce nom indique maintenant, envers une quelconque, la ligne, quelquefois droite, mais ordinalcourbe, qui y réunit les milieux d'une suite de cordes les ; définition qui, dans le cas du cercle, reproduitsponntla notion primitive. ATégarddes courbes susceptibles plus de deux points en ligne droite, chaque corde ne jamaisque deux points ; seulement elle présentera alors de milieux qu'il existera decombinaisonsbinaires entre les intersections ; ce qui pourra souvent faire prévoir lite inférieure du degré de l'équation du diamètre, alors illement supérieur à celui de l'équation donnée. que les divers diamètres relatiTs aux différents systèmes les d'une même courbe ne soient pas toujours d'une Espèce géométrique, au point que les uns peuvent être )les droites, tandis que les autres sont des courbes plus

compliquées que la première, ils comportent néanmoins une commune équation, où le coefOcient angulaire de ces cordes reste indéterminé, en sorte que ses valeurs spéciales y produisent tous les diamètres particuliers, quelque distincts qu'ils puissent être, d'après Tinfluence analytique plus ou moins intime de cette constante caractéristique. C'est une telle équation générale qu'il s'agit maintenant de déduire de celle de la courbe proposée.

Bien qu'il convienne de traiter ici cette nouvelle théorie géométrique avec toute la généralité possible, il faut cependant reconnaître que, par sa nature, elle ne saurait offrir, comme les théories précédentes, et aussi comme les suivantes, un égal intérêt envers toutes les courbes. En effet, l'étude des diamètres ne contribue réellement à faire mieux connaître chaque courbe que quand ces lignes sont beaucoup plus simples que celle qui les engendre, et surtout lorsqu'elles sont droites. Or, au contraire, les diamètres constituent presque toujours, comme on le sentira ci-dessous, des courbes plus compliquées que celle d'où ils proviennent; et c'est seulement envers les courbes du second degré qu'ils deviennent indistinctement rectilignes (*j. Cette théorie n'a donc pas, en général, autant d'importance géométrique que les six autres traitées dans cette seconde partie.

On peut l'instituer d'après deux méthodes analytiques bien distinctes, quoique également générales, au moins envers les courbes algébriques, l'une très-naturelle et fort directe, mais d'une application trop pénible, l'autre trop artificielle et trop détournée, mais finalement plus usuelle.

56. La première méthode, facile à concevoir, consiste à formuler spontanément chacune des conditions de la définition, en introduisant, comme variables auxiliaires, sauf leur élimination ultérieure, les coordonnées x', y\ et a:", y'\ des deux

{*) Voir la note i rectificative à la fin du volume.

^Jd:

extrémités d'une quelconque des cordes considérées. En nom* mant t eiu les coordonnées indéterminées d'un point du diamètre, et m le coefficient angulaire des cordes correspondantes, on aura d'abord ainsi les trois équations fixes

auxquelles se joindront naturellement, en chaque cas, les deux équations spéciales

exprimant que les points introduits appartiennent à la courbe donnée / (x, y y) e» 0. U suffira donc d'éliminer, entre ces deux groupes d*équations, les quatre variables auxiliaires ^\y 'i^*'i y"i pourobteniraussitôtréquation finale9(/,M,m)«=0, propre à Tensemble des diamètres considérés. Quoique le premier groupe ne se compose que d'équations du premier degré, la double éliminationà laquelle devraprésider le secondgroupe deviendra souvent presque impraticable, quand la courbe donnée sera d'un degré un peu élevé, même avec un petit nombre de termes. On sait d'ailleurs que l'extrême imperfection de l'analyse mathématique ne permettrait presque jamais une pareille opération envers les courbes transcendantes, si une semblable recherche y pouvait offrir un véritable intérêt.

