CHAPITRE VII

Théorie des quadratures.

70. Il serait ici superflu de faire expressément ressortir la haute importance générale d'une telle théorie, directement relative aux questions sur la mesure de l'étendue, où réside surtout la destination finale de Tensemble des études géométriques, dont toutes les autres parties ne constituent, à cet égard, que des préambules indispensables, soit pour préparer la solution effective, soit pour diriger Tapplication ultérieure. Outre la mesure des aires planes curvilignes, cette théorie comprend, en général, les trois ordres de questions fondamentales désignées sous les dénominations caractéristiques de quadratures^ rectifications, et cubatures, expressions très-propres à rappeler la transformation définitive de Taire proposée en un carré, de la circonférence donnée en une droite, et du volume considéré en un cube,résultatnaturel de toute mesure géométrique. Une judicieuse prépondérance du point de vue analytiqueaconduit les géomètres modernes, ainsi que ce chapitre l'expliquera, à concevoir ces diverses recherches générales comme essentiellement équivalentes, au point de pouvoir rentrer à volonté les unes dans les autres, tandis que la géométrie ancienne n'avait pu saisir entre elles qu'une vague et insuffisante analogie. Mais le titre de cette grande théorie doit cependant rester toujours tiré du problème des quadratures, qui constitue la forme sous laquelle cette commune question est le plus simplement accessible aux procédés analytiques.

GËOHÉTRtE PLANB.

« tels problËmes sont aujourd'hui conçus, d'une maaiëre I exclusive, comme ae pouvant Cire jamais traités que par alyselrauscendante. Quoique cette analyse soit, sans doute, spensableà leur solution dans les cas nn peu compliqués, l'est point d'elle que dérive réellement l'ébauche, même tytique, de cette théorie générale. On a maintenant trop lié la phase rapide, mais impérissable, que présente l'hise de la géométrie moderne depuis la fondation de la géo- Tie analytique par Descartes Jusqu'à la découverte de alyse infiniti^simale par Leibnitz. Dans ce mémorable Tvalle, plusieurs géomètres, et surtout Wallis, ont housement concouru à développer et k systématiser de plue plus la théorie générale des quadratures par les seules ïoupces de l'analyse ordinaire ; et c'est principalement IF perfectioaner ces premiers efforts que le calcul intAt a été ensuite créé, tandis que le progr&s de la théorie tangentes conduirait au calcul différentiel. II importe ucoup que la marche individuelle de l'initiation géoméi ue reste toujours conforme à cette gradation spontanée développement historique, en caractérisant ici avec soin moyens que comporte, à cet égard, l'analyse élémen- •e, et qui, quoique plus bornés qu'envers toutes les ques- 18 antérieures, sont cependant bien plus étendus qu'on le suppose maintenant, sans altérer d'ailleurs cette indlssable exposition par aucune vaine introduction déguisée de lalyse transcendante.

'our poser le problème des quadratures sous la forme la iux accessible à toute analyse, il faut réduire les aires à iurer au simple trapèze curviligne MPM'P' (fig. 43), oomi entre deux ordonnées quelconques MP, M'P' et les parties irceptées PP', MM', tant de l'axe, que de la courbe ppopo- . Laquadrature d'un tel espace conduira aisément i celle du

segment proprement dit, renfermé entre un arc de la courba et sa corde, en procédant par soustraction envers le trapèze reotiligne con»espondantrCe i^egmentune fois mesuré, ou pourra évaluer, en général, Taire de tout polygone formé arbitraire* ment d'arps de courbes, analogues ou hétérogènes ; car, après avoir estimé le polygone rectiligne qui résulterait des cordes de tous ces arcs quelconques, il suffira évidemment d'y ajouter les segmentscoucaves et d'en ôter les segments convei^s, Nous pourrons même le plus souvent simplifier encore un peu la forme du problème fondamental, en nous bornant k y carrer le triangle rectangle curviligne AMP, qui conduira au trapèze H'P'MP, en retranchant Tun de Tautre les deux espaces trian* gulaires relatifs aux deux ordonnées extrêmes.

Cela posé, Tesprit général de la méthode des quadratures, spontanément manifesté par le grand Archimède envers quel-r ques cas caractéristiques, *dès le premier essor des hautes spéculations géométriques, consiste à concevoir Taire curviligne demandée comme la limite vers laquelle tend une certaine aire rectiligne^ inscrite ou circonscrite, à mesure que ses parties deviennent indéfiniment plus nombreuses et plus petites; puisque les figures rectilignes sont seules immédiatement appréciables. Si, par exemple, on divise, pour plus de facilité, la base AP' ou PP' du segment proposé en n parties égales, et queTon élève les ordonnées carrespondantes yi^ f/i, ys, etc., en menant ensuite de Textrémité supérieure de chacune d'elles une parallèle à Taxe prolongée jusqu'à la suivante, on substi^ tuera à Taire AM T' ou MT'MP la somme d*un pareil nombre de rectangles ainsi formés, et la limite de cette somme

