CHAPITRE II

Courbes binômes.

79. Celte première classe comprend nécessairement deux sortes d'équations : les unes, de la forme y»8= oo:**, composées d'un terme en y et d'un terme en x\ les autres, de la forme y«j:»=a, contenant un terme en or et y avec un terme constant. Quoique le second type puisse algébriquement rentrer dans le premier , en supposant négatif l'un des exposants, ladistinction, sous quelque forme analytique qu'on la conçoive, n'en est pas moins indispensable sous l'aspect géométrique. Il en résulte deux familles de courbes essentiellement différentes, qu'on désigne communément par les dénominations de paraboles et A'hj/perboles^ empruntées aux genres les plus simples et les mieux connus.

Etudions d'abord la première famille, où la courbe est engendrée par un point dont les distances à deux axes rectangulaires varient de telle manière que deux de leurs puissances soient constamment proportionnelles. De toutes les définitions de courbes, c'est assurément celle qui diffère le moins de la définition analytique de la ligne droite, qui s'y trouverait même comprise en cas d'égalité entre les deux exposants. Aussi, en considérant l'ensemble des aspects géométriques, pourra-t-on reconnaître que ce groupe de courbes planes est, au fond, le plus simple et le mieux connu. Pour l'apprécier convenablement, il faut distinguer deux cas essentiels, selon que les exposants sont tous deux impairs, ou l'un pair et l'autre impair ; ils ne peuvent d'ailleurs être simultanément pairs.

yr

i».ii-

Dans le premier cas, représenté par le type ySm+i 4. ûx*»+i, d'où y = \ lax^-^^ la discussion fondamentale de ToN

donnée montre aussitôt que la courbe est toujours illimitée en tous sens et continue, puisque les racines impaires ne sont jamais susceptibles d'imaginarité. En même temps, ces racines ne comportant qu'une seule valeur réelle, de même signe que la puissance correspondante, la courbe se composera de deux branches opposées, situées dans les deux régions impaires du plan ou dans les deux régions paires, selon que le paramètre a sera positif ou négatif. Ces deux parties seront, du reste, parfaitement identiques, puisque le changement simultané du signe des deux coordonnées n'altère nullement l'équation, en sorte que la courbe aura pour centre l'origine, qui sera d'ailleurs un point d'inflexion : la langue géométrique manque ici d'un terme propre à qualifier cette identité entre deux branches opposées, qui coïncideraient d'après un double repli de la figure successivement selon chaque axe /tandis que le vaoi symétrie y est depuis longtemps consacré à désigner l'identité entre deux branches adjacentes, susceptibles de coïncidence par un seul pli. Enfin, chacune de ces deux moitiés de la courbe s'éloîgnera continuellement des deux axes à la fois, quoiqu'avec une inégale rapidité, suivant la grandeur relative des deux exposants. Mais, conformément aux réflexions générales du chapitre précédent, on voit que cette première discussion laisse entièrement indécis le sens de la courbure dans l'une ou l'autre branche, qui pourrait être indifféremment concave ou convexe vers l'axe des a:, ou même très-sinueuse, sans cesser de satisfaire à l'ensemble des documents ainsi directement émanés de l'ordonnée. On ne peut dissiper cette incertitude que d'après l'examen de la tangente. En appliquant la règle ordinaire, on

^L trouve ICI

(2n + 1) ax^^ tang a s= i- — / ' ; mais, comme x ei y va-

rient en même sens, on ne peut juger la marche d'une telle fonction sans y tout rapporter à la variable indépendante, ce qui

donne tang « = - — r-r a^w+i x 2«+i . Cette fonction sera évi-

2wi-}~ *

demment toujours croissante ou toujours décroissante,selon que n sera supérieur ou inférieur à m. Ainsi, la courbe est constamment convexe vers Taxe correspondant au plus haut exposant, et qui constitue sa première tangente : elle n'a jamais d'autre sinuosité que ceUe relative à son centre, conformément à la figure 48, où Ton a supposé rC>m, La valeur extrême de tang a étant ainsi nulle ou infinie, on conçoit d'ailleurs que cette courbe ne saurait avoiraucune asymptote rectiligne; car, elle n'en pourrait dès lors admettre que de parallèles à l'un des deux axes, ce qui ne peut s'accorder avec son extension indéfinie suivant chacun d'eux. Une telle courbe, quel que soit son degré, ne pourra jamais être coupée qu'en un ou trois points par aucune droite^ sauf ses tangentes qui auront avec elle deux points communs, l'un de contact, l'autre d'intersection. Les valeurs des deux exposants m et w ne sauraient évidemment exercer qu'une influence secondaire sur sa forme générale, en sorte que toutes les courbes ainsi obtenues, d'après tous les exposants possibles, constitueront certainement un même genre pleinement naturel. On ne pourra point cependant les concevoir de même espèce^ si, comme la raison l'exige, on définit l'espèce, en géométrie comparée, d'après la similitude rigoureuse des figures correspondantes. Il n'y aura donc une véritable identité d'espèce, entre deux courbes de ce genre, qu'autant que les deux exposants y présenteront les mêmes valeurs quelconques, sans aucune autre diversité que pelle du paramètre a.