Un seul exemple caractérisera suffisamment cette méthode, sauf ses embarras analytiques, qu'il est aisé de concevoir en général, et que le lecteur devra spécialement sentir par quelques exercices spontanés. Soit la courbe y = x*; les deux équations variables seront ici y' = a;'*, y" =5: "• : en y ayant égard, les équations fixes deviendront

entre lesquelles il reste à éliminer vP* et x'\ Or cette élimina-

lion s'accomplira aisément par substitution, d'après la combinaison des deux équations extrêmes, qui donne

il en résulte finalement, pour l'ensemble des diamètres, Pé-

quation •

y e=i Zax — Sx»,

en reprenant la notation habituelle des coordonnées, quand elle ne comporte plus d'équivoque.

Si Ton voulait seulement exécuter un semblable calcul envers les courbes y =ar* ou y^ = ar*, fort peu différentes de la précédente, on éprouverait des difficultés algébriques trèsconsidérables.

57. Tout Tartiflce de la seconde méthode repose sur cette observation évidente que les deux extrémités de chaque corde acquièrent nécessairement des coordonnées égalesausigne près quand on place Torigine des axes au point 'correspondant du diamètre. Ainsi les points du diamètre peuvent être réciproquement caractérisés par cette aptitude analytique, qui ne saurait convenir à d'autres. Si donc on opère, dans l'équation donnée / (a:, y) = 0, un déplacement d'origine indéterminé, par la substitution accoutumée àGt-\' xeiU'-\-y b\x lieu de a: et y, il faudra chercher la relation entre t et w propre à rendre la nouvelle équation f{t -{-x,u-{- y)= 0 susceptible de fournir pour j:, et dès lors pour ^, deux valeurs égales au signe près, quand on y supposera y => mx^ équation de la corde correspondante. En conséquence, la question consistera finalement, après avoir changé, d'abord ar en t -\-x et y en u -f- mx^ à découvrir la condition d'une telle opposition algébrique entre deux racines de l'équation

/ (/ -f a:, w + mx) =» 0, où / et u figureront, à titre de constantes arbitraires, parmi

OÉÛKÉTBIB PLANB.

ers coeffldentB. Or pour résoudre ce problËme d'alil BurSra de cocslituer la divisibilité du premier mem- 'Mie ëquslion par un binôme du second degré a^ — a'. aatioD de l'indéterminée auxiliaire », qui désigne ici se spéciale du couple de points considérés, entre les quations que fournira l'annulation accoutumée du u premier degré, conduira à la relation cherchée m) =• 0, qui, géométriquement envisagée, constitue on générale des diamètres de la courbe proposée.

méthode, quoique souvent pénible, sera beaucoup aborieuseque la précédente, comme n'exigeant qu'une imination, au lieu de deux, entre des équationsde degré ur, malgré que leur composition doive y être plus juée qu'auparavant.

par exemple, la courbe y=x*. En y substituant t-]-x mx, au lieu de x et y, on a finalement l'équation

+ kla^ + &t*x* + {4C — m) 3: + [(* — «} = 0, igit d'exprimer la divisibilité parx* — «', ce qui donne, mplissant la division, les deux équations

>m + 4/«»=0, ï* — M + «» (6ï» +«')«= 0. nation de «• y conduit aisément h l'équation générale mètres

lQx»y = m» + lôffLC* — 64a:*, ip plus compliquée, comme on voit, que celle de la primitive.

rs les courbes du second degré, cette seconde méthode te spontanément une extrême simplification que nous remarquer déjà. Ou y est alors dispensé, en effet, de la 1, et surtout de l'élimination consécutive, qui en con- 9 principal embarras algébrique. L'équation en x étant

seulement du second degré, la condition analytique fondamentale y devra directement consister dans Tabsence des termes du premier degré. Tout le calcul se réduira donc, en ce cas, à la simple substitution préalable de / -4- ^ et m -j- '^^ au lieu de X eiy; l'équation générale des diamètres résultera aussitôt de Fannulation du coefficient total de la première puissance de x.

