CHAPITRE V

Théorie des centres.

60. Pour étendre convenablement cette dénomination géométrique, longtemps bornée au cercle, il suffit de restreindre à la seule comparaison binaire des points directement opposés la notion d'équidistance, d'abord absolue, qui en constitue le caractère essentiel ; en sorte que le centre d'une courbe est, en général, le milieu de toutes les cordes qui y passent, quelles que soient d'ailleurs leurs longueurs relatives. Un tel point est nécessairement unique dansles courbes algébriques proprement dites, que nous devons ici avoir principalement en vue, puisqu'elles ne peuvent offrir qu'un nombre limité de points en ligne droite. Mais, au contraire, celles des courbes transcendantes qu'une droitepeut couper en une infinité de points présenteront quelquefois une infinité de centres, comme nous aurons lieu, par exemple, de le constater ci-dessous envers les courbes y =3 sin a:, y «=» tang a:.

Il serait superflu d'insister ici sur l'importance évidente d'une telle recherche, puisque la détermination du centre d'une courbe, ou même la certitude qu'elle n'en comporte pas, dai-

vent certainement contribuer beaucoup à mieux indiquer sa figure générale.

Cette question admet, en général, deux méthodes très-distinctes ; l'une très-naturelle, mais trop compliquée, qui la rattache à Tétude des diamètres ; Tautre plus indirecte, mais bien plus simple, et seule vraiment usuelle, qullui est spécialement propre.

61. Le principe de la première méthode consiste à regarder le centre d'une courbe comme le point de concours nécessaire de tous ses diamètres quelconques : car, en rapprochant les deux définitions, on conçoit aussitôt que, si une courbe a un centre, chacun de ses diamètres y devra passer ; et, réciproquement, si tous les diamètres d*une courbe ont un point commun, ce point sera, par cela même; le centre de la courbe. Sous cet aspect^ la théorie analytique des centres consisterait à juger, d'après Téquation générale des diamètres delà courbe proposée, formée suivant les règles du chapitre précédent, si ces divers diamètres convergent indistinctement en un point unique. Quand cette convergence se fait à l'origine des coordonnées, la seule inspection de l'équation des diamètres l'indique aussitôt, par l'absence constante du terme indépendant des deux variables. C'est ainsi, par exemple, que, pour la courbe y ™aî^, l'équation générale des diamètres, obtenue au chapitre précédent, y=s3ma;— 8x*, montre que son centre est à l'origine, puisque, quel que soit m, le diamètre y passera toujours. Mais, lorsque ce concours s'opère en un point quelconque du plan, un calcul spécied, et souvent pénible, devient indispensable à sa manifestation. Il faut alors attribuer au paramètre angulaire m. qui, dans Féquation générale, distingue les divers diamètres, deux différentes valeurs indéterminées m' et 7n'\ et chercher ensuite lescoordonnéesdupointcommun à ces deux diamètres quelconques, qui peuvent représenter toutes les combinaisons binaires

U 6Ë0IGËTHIE PLANE.

;b diamètres proposés. Si les valeurs de ces coordonnées coma unes, simpliGées autant que possible, deviennent finalement dépendantes de m' et m", la courbe aura un centre, dont ces ileurs détermineront la position, puisque l'universelle consrgence des diamètres y sera ainsi constatée. Quand, au conaire, on aura reconnu que ces valeurs ne peuvent être renies indépendantes de m' et ni", comme il arrivera le plussoumt, chaque couple de diamètres ayant alors son intersection 'opre, il sera certain que la courbe manque de centre. Soit, par exemple, la courbe y' — x;/ ~\- x = 0. Ea y applilant la seconde méthode des diamètres, on trouvera aisément

le leur équation générale est y ^ . Or, si l'on y fait

icce8sivementm = m', m ta m", on trouve d'abord que l'ab-

isse commune est — -, fraction indépendante de m

m', et toujours égale k 2 : mats il faut, en outre, s'assurer

un pareil caractère envers l'ordonnée correspondante, que

m trouve, en effet, exprimée dès lors par r — , — --■ La

lurbe a donc un centre, dont l'abscisse est 2 et l'ordonnée 1. Considérons encore la courbe y* — %xy + x> — x ■= 0.

ule inspection montre que tous les diamètres sont des droites irallèles ; d'ofi il suit aussitôt que la courbe manque de ntre.

