CHAPITRE III

Courbes trinômes.

81. Le principe provisoire qui, à défaut de tout autre finalement convenable, nous sert ici à classer géométriquement les équations algébriques, d'après le nombre et la nature de leurs termes, cesse déjà d'offrir une suffisante rationalité à partir même des équations trinômes, où Ton n*a plus la certitude qu*il conduise à instituer des groupes pleinement naturels, comme dans le chapitre précédent. Néanmoins, sa judicieuse application y est encore très-utile pour coordonner et varier les divers exemples qui doivent y caractériser les principales difficultés relatives, en général, à la discussion géométrique deséquations.Trop peu prononcées envers lescourbesbinomes, ces difficultés doivent être surtout étudiées dans cette seconde classe, dont l'examen complet suffira certainement au lecteur pour apprendre convenablement à bien discuter les équations à deux variables; ce qui constitue maintenant le but essentiel de cette troisième partie de la géométrie plane, puisque Timperfection actuelle de la science nous oblige d'ailleurs à y renoncer encore aux spéculations supérieures de géométrie comparée que j'ai dû me borner h y faire entrevoir.

Comme les diverses catégories géométriques sont ici à la fois plus nombreuses et plus étendues qu'à Tégard des équations à deux termes, il ne nous sera pas possible d'épuiser, aussi pleinement qu'au chapitre précédent, l'appréciation détaillée de chacune d'elles. Je me bornerai à compléter cet examen pour la plus simple catégorie, comprenant un terme relatif à chaque

variable et un terme constant.Quant aux autres plus compli* quées, où les cas se multiplieraient davantage, j'indiquerai seulement un petitnombred'exemplescaractéristiquesjaissant au lecteur à poursuivre spontanément, d'après les mêmes distinctions, de telles séries d'études, dont les développements propres nous entraîneraient beaucoup trop loin, sans comporter d'ailleurs aucune suffisante utilité, soit scientifique, soit logique. Au reste, tous les exemples considérés en ce chapitre, quoique relatifs à des exposants déterminés, afin de mieux fixer les idées en facilitant les calculs, seront toujours traités de manière à constituer autant de types des cas analogues que produiraient d'autres exposants quelconques assujettis aux mêmes conditions.

Dans la première classe des équations trinômes, sous la forme y«»+a2:«=6, les deux exposants peuvent d'abord être simultanément impairs, et alors égaux ou inégaux : considérons un exemple de chaque sorte.

Premier exemple. Soit l'équation y'-|-a;*a=i. Pour rendre cet exemple plus intéressant, j'y ai supposé, outre l'égalité des exposants, celle des coefficients, en sorte que la courbe devient ainsi symétrique autour de la première bissectrice ; mais j'engage d'avance le lecteur à ne pas attacher trop d'importance à cette particularité, dont l'absence maintiendrait essentiellement, à cette seule symétrie près, la figure générale que nous allons reconnaître; comme on pourra d'ailleurs le constater aisément d'après un autre exemple comparatif où cet accident n'ait pas lieu.

La formule y = y^l — a:* montre d'abord que, l'ordonnée étant toujours réelle et unique, la courbe sera illimitée en tous sensetcontinue.Quanta: est positif, l'ordonnée reste positive et décroissante de i à 0, tant que x ne dépasse pas la valeur

1, après laquelle Fordonnée devient négative, et dès lors indéfiniment croissante : x négatif la rend constamment positive et la fait croître sans limite. Ainsi la forme la plus simple compatible avec l'ensemble de la discussion de l'ordonnée serait

la courbe ponctuée de la figure 53.

x^ D'après le coefficient angulaire de la tangente, tang a = 5,

les tangentes en A et B sont certainement perpendiculaires aux axes correspondants, en sorte qu'il y a sinuosité : en C, sur la bissectrice qui sert d'axe à la courbe, on a tang «= — 1, et ce point est par conséquent lin sommet. La courbe est d'ailleurs toujours concave vers l'origine depuis A jusqu'à B, puisque cette fonction continue évidemment à croître entre ces limites. Au delà, on n'en peut plus apprécier la marche

