CHAPITRE VI

Théorie de la similitude des courbes.

64. La notion de similitude convient évidemment, par sa nature, à toutes les figures possibles, envers lesquelles les observateurs les plus étrangers à la géométrie rationnelle emploient journellement les qualifications de semblables ou dissemblables, en y attachant un sens, vague et confus peut-

GËOMËTRIE PLANE.

aals au fond essentielleraent juste. Quand les géomi Ispëcialementemparés de cette cooception universe inée pour la systématiser convenablement après l'i lent analysée, ils ont dû considérer premièremen 1 purement rectilignes, dont les éléments sont din appréciables, ainsi que les lois de leur assemblage. ' la similitude se montre avec une pleine évidence coi tant dans l'égalité des angles respectifs et la propor des cAtés homologues : toute l'élaboration scientl consister, à cet égard, qu'à réduire au moindre noi le les conditions d'une telle âéRaitioii ou apprécia d envers les triangles, et ensuite pour les polygones i es, suivant les explications de la géométrie élément s'agitmaintenantd'étendreconvenablementauxdiv< ;s planes ces notions primordiales, aQn de décou ique cas, les conditions précises de la similitude, o ter que l'identité d'espèce n'exige aucune relation [ s ; question dont il serait superflu de faire ici ress isément la haute importance, premier aspect, une telle extension semble ne poi er, en général, que d'après l'analyse transcendante, sidérant les courbes comme des polygones d'une in tés infiniment petits, permettrait d'y exprimer dis t l'égalité directe des angles et la proportionnalité sans être alors arrêté par la nature infinitésimale t des autres. Mais un examen plus approfondi de tante théorie géométrique conduit k reconnaître 'se ordinaire suffit réellement à l'instituer d'une mai ussi générale et beaucoup plus commode. Il faut si pour cela, choisir convenablement, parmi les propr ielles des polygones semblables, celles qui sont susc i devenir immédiatenientappréciableBenversles cou

sans exiger la considération de côtés inflniment petits et d'angles infiniment obtus, et en réduisant l'inévitable notion de l'infini à n'influer que sur le nombre des sommets, à l'égard desquels l'uniformité de leur caractère analytique permet aisément de surmonter une telle difficulté, d'après le simple examen d'un point indéterminé, propre à les représenter tous, suivant un artifice logique déjà familier, à beaucoup d'autres titres, en géométrie analytique.

On ne peut d'abord employer à cet indispensable office la proposition fondamentale, trop exclusivement mentionnée dans l'enseignement habituel de la géométrie élémentaire, sur la décomposition des polygones semblables en triangles semblables. Car, en l'étendant aux courbes, cette décomposition offrirait, comme la définition primitive elle-même, quoiqu'à un moindre degré, l'inconvénient capital d'obliger à considérer des angles et des côtés infinitésimaux. Mais, la théorie de la similitude des figures rectilignes fait aussi connaître, à leur égard, deux autres propriétés générales, dont chacune est, par sa nature, éminemment propre à s'étendre aux courbes, comme spontanément exempte d'un tel vice ; de manière à pouvoir fournir ensuite, plus ou moins commodément, un fondement suffisant à la théorie analytique que nous voulons constitueriez

65. D'après la première de ces propriétés, les contours semblables ont leurs divers sommets déterminés par des triangles respectivement semblables ayant tous, dans chaque figure, une base commune; et réciproquement deux figures ainsi construites seront nécessairement semblables, quel que soit le rapport de ces deux bases homologues. Les côtés let les angles de ces triangles artificiels, indépendants de lafigure proposée, restant naturellement finis quand le polygone devient infinitésimal, rien n'empêche d'étendre aux courbes un tel caractère, avec la seule obligation de l'y vérifier envers un point indéterminé, comme le

GÉOMÉTRIE FUNE.

