CHAPITRE PREMIER

Considérations générales.

77. A. la manière dont jusqu'ici on s'est borné à concevoir cette partie essentielle de la géométrie plane, elle constitue seulement l'application générale de l'ensemble des méthodes que nous venons d'établir à la détermination caractéristique de la vraie figure d'une courbe d'après son équation. Sans exiger proprement aucun nouveau principe, cette partie ne se distinguera ainsi de la précédente que par la combinaison spontanée et continue des diverses théories qui ont été ci-dessus considérées séparément, et qu'il faut maintenant faire concourir à l'appréciation progressive des formes correspondantes aux différentes équations, en apprenant surtout à perfectionner les unes par les autres ces indications distinctes, qui pourront souvent se suppléer mutuellement. C'est dans le sentiment familier d'une telle solidarité générale que consiste la principale utilité de cette nouvelle étude, communément très-imparfaite, et à défaut de laquelle on ne saurait pourtant obtenir qu'une insuffisante manifestation du véritable esprit de la géométrie analytique.

rv^

fi--'

ïï^"

ff^ ^

Pour caractériser d'abord convenablement la marche fondamentale que doit toujourssuivre la discussion géométrique des équations, il y faut distinguerici deux degrés essentiels nécessairement consécutifs, Tun relatif à l'ordonnée, Tautre à la tangente. Le premier degré, base indispensable de Tensemble de la discussion, consiste surtout, non à examiner minutieusement quelques points particuliers, comme on a coutume de le faire presque au hasard, mais à saisir nettement le mode général de vaciation deFordonnée d'après Tabscisse. Cette apprér dation se compose essentiellement de deux parties successives, l'une où Ton détermine d'abord entre quels intervalles l'ordonnée sera réelle, l'autre où l'on discute ensuite en quel sens et avec quel signe varie sa grandeur pour chaque intervalle de réalité, sans plus s'occuper de ceux où elledevientimaginaire. On connaît ainsi, en premier lieu, si la courbe est limitée ou illimitée, continue ou discontinue ; en second lieu, si elle est ascendante ou descendante, et si elle traverse ou non les axes coordonnés. Chacune de ces deux parties de la discussion fondamentale de l'ordonnée donne lieu d'ailleurs le plus souvent à un complément naturel, consistant à déterminer, autant que possible, les points particuliers où s'opèrent ces différents passages de la réalité àl'imaginarité, de l'ascension à la descente, d'un côté de l'axe à Vautre côté. Il convient alors de résumer l'ensemble de cette première appréciation par la figure la plus simple qui puisse convenablement satisfaire aux divers renseignements ainsi obtenus ; suivant l'important précepte logique, mentionné dans la première partie de ce traité, sur la nécessité d'introduire le plus promptement possible une hypothèse propre à lier tous les documents déjà recueillis, saufà la modifier ensuite d'après de nouvelles informations.

Quoique cette discussion de l'ordonnée puisse quelquefois suffire à caractériser nettement la vraie figure générale d'une

.iif

courbe, cependant elle laissera presque toujours, sur le sens effectif de sa courbure, une incertitude radicale, qui ne saurait être dissipée que par un second degré de discussion, relatif au mode de variation de la tangente dans les diverses parties de la ligne. La méthode naturelle que nous avons d'abord employée pour décider si une courbe est concave ou convexe vers un axe, en comparant son ordonnée à celle d'une corde convenablement choisie, conduirait le plus souvent à des calculs beaucoup trop compliqués. Or, celte comparaison spontanée entre deux fonctions distinctes peut être maintenant remplacée par une comparaison équivalente, non moins générale, mais bien plus facile, enlre les valeurs successives d'une même fonction, celle qui exprime, en chaque point, le coefficient angulaire de la tangente correspondante. Car, en supposant, pour mieux fixer les idées, que l'ordonnée croisse avec l'abscisse, il est clair que, si la courbe est concave vers l'axe, l'inclinaison de la tangente diminuera toujours, avec ou sans limite d'ailleurs, à mesure que la courbe s'élèvera ; tandis que, si la courbe est convexe, cet angle ira, au contraire, en augmentant. Quand la courbe descend, le symptôme se trouve inverse, mais pareillement décisif : l'angle, dès lors obtus, que fait la tangente avec l'axe se rapproche ou s'éloigne de l'angle droit à mesure que l'abscisse augmente, suivant que la courbe est concave ou convexe. Ainsi, le mode général de variation du coefficient angulaire de la tangente est toujours propre à déterminer le vrai sens de la courbure, sans qu'il convienne d'ailleurs d'arrêter d'avance, à cet égard, aucune formule spéciale, qui ne saurait également s'adapter aux diverses applications.