" (yi"l"ya+y3...+y)i quand n augmente à Tinflni, déterminera Taire cherchée. Toute la difficulté d'une telle recherche consiste donc à découvrir, en chaque cas^ Texpression de cette

, pour laquelle les anciens n'ont possédé que des rests purement spéciales, toujours trës-bornées, comme i leurs autres spéculations géométriques. Du point de lalylique, ou conçoit, en général, que cette limite com- 1 constammenl par se présenter sous une forme entièreindéterminée, 0 X 00 1 — , ou tout autre symbole équiva-

[orsqu'on introduit brusquement l'hypotlièse de n infini, voir eu suffisamment égard k l'équation proposée. Ain», :et aspect, la question fondamentale des quadratures est m réductible finalement h un simple problème d'analyse, itant à transformer, d'après la loi des ordonnées envers

sdsses, la fraction - — — — ^— — = en une autre équivan

qui ne devienne pas indéterminée pour n inllni : de

que nous avons tu la rechercbï des tangentes se réduire

; seulement la

ormation actuelle présente, par sa nature, beaucoup plus arras que l'autre.

lalyseordinairene peut immédiatement surmonter cette ilté caractéristique qu'à l'égard des seules courbes, dites loliçues, où une puissance quelconque de l'ordonnée est rtionnelle il une autre puissance quelconque de l'abscisse. supposerons même d'abord que l'une des coordonnées ne ave qu'à la première puissance, en sorte que l'équation = a*». Toutefois, d'après ce cas primordial, l'heureux pe d'extension posé par Wallis nous permettra de procétsuite à l'entière solution du problème envers beaucoup es courbes.

;as fondamental peut être traité suivant deux modes trèstnta, qu'il faut ici successivement expliquer, l'un plus

simple, mais plus borné au fond, Taulre plus difficile, mais beaucoup plus élendu, et seul finalement susceptible d'une vraie généralité.

71. Dans le premier mode, la forme de la solution consiste à chercher le rapport entre les deux segments complémentaires OMP et OMQ (fig, 44), reposant sur les deux axes. La connaissance de ce rapport conduira aussitôt à la détermination du segment proposé OMP, puisque la somme des deux segments équivaut au rectangle connu OMPQ, formé par les deux coordonnées extrêmes.

Pour trouver ce rapport, concevons substituée à chaque segment une suite convenable de rectangles, selon la construction ci-dessus indiquée, mais sans fixer encore le mode de succession des sommets intermédiaires M', M", M", etc., dont le nombre doit seulement toujours rester indéfini. L'esprit de cette première méthode consiste surtout à profiter d'une telle faculté afin de simplifier l'expression du rapport des deux suites, de telle manière que sa limite devienne distinctement appréciable. En nommante' et y', x" et y'\ etc. , les coordonnées intermédiaires, R et r, R' et r' etc., les deux sortes de rectangles partiels, le premier rapport élémentaire sera évidemment

exprimé par la formule - = ^77 i. Si, d'après Téquation

proposée y = aa^^ on y élimine les ordonnées, elle devient

d'abord — = — j^ — ;^— . Or, la nature de la question exige

évidemment la suppression du facteur commun 2: — x\ qui, s*annulant à la limite, laisserait indéterminé le rapport partiel, et par suite le rapport total. Après l'avoir ôté, on a

'"(?r+(ir+-+(5)+'-

OfiOHÉTRIB PLANE, es rapports partiels — , — 7,< etc., seraient exprimés par iules analogues, procédant pareUlement ealon les puis^

■6 -r,> —77^1 etc. Pour en déduire le rapport total

4> R ' + elc, ., , , ... I

-; — T— T , il faut remarquer, et cest en cela que

-(= r 4- etp,

l'arUfîce rpndsaient^l de cetl« premiëF^ méthode, quo

tion deviendrait très-pimplesices divers rapport é\é'

)s pouvaient devenir égaux entre eux, puisque le rap*

sommes cofnciderail alors avec celui des parties. Or,

^llé etit ici pleinement façtillalive, comme exigeant

nt la relation — ==-- = — etc. ; ce qui revient à X X X '

!r tellement les point? intermédiaires M'. H", H", etc., i abscisses, et par suite leurs ordomiées aussi, décroisrogressiongéométrique, s&ns fixer d'ailleurs la rvBOD^ progression, de maniôre i pouvoir multiplier indéflnii sommets, en rapprochant q de l'unité, qni cgnstitne I, Dana celle hypothbse, on a donc