Une telle méthode deviendra souvent presque impraticable i delà du second degré, puisque, outre la formation, frélemment pénible, de l'équation générale des diamètres, qui a d'ailleurs, en elle-même, aucune autre utile destination lométrique, elle exige une élimination oi-dinairement très-

laborieuse, entre des équations qui sont toujours plus compliquées que celle de la courbe donnée. Je n'ai donc mentionné ce premier moyen que comme conséquence naturelle de la théorie établie au chapitre précédent. C'est uniquement d'après la seconde méthode qu'on devra procéder habituellement à la détermination des centres.

62. De la seule définition du centre, il résulte aussitôt que, si on prend' ce point pour origine des coordonnées, quelle que soit d'ailleurs la direction ou Tinclinaison des axes, tous les points de la courbe auront deux à deux, des coordonnées égales et de signe contraire ; en sorte que l'équation ne devra pas changer quand on y changera simultanément les signes des deux variables : il est pareillement évident, en sens inverse, que la vérification d'un tel caractère analytique permet d'assurer que l'origine correspondante est le centre de la courbe. Tel est le principe général sur lequel repose la méthode la plus propre à la recherche des centres. C'est ainsi que, à la simple inspection des équations y = rc', y = sin rc, y =tang a:, on reconnaît que ces courbes ont pour centre l'origine des coordonnées. Quand le changement de a; en — rc et y en — y altère l'équation proposée, cela peut tenir ou bien à ce que la courbe manque réellement de centre, ou bien à ce qu'il est placé ailleurs qu'à l'origine. Mais, comme une telle propriété analytique est toujours possible envers une certaine origine si la courbe a effectivement un centre, on dissipera totalement cette incertitude d'après un déplacement d'origine indéterminé, en substituant X'\-a9Xy -\- b ^yy lieu de x et y, afin de disposer des constantes arbitraires a et 6 ainsi introduites pour que l'équation supporte sans altération le changement simultané du signe des deux variables. Lorsqu'une telle condition sera convenablement satisfaite , la courbe aura un centre, dont les

valeurs correspondantes de a et 6 détermineront la position :

so

m contraire, aucun système de valeurs réelles et finies eux constantes ue rendra l'équation susceptible d'une ilitude, on sera pareillement assuré que la courbe de centre,

méthode, aussi simple que générale, ne convient pas iix équations transcendantes qu'aux équations algé- On peut ainsi constater, par exemple , envers les y=>sin X, yeatangi, que tous les points, en nombre 1 elles coupent l'axe des z, constituent autant de vérisntres ; puisque, en y plaçant l'origine, par la substi- IX + «, x + 2n, ...x + nit, au lieu de x, cbacune de tions continuera à Jouir de la propriété analytique qui ise le centre : ces courbes étant, en effet, composées Qniié de parties identiques, d'après la périodicité des s correspondantes, il serait géométriquement impostroaver, à cet égard, aucun motif de préférer une [lie de ces intersections à toutes les autres, isidérant spécialement les courbes algébriques, on y nuler davantage la méthode des centres, si l'on apprénce l'influence générale du changement de signe des iables sur les quatre sortes de termes qu'elles peuvent , suivant les types Ax", By", Cx'.y', D. Les deux prelangeront de signe ou resteront inaltérables selon que it de leur unique variable sera impair ou pair. Quant les ot les variables coexistent, la règle sera encore la n estimant le degré, comme de coutume, par la somme L exposants : car, si ce degré est impair, l'un des facmra pas varié, et le changement de signe de l'autre ra celui du produit ; si, au contraire, le degré est pair, n des facteurs n'aura varié, ou ils auront à la fois le signe, en sorte que le produit ne sera jamais altéré. } de cette appréciation que l'équation ne pourra sup-

porter sans altération le changement élémentaire qui caractérise le centre qu'autant que ses divers termes seront tous de degré impair ou tous'de degré pair, en comprenant le terme constant parmi ceux de degré pair. C'est donc à faire disparaître les termes de degré impair, si Téquation est de degré pair, ou les termes de degré pair, si son degré est impair, qu'U faudra destiner le déplacement d'origine propre à déterminer le centre, puisque d'ailleurs le degré de l'équation ne saurait varier.