Ce second degré général de la discussion géométrique des équations indique d'abord certains points remarquables, qui complètent naturellement la discussion de l'ordonnée, en faisant connaître les maxima ou minima des deux variables simulta-

nées, d'après les tangentes parallèles aux axes, comme je l'ai expliqué, en principe, en exposant Tapplication de la théorie des tangentes à cette importante recherche analytique. Mais, outre ces points, qui appartiennent proprement au premier degi'é de discussion, la marche des tangentes introduira spontanément la détermination d'une autre sorte de points, qui s'y rapporte spécialement, ceux où la courbure change de sens. Quand une courbe est sinueuse, chacune de ses inflexions se trouve, en effet, caractérisée, d'après Texplication précédente, par un état maximum ou minimum de la fonction qui mesure Tinclinaison de la tangente sur Taxe ; puisque c'est alors que cette fonction passe de Taccroissement au décroissement, ou en sens inverse selon la position de la figure. On pourra donc découvrir ces points d'inflexion en appliquant au coefficient angulaire de la tangente les méthodes que l'on jugera convenables pour en déterminer les maxima ou minima. Suivant les principes que nous avons établis à ce sujet, on pourrait considérer le caractère analytique de ces points comme consistant, en génoitd, dans l'annulation de la seconde dérivée de la fonction relative à l^ordonnée, sous la réserve habituelle des exceptions propres à cette théorie. Mais, soit que nous puissions immédiatement appliquer un tel caractère, soit que, comme il arrivera le plus souvent, nous soyons forcés de suivre, à cet égard, les détours algébriques, déjà expliqués, qu'impose la faible instruction analytique exigée dans ce traité, ce sera toujours d'après une semblable considération géométrique que nous procéderons ici à la recherche de ces points remarquables.

A ces deux degrés essentiels de la discussion géométrique seule accessible à l'analyse ordinaire, Tandyse transcendante en joindra ultérieurement un troisième, destiné à compléter le second, comme celui-ci aura déjà complété le premier, en

it:^i

appréciant le mode général de variation de la courbure, considérée, non plus seulement dans sa direction concave ou convexe, mais aussi dans son intensité plus ou moin^ grande. Nous ne pourrons ici instituer, à cet égard, qu'une première ébauche, nécessairement vague et imparfaite, en examinant les changements plus ou moins rapides qu'éprouve Tinclinaison de la tangente. Là où cet angle variera beaucoup dans un petit intervalle, nous jugerons la courbure très prononcée en général ; quand, au contraire, il changera peu entre deux sinuosités fort écartées, nous conclurons aune faible courbure. Mais ces insufBsantes indications, les seules que fournisse, à ce sujet, Tanalyse ordinaire, ne sauraient d'ailleurs nous permettre nullement ni de mesurer ces inégalités de courbure, ni de distinguer ce qui s'y rapporte aux divers points de chaque branche. C'est Tunique aspect sous lequel nos figures devront ici rester ordinairement indécises, jusqu'à ce que Tanalyse transcendante ait mis le lecteur en état d'aborder une telle appréciation, où elle est essentiellement indispensable.

Les diverses indications géométriques relatives à nos différentes théories générales viendront d'ailleurs se grouper spontanément, selon leur nature, autour de l'un ou de l'autre de ces deux degrés nécessaires que nous venons de distinguer dans la discussion des équations. A la discussion fondamentale de l'ordonnée, se rattachera naturellement, quandil y aura lieu, la considération des diamètres ainsi que celle des centres. De même la discussion complémentaire de la tangente conduira habitiiellement à la détermination des asymptotes, quand Texamen de l'ordonnée ne les aura pas directement indiquées.