toujours raDiformilé de la définition, géométri^e ou ue, afin d'éviler l'embarras direct d'un nombre infini s. C'est ainsi, par exemple, qu'on démonlrerait aisésimilitude constante de deux cercles, surtout en y prerbasesdeuxdlamËtresrespectirs.puisqueles triangles, constamment rectangles, se trouveraient spootauénblables, en ne comparant entre eux, suivant l'esprit Ëorëme, que des points pour lesquels un des angles à iïrirait, de part el d'autre, la même grandeur. era pas dirUcile de formuler analytiquement celte preléorïe, quand on aura d'abord convenablement adopté :s homologues, dont le choix pourra presque toujours beaucoup sur la simpliUcalion des calculs. Soient = 0, /s (ar, y) =0, les éqnalions des deux courbes , de mÈme espfece, AMBM, A'M'B'N', (fig. 37), dont jprécierla similitude. Apres y avoir choisi deux bases ^es, AB, A B', par exemple, on mènera, par une lé A de la première hase, une droite AM formant avec ïngle arbitraire, ayant une tangente indéterminée m ; 'offre aucun embarras, suivant la théorie analytique ne droite. Calculant ensuite les coordonnées du point e coupe la courbe, on en déduira, conformément à Is léorie préliminaire, la tangente de l'inclinaison de la I sur la droite BM qui joint son autre extrémité B k ersection : cette tangente sera finalement une fonction lée de la constante arbitraire m. Une seconde fonction 3 de la même constante résultera d'un pareil calcul autre courbe. Dès lors, les angles en A et A' ayant été iix, la similitude exigera la coïncidence de ces deux s, quel que soit m, afin d'exprimer l'égalité nécessaire es en B et B',et par suite la similitude continuelle des > HAB, H'A'B', envers un point quelconque de chaoue

coarbe comparé à son homologue de Tautre. Ainsi, les relations que pourra exiger une telle identification entre les constantes des deux équations proposées constitueront aussitôt les conditions de similitude propres aux courbes correspondantes : et, si celles-ci devaient être toujours semblables, par cela seul qu'elles appai*tiendraient à Tespëce donnée, on le reconnaîtrait aussi^ en constatant alors Tidentité spontanée des deux fonctions obtenues.

Supposons, par exemple, quil s'agisse de deux ellipses ou de deux hyperboles, d'après la définition du n^ 19. En prenant pour bases respectives des deux séries de triangles les lignes, OA, OA', {fig. 38), évidemment homologues, qui joignent chaque point fixe A ou A' au centre correspondant, et concevant ces lignes superposées, les équations des deux courbes, relativement aux axes accoutumés, seront

et leur parfaite analogie permettra de n'exécuter qu'envers l'une seulement le calcul prescrit. Menant donc de 0 une droite arbritairement inclinée sur la base OA, son équation sera y^^mx^ et les coordonnées de son intersection M avec la courbe seront

c j c^ — dP me I c^-'-cfi

La tangente de l'inclinaison de la base sur la droite qui joint ce point M à sa seconde extrémité A, ne sera ici que le coefficient angulaire de cette ligne MA; et, par suite, on aura finalement

me v/c* — cP tang,<p =

c c* — d* — d v/wac*-4- c* — d*

près un pareil résultat envers l'autre courbe, il f r la alnûlitude, qu'on ail identiquement

c ^/c' — d* c'y/c* — rf''

1 que soit m : or il est aisé de constater qu'une telle

exige la condition -, = j,- U n'y a donc d'ellip;

^ei'bolesseoiblablesquecellesotilesdeuxdiniensioni luées dans cette définition sont respectivement propo

onsidérouB encore l'exemple de la parabole, d'après ion du 11° SO. En prenant pour bases les droites 01 , 39] qui joignent chaque point fixe au sommet, et I lleurs coïncider les axes et les sommets desdeux para uènera encore,de l'origine 0, une droite hrbitrairey= t l'intersection M avec la première parabole y* c=>2(£:

ï X = — ^, y = — .En joignant ce point M à l'autre

é F de la base, on aura tang. ç ==x^ %■ Or, ce résu

m*~ 2 rait changer en y remplaçant d par d' pour l'autre i, puisqu'il est évidemment indépendant de d. Donc itboles sont toujours semblables entre elles, commi Jes. 11 serait aisé de constater aussi, d'après l'éqi

=~ ,en choisissant convenablement les bases, a

encore de même de deux cissoîdes. Au reste^ en d nt ces trois cas de similitude spontanée, on conçoit, à] me telle relation est inévitable en toute espèce de c t l'équation pourra être réduite à ne contenir qu'une

constante arbitraire : car, s'il y pouvait exister une condition quelconque de similitude, elle tendrait alors à déterminer cette unique constante ; en sorte que la courbe semblable à la proposée se trouverait ainsi individualisée, ce qui serait évidemment absurde.

