CHAPITRE IV

Courbes polynômes

85. Dans Tétat d'enfance où se trouve aujourd'hui la géométrie comparée, le principe provisoire qui nous a précédemment servi à classer les courbes algébriques, et qui ne pouvait être pleinement satisfaisant qu'envers les seules équations binômes, cesse d'offrir aucune véritable importance géométrique, quand les équations contiennent plus de trois termes. Aussi, pour ces équations plus compliquées, faut-il nous borner ici à quelques exemples choisis indépendamment de tout classement, et uniquement destinés à faire sentir comment le mode de discussion géométrique caractérisé par les chapitres précédents peut s'étendre à toutes les autres équations algébriques.

Prewfeîr ea;^wpZc.Considéronsd'abordlacourbey*s==n!r2[-3l l

D'après la formule y = ± x ^ , le lieu, symétrique

autour de l'axe des abscisses, est limité à droite par l'asymplote a:=l, et no dépasse pas à gauche son intersection avec

râxe> à la distance 1 de Torigine. Il se compose donc de deux parties qui se réunissent à Torigine, Tune à gauche, fermée de toutes parts, Taulre à droite illimitée, verticalement. Le coefBcient angulaire de la tangente y est finalement

1 -^ X ' x^ tang a = -ï- z==, ; il devient infini pour a: = ± 1, et

(1 — ar) y/i — a:?

prend, à Porigine, la double valeur db 1, d'ailleurs indiquée

d'avance par le rapport - : ainsi, des deux points A eiO{figM),

où la courbe rencontre son axe, le premier est un sommet, le second un nœud, où elle touche les deux bissectrices, audessus desquelles s'élève ensuite de plus en plus son cours indéfini. Quant au point culminant de la partie gauche, il

correspond à l'équation l+a:=a;', quidonnea:= — ^(v^^""^''

après avoir écarté la racine positive, comme excédant les

limites horizontales du lieu. On ne peut donc plus conserver

aucun doute sur la forme générale de la courbe. Sa courbure,

trèS'prononcée dans la portion BAB', l'est beaucoup moins

dans le reste de la partie fermée, et diminue encore davantage

dans la partie indéfinie. Gomme le centre devrait être sur la

courbe, en vertu du degré impair, et enmôme temps surl'axe

des abscisses, à cause de la symétrie, il est clair que cette

courbe n'en comporte pas, puisqu'il devrait être placéenO ou

en A, contrairement à Tensemblede la discussion.

^x ■■• x^ Deuxième exemple. Soit maintenant l'équation y^=— — ^,

d'oùy=rti/i ■ [^ ; celle décomposition en fac-

leurs est ici destinée à mieux caractériser la marche générale de l'ordonnée. A droite, chaque terme de la fraction renferme un facteur positif, en sorte que y ne sera réel qu'autant que

yç:"

îi*

ls •«-

les autres facteurs 2— o^ eix — i auront le même signe, ce qui restreint x entre 1 et 2, puisque ces facteurs ne sauraient d'ailleurs devenir simultanément négatifs. Cette partie de la courbe ne commence donc qu'à Tasymptote CC {fig. 66), et se termine à son intersection B avec son axe. Vers la gauche,

on aurait y «a V//. . v T — r^ ^U pw conséquent, la

courbe ne s'étendrait que de Torigine jusqu'à l'asymptote ares 1. D'après le coefficient angulaire de la tangente,

que les points B et 0 sont des sommets : ainsi, depuis chacun d'eux jusqu'à l'asymptote correspondante, chaque partie de la courbe doit offrir une inflexion, dont le calcul serait ici trèslaborieux. La courbe ne saurait d'ailleurs avoir de centre, puisqu'il ne pourrait être qu'en À, milieu entre ces deux sommets, ce qui est évidemment contraire à la discussion. Toutefois les deux parties, droite et gauche, du lieu semblent jusqu^à présent fort analogues. Pour en mieux saisir la vraie relation, il faut y comparer deuxordonnées placées, surchaque portion, à la même distance du sommet correspondant, en faisant successivement a:=2— ^, x=—t\ d'où il résulte d'a-

bord y> = ^j^\..^^Y et ensuite y'^

traction faite des facteurs communs, la seconde fraction

Abs-

surpasse évidemment la première, comme ayant à la fois,-pour

/<1, un plus grand numérateur et un moindre dénominateur :

donc la partie gauche s'élève davantage que la partie droite.