HR'4-R"+Btc. 1

j, r' + r- + elc. ^ y-i^i+y"-34.y«.-^...+ç+i-

ssant k la limite, où q- = 1, il en résulte aussitôt, pour rt cherché des deux segments OMP el OMQ, la for-

itement la quadrature graphique, et ensuite \ la loi

tre attention. On y voit que, pour déduire, de la fonction

SECONDE PARTIE, CHAPITRE SEPTIÈME. 21 i

relative à Tordoniiée, celle qqi eiprime Taire, il suffit ici d*augr ^ menter d'une unité Texposant de la première et de la diviser par cet eipo^q.nt aipsi augpienté, Cette opération algébrique étant précisément Tinverse dp pelle qu'exigerait la fprmatioQ de la fonction dérivée proprement dite, on peut donc finalQ-r ment rédiger cette loi analytique des quadratures sous cette forme plus concise : la fonction relative à Tordonnée est la dérivée de celle relatiye à Taire. Li'analyse transcendante montre d'ailleurs qu'un tel énoncé ne constitue pas seulement, comme nou3 devons le penser d'abord, un mode plus succinct d'expriqaer le résultat algébrique de la solution actuelle, mais qu'il renferme directement l'expression la plus générale de la loi fondamentale des quadratures, qui, dans une courbe quelconque, coiisiste, en effet, en ce que Tprdonnée est toujours la dérivée de Taire.

Tout lecteur judicieux a sans doute déjà senti spontanément, dans Texposilion précédente, Tanalogie remarquable que présente cette première méthode élémentaire des quadratures avec la première méthode élémentaire des tangentes, de manière à saisir une véritable afflnité analytique entre les deux principales de nos théories générales, qui, en effet, ne peuvent Tune et l'autre être convenablement généralisées que d'après une intervention, essentiellement équivalente, quoique très-distincte, de Tanalyse infinitésimale. Ou tre la conformité fondamentale, cidessus indiquée, entre les deux problèmes analytiques correspondaats, on voit que l'élaboration algébrique repose pareillement surla division de a* — b^ par a — ô, et que les deux résultats s'accordent naturellement à introduire en géométrie, suivant deux voies différentes, la grande considération des dérivées.

Afin d'étendre, autant que possible, cette première méthode, il faut maintenant expliquer la modification algébrique d'après

! le même artifice g4ométriqae perrael d'aborder avec le succès le cas plus général de l'équation y"*™ a3^, les [poBonta y élant entiers et positifs, mais d'ailleurs quels. En y dégageant l'ordonnée, le rapport élémentaire

ent alors

;ule dilïicullé nouvelle consiste ici dans l'impossibilité iate d'enlever le facteur qui, à la limite, annule simulnt les deux lermesde cette fraction. Or, un le} embarras pe aisément d'après un&simple préparation algébrique, isiste & se défaire des exposants fracliounaires, suivant ient ordinaire, en posant x = l', x' =• t'", sans qu'il ailleurs se préoccuper du sens géométrique des varialuliaires t et /', qui vont prochainement disparaître, 'ansformation donne anssitftt la formule

r "° l'" {f — /'■)' peut àhs lore enlever, comme ci-dessus, le-facteur vi- — f, d'où

r~ /■>» (fK-i -I- («-s /' + ('■-') ■

ipression ne dépend, au fond, ainsi que dans le premier e du rapport —, suivant la loi

D*après une telle préparation, les rapports partiels deviendront

t t' t" encore égaux, si Ton suppose - = -, = -77,, etc., ce qui re-

vient, de même qu'auparavant, à faire décroître les coordonnées intermédiaires en progression géométrique. On aura donc, pour le rapport totale l'expression

R + R' + R" -f , etc. y«i~i 4- ym-g -f -fi

r + r'+r'*'\-, etc. ™y«-i -f-j'u-S-}- fi'

qui, à la limite, donne - = — , d'où il résulte, géométrique-

m ment^ S = ary, ce qui conduit aussi commodément que

ci-dessus à la quadrature graphique, et ensuite analytique-

mentS= — Ce dernier résultat montre clairement que

la loi de formation algébrique d'abord établie sur l'équation y sa flra:»», pour y passer de l'ordonnée à l'aire, s'étend exactement à l'équation y^ «» ax*, en mettant celle-ci sous la même forme à l'aide des exposants fractionnaires^ envers lesquels on opérerait comme s'ils étaient entiers. Ainsi les deux cas de quadrature auxquels cette première méthode est immédiatement applicable aboutissent finalement à un même énoncé analytique.

72. La seconde méthode consiste à traiter directement la question analytique qu'introduit naturellement le problème des

quadratures,suivantlaformulegénéraleS=a:r^ ^ ^^*" )