Une telle institution analytique de la théorie générale de la similitude des courbes planes n'offre d*autre défaut essentiel que la trop grande complication des calculs qu'elle exige, quand il s'agit d'équations peu simples, et lorsqu'on ne peut choisir assez commodément les bases homologues. Aussi adopteronsnous finalement, à ce sujet, un autre mode, fondé sur une propriété plus aisément formidable.

66. Cette seconde propriété générale des contours semblables se rapporte à la situation parallèle dans laquelle ils peuvent toujours être placés, d'après l'égalité nécessaire des inclinaisons respectives ; puisqu'il suffit de tourner un seul côté parallèlement à son homologue, pour que tous les autres se dirigent d'eux-mêmes parallèlement aux leurs. Or, ainsi disposées, on sait que, vu la proportionnalité des côtés, les deux figures offrent aussitôt Tuniverselle convergence des droites qui y joignent touslespointshomologues enunpointunique,quelquefois appelé centre de similitude^ quoiqu'il fût mieux nommé centre d'homologie. Enfin, les longueurs de ces droites comptées depuis ce point jusqu'à l'une et à l'autre figure sont alors entre elles dans un rapport constant, égal au rapport linéaire des deux contours. Réciproquement, deux figures ainsi construites, à partir d'un point quelconque, seront nécessairement semblables, soit qu'ion ait placé les points homologues en partageant proportionnellement tous les rayons, soit qu'on les ait déterminés successivement d'après le parallélisme des cordes correspondantes. La condition fondamentale pour l'extension spontanée aux figures curvilignes est encore ici évidemment remplie.

GÉOMÉTRIE PUNE.

qu'on évite ainsi dipectemenl toute considération inflnitési- 3, autre que celle relative au nombre despoinls à comparer, ne constitue, par sa nature, aucune ditBcullé essentielle, 'econnalt, par exemple, aussitôt, d'aprësce second mode, la lilude constante de deux cerclea,commeunesuite nécessaire 1 définition ordinaire : il sulHt de les concevoir concenles.

Sométrlquement envisagée, une telle propriété offre le grave nvénient de mêler les relations de situation aux notions imilitude qui, en elles-mfmes, n'en sauraient dépendre. I ce mélange n'est, au contraire, nullement vicieux sous lect analytique. Comme les idées de situation sont seules lédiatement exprimables par nos équations, suivant les ications initiales de ce traité, c'est h raison même d'une réduction des conditions de forme aux relations de posique cette seconde théorie de la similitude s'adapte plus modément que la première à l'institution analytique, suffit pour cela de concevoir les deux courbes semblables IN, A'M'B'N', {/îg. 40), disposées parallèlement, comme mstaterait, par exemple, le parallélisme de deux lignes hoagues AB, A'B', et de supposer l'origine des coordonnées êes au centre de similitude ou plutAt d'homologie corresiant à cette situation. On voit alors que les coordonnées M'P', et OP, O'P' de deux points bomologues quelconques M' seront nécessairement en raison constante. Si donc y satisfont i. l'une des équations, mx et my devront, par mème,satisfaire Àl'autre.en prenant convenablement la conte Pï.Lesdeuxéquationsproposées^ (a:, y)=0, /■»{!, y)=0, ont ainsi coïncider, en changeant dans l'une d'elles x en mx enmy. Tel est le principe éminemment simple delameile théorie analytique de la similitude des courbes, la vérité, si la vérification d'un pareil caractère analytique

constate évidemmentla similitude des courbes correspondantes, on ne saurait toujours assurer, en sens inverse, que sa nonvérification démontre leur dissemblance effective ; car cela pourrait aussi provenir de ce que les deux, figures ne seraient pas actuellement parallèles, ou môme seulement de ce que la présente origine des coordonnées ne se trouverait pas au centre convenable. Mais, quoique ce mélange primordial entre les relations de position et celles de forme doive exiger, en général, comme je vais l'expliquer, de nouvelles opérations analytiques pour dissiper une telle incertitude, il n'en faut pas moins reconnaître que, dans beaucoup de cas, le principe précédent pourra immédiatement suffire, lorsque Tétude préalable de l'espèce de courbes proposée aura déjà garanti Taccomplissement de cette double condition préliminaire relative à la seule situation ; ce qui sera presque toujours facile quand cette question arrivera en temps opportun.