Troisième exemple. Considérons encore la courbe y=ari:

v/So:^'— 6x — x'. Le terme rationnel, placé devant le radical carré, y indique, comme au n** précédent, pour lescordes ver-

ticales,un diamètre rectiligne, coïncidant ici avec la première bissectrice, qui coupe le lieu aux trois points a:=sO, x=^% Xf=^. En décomposant la fonction irrationnelle, afin d'en

mieux juger la marche, on a y = x dz \/x [x — 2) (3 — x). Dès lors, la courbe ne peut s*ét'endre à droite que de la seconde à la troisième intersection avec son diamètre, de A enB {fig. 67). Mais à gauche, les deux premiers facteurs étant toujours négatifs, et le dernier toujours positif, la valeur du radical sera constamment réelle et croîtra sans limites. Ainsi la courbe se compose de deux parties. Tune à droite fermée, Tautre à gauche indéfinie, séparées par un intervalle vide, de 0 à A. Le maximum d'écartement de la première envers son diamètre se déterminera aisément en annulant la dérivée de 5x'— &r— x';

ce qui donnera x = — - — , l'autre racine se rapportant à

une ordonnée imaginaire : en construisant la valeur correspondante du radical, on renfermera cette portion du lieu entre deux parallèles au diamètre. Quant à la tangente, on trouve

lOg—6— 3a;»

finalement, d'après nos règles, tang a = 1 + . ■ . . , ;

Y dx* — ox — ic'

ce qui confirme la position de ces deux tangentes, et la verticalité de celles en 0, A et B. Cette fonction devenant infinie pourâ; = 00 , comme le montre la division des deux termes par a:', on reconnaît ainsi tout à la fois l'absence d'asymptote et l'existence d'une double inflexion à gauche, dont la position précise exigerait un trop long calcul, aussi bien que celle du maximum ou minimum de l'ordonnée adroite. Pour que ces sinuosités soient conciliables avec le degré, qui interditici plus de trois points en ligne droite, il suffit que la tangente s'y trouve dirigée de manière à ne pas couper la partie fermée du lieu.

Quatrième exemple. Soit, en dernier lieu, l'équation

flÉOMÉTBIE PLANE.

-2a:'ff*— a;*+i™0, donl la forme indique aussitôt udp rbe symétrique autour des deux axes, avec l'origine pour

tre. D'après la formule y =±\/j^ ± v/2a:' — i, il faudra lord s'assurer de la réalité du radical partiel, ce qui exige

iementx> \j â'' ^^^ on voit ensuite que, si le premier

>e de ce radical donne toujours une ordonnée réelle et inniment croissante, il n'en saurait Être de même du signe insur, qui rendra bientôt y imaginaire, à partir de la valeur 1, correspondante à y=0. Ainsi, le très-petit intervalle

izontsl de 1 / ^ à 1 exige ici une appréciation spéciale, puis-

l'ordonnée s'y trouve quadruple, tandis qu'elle est seuleil double dans tout le reste indéfinide la courbe. En consimtpour plus de clarté, cette courbe comroenaissantenA,

rencontre avec son axe, il faudra donc concevoir le point rivant s' avançant d'abord vers l'axe vertical jusqu'en B, I il s'en éloigne ensuite à l'inGni, conformément à la figure A mesure que x augmente, la valeur du radical partiel i-à se confondre avec i' v^2; ce qui indique, autour du Ire, deuil asymptotes rectUignes, dont le coefDcient angu-

s est ± V* 1 + \/\. Quoique leur existence décide sufllsamit du sens de la courbure dans la majeure partie du lieu, imen de la tangente est pourtant indispensable, surtout

erslapartieBAB'.Or,onaicitanga=— 7-T — =^,;donclatan-

te est Verticale en A où ^b=0 et en B où y^^x ; en sorte que, s l'intervalle, il existe une inflexion, donl le calcul serait Iteurs trop pénible. En rapportant tout à x, 11 vient

j a = — ^—^— — ■ ■ ■ ■ Sil on divise jesdeux

termes par (x? afin de supposer x infini, celle formule devienl

tang a =