Considérons, maintenant, le cas où l'un des exposants est pair et l'autre impair, suivant le type ^2m.B- ^r^sn+i^ d'où

y=±: ^ ax^^^. L'ordonnée devient alors susceptible d'imaginarité, et ne peut être réelle qu'autant que â? a le même signe que( a : ainsi la courbe est limitée dans un sens et illimitée dans l'autre. En même temps, chaque ordonnée réelle a nécessairement deux valeurs égales au signe près ; en sorte que la courbe se compose encore de deux branches, mai^ placées dans les deux régions adjacentes, et d'ailleurs parfaitement symétriques autour de Taxe qui les sépare, chacune d'elles s'éloignant, du reste, continuellement des deux axes à la fois. Telles sont les indications fondamentales que fournira toujours ici la marche générale de l'ordonnée, quelles que soient les valeurs des deux exposants m etn. Mais la discussion de la tangente va dévoiler la nécessité de distinguer, dans ce cas qui paraît unique, deux genres vraiment différents, selon que le degré de l'équation sera pair ou impair. Car, on obtient alors, pour le coefficient angulaire de la tan-

gente, l'expression finale tang a «= a^"» 05 *» . gj

donc l'équation est de degré pair, c'est-à-dire si 2m surpasse 27i-|-i, l'exposant total de x y étant négatif, cette fonction sera indéfiniment décroissante, et la courbe tournera constamment sa concavité vers son axe, qui constituera sa première normale, comme dans la parabole proprement dite, qui appartient évidemment à ce genre. Quand, au contraire, le degré de l'équation sera impair, la fonction croîtra continuellement et sans limite, en sorte que la courbe deviendra toujours convexe vers son axe qui lui sera tangent. L'origine sera un sommet proprement dit dans le premier cas, et un point de rebroussement dans le second. Du reste, ces deux sortes de courbes ne sauraient comporter davantage que celles du genre primitif, l'existence d'aucune asymptote rectiligne : elles sont d'ailleui^s évidemment dépourvues de centre. On aura donc les deux

formes générales indiquées par les figures 49 et 50, selon que Texposant pair sera supérieur ou inférieur à Texposant impair. La première, quel que soit son degré, ne peut être coupée en plus de deux points par aucune droite, en sorte que les tangentes n*y rencontrent qu'une seule fois la courbe ; dans la seconde, toute droite coupera en un ou trois points, et chaque tangente en deux points : ces diversités géométriques sont en pleine harmonie avec la notion algébrique relative au nombre constamment pair des racines imaginaires.

Tels sont les trois genres parfaitement naturels qui composent la famille des paraboles, où chaque courbe ressemble certainement davantage, sous les divers aspects essentiels, à toutes celles du même groupe qu'à aucune de celles d'un autre groupe, sans nul égard au degré, dont la faible influence géométrique est réellement bornée à la seule détermination des espèces, conformément aux réflexions générales du chapitre précédent.

80. La seconde famille des courbes binômes ne dififêredela première qu'en ce que la raison directe des deux puissances constamment proportionnelles s'y trouve changée en raison inverse. Mais ce simple changement analytique détermine, sous l'aspect géométrique, une diversité très-prononcée entre les hyperboles et les paraboles. Supposons d'abord, comme dans l'autre cas, que les deux exposants soient impairs, ce qui correspond ici aux hyperboles de degré pair, suivant le type

ÏJM-t-l/

alt^i y2m+i = a, d'où y = y ^r

La discussion fondamentale de l'ordonnée sera la même qu'auparavant, quant à la réalité et au signe ; en sorte que la courbe se composera encore de deux branches opposées et identiques, ayant toujours Torigine pour centre. Mais, en ce qui concerne la grandeur, la marche sera évidemment inverse; puisque

244 Gf.OMÉTRIE PLANE.

Tordonnée décroît ici lorsque l'abscisse augmente, et réciproquement, sans que ces variations admettent d'ailleurs aucune limite : chacun des axes est donc alors une asymptote de la courbe. Quant au sens de la courbure, déjà indiqué par ce double asymptotisme pour la majeure partie du cours, il est aisé de reconnaître qu'il ne changera jamais : car, on a

tang a = — ^ , , - ; et, par suite, ce coefficient angulaire

'im-f-i X

diminue continuellement si x augmente ; ce qui exclut toute

sinuosité, conformément à la figure 51.