Si, par exemple, il s'agit de deux ellipses ou hyperboles, d'après la définition du n<> 19, il est évident que les deux équations

se rapportent à deux axes semblablement placés envers les deux courbes, dont chacune est symétrique autour de chacun d'eux ; en sorte que, en cas de similitude, les deux courbes sont certainement déjà dans la disposition parallèle, et l'origine au centre d'homologie correspondant. Changeant donc, pour la première, x en mx et y en my, et disposant les équations de manière à éviter toute condition superflue, il faut identifier les deux équations

rèB une valeur convenable de la constante m. Or, on fait

cider leurs seconde membres en prenant m = \ / —3 — ,

ui détermine le rapport linéaire des deux courbes. Mais la paraison des premiers membres montre clairement que la

me l'avait ci-deasus indiqué la première méthode, ans le cas de la parabole, en prenant les équations = tdx, y* =2d'x, on est évidemment assuré encore que leux conditions préliminaires relatives Ii la situation sont samment remplies, d'après la coïncidence spontanée de i lignes caractéristiques, l'axe et la tangente au sommet, : leurs bomologues. U devient alors facile de constater i, plus commodément que par l'autre méthode, que les [ courbes sont toi^ours semblables. L'opération ne serait plus pénible enversfdeux cissoldes.

'. Il reste maintenant à compléter analyliquement cette rie définitive de la similitude des courbes envers les cas, ibles mais peu usuels, où, faute de renseignements préala- , les deux équations données ne seraient pas de nature à >oser l'accomplissement des conditions préliminaires relas à la situation. On conçoit, en général, que l'usage convee des formules propres à la transposition des axes devra re pour ramener ces cas aux précédents, ipposons d'abord, afin de simplifier celle extension grale, que les courbes soient encore disposées parallèlement, s que l'origine des coordonnées ne soit plus placée au centre imililude correspondant, comme dans la flgure^l. U suffit remarquer ici que la propriété analytique fondamentale, lie au n" précédent, n'exige pas que les deux courbes ni rapportées à la même origine, et qu'elle aurait néces-

sairement lieu, de la même manière, envers deux origines seulement homologues. Par conséquent, il existera une certaine origine 0', aisée à déterminer géométriquement, pour laquelle la seconde équation /a (j:,y)=0 devra coïncider avec la première, d'après le changement caractéristique de x en mx et y en my. Au lieu de calculer d'avance, suivant la construction naturelle, la position de ce point placé envers la seconde courbe comme Torigine primitive 0 envers la première, il vaut mieux qu'elle ressorte finalement de l'opération analytique ellemême. On se bornera donc à opérer, pour l'une des courbes, un déplacement d'origine indéterminé, et on tentera ensuite de faire coïncider les deux équations /i (ma;, my] = 0, /g (x + a, y-[-6)=aO, d'après des valeurs convenables des trois constantes arbitraires m, a, et ô, qui représentent, d'une part, le rapport linéaire des deux courbes, d'une autre part, les coordonnées du point homologue, envers la seconde, à la position de l'origine actuelle dans la première. Les relations nécessaires à cette identification constitueront les conditions de similitude cherchées, si toutefois on est d'avance suffisamment assuré du parallélisme effectif des deux courbes proposées.

Considérons enfin le cas le plus général, où les deux courbes ne seraient pas même parallèles, comme dans la figure 42. En construisant sur A'B' , homologue de AB, un triangle semblable au triangle OAB, il déterminerait d'abord un point 0' placé envers la seconde courbe de la même manière que l'origine actuelle 0 envers la première. Si, en ce point, on place des axes O'X', 0' Y' , faisant avec A'B' les mêmes angles que les axes primitifs OX, OY font avec AB, il est clair, en généralisant, autant que possible, la conception de la propriété fondamentale du n'* précédent, que l'équation de la seconde courbe relativement à ce nouveau système d'axes ne devra, en cas de similitude, différer de celle de la première que par le changement,

)UJour3 également caractéristique, de x en mx et y en my. insi, sans chercher d'avance la situation de ce système, on pérera, dans l'une des équations, une transposilion d'axes idéterminée, portant à la fois sur la direction et l'ori^ne, lus en conservant la même inclinaison, et on examinera s'il evlent possible d'identiÛer les deux équations

(ai'cosX'— y'siûX'+o, arsinX'+ff'cosX'+&)^), /'i{mjB,my)=0,

a disposant convenablement des quatre constantes arbitraires j, a, b, et X', dont les valeurs, nullement étrangères à la uestioQ, détermineront le rapport linéaire des deux courbes, L feront en même temps connaître exactement en quoi conste la diversité efTeetive de leurs situation s'actuelles. Toutes !S relations indispensables à une telle coïncidence constilue- )nt ici des conditions nécessaires pour la similitude des deux lurbes proposées, dont la disposition mutuelle est maintenant lUt à fait quelconque.