que par sa réduction à une seule variable, sous la forme

tang a = ■ . Or, en divisant les deux termes par a:*,

on a tang a = — ^ et l'on reconnadt aussitôt que

v/(-pr

cette fonction, nécessairement d'abord décroissante, à partir de x= 1, qui la rendait infinie, ne cesse jamais de diminuer, en tendant vers la limite — i, qui indique la direction de la seconde bissectrice. Il en est de même, en sens inverse, pour x négatif, en sorte que cette limite est commune aux deux parties, qui, après les inflexions A et B^ sont, dès lors indéfiniment convexes vers cette seconde bissectrice, où il est aisé de reconnaître Tasymptote de la courbe, comme j'ai déjà eu l'occasion de l'expliquer. Ainsi comprise entre une tangente et une asymptote parallèles, cette courbe à double inflexion est maintenant assez caractérisée, outre sa symétrie autour de OC. Sa courbure est évidemment beaucoup plus prononcée entre les

i GÉOMÉTRIE PLANE.

ux sinuosités, que dans tout le reste de son cours; puisque faible intervalle fait varier de 90 degrés la direction de la igente, que le prolongement indéfini de la courbe change suite seulement de të". En y cherchant, d'après le principe Sciai employé au chapitre précédent, le point le plus rapproé de Torigine, d'où partent déjà les trois normales OA, OC, t, il est clair que les deux extrêmes doivent correspondre k minimum puisqu'au delà il y a accroissement, et celle du lieu à un maximum, comme le confirment leurs grandeurs ipectives.Cet exemple nous offre l'occasion naturelle de comiter cet utile principe géométrique, en y remarquant que le smin normal, toujours minimum quand il part de la condté, est,au contraire, lantAt minimum et tantôt maximum, partant de la concavité, suivant la position du point de dépt sur la normale correspondante : cette distinction, directeint évidente envers le cercle, présente d'ailleurs, à l'égard ine courbe quelconque, de véritables difficultés que l'analyse linaire est peu propre à surmonter, et dont le lecteur doit ajourner la solution générale.

U serait superQu d'établir expressément que Tensemble de iiscussion précédente convient essentiellement à toutes les irbes du genre ^"H-i-l-a^H-isal, avec de simples nuances ondaires résultées du degré.

')euxième exemple. Supposons maintenant l'équation f-x'^l, où les deux exposants impairs sont inégaux. Cette érence ne saurait influer sur la marche générale de l'or-

mée. Quant à la tangente, on a tang « = — ~^, et de A à

Ig. 54), iafonction procède comme ci-de8su3,'avecles mêmes exioDs, sauf la position de la normale intermédiaire. Maie, delà de B, on a ici

tanga

Y X ÛT X' x^^

cette fonction s*annulant pour xinfinija courbe, constamment concave vers Taxe des x, ne comporte plus d'asymptote de ce côté. En changeant le signe de x, on obtient la même valeur extrême : ainsi, après Tinflexion A, où la tangente est parallèle à cet axe, la courbe, d*abord convexe, finit aussi par devenir concave, et sans asymptote possible. Il existedonc à gauche une nouvelle inflexion, correspondante au minimum de la

. ,. x'^ + Ax^ + ^^ + Ax* + i .,,. ,. , ,

fonction ' — j-j— î ■ — : si 1 on y applique la me-

thode que nous avons établie, on trouvera sans difficulté

a:Baiy/5, pour Tabscisse de ce point remarquable. Cette troisième inflexion et Tabsence d^asymptotes distinguent profondément cette courbe d'avec la précédente, en caractérisant Tinfluence irréctisable de Tinégalité des deux exposants.

Au sujet de cette première comparaison, je dois en général, recommander au lecteur de ne pas se borner, comme on Ta toujours fait jusqu'ici, à discuter isolément chacune des équations qui lui serviront successivement d'exercices, mais de comparer ensuite judicieusement les résultats de chaque discussion avec ceux des cas antérieurs qui seront suffisamment analogues. Cette appréciation comparative augmentera beaucoup l'utilité logique d'une telle étude géométrique, qui, ainsi conduite^ pourra, d'après un petit nombre d'exemples bien choisis, faire profondément sentir le véritable esprit de cette partie essentielle de la géométrie plane. Pour garantir la pleine efScacité de semblables comparaisons, il faut toujours les rendre parfaitement nettes, en s'y assujettissant, comme dans les expériences physiques bien instituées^ à ne jamais compa*

rer entre eux que des cas géométriques différant sous un seul aspect analytique, dont Tinfluence finale sera ainsi distinctement caractérisée.

