CHAPITRE V

Discussion spérinle des érgualions du secoDd degré.

'. AprËs avoir suffisamment caractérisé, dans les chapitres édents, la discussion générale des équations algébriques, it mnintenunl complétercette étude en indiquant spt^cialct, par un exemple convenable, la manière d'apprécier fous as géométriques que peut offrir un genre particulier d'éions, suivant les diverses hypothèses relatives abx coefn- Is indéterminés qui s'y trouvent. Tel est ici le principal t de la discussion spéciale h laquelle nous allons soumettre qualions du second degré, et qui d'ailleurs formera, pour ■emble de ce traité, une transition naturelle de cette troile partie à la quatrième, où nous devons étudier particulièîul les courbes de ce degré. Quoiqu'une pareille analyse té aussi opérée par Newton envers le troisième degré, cl le par Euler \ l'égard du quatrième, ces deux cas condui-

sent àdes distinclions tellement compliquées, et surtout si nombreuses, qu'il ne convient point de les introduii*e, à cette fin, dans renseignement élémentaire, où le second degré constitue sous ce rapport, un type très-sufOsant et complètement appréciable, qui n'aurait d'autre inconvénient que de donner une trop faible idée des difficultés propres à cet examen complémentaire, si sa facilité exceptionçelle n'était pas d'avance aisément explicable.

Cette appréciation spéciale serait, par sa nature, très-peu propre à maniFester, suivant un vicieux usage scolastique, les vrais principes généraux de la discussion géométrique des équations ; car^ les particularités relatives à ce degré y aplanissent spontanément presque tous les obstacles essentiels que nous ont offerts ci-dessuslesautreséquationsalgébriques.Mais,ayantdéjà appris, sur des exemples convenables, à surmonter ces difficultés fondamentales nous pourrons maintenant utiliser pleinement, sans aucun scrupule, ces simplifications exceptionnelles, dont la judicieuse inlroduction,loindecompromettreuneétude générale désormais assez caractérisée,doit ainsi réagir,au contraire, sur son perfectionnement total, en y indiquant l'heureux emploi des circonstances particulières quiavaientdû être précédemment écartées.

88. Afin que le nombre des coefficients de l'équation générale du second degré se trouve exactement conforme aux conditions de la détermination, je supposerai toujours Tun d'eux égal à l'unité, en faisant toutefois tomber cette particularité sur le terme le moins important, pour diminuer autant que possible l'inconvénient de ne pouvoir ainsi représenter immédiatement le cas où ce terme manque, inconvénient d'ailleurs bien moins grave qu'une fausse insinuation habituelle sur le nombre de points déterminant. L'équation étant donc

ay^+bxy+cx'^+dy+ex=^i ,

GéOHÉTRIB PLANE.

pres^onde l'ordonnée y est

(bx+d\ 1 , .

.-^-~-'±-y/(b->-4ac)x'-\-^bd-iae)x+{d*+Aa).

)Q voit d'abord ici, comme en plusieurs cas antérieurs, que lartîe rationnelle indique un diamètre rectïUgne pour les des parallèles à l'axe des 7/. Mus cette iodication prélimi- ■e acquiert maintenant beaucoup plus d'importance qu'en un autre exemple, si l'on réfléchit qu'elle correspond à l'é- UoQ la plus générale de ce degré, tandis que jusqu'ici elle l'était manifestée qu'envers destypes algébriques très-parUlers relativement aux degrés respectifs. Une telle équation pouvant éprouver aucun changement de forme d'après un lacement quelconque du lieu, qui n'y produirait que de iveaux coefficients, il s'ensuit que cette propriété géoméue doit, au fond, convenir alors à tous les systèmes de des, puisque les ordonnées pourront toujours lenr être posées parallèles en tournant suffisamment les axes. On ouvre ainsi, dès le début, indépendamment de toute théorie diamètres, le caractère peut-être le plus remarquable qui, s l'ensemble delà géométrie comparée, doive distinguerlcs rbes du second degré, comme ayant, en tout sens, des diatrès rectilignes. Par un raisonnement inverse convenablent approfondi, on pourrait d'ailleurs se convaincre qu'une e propriété est, en effet, pleinement caractéristique, en tant exclusivement relative à ces courbes (1). .a discussion générale de l'ordonnée, encore plus fondamen- 1 ici qu'envers tout autre cas, étant ainsi réduite an seul men du radical, qui indique la distance verticale de la irbe au diamètre, on est aussitôt conduit k y distinguer deux iothèsesnécessairemenldifférentes,d'abordanalytiquement, s géométriquement, selon que ce radical affecte une fonction

) Voyez la noie I rectilicalivc à la fin àa volume.

de degré impair ou de degré pair, c'est-à-dire suivant que la constante composée A* — Aac est ou n'est pas nulle. Dans la première supposition, la courbe ne rencontrera qu'une seule fois ce diamètre^ et par suite tous les autres ; puisque, comme ci-dessus, cette remarque doit, au fond, convenir, d'après la généralité de l'équation actuelle, à un diamètre quelconque : dans la seconde, au contraire, le diamètre rencontrera deux fois la courbe ou pas du tout. Il est clair, àpriori^ que la marche générale de l'ordonnée ne saurait être la même en ces deux cas. Considérons d'abord le premier, où l'on a