68. Quelque théorie analytique, ou mCme géométrique, que on croie devoir employer relativement à la similitude des jurbes, il importe de sentir, en général, qu'on devra surtout , diriger, eu chaque cas, vers la détermination du nombre Écessaire des conditions disUncles; car, c'est en cela que consle réellement la principale dîfQculté d'une telle étude. Austât que ce nombre est connu, il ne faut plus attacher qu'une nportance secondaireàla forme actuelle sous laquelle se préinte ainsi chacune de ces conditionsdesimiliLude, qui, parla alure du sujet, comporte nécessairement beaucoup de transirmattons ultérieures, toujours assujetties d'avance à un rincipe commua. Ce principe, résumé final de toutes les proriétés relatives aux Dgures semblables, consiste dans l'uni- ;rselle proporlionnalilé eldans l'égale inclinaison des diverses roilee homologues qu'on y peut respectivement considérer; ce

qui constitue uue simple extension de la définition élémentaire, dès lors indistinctement appliquée à toutes les droites quelconques^ transversales ou latérales, inhérentes à chaque figure. Toute condition de similitude pourra prendre ainsi deux sortes de formes, Tune linéaire, Tautre angulaire, suivant qu'on la concevra comme relative à une proportion de longueurs ou à une égalité d*angles, chacun de ces modes comportant d'ailleurs autant d*énoncés distincts que Ton pourra instituer de combinaisons binaires entre des droites caractéristiques. Hais ces diverses expressions, de Tune ou Tautre espèce, seront, par leur nature,essentiellement équivalentes,quoique plus ou moins convenables, et il faut s'habituer à les échanger directement, selon les convenances propres à chaque cas, sans jamais se préoccuper, & cet égard, d'aucune rédaction exclusive. Si donc laméthode analytique ne présente pas d'abord les conditions de similitude sous une forme suffisamment nette, comme il devra arriver le plus souvent, il faudra peu s'en inquiéter, puisque la nature des courbes proposées fournira immédiatement des énoncés presque toujours préférables, pour peu qu^elles aient été préalablement étudiées. Or, cette réflexion générale est éminemment propre à simplifier beaucoup, dans la plupart des cas, l'application effective de la théorie de la similitude. Car, en se bornant ainsi à en déduire surtout le nombre des conditions, on pourra souvent se contenter du simple aperçu des calculs prescrits, sans avoir besoin de les accomplir strictement. Par exemple, d'après la théorie générale du n* précédent, il est aisé de sentir, envers deux équations complètes du second degré, contenant cinq termes variables, que les courbes correspondantes exigeront seulement une condition de similitude, puisque le nombre de termes à identifier n'excède alors que d'une unité le nombre universel des constantes disponibles pour cette

coïncidence. Quant à la nature de cette unique condition, l'en-

si

afOttÉTRIE {>1A1TB.

iV«

tière exécntwQ du calcttl fie ferait que la présenter sotts une forme pénible, qu'il est inutile de eofinattre : noue etammerons plus tard les divers énoneés spéciaux^ linéaires ou angulaires, qu'il conviendra d'y appliquer directement.

69. Afin de perfectionner davantage la théorie générale de la similitude des courbe» planes^ il y faut maintenant joindre une importante considération subsiâialre, qui, judicieusement appliquée, dispensera souvent de toute opération analytique, en permettantde déduire immédiatement la solution de la seule définition des lignes proposées* €ette méthode auxiliaire repose sur rbeureux aperçu, indiqué par Glairaut dans ses éléments de géométrie f et suivant lequel deux figurvs semblables ne diffèrent que d'après Téchelle sur laquelle riles sont construites, en sorte qu'un simple changement d'écbdlle pourrait toujours les rendre superposàbles. Quoique Glairaut n'y eût es vue que les figures rectilignes^ ce judicieux énoncé convient également, sans aucune préparation spéciale, aux diverses figures eurvilignes^ On doit le regarder comme l'expression la plus concise de tous les rapprochements géométriques auxquels!» similitude peut donner lieu.