58. Pour procurer convenablement à Tétude effective des diamètres toute Futilité qu'elle comporterait dans la géométrie comparée, il importerait beaucoup de pouvoir suffisamment constituer la théorie inverse qui nous permettrait de ne poursuivre une telle appréciation géométrique qu'envers les courbes dont les diamètres offriraient une assez grande simplicité, qui maintenant ne saurait être facultative. Ce retour de Téquation commune des diamètres à celle de la courbe primitive constituerait donc, en général, une question plus intéressante que la recherche directe. Mais, dans Tétat présent de la science, nos ressources sont, à cet égard, comme je vais Texpliquer, extrêmement bornées, par suite d'une grave lacune analytique, d'ailleurs très-f&cheuse en plusieurs autres occasions.

La nature éminemment simple et directe de la première méthode, la rend seulepropreà une telle inversion, qui semble devoir s'y borner à substituer les formules fixes dans l'équation donnée «p (/, t/, m) = 0 pour l'ensemble des diamètres. Mais, quoiqu'ayant ainsi éliminé les coordonnées du diamètre, et introduit celles de la courbe, on ne saurait envisager ce résultat

comme constituant réellement l'équation de la courbe primitive, parce qu'il s'y trouve à la fois deux points indéterminés de cette coqrbe, au lieu d'un seul. Néanmoins, on en déduirait

GÉOMÉTRIB PLANE.

oaeat l'équation cherchée, si l'on y poavait séparer ces its, eo sorte que chaque membre se rapportât à un couple [ue de coordonnées : car, les deux couples y devant tou- 8 entrer spontanémentde la même manière, cette équation idrait la forme

indiquerait qu'une certaine fonction des coordonnées cone une valeur invariahle eu passant d'un point quelconque 1 courbe demandée à un autre point quelconque; t'équade cette courbe serait donc finalement

f{x,y) = c, [instante c y devant rester naturellement arbitraire, puischaque système de diamètres peut correspondre à une iné de courbes distinctes, quoique analogues, ^uteladifficullé réelle de la théorie inverse des diamètres ^duitdonc finalement à ceproblème purement analytique: i groupes de variables entrant identiquement dans une ition donnée, transformer cette équation afm que chaque ibre n'y contienne qu'un seul groupe. Mais l'analyse ac- £ ne présente réellement aucun principe propre à instituer ttlcul de séparation. On ne saitjusqu'ici séparer les groupes ntanl qu'ils ne coexistent pas dans les mômes termes : il t alors de transposer convenablement d'un membre k ,re, suivant la règle analytique la plus élémentaire. Il est de sentir combien rarement pourrontBuffiredesressources i étroites.

jur en citer un seul exemple caractéristique, proposons- 1 de trouver la courbe dont tous les diamètres sont des is droites, perpendiculaires aux cordes correspondantes, )Dvergeant en un même point, où nous placerons l'origine, uation des diamètres sera ici

/ + mw ==. 0,

qui fournit, entre deux points quelconques de la courbe cherchée, la relation,

Or, comme les termes où les points seraient mêlés 8*y détruisent spontanément^ une facile transposition l'amène aussitôt à la forme

ce qui donne finalement, pour la courbe demandée, Téquation

où l'on reconnaît, conformément à la nature du cas, un cercle de rayon arbitraire.

59. La grande complication habituelle des calculs relatifs à la formation de l'équation générale des diamètres, même en suivant la meilleure marche, et l'évidente inutilité d'une telle recherche envers la plupart des courbes, doivent faire attacher beaucoup de prix à une commode détermination spéciale des diamètres rectilignes, seuls ordinairement susceptibles d'un véritable intérêt, sans être obligédeles déduire de cette équation commune, où ils seraient d'ailleurs nécessairement compris. Or, il est facile d'instituer cette importante méthode subsidiaire^ d'après les formules relatives à la transposition des axes, en se fondant sur rinflucnce analytique des diamètres rectilignes, quand onprend chacun d'eux pour axe des abscisses avec des ordonnées parallèles aux cordes correspondantes. La seule définition des diamètres conduit aisément à reconnaître, comme j'ai eu plusieurs occasions de l'indiquer dans la première partie de ce traité, que l'équation doit alors renfermer seulement les puissances paires de l'ordonnée, afin que les valeurs de celle-ci puissent être deux à deux égales au signe près pour chaque valeur de l'abscisse, suivant un caractère essentielle-

aÉOHÊTRIB PLANE.