(n* 70), en cherchant l'expression de la somme des valeurs que prend la fonction relative à l'ordonnée pour une suite de va-

oc oc oc or

leurs -, 2 -, 3—, n -,de la variable: ce qui équivaudra,

il* -

dans chaque Cas, à la sommation d'une certaine suite de nombres. Sous cet aspect, la sommation des suites acquiert aussitôt une haute importance géométrique, puisque, dès qu'on est partenu à sommer une stiite quelconque, on en peut déduire immédiatement la quadrature d'une certaine courbe. Malheureusement nos connaissances à ce sujet sont, mètneaujonrd'hui, et serotit nécessairement toujours fort imparfaites, d'après la grande difficulté que présente ce genre d^ spéculations analytiques, quand on s'écarte des plus simples progressions. Aussi le principal vice de cette marche, éminemment naturelle et pleinement générale, qui fut essentiellement celle de Wallis et de ses contemporains, consiste-t-il à exiger iiiùtilement la recherche complète d'une telle sommatioii, quoique Soii ét^iression totale ne doive pas influer sur le résultat demandé, puisque la plupart des termes disparaîtront à la limite, sans que iiéanmoins nous puissions actuellement dégager les seuls qui doivent réellement affecter cette limite, qui constitue pourtant Tunique objet du problème des quadratures. Le privilège essentiel de l'analyse transcendante, consiste, à cet égard, à aborder directement la détermination exclusive d'une telle limite, abstraction faite de la sommation effective, qui présente beaucoup plus de difficultés, et qui n'est vraiment accessible qu'en un bien plus petit nombre de cas. Mais ici nous devons accepter la question avec toutes les complications superflues qu'elle présente naturellement, et apprécier ainsi les ressources que comporte, à cet égards l'analyse la plus élémentaire envers les courbes de l'espèce y = aa^^ où m est entier et positif; sauf toutefois à écarter, dans l'exposition, l'inutile développeiïïént des termes de la formule sommatoire qui se montreraient évidemment dépourvus de toute influence ^ur la limite cherchée.

Dans ce cas, on a S = aa^-^^ 1,

ty-

et la question consiste à sommer les m^^' puissances des nombres naturels 1, 2, 3....^/»; afin de comparer cette somme à

n»»+^ pour prendre la Taleur de ce rapport quand n ésl infini. Quoique cette rechercbe algébrique n'exige réellement rien aU delà des premiers éléments d'algèbre^ on a*a pas coutume encore de l'y traiter; en sorte que, si je ne l'expliquais ici succinctement, je craindrais de n'être point assez compris du lecteur qui n'aurait strictement reçu que le degré précis de prépai*ation analytique proclamé d'abord indispensable à l'étude de ce traité. Polir déterminer, eu général, la somme des m*^^ puissances d'une suite de n nombres a, 6, c...... Ar, /, en progression arith-

métîque, dont la raison est r^ il suffit d'élever à la puissance m 4" i chacune des relations caractéristiques

qui définissent la progression, et d'ajouter ensuite tous ces développemeftits. Car, en désignant par Sm+i, Spu Sm-i.... ^j Si, la somme des termes proposés élevés chacun à la puissance que marque l'indice, on aura ainsi, après avoir ôté Sm+u commun aux deux membres, une relation fondamentale

/r. f IX {fn-{-i)mlm — 1) ,^ , ^,

(Sm i — /«-!) + ^^^^ ' {S—2 - /"-2)+ etc.

entre la somme cherchée et toutes les sommes analogues relatives aux puissances antérieures. Si donc on part de Si, déjà coniiu,oii même de So, dont la valeur est immédiate^ ou pourra former ainsi successivement les expressions de 82,83, etc . , jusqu'à telle puissance qu'on voudra. Dans la progression considérée ici 1, 2, 3, 4 n, cette relation se simplifie et devient

+ ^ \^l ^'(S«.-s - ^"'-*) + etc.

loique ce moyen pûl certainement conduire à sommer des issances spéciales même trës-élevées, il serait difficile d'en duire la loi générale propre à un exposant m indéterminé, lis, en réfléchissanl à la deslination actuelle d'une telle somition, nous y pouvons aisément saisir la seule partie qui isse influer sur la quadrature proposée. Car, soit par la nare de la question, soit même d'après la relation précédente, ;st d'abord facile de sentir que Sm sera une ronclton de n du gré m + 1. Or, comme nous devons la comparer à n"+i, il Iclair que le seul terme de celte formulequi doive réellement ecter la limite cherchée est celui du plus haut degré, puise toutes les autres parties du rapport s'annuleront pour n Ini, en tant que contenant finalement n en dénominateur, question algébrique étant ainsi Kduite à la recherche de ce 'me unique, la relation précédente le montre évidemment

al k j ; en sorte qne la limite du rapport -jjtt sera cer-

m+i ode (').

73. Après avoir établi, par l'une ou l'autre des deuxmélhodes écédenles, la quadrature des courbes paraboliques, l'analyse dinaire peut déduire, de ce cas fondamental, beaucoup d'au- !S quadratures, à l'aide du lumineux principe dû à Wallis r la réduction des polynômes aux monômes. Ce piincipe évint consiste eo ce que, si l'ordonnée de la conrbe proposée

'IQacIquc^lt^mentBlrequc soil réellemcntunolellccxposilion, lescomnçanis auxquels elle oITrirait quelques dimcultés, pourronl ulilemcnl liai rcir en se bornant à y considérer d'abord les cas particuliers les plus iplea m =î,m=3,pourrevenireDsulte au casde l'exposant quelconque.