Suivant ces explications générales sur la marche nécessaire de la saine discussion géométrique des équations, cette troisième partie essentielle de notre étude doit surtout consister en une suite d'exemples convenablement choisis, propres à bien

ri?'

in

caractériser ràpplication familière de ces principes incontestables, qui, comme tous les préceptes logiques, malgré leur immédiate évidence, ne sauraient être suffisamment appréciés que d'apr'ës un judicieux exercice. Toutefois, afin d'éviter d*inutiles développements, je me bornerai ici aux exemples susceptibles de faire nettement ressortir les diverses difficultés d'un tel travail, en les coordonnant d'ailleurs de manière à permettre aisément la formation de nouveaux cas, dont je re* serverai ensuite au lecteur Texamen spontané. Rien n'est plus propre que de pareils exercices, bien conçus et bien dirigés, non-seulement à faire profondément sentir le vrai génie de la géométrie analytique, mais aussi à réaliser directement cette universelle préparation logique qui constitue, au fond, la principale utilité finale de Tinitiation mathématique. Car, une telle élaboration tend spécialement au développement rudimen^ taire de Tesprit d'ensemble, jusqu'ici trop rare chez les géo* mètres, en habituant à faire exactement converger toutes les diverses déterminations analytiques vers un même résultat synthétique, d'abord confusément entrevu, et ensuite graduellement ébauché, à mesure que les renseignements s'accumulent, en ne compliquant jamais l'hypothèse primitive qu'autant que Pexige la nécessité de satisfaire à toutes les informations recueillies.

78. Pour diriger le choix rationnel des exemples successifs qui doivent ici caractériser la discussion géométrique des équations algébriques, il serait nécessaire d'établir des principes généraux sur la classification naturelle des courbes correspondantes. Or, c'est là que se manifeste, chez les esprits convenablement préparés, l'extrême imperfection actuelle de cette troisième partie essentielle de la géométrie analytiquev qui, sous ce rapport, n'est pas encore sortie de l'enfance ; à tel point que la plupart des géomèti*es, même éminents, n'ont

pas seulement compris jusqu'à présent quels sont, à cet égard, les vrais besoins de la science, faute d'une disposition philosophique qui ne peut être, à ce sujet, suffisamment développée que sous des inspirations logiques émanées des plus hautes parties de Tétude des corps vivants, unique source spontanée des véritables principes relatifs à la théorie universelle des classifications quelconques.

Dès Torigine de la géométrie analytique, les habitudes algébriquesontinvolontairementconduitàclasserlescourbesplanes d'après les degrés de leurs équations rectilignes, sans qu'on ait jamais examiné directement si ce classement empirique peut aucunement satisfaire aux conditions essentielles que la raison impose en une telle opération. Il est néanmoins évident, en principe, que les motifs qui, en algèbre, ont inspiré et maintenu une telle classification ne sauraient nullement sufQre pour la transporter en géométrie. Car, ils se rapportent essentiellement à la difficulté croissante que doit nécessairement offrir, à mesure que le degré s'élève, la résolution des équations, objet final des spéculations algébriques. Or, celte distinction ne comporte, par sa nature, aucune importance géométrique, puisque le lieu d'une équation est^ comme nous l'avons reconnu au début de ce traité, radicalement indépendant de sa forme actuelle : en géométrie, l'équation est habituellement conçue résolue, sans qu'il faille s'y enquérir aucunement de l'embarras, pm*ement analytique, que peut susciter la réalisation d'un tel projet. Le degré d'une équation n'a, par lui-même, d'autre influence géométrique que d'indiquer une limite supérieure du nombre de points en ligne droite que comporte la courbe correspondante. Mais cette considération, qui pourrait acquérir une véritable importance, en signalant le nombre des sinuosités, si une teUe indication était plus précise, ne peut nullement devenir un principe de classement, vu son incertitude radicale.

li'*

Il existe, par exemple, dans tous les degrés pairs, des courbes que, comme les sections coniques, aucune droite ne saurait couper en plus de deux points.