Troisième ércemp/é. Considérons main tenant le cas des deux exposants pairs, en les supposant d*abord égaux, suivant l'exemple y*+«*=ii oùTégalité simultanée des deux coefficients entraîne d'ailleurs accidentellement la double symétrie de la courbe autour des deux bissectrices. D'après la formule

y = ± \/i — x^, la courbe, déjà symétrique autour des deux axes coordonnés, est évidemment fermée et continue, entre les limites -f- * ©^ — * suivant chaque axe ; de manière à être contenue dans le carré ABA'B' {fig, 55). Quant à la tan-

x^ génie, son coefficient angulaire ^ montre clairement que

chacun des octants identiques dont la courbe est composée est toujours concave vers son centre, et que les huit points où elle rencontre ses quatre axes géométriques constituent autant de sommets; en sorte qu'elle est finalement inscrite dans un octogone quasi-régulier. Aux deux extrémités de chaque octant, la distance au centre est évidemment, d'après le principe des normales, maximum suivant OC et minimum suivant OB, puisque d'ailleurs on peut reconnaître aisément que OC surpasse OB.

Outre la comparaison de cet exemple avec le premier, afin de bien saisir la grande influence géométrique de la substitution des exposants pairs aux exposants impairs, il est naturel de comparer la courbe actuelle avec le cercle y* -f- rc^ = i , dont il semble d'abord difficile de la bien distinguer géométriquement. Quanta l'ordonnée, on reconnaît ainsi sans incertitude que la courbe est circonscrite au cercle, puisque la fonction \/i — x^ êurpasse toujours, entre 0 et 1, la fonction v/i — x^ : le maximum d'écartement est sur les bissectrices.

La marche des tangentes confirme cette diversité, en montrant que les huit sommets sont les seuls points de notre courbe où se reproduise le caractère constant de la tangente au cercle, d*ètre partout perpendiculaire au rayon correspondant. On pourrait donc se figurer grossièrement cette courbe, et les diverses courbes analogues y* -f- ^' = ^i .V' + «' = 1, etc. comme provenues d'une sorte d'uniforme dilatation thermométrique d'un cercle métallique encastré dans un châssis non-dilatable ABA'B' qui, empêchant Téloignement des sommets correspondants, produirait un écartement croissant jusqu'au milieu de chaque intervalle.

Quatrième exemple. Pour avoir complètement apprécié le cas des deux exposants pairs égaux entre eux, il faut y considérer, comme nouvel exemple, Téquation y* — «* = 1, où l'opposition des signes détermine une profonde différence géométrique, qui ne pouvait exister envers des puissances impaires, susceptibles de changer ainsi par suite d'une simple transposition d'un côté à l'autre de l'un des axes coordonnés. Ce contraste doit être essentiellement analogue à celui que nous avons vu, dans la première partie de ce traité, résulter d'un pareil motif algébrique entre l'ellipse et l'hyperbole. Il consiste surtout en ce que la courbe, au lieu d'être fermée et continue, devient illimitée et discontinue; les deux bissectrices, au lieu d'être dés axes, deviennent des asymptotes : la courbure de l'ensemble de la courbe est donc, à tous égards, beaucoup moins prononcée que ci-dessus.

Cinquième exemple. Supposons maintenant que les deux exposants pairs soient inégaux, comme dans l'équation y*-\-x^=iy qu'il faudra naturellement comparer à i/^+x^=i et à y*+aj*=:i. L'ordonnée, dont la marche générale y sera essentieUement conforme à celle de ces deux cas, y aura d'ailleurs une valeur constamment intermédiaire, en sorte que la courbe se trouvera

circonscrite au cercle et pourtant inscrite à celle de lufigure^^. Quant à la tangente, elle né comporte ici d'autre remarque essentielle que celle relative à la normale moyenne entre OA et OB, qui cessera dès lors de coïncider avec la bissectrice^ conformément au défaut de symétrie selon OC.