D'après un tel principe^ le travail à accomplir sur chaque définition proposée d'une espèce de cotfrbe, afin d*y découvrir les conditions de similitude^ consistera à y bien séparer d'abord les données, linéaires ou angulaires^ indispensables à la grandeur de la coufbe d'avec celles qui n'affecteraient que sa situation, et ensuite h réduire le» premières au moindre nombre possible . Cette do uble préparation présente quelquef oisy surtout sous le second aspect, des difficultés insurmontables,* pour certaines définitions^ envers lesquelles on ne pourra éviter^ à ce sujets l'emploi ultérieur de la méthod«r analytique, qui conserve donc nécessairement son privilège exclusif d'une entière généralité. Mais, quandcesdeuxconditionspréliminairesauront

r» r— il

SECONDE PARTIE, CHAPITRE SIXIÈME. â03

été sQfHsammént remplies, le principe de Clairaut fournira aussitôt la solution demandée. Car, si la grandeur de la courbe est ainsi déterminable d'après une seule dimension, toutes les courbes de cette espèce sont nécessairement semblables entre elles, puisque le simple changement d'échelle pourrait les faire coïncider^ en identifiant leurs dimensions respectives. Quand il faudra plusieurs donnée§ distinctes et indépendantes^ la si* militude exigera autant de conditions qu'il existera de ces éléments moins un, et chacune d'elles consistera naturellement dans la proportionnalité des lignes considérées,* ou dans l'égalité des angles introduits, sauf à lui attribuer ensuite toute autre forme^ linéaire ou angulaire, que l'on jugerait préférable, suivant la faculté de transformation expliquée au n^ précédent. Alors, en effets le changement d'échelle ne pourra identifier qu'une seule dimension respective, et les courbes ne seront semblables que si cette première coïncidence entraine celle de tous les autres éléments, ce qui suppose évidemment l'universelle proportionnalité des longueurs proposées ou l'égalité mutuelle des angles considérés. On voit qu'une telle marche revient, en d'autres termes, à déduire les conditions de la similitude de celles de l'identité, en considérant, d'une part,quele nombre des unes doit toujours être inférieur d'une unité à celui des autres, et^ d'une autre part, que les diverses égalités linéaires simultanément prescrites par celles-ci doivent se changer en simples proportionnalités pour celles-là.

Cette méthode subsidiaire ferait aussitôt décotivrir la similitude constante, déjà constatée analytiquement, dans les divers cas du cercle, de la parabole, de la cîssoïde, etc. : elle nous apprend, en outre, que la même relation s'étendraaux courbes qui dériveraient de ces premières d'une manière déterminée, d'ailleurs quelconque, comme à l'égard du cercle, la cycloïde, répicycloïde, lescourbes de Descartes (n'' 26), etc. Au contraire,

GÉOMÉTRIE FLAKB.

psesou hyperboles, d'après la définition dnn*19, ne selemblables qu'autant qu'il y aura proportionnalité entre ux longueurs, évidemment indépendantes et irréducti- [ui y déterminent la grandeur de la courbe, abstraction e la situation. La définition commune des trois sections tes (n" 23) exigera ainsi, pour la similitude, l'égalité du rt spécifique coirespoudant. Envers les définitions de la oldeou des sections toriques, on trouvera, sans plus arras, des résultats analogues.

conditions préliminaires propres à garantir le succès de tnélhode subsidiaire sont de la même nature que celles 'es h la méthode correspondante que comporte anssi la e du nombre de points déterminant : seulement, ce ibule indispensable est ici plus difficile et plus incertain 9 quelques définitions, pareillement antipathiques à ces procédés supplémentaires; puisqu'il faut maintenant e, en outre, une séparation, souvent délicate, et quelquenpossible, entre les idées de grandeur et les idées de po- . C'est ainsi, par exemple, que les définitions du cercle, )mme segment capable, soit comme lien des points dont itances à deux pilles sont constamment proportionnelles, rmettraient nullement de constater, par ce moyen, lasiminécessaire de tous les cercles, puisqu'elles semblent ■ deux données distinctes pour déterminer k grandeur de rbe, quoiqu'une appréciation ultérieure, que l'équation leule, en général, diriger sûrement, doive montrer qu'il d'indispensable, à cet égard, qu'une certaine combinaison e de ces deux éléments en apparence irréductibles Hais usable évidence des erreurs que pourrait produire, enles courbes peu étudiées ou trop compliquées, l'applicarréflécbie de celte méthode subsidiaire ne saurait altérer contestable elTicacilé dans les cas qui s'y adaptent suffi- «nt.