{bx + d} 1

Le seul terme variable du radical devant alors changer de signe en même temps que x^ cette fonction sera toujours réelle d'un c6té du point de rencontre de la courbe avec son diamètre^ et toujours imaginaire de l'autre côté, suivant le signe du coefficient bd — 2ae : dans la partie réelle, sa valeur croîtra indéfiniment en s'éloignant de ce point. Ainsi, ce premier cas correspond à un lieu limité horizontalement d'un côté et illimité de l'autre, sans aucune limite parallèle au diamètre. Nous le désignerons brièvement sous le nom de parabole, déjà employé, dès le deuxième chapitre de cet ouvrage, envers une courbe qui appartient évidemment à ce type ; sauf à démontrer bientôt, par la voie ordinaire de la coïncidence des équations, que, réciproquement, toute courbe du second degré bornée dans un sens et indéfinie dans l'autre constitue effectivement une parabole proprement dite, engendrée par un point toujours équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe.

Supposons maintenant que la fonction sous le radical soit du second degré, et imaginons que, pour faciliter la discussion, on l'ait décomposée, comme en divers cas antérieurs, en deux facteurs du premier degré. On aura alors

^ ^ (É£±iL) H. ^ ^(é, 4„c) (^ ^.) (^ ^..)^

a:' et x" désignant les racines correspondantes à l'annulation du radical, et, par suite, caractérisant les deux intersections de là courbe avec son diamètre. Ici surgit évidemment la nécessité d'une nouvelle distinction, selon que le facteur constant V^ — 4ac est négatif ou positif, ce qui, obligeant les deux facteurs variables à être tantôt contraires, tantôt conformes de signe, doit nécessairement affecter beaucoup la marche générale de l'ordonnée. Dans le premier de ces deux nouveaux cas, la courbe sera certainement comprise entre les ordonnées des points où elle rencontre le diamètre, et d'ailleurs continue, puisque toute valeur dé x inférieure \l x" et supérieure à x' rendra y réel. Son écartenaent du diamètre sera, en outre, inévitablement limité ; et le maximum du produit [x-^x') [x' — x), qui le déterminé, correspondra au milieu de ces deux intersections, d'après un théorème familier d'algèbre élémentaire, relatif aux produits dont la somme des facteurs est constante. Ainsi, la courbe est alors renfermée dans un parallélogramme, formé par deux ordonnées et deux parallèles au diamètre : nous la qualifierons à' ellipse, sauf à justifier ci-dessous la parfaite convenance de celte dénomination, en ramenant l'équation actuelle au type qu'elle rappelle.

Enfin, quand b^ — 4ac est positif, la marche générale du radical devientessentiellementinverse de laprécédente; puisque l'ordonnée ne sera jamais réelle entre x=x' et^==a:", et le deviendra toujours, au contraire, en deçà de l'une des in tersections ou au delà de l'autre : la courbe pourra d'ailleurs maintenant s'écarter à l'infini de son diamètre. Ce lieu sera donc à la fois illimité en tous sens et discontinu, comme l'Ayperbole proprement dite, dont nous lui appliquerons déjà le nom, que nous reconnaîtrons bientôt rigoureusement convenable.

Telles sont les distinctions successives d'après lesquelles la discussion fondamentale de l'ordonnée démontre naturellement que toute équation du second degré représente géométriquement une parabole, une ellipse, ou une hyperbole, selon que la constante composée b^ — Aac est nulle, négative, ou positive. Ce caractère analytique doit donc toujours persister quand la courbe se déplace arbitrairement, quoique les coefficients a, 6, c puissent alors changer. Il importe de remarquer, dès Torigine, que le premier cas s'ofire spontanément comme plus distinct des deux autres que ceux-ci ne le sont entre eux : cette comparaison sera confirmée, dans la quatrième partie de ce traité, par l'ensemble des propriétés de ces trois courbes.

La seule considération du degré suffit ici, indépendamment de tout examen de la tangente, pour déterminer le sens de la courbure, en indiquant que le lieu doit toujours être concave vers son diamètre, afin de ne jamais présenter plus de deux points en ligne droite.

89. Complétons maintenant cette appréciation fondamentale, en considérant successivement les équations du second degré sous les divers aspects généraux propres aux théories géométriques que nous avons établies.

Quant au nombre de points déterminant, notre distinction principale se soutient évidemment en indiquant quela détermination de Tellipse ou de Thyperbole exige cinq points, tandis que quatre suffisent envers la parabole, puisque Tune des constantes arbitraires, a, b, c, peut alors disparaître de l'équation, d'après sa subordination spéciale aux deux autres.

Relativement aux tangentes, on a ici

by -f- ^x -f- e ^"«^ Zy + bz+d'

mais la discussion de cette formule, actuellement inutile pour