Ce premier genre comprend évidemment l'hyperbole proprement dite, quand les deux exposants sont égaux, en sorte que l'équation soit réductible à la forme xi/=a, qui serait nécessairement celle de l'hyperbole ordinaire, définie au n** 19, si on prenait pour axes les deux asymptotes que nous lui avons déjà reconnues, comme nous l'expliquerons d'ailleurs spécialement en son lieu. Dans cette espèce primordiale, l'équation présente une propriété très-remarquable, qui ne saurait autrement exister, en vertu de sa symétrie parfaite entre les deux variables. Il importe de remarquer ici, à cette occasion, qu'un tel caractère analytique indique, en général, la symétrie géométrique de la courbe correspondante autour de la bissectrice du premier angle des axes: car, tous les points étant ainsi susceptibles deux à deux de coordonnées réciproques, on en conclut aisément que leurs distances à l'origine sont deux à deux égales et d'ailleurs pareillement inclinées sur cette bissectrice, envers laquelle ils se trouvent donc symétriquement disposés. Gomme, en outre, l'équation actuelle ne change pas non plus en changeant y en — ar et a: en — y, un semblable raisonnement prouve que la courbe est aussi symétrique autour de la seconde bissectrice, conformément à l'identité générale des deux branches. On ne peut douter que cette double symétrie

ne soit particulière à Thyperbole du second degré : car, d'après la parité nécessaire qui doit toujours exister entre les deux asymptotes, ces deux bissectrices sont évidemment les seuls axes que puisse comporter aucune hyperbole de degré pair ; or, elle ne saurait certainement les admettre qu'en cas d'égalité des deux exposants. Ainsi, les idées de symétrie que rappelle spontanément cette espèce primitive doivent être entièrement écartées pour s'élever convenablement à la vraie notion géométrique du genre correspondant (*).

Examinons maintenant le second genre d'hyperboles, où les deux exposants sont l'un pair et l'autre impair, en sorte que l'équation est alors de degré toujours impair, suivant le

type y^ ;r2»+i = a, qui donne y = ± i/ -^r-i Comme

dans le second cas des équations paraboliques, la courbe se composera de deux branches égales et adjacentes, symétriquement disposées autour de l'axe des x. De même que ci-dessus, chacune d'elles aura encore pour asymptotes les deux axes. Quant à la marche des tangentes, elle n'offrira évidemment aucune diversité essentielle, d'après la formule

{*) Au sujet de cette espèce exceptionnelle, il convient d'éclaircir ici une contradiction apparente, relative au nombre de points déterminant, qui, d'après l'équation x» y '»=a, doit toujours se borner à quatre dans toutes les courbes hyperboliques, comme dans les courbes paraboliques, conformément à )iotre théorie fondamentale; tandis que, d'une autre pari, nous l'avons spécialement reconnu égal à cinq pour l'hyperbole ordinaire. Mais ce défaut d'accord tient uniquement à ce que nous ne considérons ici que des hyperboles à asymptotes rectangulaires ; et, si les axes étaient obliques, l'angle des asymptotes n'en serait pas moins donné : ce qui doit naturellement diminuer d'une unité le nombre des conditions déterminantes, qui s'élèverait^ en effet, à cinq, envers toutes les hyperboles, si l'on regardait comme indéterminée l'inclinaison de leurs asymptotes.

La môme explication dissiperait aussi la contradiction analogue que semblerait offrir ici la théorie, de la shnilitude.

tangacs — ?, qui continue à exclure toute sinuosité,

Â!TÏ\ X

conformément à la figure 52. Telles sont les seules différences fondamentales qui puissent avoir Ueu entre les hyperboles de degré impair et celles de degré pair : leur distinction peut se résumer par Tabsence ou Texistence d*un centre.