Sixième exemple. Considérons encore, à ce sujet, l'équation y» — a:*t=i, qui devra être géométriquement comparée, d'une part à la précédente, d'autre part à y* — x* = l. Envers celle-ci, la différence consistera surtout dans l'absence d'asymptotes rectilignes, d'où résultera une courbure totale plus prononcée. Il serait aisé de constater ici Tasymptotisme avec les deux paraboles y earha;'; mais il contribuerait peu à éclaircir la figure générale de la courbe.

Septième exemple. ^Kssons enfin au cas où les deux exposants sont l'un pair et l'autre impair, en supposant d'abord que celui-ci l'emporte, comme dans l'exemple y* + a;» = i, qu'il

faudra surtout comparer ày'+ar^rr: i . La formule y =±:v/l — a^ indique la limitation de la courbe à droite en A {fig, 56), où 07= i, et son extension indéfinie h gauchie, en restant d'ailleurs toujours symétrique autour de OX. D'après le coefficient

angulaire de la tangente — ^, la courbe est évidemment

toujours concave vers l'origine entre A et B ou B' : le principe

des normales apprendra aisément que le point de cette partie le

plus éloigné de l'origine a pour abscisse - ; cette distance

maximum excède si peu les minima égaux OA et OB, que de

B en B' la courbe diffère à peine d'un demi-cercle. Hais, au

3/ps 3

delà, tang a «=> = : or^ cette fonc-

tion, d'abord nulle aux inflexions B etB', augmente continuel-

lement et sans limite à mesure que x croit négativement. Ainsi, la partie gauche indéfinie, beaucoup moins courbée que la partie droite, quoique dépourvue d*asymptote, est toujours convexe vers Taxe des abscisses.

Huitième exemple. Il ne reste plus, pour avoir rapidement apprécié tous les cas essentiels de cette première catégorie d'équations trinômes, qu'à y supposer un exposant pair supérieur à un exposant impair, suivant l'exemple y*-|-x'=i, qui devra surtout être comparé au précédent et au premier: La marche générale de l'ordonnée y est évidemment la même que ci-dessus. Quant à la tangente, elle n'offrira non plus aucune différence importante du côté des x positifs. Mais, dans la partie gauche indéfinie, on aura

tang a =

Or, la fonction sous le radical, d'abord infinie pour x=^0, le devient encore pour x= oo; en sorte que, dans l'intervalle,

l'angle a commence par augmenter^ mais finit bientôt par diminuer continuellement jusqu'à zéro. Ainsi la courbe, primitivement convexe à gauche, comme dans le cas précédent, ne tarde pas à devenir toujours concave, et enfin parallèle à l'axe, sans comporter d'ailleurs d'asymptote. Outre le couple d'inflexions B et B', il en existe donc un second, peu éloigné du premier, et provenu du degré actuellement pair. Pour trouver sa position précise, il faut obtenir le minimum de la fonction

' - . En l'égalant à une ordonnée auxiliaire a.

il faudra, suivant notre méthode^ chercher une tangente parallèle à l'axe des x dans la courbe correspondante; ce qui fournira, d'après la règle ordinaire, la condition

GT^OMÉTRIE PLANE.

ivii'-'

9x* + 18a:* + 9a;* = Sx^z. Ayant ôlé la solution x =0 déjà connue , il vient , en substituant la définition de z ,

Six^+^x' + Sx' + i)

9a:«+18ar»+9 =

-. Cette équation finale

est très facile à résoudre, si Ton remarque qu'elle peut être

mise sous la forme 9 [x^ + ^)*

car, en suppri-

mant le facteur commun inutile à la question, elle devient 9 == — ^^ — r — ■; d'où résulte aussitôt ar «■ 2, et, par suite,

y = v/3, a = 150**, pour le point cherché.

82. La seconde catégorie des équations trinômes comprend celles où, les deux variables restant encore séparées. Tune d'elles entre à la fois dans deux termes et Fautre dans un seul. Cette coexistence de trois exposants doit évidemment y multiplier bien davantage les distinctions géométriques qu'envers le groupe précédent, borné à la comparaison de deux exposants. Aussi me réduirai-je ici à caractériser, par quelques exemples choisis, un petit nombre de ces cas, laissant au lecteur à discuter spontanément tous les autres; ce qu'il pourra maintenant exécuter sans guide, d'après l'ensemble des habitudes déjà contractées sur la discussion géométrique des équations.