-. * Hl

est décomposable en plusieurs autres, suivant la loi constante,

on aura, envers les aires correspondantes aux ordonnées partielles, la même relation araire totale S = S' + S" — S", pourvu que tous ces segments soient d'ailleurs estimés entre les mêmes limites latérales : en sorte que quand ces ordonnées auxiliaires appartiendront à des courbes déjà quarrables, il en résultera aussitôt, sans aucun effort, la quadrature de la courbe proposée. En effet, les rectangles de même base étant proportionnels à leurs hauteurs, on conçoit que cette subordination existe d*abord entre les rectangles élémentaires, par suite entre les sommes respectives d'un pareil nombre quelconque de ces divers éléments, et enfin entre les limites correspondantes à ces sommes. On pourrait dire, plus généralement, que si la relation de la courbe composée aux courbes simples contenait aussi des coefficients constants, comme y=^ay* -{-by" — cy'*\ la même dépendance existerait encore entre les aires convenables

S=«S' + ôS"— cS'".

D'après cet important principe, évidemment applicable à un nombre quelconque de parties, la quadrature des courbes paraboliques conduit aussitôt à celle de toutes les courbes où Tordonnée seraitcomposéed'unesommede puissances dePabscisse, sans excepter d'ailleurs le cas des exposants fractionnaires, auxquels la règle primitive a été étendue au n® 71. En attribuant à ce principe toute son extension logique, jusqu'à l'appliquer à une infinité de termes, nous pourrions même en déduire déjà, sous une certaine forme, à la vérité très-imparfaite, la quadrature de toutes les courbes algébriques, au moins quand l'ordonnée y peut être dégagée. Car, à quelque fonction algébrique qu'une telle résolution ait donné lieu, on pourra toujours, soit par division ou par extraction, suivant

18 GÉOMËTHIE PLAIC.

a'elle sera tVacttonnaire ou irrationnelle, la transformer en ne série indéfloie plus ou moins régulière, procédant selon s puissances positives, et mËme entières, de l'abscisse; de çon à pouvoir ensuite, d'après le principe de 'Wallis, en Éduire, suivant la quadrature primordiale, une autre série tlalive à l'aire cherchée. Les moyens plus perfectionnésque de iusconipIèt«s connaissances algébriques fournissent pour cette ansformationanalytiquepourront d'ailleurs faciliterbeau coup se telle opération, en faisant mieux saisir la loi de chaque !rie. Enfin, si l'on considère que les fonctions transcendantes les-mëmessontaussi susceptibles d'un pareil développement, 1 concevra que l'usage convenable du principe de Wallis peut )Dduire, i, cet égard, l'analyse ordinaire jusqu'à exprimer en >rie l'mre d'une courbe quelconque. Quoiqu'une telle expresonsoit sans doute peu satisfaisante, il faut s'accoutumer dès ! moment à regarder cet expédient comme souvent indispenible, non-seulement k l'analyse ordinaire, mais encore à analyse transcendante, qui, en multipliant beaucoup les cas il la loi de quadrature est assignable en termes finis, ne pourra ipendant Jamais aborder que d'après les séries la plupart des jestions de ce genre.

Le pins heureux usage que puisse comporter celle introducon des séries, consiste à n'y voir qu'un simple intermédiaire aurmienxdécouvrir la formule finie, lorsque la série obtenue î présente que le développement d'une fonction déjà connue, ien que ces cas doivent être fort rares, nous en pouvons citer i un exemple important, qui va procurer une nouvelle exlenon à notre règle primordiale de quadrature, et, par suite issi, ouvrir de nouvelles voies i remploi ultérieur des séries, 1 y permettant l'admission des exposants négatifs. Soit à aarrer la courbe y=aj:—™, envers laquelle il convient de lodifier un peu la position antérieure de la question, en évi-

tant de compter Taire à partir de 2: => 0, qui rend alors y infini : nous supposerons donc que le segment commence, par exemple, à or = 1. Toutefois, afin de ne pas changer leshabitudes antérieures, où les règles algébriques de quadrature se rapportent toujours à une aire partant de Taxe des y, il faudra transporter cet axe à la position correspondante à cette abscisse initiale ; ce qui se réduit à changer, dans Téquation proposée, X en 1+5:. On a alors y=»a (1 -^-xy-^*^ et, en développant suivant la loi du binôme^

y = a[l-mx+-Ljl-'x»- ^J] + V+etc). ■

En opérant la quadrature, d*aprës le principe de Wallis, on trouve la série

Or^ en la considérant avec attention, il est aisé d'y reconnaître le développement de (i+a;)~'"+i, où Ton aurait ôté le premier terme 1, et ensuite le facteur — m + i. Il en résulte donc une expression finie de Taire cherchée, qui, en revenant à Tancienne origine des abscisses, se trouve enfin représentée par la

formule

a(ar-"H-^ — i)

Eu égard àTorigine actuelle des aires, ce résultat consiste évidemment à étendre aux exposants négatifs la règle de quadrature précédemment démontrée envers Téquation y=!ax«, quand m était supposé positif.