Cette insuffisance nécessaire du classement empirique adopté spontanément par les géomètres pour les courbes algébriques est aisément vérifiable en plusieurs cas décisifs, quoique Télude comparative de ces diverses figures ne soit pas encore convenablement instituée, ni même judicieusement conçue dans son ensemble. On peut, en effet, constater souvent qu'un tel classement rompt directement toutes les analogies essentielles, et qu'il conduit aussi à de vicieux rapprochements. Dans tous les degrés, et sans même excepter le second, les vrais analo* gués géométriques de chaque courbe se trouvent fréquemment parmi des lignes de beaucoup d'autres degrés, tandis que celles du degré correspondant en diffèrent, au contraire, essentiellement : double confirmation, spontanément développée dans toute cette troisième partie, de l'inanité radicale d'un tel classement. Malgré l'habitude invétérée, transmise, sous de nouvelles formes, des anciens aux modernes, qui rapproche essentiellement l'ellipse, d'une part de la parabole, et d'une autre part de l'hyperbole, nous allons spécialement reconnaître, au chapitre suivant, que, si l'on considère l'ensemble des rapports, sans se préoccuper d'aucun rapprochement exclusif, les véritables affinités géométriques de la parabole ou de Thyperbole existent surtout envers certaines courbes dispersées parmi tous les degrés algébriques, bien davantage qu'envers les courbes du second degré. Plus on méditera sur ce grand sujet de philosophie géométrique, à peine entrevu jusqu'ici, mieux on sentira que la classification des courbes planes d'après les degrés de leurs équations n'est pas plus rationnelle, au fond, que ne le serait une classification zoologique fondée sur la couleur ou sur la taille, etc., indépendamment de toute profonde comparaison organique.

Malheureusement, Tétat présent de la géométrie ne permet pas de remplacer encore ce vain classement empirique par une conception vraiment rationnelle. Depuis Descartes, on a dû s'occuper exclusivement de constituer, sous son inspiration fondamentale, la géométrie générale proprement dite, en établissant les méthodes analytiques, élémentaires ou transcendantes, propres aux différentes recherches auxquelles toute figure géométrique peut donner lieu. Quant à ce qu'on doit nommer la géométrie comparée, qui ne peut résulter que d'une application comparative de l'ensemble de ces méthodes aux diverses Yormes possibles, l'existence n'en est pas même soupçonnée encore : elle ne pourra d'ailleurs être conçue que lorsqu'une plus forte éducation philosophique aura suffisamment introduit chez les géoinètres le sentiment, développé jusqu'ici par les seuls naturalistes, du véritable esprit de la théorie logique des classifications quelconques; comme je lai établi en divers lieux de mon Système de philosophie postfive. J'expliquerai soigneusement, dans la dernière partie de ce traité, comment la grande conception de Monge sur les familles desurfaces a commencé spontanément à ébaucher la constitution directe de la géométrie comparée. Mais ce germe fondamental, d'ailleurs si mal apprécié jusqu'ici, et dont Lagrange seul a dignement pressenti l'importance, ne convient réellement qu'aux surfaces^ et ne saurait fournir aucune indication relative aux courbes. Ainsi, sous cet aspect capital, je ne puis ici que signaler, dans la géométrie actuelle, une immense lacune générale, habituellement inaperçue. L'ordre fondamental de conceptions géométriques qui est naturellement propre à cette troisième partie essentielle de notre étude, et qui pourrait lui procurer à la fois tant d'intérêt philosophique et tant d'extension scientifique, nous manque donc encore totalement.

Dans une telle situation, l'impossibilité évidente d'adopter

ici le classemenl empirique des courbes algébriques suivant les degrés de leurs équations recUlignes, nous impose Tinévitable obligation de recourir à un expédient provisoire, pour coordonner nos divers exemples de discussion géométrique d'aprës un principe analytique qui, sans pouvoir réellement suffire, puisse toutefois, judicieusement employé, nous mieux guider que cette vaine considération primitive. J*ai cru devoir adopter, à cet effet, la distinction fondée sur le nombre des termes, mais sans l'étendre au delà de quatre, nombre total des diverses sortes de termes propres aux équations algébriques. Nous discuterons donc d^abord les équations binômes, ensuite les équations trinômes^ et enfin, sous le nom d'équa-

tions polynômes, toutes celles qui contiennent plus de trois termes, quel que soit d'ailleurs leur nombre, qui dès lors n'a plus, en général, aucune haute importance géométrique. Mais, en utilisant une telle distinction, le lecteur ne devra jamais oublier qu'elle repose sur un principe radicalement insuffisant, qui ne peut aucunement dispenser de l'élaboration ultérieure d'un sujet aussi difficile qu'important, dont je voudrais surtout rappeler ainsi la destination caractéristique. Cette classification provisoire ne sera vraiment satisfaisante que pour notre premier ordre, où nous allons, en efl'et, reconnaître les seuls exemples bien constatés jusqu'ici de l'existence des familles pleinement naturelles parmi les courbes planes.

TROISIÈHE PARTIE, CHAPITRE DBUXIÉHE. 239