Premier exemple. Considérons d'abord la courbe j/=x^ — x, où les trois exposants sont impairs. Par cela même, l'ordonnée y étant toujours réelle et unique, le lieu sera illimité et continu : ses deux branches auront d'ailleurs l'origine à la fois pour centre et point d'inflexion, et chacune d'elles coupera l'axe des x, à droite ou à gauche, à la distance 1, Entre 0 et 1, l'ordonnée, nulle aux deux extrémités de cet intervalle, sera d'abord croissante et puis décroissante, son maximum corres-

pondant à X

suivant la règle des dérivées, ici immé-

diatement applicable sans difflculté : au delà, Tordonnée change de signe, et croît dès lors indéfiniment de part et d'autre, conformément à la figure 57.L*examen ducoefficientangulairedela tangente , tang a = 3^:^ — 1 , ne laisse aucun do ute sur le sens ainsi assigné partout à la courbure, ni sur Tabsence totale d'asymptotes : la tangente au centre se confond évidemment avec la seconde bissectrice AÂ'.

Une comparaison peu approfondie pourrait disposer à confondre une telle forme avec celle qui convient au premier genre des paraboles. Mais un examen plus attentif fera clairement ressortir la différence essentielle des deux cas, d'abord analytiquement, puis géométriquement. Il suffit, pour cela, de rapporter la courbe actuelle aux deux bissectrices, qui s'y trouvent évidemment placées, d'après l'ensemble de la discussion précédente, comme les axes propres à ce genre. Les formules de

transposition seront alors x = —- , y = ^ , ce qui

donneral'équationj-'^-faa^'^y'+Saj'y'Hy'— 4y'=0,dontla différence très-prononcée avec celles du chapitre précédent interdit aussitôt tout pareil rapprochement.

Outre cet exemple, où l'exposant impair de l'ordonnée est égal au moindre exposant de l'abscisse, il faudrait, pour avoir vraiment apprécié tous les cas à triple exposant impair, en considérer quatre nouveaux où le premier exposant serait successivement égal au plus grand des deux autres, puis supérieur à celui-ci, ensuite compris entre les deux, et enfin inférieur au plus petit.

Deuxième exemple. Supposons maintenant que, l'unique exposant de l'ordonnée demeurant impair, les deux exposants de l'abscisse deviennent pairs, en prenant, comme seul exemple, parmi tous les cas divers que comporterait cette condition, l'équation très-simple y = x^ — a:*. Après avoir di-

)0 GÉOHénUE PLANE.

iclement recoDou l'iUimilation et la continuité du lieu, ainsi le sa symétrie autour de l'axe des y, il est aisé de constater le rordoDDée, nullepour2::=0et2:~3l,et positive dans l'in-

rvalle, y atteint son maximum ^ pourx=3 * /i ; quand elle

traversé l'axe des abscisses, la courbe s'en éloigne indé&oilenl. Mais sa vraie figure est plus compliquée que ne l'indile d'abord cette discussion fondamentale. Car, en examinant

marche des tangentes, d'après la loitanga =ar — tr*, 1 aperçoit que, outre le maximum, la tangente est aussi digée suivant l'axe à l'origine, qui est donc un sommet, et ïn un point de rebroussement : par suite, il doit exister une [flexion dans l'intervalle. On la déterminera en cherchant le laximum de tang «, ce qui donne immédiatement l'équation

-m.-0, d-où .± ^î, J =.1 el Ung.= I y/î-

ï courbure éprouve ainsi de fortes variations dans l'interille ACBOB'C'A' {fig. 58), au delà duquel la direcUon de la .ngente ne subit pas jusqu'à l'infini un changement total de )°, puisque, en A et A', on a tang a = q: 2 : il n'existe d'iûlurs, évidemment, aucune asymptote.