74. Telles sont les ressources essentielles que présente réellement Tanalyse ordinaire pour aborder, à un certain degré, la théorie des quadratures proprement dites, en évitant d'y exagérer puérilement sa portée effective par une vaine imitation,

)u moins dissimulée, des procédés vraimeat émanés de yse transcendante. 11 faut maintenant expliquer successintles divers rapprochements fondamentaux qui étendent :oup l'utilité géométrique des moyens analytiques quelles relatifs à la mesure des aires, en permellant d'y rar au36i la mesure des longueurs el celle des volumes, manifestation définitive de ces relations nécessaires con- ., vers le milieu dé l'avant-demier siècle, l'un des prei résultats naturels de l'heureuserévolution que Descartes l d'opérer dans le systëmedes spéculations géométriques, faisant convenablement prévaloir les conceptions analyi,.qui ont permis une généralisation auparavant impos- Aussi ces importantes relations vont-elles ici s'établir avec la généralité désirable, sans exiger«ucunement l'analyse cendante, qu'on y croit mal à propos indispensable au- 'liui, quoique sa création ait été bistoriquemenl trèsrieure à leur découverte.

isidérons d'abord la rectification des courbes planes. La lie générale de la solution s'y présente aussitôt comme évilent analogue à celle du problème des quadratures, puisi difficulté consistera ici h discerner la limite delà somme éments reclilignes, tels que m m' (fiff. 45), composant le one inscrit que l'on substitue à l'arc proposé, M'H, ris entre les oi-données M'P' et MP. Mais un examen plus ifondi montre aisément que l'on peut établir, sous le rapanalytique, une véritable identité entre les deux recheren ramenant la rectilîcation d'une courbe quelconque à ïdrature d'une autre, liée h la première suivant une loi mte. Il suffit pour cela de cbercher l'expression générale émentcurviligne d'après l'élément pp' ou mn de l'abscisse, immant a l'angle m'nm, qui, à la limite, devient évitent l'inclinaison de la tangente en m sur l'axe, on aura

mm'^=h séc a. Or, cette formule pennet d'envisager rélément linéaire proposé comlne numériquement équivalent à l'élément superficiel d'une certaine courbe auxiliaire K*K dont l'ordonnée serait représentée par la fonction qui; envers la courbe donnée, indique la sécante de l'inclinaison de la tangente, en sorte que l'on pourra déduire son équation, d'après la règle des tangentes, de celle de la courbe proposée, suivant

la loi y = V/ 1 + (/'(x) )', si y = /* [x) est l'équation primitive. Une telle assimilation élémentaire détermine la même relation entre les sommes d'un pareil nombre d'éléments respectifs, et par suite entre les limites de ces sommes. Ainsi l'arc cherché M'M équivaudra numériquement au segment K'P'KP. Si donc la quadrature de la courbe auxiliaire est accessible aux méthodes connues, elle fournira aussitôt la rectification de la courbe proposée.

Qu'U s'agisse, par exemple, de rectifier le cercle y^a^=r^.

On aura ici tang a e= , et dès lors la courbe auxiliaire, sui-

r vantlaloiprécédente2=séca,aurapouréquation:s<

Cette courbe du quatrième degré n'étant pas actuellement quarrable par nos méthodes, si ce n'est en série, la question proposée ne comporte maintenant qu'une pareille solution.

L'extrême imperfection où nous avons dû laisser ci-dessus la théorie des quadratures proprement dites nous permettrai rarement d'accomplir ainsi les rectifications, vu la trop grande complication que la nature de cette loi de transformation devra communément introduire dans l'équation de la courbe auxiliaire, même d'après une très-simple équation primitive. Mais le problème des rectifications doit être, en général, réputé plus difficile que celui des quadratures, et beaucoup moins souvent susceptible d'une solution satisfaisante,

QÉOHÉTRŒ PLANE.

•yens analytiques qu'on puisse l'aborder, il citer ici un exemple remarquable, où, par 1 analytique éminemment exceptionnelle, la ievient réellement plus simple que la courbe luidelacourbey'=x*, oùl'on trouve, pour

ire, l'équation s «= y 1 + - x, qui, mise

- ) indique évidemment une para-

irrable d'aprës la règle élémentaire dun°71, ent les ~ de l'aire du rectangle des coordondoit seulement remarquer, à ce sujet, que la 3. son sommet à^ en arrière de l'axe des^, itte règle estime l'aire, et d'où nous voulons rc cherché : il faudra donc, de l'expression nentvariable, retrancher maintenant celle du étenddecesommetàcetaxe ; ce qui donnera i rectification proposée, la formule

maintenant à la mesure des volumes, nous e pas sortir réellement de la géométrie plane, lent les corps engendrés par la révolution e autour d'im axe situé dans son plan. Après ques et coniques, dont la mesure résulte imlelle des prismes et des pyramides, ces corps le cas le plus simple et aussi le plus usuel : ion générale suffit d'ailleurs à caractériser table esprit de la méthode fondamentale des l'on puisse s'y borner, comme envers les 3S rectifications, h une seule décomposition

élémentaire ; taudis que les volumes les plus compliqués exigeraient deux décompositions consécutives afin de se résoudre en éléments directement évaluables.