ilogne à celui qui forme la base de la seconde méthode . Une telle aptitude analytique pouvant donc suflire iriser les diamètres rectilignes, on les obtiendra, par spositioD d'axes indéterminée, d'aprËs les formules

;os X -|-y'cos Y + a, y^ z' sin X' -f y' sin Y '+ b,

:iens axes sont rectan^laires, en cherchant à disposer tantes angulaires ou linéaires ainsi introduites pour , dans l'équation proposée, tous les termes distincts ux'puissances impaires de y' résultées de cette subsli- )uand des valeurs réelles et Unies de ces diverses conauront pu remplir toutes ces conditions, la courbe : admettra des diamètres rectilignes, envers chacun

on connaîtra ainsi un point, sa direction, et celte des «rrespondantes. Au cas contraire, l'absence de tels is sera pareillement constatée.

le ce caractère analytique ne dépend aucunement de la de l'origine, pourvu qu'elle reste sur le diamètre, on pour abréger les calculs, supprimer l'une des coninéaires a ou b, sans diminuer réellement la faculté de iauxconditionsproposées, puisque cela revient à placer

à rintersectioD du diamètre cherché avec l'un des iiels. Ainsi, les constantes arbitraires introduites sont . seulement au nombre de trois, et ne permettront par snt d'annuler à volonté que trois des puissances im. 3 la nouvelle ordonnée. Si donc l'équation donnée en

davantage^ le problème sera ordiosirement impoà- !st ce qui a lieu dèsle troisième degré, où les condi- ?aientdéjàau nombre de quatre, à cause des termes

y', x', et y*; cette disproportion se prononce enplus en pins, à mesure que le degré s'élève. En consik cet égard, l'ensemble des courbes algébriques, on

voit donc que rexislence des diamètres rectilignes, sans jamais être impossible en aucun degré, devient de plus en plus exceptionnelle au delà du second. Mais, pour celui-ci, les conditions y étant seulement au nombre de deux, le problème est, au contraire, indéterminé, et il existe une inGnité de diamètres rectilignes, ou plutôt ils le sont tous ; puisque, la direction des cordes reçtant arbitraire, on pourra encore suffire aux conditions convenables d'après la seule disponibilité des deux constantes, angulaire et linéaire, propres au diamètre correspondant.

Une telle méthode de détermination spéciale des diamètres rectilignes conduit aussitôt, d'après une légère modification, à déterminer aussi les axes géométriques proprement dits, c'està-dire, les droites autour desquelles une courbe est symétrique ; car ces droites constituent évidemment de simples diamètres rectilignes, qui ne se distinguent des autres que par leur perpendicularité aux cordes correspondantes. On aura suffisamment égard à cette circonstance caractéristique, en employant, dans la substitution fondamentale, les formules

x=^x' cos X' — y' sin \' + a,y = x' sin X' -f y' cos X' + b,

où Ton a exprimé la rectangularité des nouveaux axes. Les conditions ordinaires ne pourront donc ici être remplies qu'à Taide des deux constantes arbitraires relatives à Taxe cherché : en sorte que Texistence de tels axes sera, en général/ encore plus exceptionnelle que celle des autres diamètres rectilignes ; leur situation deviendra même déterminée pour le second degré, sauf le seul cas du cercle, où cette anomalie analytique est aisément explicable.

Quand Taxe d^une courbe a été trouvé, et qu'il est placé de manière à la rencontrer, cette intersection constitue une espèce remarquable de points singuliers, dont la vraie nature dépend

ensuite de la direction correspondante de la tangente. *D*aprës la symétrie supposée, cette direction ne peut être, évidemment, que celle de Taxe ou sa perpendiculaire, à moins qu'il n*y ait deux tangentes symétriquement placées autour de Taxe . Le point cherché sera donc un point de rebroussement dans le premier cas, un nœud dans le dernier, et ce qu'on nomme un sommet dans l'autre cas.