Troisième exemple. Comme exemple unique du cas ot les ois exposants sont pairs, discutons l'équation y* =ax* — x^. 'ordonnée, réelle seulement de 0 à 1, atteint son maximum pour U même abscisse que ci-dessus ; eu sorte que la courbe, rmétrique autour des deux axes, et ayant son centre à l'orine, est contenue dans le rectangle ABB'A'C'C {(ig. S9).

uant à la tangente, d'après la loi tang « = — ^^^^^ , U est

air que tous les cAtés de ce rectangle touchent la courbe, les ns une fois, les autres deux fois. Il faut surtout remarquer, cet égard, ce qui concerne le centre, oùlang « =» ± 1 indique

deux tangentes distinctes, dirigées suivant les bissectrices; comme le confirmerait d'ailleurs la considération spéciale du

rapport -. Cette nouvelle propriété a fait donner le nom de

nœud à ce point exceptionnel, déjà doublement remarquable ici, & titre de centre et de point d'inflexion. L'ensemble d'une telle discussion ne peut laisser aucun doute sur la figure générale de cette courbe, que sa forme a fait appeler lemniscate. Sa courbure est évidemment beaucoup moins prononcée, en général, du nœud 0 au maximum B que de là au sommet A ; puisque le premier intervalle, quoique supérieur au second, produit une variation totale moitié moindre dans la direction de la tangente.

En substituant, à cette équation^ l'équation inverse y^sssx* — a^, il faudrait surtout remarquer, outre le changement accoutumé d'un lieu fermé et continu en un autre illimité et interrompu, le nouveau caractère qu'y prendrait le centre, toujours placé à l'origine. On voit que ce point, loin de réunir plusieurs branches distinctes, se trouverait isolé de tout le reste de la courbe, dont il continuerait cependant à faire partie, comme le point conjugué de la conchoîde. Si l'on généralise davantage un tel contraste géométrique, il est aisé de sentir que, en toute équation de la forme

les abscisses propres à confondre les deux valeurs de y, non par l'annulation de la fonction placée sous le radical, mais par celle du facteur qui le précède, indiqueront des nœuds ou des points isolés selon qu^elles rendront positive ou négative la première fonction / (^r), puisque les ordonnées voisines seront dès lors tantôt réelles et tantôt imaginaires. Ainsi, quelque

26^ GÉOMÉTRIE PLANK.

opposées que soient géométriquement ces deux sortes de points, le même caractère analytique pourra leur convenir, avec une simple nuance relative seulement au sens d'une certaine inégalité. Leur différence, quant à la tangente, consistera en ce que son coefficient angulaire, toujours double en TunetTautre cas, restera réel pour le premier et deviendra imaginaire pour le second ; comme le confirme aisément l'exemple précédent. Quoique le type analytique que je viens de formuler soit loin d'offrir, à cet égard, toute la généralité convenable, il est pourtant propre à étendre déjà les idées du lecteur sur l'opposition de ces deux points singuliers, autant que le comporte et l'exige ici notre initiation géométrique.

Quatrième exemple. Pour signaler les cas où, l'exposant de l'ordonnée restant pair, l'un de ceux de l'abscisse devient impair, considérons enfln la seule équation ya— sa:* — x*. La courbe, tout entière à droite, ne s'y étend que de l'origine jusqu'à rc = 1, symétriquement autour de l'axe, au-dessus duquel sa plus grande hauteur correspond, suivant la règle des

dérivées, kx = j, d'où y = . « \/ 3 ; ce qui la renferme dans

lerectangleOBAB'C/îgr.eOj.Onaicitangassa — â~~^ en sorte

que les trois côtés BC, B'C et CC, touchent la courbe : mais, quant au quatrième, en 0 la direction de la tangente semble d'abord indéterminée. En la cherchant, soit par la substitution de

3 — Ax I X l'ordonnée, qui donne tang a = — - — \j \ ' ^^^^ ^^^

près la considération spéciale du rapport - , il est aisé de recon-

naître que la tangente initiale coïncide avec l'axe des abscisses. Si donc, des deux points où cet axe coupe la courbe,run A est un sommet proprement dil, l'autre 0 constitue un point dere-

broussement. Ainsi^ entre 0 et B ou B', il doit exister un double point d'inflexion, dont Tabscisse unique correspondra

au maximum de tang a, ou à celui de la fonction —. -^

suivant Tesprit des transformations propres à la théorie des maxima, où Ton a toujours le droit de modifier, pour plus de simplicité, les fonctions proposées, pourvu que les maxima ou minima ne cessent point de correspondre aux mêmes valeurs de la variable indépendante.