Proposons-nous donc de mesurer le volume produit par le segment curviligne quelconque M'MPP' [fig. 46), tournant autour de Taxe des x. Les éléments naturels de ce corps seraient d'abord les troncs de cône résultés des trapèzes élémentaires dont Taire génératrice est immédiatement formée. Mais de même que, à chacun de ces trapèzes mm 'p'p, on peut substituer le rectangle correspondant mnp'py un motif semblable autorise également à remplacer ces éléments coniques par les simples cylindres qu'engendreraient ces rectangles; puisque chaque tronc de cône est évidemment compris entre deux cylindres, un extérieur et Tautre intérieur, qui, à la limite, coïncident exactement, comme les rectangles générateurs m'qpp' et mnp'p. D'après cela, l'élément du volume cherché aura pour mesure ity^h. Or, en omettant le facteur constant ir, cette expression peut être attribuée à l'élément superficiel d'une courbe auxiliaire G'G dont l'ordonnée correspondrait au carré de la fonction de l'abscisse qui représente l'ordonnée de la courbe donnée. Âinsi^ en raisonnant comme au n® précédent, on reconnaîtra, sans aucune difficulté, que la quadrature de cette nouvelle courbe, entre les limites proposées, représentera numériquement la cubature demandée, pourvu que le résultat en soit finalement multiplié par le rapport connu de la circonférence au diamètre. La loi J5«=y*, suivant laquelle la courbe auxiliaire dérive ici de la courbe donnée, montre clairement que cette seconde extension fondamentale de la théorie des quadratures est plus favorable que la précédente ; puisque la quadrature finale doit êlre alors bien plus souvent accessible à nos méthodes actuelles, d'après la simplicité comparative de la nouvelle équation.

fe^

Lx; »

Supposons, par exemple, qu'il s'agisse d'obtenir ainsi la mesure du segment sphérique, en partantderéquationy*-{-^'=^» du cercle générateur. Dans ce cas, la courbe auxiliaire est une simple parabole ««=r* — a:*, aisément quarrable suivant notre

rc*

règle élémentaire, et qui donne S = r'a; — , d'où il résulte,

pour le volume cherché, la formule y s^izlr^x — « j, où le

Segment est naturellement compté du centre, et qui conduirait aisément à l'expression du segment compté de la surface. Au reste, celui-ci s'obtiendrait directement en représentant le cercle générateur par l'équation y^=2ra:--a:^,d*où la même méthode

déduirait, sans plus d'embarras, la formule V = Tca:^ f r — - x\.

Chacune de ces formules, d'après Thypothèse x^^r, déterminerait l'hémisphère, de manière à reproduire spontanément,

pour la sphère totale, l'expression élémentaire - w r^, dont la

démonstration pourrait logiquement être ajournée jusqu*à ce degré actuel de l'initiation mathématique, quoiqu'il convienne d'ailleurs, à tous égards, de maintenir l'usage de faire connaître beaucoup plus tôt un tel résultat géométrique.

Considérons encore le cas du tore, engendré par la révolution du cercle ABDE {fig. 47), dont le centre C est sur Taxe des y y autour de l'axe des x. L'équation du cercle est alors (y— 6)a-|-a:^=r>, et il en résulte, pour la courbe auxiliaire, l'équation

î5=62 + r» — ajadb 26\/r« — aî%

où le double signe correspond à la duplicité actuelle des ordonnées MP et M'P relatives à une même abscisse. Il importe ici de sentir que, si on appliquait aveuglément la règle ordinaire à l'une ou à l'autre de ces deux fonctions, on n'obtien-

drail pas, en étendant le résultat aux limites horizontales du corpsproposé, la vraie mesure du tore, mais celle seulement ou du corps produit par Tespace circulaire concave HADBK, d'après la première, ou de celui que produirait l'aire convexe HAEBK : un instant de réflexion directe sur Torigine de la relation fondamentale suffira pour le faire bien comprendre au lecteur. Or, le tore étant évidemment équivalent à la différence de ces deux volumes, on voit quil faut maintenant quarrer séparément les deux courbes auxiliaires, et ensuite retrancher le second résultat du premier. Dans cette soustraction; les termescommuns,d'ailleurs, aisément quarrables, devraientdisparaître, en sorte qu'il serait superflu de s'en occuper : au contraire, les termes distincts se doubleront, d'après l'opposition des signes, et tout se réduira finalement, selon le principe

de Wallis, à quarrer la courbe z^^^ r^ — j;*, sauf à multiplier le résultat par Ab, outre le facteur habituel iz en dernier lieu. Nous ne pourrions maintenant opérer qu'en série cette quadrature définitive, qui est évidemment celle du cercle générateur, s'il s'agissait d'un segment torique quelconque. Mais, envers le tore entier, le résultat en est déjà connu, suivant la règle élémentaire relative à l'aire du cercle, et qu'il faudra ici appliquer au demi-cercle. On trouvera ainsi la formule finale V= âTc'ir', parfaitement conforme à la loi générale de Guldin sur la mesure de tout corps rond par le produit de Taire génératrice et de la circonférence que décrit son centre de gravité.