Nous devons remarquer ici que ce second cas des courbes hyperboliques ne comporte nullement la division qu'a exigée le cas analogue des courbes paraboliques, d'après Tordre de grandeur des deux exposants. Car, cette distinction, sans aucune influence sur la marche générale de l'ordonnée, ne se rapportait qu'à la tangente, dont le coefficient angulaire devient ici toujours décroissant, quel que soit celui des deux exposants, pair ou impair, qui surpasse l'autre. Ainsi, la famille des hyperboles ne comprend réellement que deux genres, quoique celle des paraboles en contienne trois. Dans le premier genre, de degré pair quelconque, aucune droite ne peut couper l'hyperbole en plus de deux points ; dans le second, de degré impair, l'hyperbole admet trois points en ligne droite : il faut d'ailleurs, en chaque cas, avoir égard aux restrictions nécessaires relatives, d'une part, aux tangentes, de l'autre, aux parallèles aux asymptotes.

Envers ces deux genres d'hyperboles, il convient, pour en mieux concevoir la forme, de déterminer le point le plus rapproché de l'origine actuelle, où se croisent toujours les deux asymptotes. Mais, au lieu d'appliquer à la fonction a:*+y*, qui exprime le carré de cette distance, la méthode générale des minima, après y avoir réduit les deux variables à une seule conformément à l'équation donnée, on obtiendra une solution beaucoup plus simple en employant ici un principe géométrique de minimum qui, quoique particulier à ce genre de questions, n'en mérite pas moins d'être soigneusement ap-

TROISIEaiE PARTIE^ CHAPITRE DEUXIÈME. 247

précié, à cause de son utilité prononcée en beaucoup d'occasions. C'est le principe évident que le plus court chemin d'un point à une ligne quelconque, d'abord droite et puis courbe, lui est toujours perpendiculaire ; Ce qui ne saurait certainement offrir aucune difficulté quand le point appartient, comme dans le cas actuel, à la convexité de la courbe. D'après cela, le caractère analytique du point cherché consistera simplement en ce que le coefficient angulaire de la tangente et celui du rayon y soient réciproques et de signe contraire, suivant la loi ordinaire (n^ 28). Si donc a:* y»»= a désigne, en général, l'équation d'une hyperbole quelconque, du premier ou du second genre, le point le plus rapproché de Tiiîtersection

des asymptotes y sera déterminé par l'équation — - =»- , d'où

correspondant, et dès lors les coordonnées spéciales du point cherché. On voit ainsi que ce point remarquable ne peut jamais ôtre équidistant des deux asymptotes, sauf dans l'hyperbole du second degré, où 7W=n : il sera toujours plus rapproché de l'asymptote relative au plus fort exposant; ce qui est pleinement conforme à nos réflexions antérieures sur la symétrie.

Toutes les courbes de la famille des hyperboles sont^ comme celles de la famille des paraboles, exactement quarrables d'après nos méthodes actuelles. En partant de l'équation pré-

i/— ; ce qui indique aussitôt la direction du rayon

cédentea:*y«»=a,on trouve ainsi S=a , pour

m Taire comptée à partir de x=i. Il est digne de remarque que cette aire, étendue jusqu'à chacune des deux asymptotes, est toujours finie d'un côté et infinie de l'autre. Cai*, en faisant.

dans cette formule, les deux hypothèses a:=0, a; = 00, qui correspondent à ceslimites,le terme variabley devient d*abord nul et puis infini, ou réciproquement, selon que son exposant est positif ou négatif, c'est-à-dire, suivant que m est supérieur ou inférieur an: d'où il résulte que Taire indéfiniment prolongée a constamment une valeur finie vers l'asymptote relative au plus haut exposant, tandis que sa valeur totale est, au contraire, infinie vers l'asymptote à laquelle se rapporte le moindre exposant. Pour l'hyperbole ordinaire, où les deux exposants sont égaux, la formule devient indéterminée, ce qui tient à un changement de naturedela fonction correspondante, comme je l'expliquerai spécialement en son lieu : nous reconnaîtrons alors que ces deux segments sont pareillement infinis. Cette première classe de courbes, paraboliques et hyperboliques, la seule jusqu'ici où les conditions nécessaires d'une classification vraiment rationnelle se ti*ouvent suffisamment remplies, doit être envisagée comme offrant le type le plus satisfaisant de la discussion géométrique des équations.On voit ainsi comment la nature des termes d'une équation binôme range aussitôt la courbe correspondante dans la famille des pai*aboles ou dans celle des hyperboles, et comment ensuite l'appréciation comparative des deux e^cposants détermine aisément auquel des trois genres de la première ou des deux genres de la seconde appartient le lieu proposé. Une telle ébauche spontanée, quoique bornée au cas le plus simple, peut déjà indiquer au lecteur intelligent ce que deviendra sans doute un jour la géométrie comparée, quand cette nouvelle face universelle de la science géométrique, si méconnue maintenant, aura été réellement constituée d'après les conceptions générales qui lui sont propres.

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