83. En introduisant, dans les équations trinômes, un terme où les deux variables soient mêlées, on y forme une troisième catégorie générale, qui, pouvant comporter jusqu'à quatre exposants simultanés, doit nécessairement offrir encore plus de diversité que la précédente. J'en examinerai seulement deux exemples très-simples, Tun de degré impair, l'autre de degré pair.

Premier exemple. Soit d'abord la courbe a^ — x y^= 1.

D'après la formule y = rt 1 / x^ , elle s'étend indéfiniment à droite, depuis a: =» 1, en s'éloignant sans cesse de son axe : à gauche, l'ordonnée, infinie pour ar ==» 0, ce qui indique l'asymptotisme de l'axe des ^, doit premièrement décroître; mais elle ne tarde pas à augmenter, puisque les accroissements

du terme o;^ l'emporteront bientôt sur les diminutions du terme

-, et ensuite elle croît jusqu'à l'infini. En considérant de plus

près la marche générale de cette fonction, on aperçoit aisément, suivant la méthode subsidiaire des asymptotes, que les

deux bissectrices y = ±: \/x^ constituent deux autres asymptotes, placées au-dessous de la partie droite de la courbe et au-dessus de sa partie gauche. L'ensemble de ces documents ne laisse ici, vu le degré, aucune incertitude sur l'absence

totale de sinuosités et de rebroussements, sans qu'il soit réellement nécessaire de consulter la tangente, sauf pour le minimum d'y, ainsi déterminé par l'équation 3 a;* — y*=0,qui le place sous un angle de 120^ autour de l'origine, au point

a?=i/-, y^*=i/ —-. Si l'on cherche les points les plus rapprochés de l'origine, où concourent les trois asymptotes, il est aisé de constater, d'après le principe des normales, et en écartant la solutiony=Ocorrespondante au sommet A, qu'ils se trouvent

sur les rayons dont le coefficient angulaire est v^S, un peu au-dessus des minima B et B' de l'ordonnée. Ainsi, la figure 61 caractérise exactement la forme générale de la courbe.

Deuxième exemple. Considérons, en second lieu, la courbe y^ — ar'y*=a:', où y =4: — ^=z= . Évidemment comprise entre

les asymptotes ic==l, eta; = — 1, elle estillimitéedanslesens vertical, d'aiUeurs continue, et symétrique autour des deux

axes. Au centre, cette formule indique, d'après le rapport —,

l'existence d'un nœud, où la courbe touche les deux bissectrices ; en sorte qu'il serait encore superflu ici d'examiner la marche des tangentes pour constater la justesse delà figure 62. Quant à la courbure, d'abord croissante, puis décroissante, de chaque quart de courbe, elle doit être, en général, peu prononcée, d'après la faible variation totale qu'y éprouve la direction des tangentes.

84. La dernière catégorie des courbes trinômes, celle dont la discussion complète exigerait la plus grande diversité de cas, comprend les équations les plus compliquées, où les variables sont mêlées dans deux termes, le troisième étant dès lors constant. Je m'y bornerai, comme envers la précédente,

à deux exemples choisis, Tun de degré impair, l'autre de degré pair.

Premier exemple, SoitTéqualion a;2/2-|-ya:^s=al, où la symétrie des deux variables indique déjà une courbe symétrique autour de la première bissectrice. La discussion de l'ordonnée

offre ici une nouvelle circonstance préliminaire qu'il importe

de remarquer, en ce que la partie rationnelle -^ - a:, qui précède le double radical, appartient à une droite qui, à raison d'une telle relation algébrique, doit coUper en leur milieu toutes les cordes verticales du lieu; puisque, pour obtenir les deux points correspondants à chaque abscisse, il faudra également porter, de part et d'autre de cette droite, la valeur du radical commun. Ainsi, outre sa symétrie suivant BOB' qui la

coupe en C où a:== i/-, la courbe aura pour diamëti*e la

droite OA, qu'elle rencontre en A où a: = — y^i, et dont la considération permettra de réduire la discussion essentielle de l'ordonnée à celle du seul radical. Or, ce radical, infini d'abord, de manière à indiquer l'asymptotisme de l'axe vertical, ne tarde pas à devenir croissant, et dès lors sans limites, puisque