Si Ton envisage l'ensemble des cas, cette méthode indique aussitôtque l'existence d'un centre estnormaledans les courbes du second degré, où il faudra enlever ainsi seulement les deux termes du premier degré, ce qui sera ordinairement possible en disposant convenablement des deux constantes arbitraires aeib: ce ne sera que par exception que la courbe manquera de centre, quand les valeurs de ces constantes deviendront infinies. Mais, au contraire, dès le troisième degré, et ensuite toujours davantage, les courbes pourvues de centre constituent nécessairement une exception de plus en plus rare à mesure que le degré s'élève, parce que le nombre croissant des conditions à remplir y excède progressivement le nombre fixe des quantités disponibles.

Quant à la situation générale du centre, il résulte de cette méthode que, dans toutes les courbes de degré impair, le centre est inévitablement placé sur la courbe, puisque, en y transportant l'origine, le terme indépendant des deux coordonnées figure alors parmi ceux qui doivent disparaître. La suppression de ce terme n'étant pas obligatoire lorsque le degré est pair, le centre pourra donc, en ce cas, ne plus appartenir à la circonférence de la courbe, sans qu'une telle position y soit d'ailleurs impossible.

63. Tous les calculs qu'exige la méthode précédente pouvant également s'accomplir malgré l'indétermination, non des ex-

GÉOMÉTRIE n^KE.

ibU, mais des coefGcients, on pourra l'appliquer, en sens rse, h formuler les conditions nécessaires pour qu'une 'be, connue seulement d espËce, aiL son centre en un point lé. Si a et 6 désignent les coordonnées de ce point, il ra d'opérer, dans l'équalion proposée /{a:,y,«,6,7,J,.,.)=^, lîislitutioa alors déterminée de x+a et y + A au lieu de y, aÛn d'annuler ensuite le coefficient total de chacun des les qui doivent ainsi disparaître ; ce qui Tournira autant de ions propres à spécifier, conjointement avec d'autres conns quelconques, les constantes inconnues, «, 6, y, î, etc. relations seront, par exemple, au nombre de quatre dans équation du'troisiëme degré, où il faudra supprimer les . termes du second degré et le terme constant ; ellesdevient de plus en plus nombreuses à mesure qne le degré s'é- ■a.

1 sujet d'un tel accroissement, il importe de dissiper l'obon très-naturelle qu'il semble d'abord présenter contre le ;ipe général, établi au premier chapitre de cette seconde e, sur la manière dont les points singuliers, quelle que eur nature, contribuent nécessairement à la détermination tourbes. Selon ce principe, le centre d'une courbe, en tant point singulier, ne devrait jamais compter que pour deux itions déterminantes; tandis que, suivant notre appréciaspédole, il paraît devoir en fournir quatre dans le troie degré, sis dans le quatrième, etc. Mais cette apparente ?adiction ne résulte que d'un jugement trop confus, otiTon ïue & la situation donnée du centi'e ce qui provient unilenl de sa simple existence, alors plus ou moins exceplelle. Dans le troisième degré, par exemple, l'existence du e, en quelque lieu qu'il se trouve, exige deux relations I les coe^cients de l'équation générale ; ces relations, qui ilètent la définition de la courbe, doivent y être toujours

prises en considération, quand m^tme son centre ne serait pas connu ; de même que, en sens inverse, Tabsence de centre fournirait une condition déterminante envers une courbe du se- .cond degré. Si donc la courbe du troisième degré que Ton considère est, en effet, du petit nombre de celles qui onl un centre, comme cela doit être pour qu'une telle question soit raisonnablement posée, ces deux conditions se trouveront identiquement satisfaites, et la position du centre donné ne fournira véritablement que deuxi*elalions entre les paramètres inconnus. Mais, si, au contraire, on n'avait pas ainsi spécifié la courbe proposée, et qu*on se fût borné à indiquer son degré, tout en lui imposant un centre, ces deux premières conditions, indépendantes de la situation spéciale de ce centre, quoiqu'alors elles ne fussent plus identiques, ne représenteraient qu'un simple complément de définition, indispensable à la nature du problème, et servant à développer suffisamment une circonstance trop implicitement supposée dans Ténoncé. En un cas quelconque, la position particulière assignée au centre ne fournira jamais, par elle-même, que deux relations déterminantes, conformément à la théorie fondamentale du chapitre premier.