An

2 4-\/2 sa valeur extrême est ce qui reproduit, sous

une autre forme, la direction déjà trouvée pour l'asymptote, dont le coefficient linéaire serait d'ailleurs reconnu nul en complétant l'opération, quand môme la symétrie ne l'eût pas indiqué d'avance. Quand au point le plus rapproché du centre, le

principe des normales donnera ici la condition - | -r-^ |= -,

qui n'admet évidemment d'autre solution que y=0, ou le sommet A, à partir duquel la courbe s'éloigne donc continuellement de son centre, même dans la partie AB, où elle s'avance vers l'axe vertical : il est aisé de vérifier, en effet, que la distance OB surpasse un peu OA.

Cet exemple extrême est propre à faire sentir la nécessité d^accorder quelquefois une attention spéciale à de petits intervalles pour discuter convenablement certaines équations : les principaux accidents géométriques se passent ici entre A elB; au delà, la courbure est évidemment très- faible, puisque la direction de la tangente ne varie pas de 45^ dans tout le reste indéfini de la courbe. On sent toutefois que l'existence de tels intervalles est toujours indiquée par une judicieuse appréciation de la formule qui exprime l'ordonnée ; en sorte que de pareils cas n'autorisent nullement à contracter, en général, ces habitudesaveuglémentminutieusesqui s'opposent tropsouvent aujourd'hui à toute saina discussion des courbes algébriques.

GÉOMÉTRIE PLAHE.

I serait ici superflô d'ex&miner géométriqaement un plus ad Dombre d'équaUoas polynômes : je laisse au lecteur iien Itiplier spontanément les exemples, auxquels chacun pourra intenaut appliquer sans ditScullé les principes que nous ns désormais assez caractérisés. ABn d'éviter les embarras Sbrîqaes trop supérieurs à l'instrucUon analytique exigée lS ce traité, j'ai considéré exclusivement des équations fas à résoudre, au moins quant à l'une des variables. Hais. Es avoir assezétudié la haute algèbre, il conviendra de pourrre, sur quelques exemples bien cholMs, la discussion géo- Irique des équations algébriques, sans y dégager aucune rdonnée. Je recommanderai spécialement, h cet égard, la rbe remarquable que Descartes tira de l'équation t^+2xy ^=.0. Un très-petit nombre de cas analoguesdans les degrés érieurs caractérisera sufflsammeDt les nouvelles difBcultés métriques qui résultent alors de notre impuissance algélue, en évitant d'ailleurs avec soin de susciter, à ce sujet,

calculs trop comphqués, dont la fastidieuse influence altélit beaucoup la principale utilité logique de tels exercices. S. Quand la géométrie comparée, jusqu'icik peine entrevue

quelques esprits philosophiques, aura été rationnellement stituée d'après ses véritables principes, on pourra rendre 1 plus profitable la discussion géométrique des équations pnlroduisanl babiluellemenl les questions inverses, aurd'hui trop peu accessibles, qui consistent à composer des ations correspondantes à des formes générales arbitraireit données. Ces nouveaux problèmes, toujours profondé- Qt indéterminés, ne peuvent (tre maintenant abordés avec ilque succès que dans lescas les plus simples. Je crois pour- L devoir ici en indiquer un exemple, alin de signaler aulecr intelligent le genre d'exercices le plus propre, sansdoute, lire promptemenl approfondir l'çnsemble de la géométrie

analytique. Supposons qu'il faille composer une équation algébrique dont lelieu puisse ressembler à la courbede la figure 69. En concevant Torigine placée au sommet 0 et Taxe des abscisses confondu avec Taxe de la courbe, il sera facile de former

Féquation de manière à satisfaire aux conditions de symétrie et

f [x] d'asymptotisme, en lui donnant la forme y* = i\i pourvu

que le numérateur s'annule avec x et que le dénominateur, devenant infini pour a;=oo , soit d'un plus haut degré,la fraction devant d'ailleurs conserver toujours le signe de l'abscisse. Toutes ces indications seraient simultanément remplies, par exemple, d'après la formule

où les trois coefficients, supposés toutefois positifs, demeurent encore indéterminés. Une telle fonction assurera, du reste, l'existence d'un point culminant, analogue à A, et dès lors aussi celle d'une inflexion B entre A et l'asymptote. Ainsi, les diverses conditions essentielles de la figure sont simultanément satisfaites par cette équation, où la disponibilité des constantes a^ 6, c, permettra maintenant de remplir les indications numériques relatives à la position et à la hauteur du point culminant. Car, l'indétermination de ces coeflicients n'empêche pas d'appliquer complètement ici la règle des tangentes, qui don-

nerà tang a = ^ — , où Ton voitd'ailleurs

2 {bx^+ c) \/ax [bx^-\- c]

que l'origine est, en effet, un sommet, suivant l'exigence de

la figure, et comme l'indiquait déjà le rapport -. On trouve

ainsi x ts=a ^ /^ ys:^*/^ pour les coordonnées du point culminant. Après l'avoir convenablement placé, on

GÉONIiTRie PLA%E.

ra disposer eDcore d'une constante, en faveur d'une seule Ition relative au double point d'inQeùon. 51 l'on adoptait lation plus compliquée

ax*

^'^ bx* + cz' + dx* + ex -{• r

ouïrait, outre les prescriptions précédentes, remplir aussi es les indications propres à l'inflexion B, B', soit quant à coordonnées, soit quant à la tangente correspondante : i de ces nouvelles constantes resterait même disponible ' quelque autre intention géométrique.