l'augmentation du teime - ar^doitbicntôt y surpasser ledécrois-

sèment du terme - , qui influe de moins en moins sur la valeur

totale. En négligeant ce dernier terme, suivant l'esprit de la méthode subsidiaire des asymptotes, on trouve, autour de

rorigine,deuxnouvellesasymptote8j/= — -,r±:- a?, dont l'une

^Slv^

266 GÉOKÉTRIE PLANE.

coïncide avec Taxe des abscisses^ et Tantre avec la seconde bis-

/l 1 sectrice. A gauche, le radical devient v - x^ , et la courbe

se trouve interrompue entre Tasymptote OY et la verticale en A, au delà de laquelle elle s'élend indéfiniment et sans discontinuité : mais les deux valeurs de Tordonnée sont alors également positives, en sorte que le lieu ne pénètre pas dans la troisième région du plan, et se trouve d'ailleurs au-dessous de Tasymptote oblique, dont l'ordonnée y surpasse la sienne, qui, à droite, l'emportait. Quoique cet exemple soit Tun des plus difficiles que puisse offrir la discussion géométrique des équations peu compliquées, le lecteur judicieux ne tardera pas à sentir que la figure 63 indique la seule forme générale propre à satisfaire à l'ensemble de ces renseignements divers. L'examen de la tangente, suivant la formule tang «=—?-( ^~\ ) »

n'est indispensable ici qu'envers quelques points remarquables. En C, sur l'axe du lieu, on a tang a =» — 1, ce qui confirme quo ce point est un sommet; en A, sur l'autre diamètre rectiligne, la tangente est verticale. Pour trouver le minimum de y dans la partie droite et inférieure, il faut poser y-\-%K «=0, d'où résulte aussitôt la direction du rayon correspondant, et ensuite

X = i/- ; en sorte que ce point D est sur la même verticale

que le sommet C de l'autre branche. Quant au point le plus rapproché de l'origine, le principe des normales fournit aisément l'équation

relativement au coefficient angulaire de son rayon. Quoique du troisième degré, cette équation est facUe à résoudre, en utilisant la connaissance antérieure de Tune des trois normales cherchées, la bissectrice OC, qui y indique la racine m = i.

dont la vérification algébrique est d'ailleurs évidente, en écrivant (m*— l)-f-2m(m— i)=0. Après l'avoir ôtée, il reste réquation m^+3^+l=0, qui détermine sans difficulté les deux autres directions, OE etOF.

Deuxième exemple. Considérons enfin, comme dernière

courbe trinôme, celle qui résulte de Té^uation ar'y^— a:y*=l,

où y=Hh — =r . A droite, le lieu commence à l'asymptote

x=i^ au delà de laquelle il s'étend indéfiniment, en se rapprochant toujours de l'axe des abscisses, qui lui constitue une seconde asymptote, aussi bien qu'un axe. Vers la gauche, il n'y a aucune interruption, et les deux axes sont asymptotes. L'ensemble de la courbe est donc nécessairement conforme à la figure 64, puisque le degré empêche d'ailleurs toute sinuosité entre les asymptotes.

Une telle discussion conduit naturellement à soupçonner l'entière identité des quatre parties de la courbe. Pour s'en assurer, il suffît évidemment d'examiner si le point C, situé au .milieu de l'intervalle où l'axecoupelesdeuxautres asymptotes, est réellement le centre du lieu ; ce qui se réduit à y transporter l'origine, afin de voir s'il en résulte la disparition spontanée du terme de degré impair; ce qui arrive effectivement. L'équation devient ainsi

de manière à rentrer dans la catégorie précédente. Cette nouvelle équation serait donc préférable pour l'étude ultérieure de la courbe. En l'appliquant à la recherche du point le plus rapproché du centre, le principe des normales y donne la con-

diti(»n — ^-^ = -, d'où, après avoir ôlé le facteur superflu, Ax* — 1 y

ilrésuUey*=jc' — -, et, par suite, 1^'— 2) = * î «^îûsi, en ce

point, on a .T = - v^^, y =» 1, et tang « = — - y/5. On confir-

merait aisément ce résultai par la recherche directe du minimum de ar^+y^i <J*après la méthode algébrique la plus élémentaire, qui serait ici très-praticable.