Un tel exemple méritaitici une appréciation spéciale, comme propre à caractériser la manière dont il faudra modifier la méthode fondamentale quand la figure proposée, au lieu de s'étendre inférieurement jusqu'à l'axe, suivant notre hypothèse ordinaire^ sera circonscrite entre les deux parties d'une même courbe, ou d'ailleurs entre deux courbes distinctes, dont

les ordonnées, différeraient d'après un mode analytique quelconque, au lieu de n'être distinguées que par le signe d*un radical.

76. Procédons enfin àla dernière extension générale de notre théorie des quadratures, en l'appliquant à la mesure de la surface courbe qui entoure les corps ronds que nous venons de cuber. On est alors obligé de conserver les éléments coniques engendrés par les c<^tés élémentaires mm'[fig. 46) de la courbe donnée, sans pouvoir aucunement leur substituer les éléments cylindriques correspondants aux parallèles m^n ou m'q^ entre lesquelles Nlément naturel n*est plus compris. Un élément quelconque de Taire cherchée sera donc ici mesuré par ^izhy séc a, en ayant égard à l'expression du n® 74 pour le côté mm\ a désignant toujours Tinclinaison de la tangente sur Taxe. D'après une telle formule, une marche semblable à celle déjà employée envers les deux autres extensions fondamentales, conduit aisément à reconnaître que la quadrature de la surface courbe proposée se réduit à celle de Taire plane correspondante à une courbe auxiliaire dont Téquation se déduirait de celle de la courbe donnée suivant la loi ^ =3 y séc a : il faudra seulement multiplier cette aire par le facteur constant 2 Tt.

La loi de transformation générale est ici plus compliquée qu'en aucun autre cas; par suite, cette troisième classe de recherches doit être finalement regardée comme la moins accessible à nos méthodes actuelles, et même aux moyens plusparfaits que fournit Tanalyse transcendante. Je ne puis guère citer ici d'autre cas intéressantoùelledeviennecomplètementapplicable que celui de la sphère, où, par une compensation éminemment exceptionnelle, les radicaux propres aux deux facteurs y et séc a, au lieu de secombiner, comme de coutume, se détruisent mutuellement ; en sorte que, contre l'usage

normal, la ligne auxiliaire se trouve alors plus simple que la ligne donnée. En partant de Téquation y*= ^rx — ar*, afin d'obtenir naturellement la zone à une seule base, on trouve

séc a = - ; ainsi la ligne auxiliaire est ici z = r, c'est-à-dire

une simple parallèle à Taxe : il en résulte, suivant nos règles, la formule S= 2 ic rx, parfaitement conforme à la loi connue.

Dans le cas du tore {fig. 47), on trouverait aisément, d'après la même équation qu'au numéro précédent, la courbe auxiliaire

En étendant sa quadrature jusqu'aux limites horizontales du tore entier, le signe supérieur correspondrait à l'aire résultée de la demi-circonférence concave ADB, et le signe inférieur à celle qu'engendreraitlademi-circonférence convexe AEB. L'aire cherchée dépendra donc de la somme des deux quadratures^ sur laquelle leterme distinct ±: r ne saurait influer, en sorte que tout se réduit à doubler le résultat correspondant à l'équa-

tion % = — . Or^ quoiqu'elle échappe directement à nos

méthodes élémentaires, sauf le recours aux séries, il est aisé de sentir que, en y omettant le facteur ô, cette quadrature coïncide avec celle qu'a exigée, au n*» 74, la rectification du cercle, laquelle nous est déjà connue envers la circonférence totale, qui se rapporte ici à l'ensemble du tore. D'après cet utile rapprochement, on trouve aisément la formule finale S=4 'K^br; conformément à la seconde partie de la loi de Guldin sur la quadrature de tout corps rond suivant le produit du contour générateur par la circonférence que décrit son centre de gravité. 11 ne faut pas négliger d'ailleurs de remar-

r.'jf

quer, au sujet d'une telle solution, cet exemple évident de Tefflcacité naturelle, môme spéciale, du point de vue analytique pour le perfectionnement des diverses notions géométriques à Taide des nouvelles liaisons abstraites qu'il établit entre elles, et qui permettent de faire souvent rentrer les unes dans les autres des questions qui devaient d'abord sembler hétérogènes.