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discerner le sens de la courbure, ne présente quelque intérêt qu'envers les points propres à annuler son numérateur ou son dénominateur, en indiquant les tangentes parallèles aux axes. Encore le résultat pourrait-il même en être aisément préyu : car, les tangentes verticales, par exemple, correspondent à 2ay+ éa: + rf=0, ce qui constitue précisément l'équation du diamètre relatif à des cordes verticales; il s'ensuit donc que, à sa rencontre avec la courbe, la tangente est parallèle à ses cordes. Cette remarque, également convenable au numératew, peut être facilement étendue à un diamètre quelconque, d'après la considération lumineuse que nous avons déjà employée sur la généralité géométrique de Téquation actuelle. Or, ainsi agrandie, cette relation constante des tangentes aux cordes constitue, sous un autre aspect, une suite nécessaire de la direction de la courbure, indiquée par le degré; puisque, là où le lieu coupe un diamètre, la tangente ne pourrait cesser d'être parallèle aux cordes correspondantes, qu^autant qu'il y aurait rebroussement, ce qui est évidemment impossible.

En appliquant ici Tune quelconque de nos deux méthodes générales pour la détermination des asymptotes rectilignes, ou même la méthode subsidiaire, d'après l'extraction de la racine, on trouvera, sans difficulté, la double équation

Les deux coefficients y sont imaginaires quand ô^— \ac est négatif, comme le cas l'exigeait géométriquement. Us sont réels, mais incompatibles, si b^ — 4ac=3 0; en sorte que la parabole n'a pas non plus d'asymptote : toutefois, la courbe étant alors indéfinie, la valeur du coefficient angulaire y indique, suivant nos principes généraux, la limite constante de la direction des tangentes. L'unité d'une telle limite montre que les deux bran-

ches de la courbe, autour de chaque diamètre, tendent à devenir parallèles entre elles à mesure qu'elles s'en écartent. On doit d'ailleurs remarquer que cette commune direction est précisément celle du diamètre déjà obtenu, d'après le coefficient

angulaire— —, également convenable aux deux cas. Mais cette

relation pouvait être aisément prévue, puisque les diamètres ne rencontrent alors qu'une seule fois la courbe, ce qui est ici le caractère, en un point quelconque, des droites parallèles à la limite de la direction des tangentes! Un tel rapprochement conduit donc à penser que tous les diamètres de la parabole doivent être parallèles entre eux, comme nous le vérifierons ci-dessous.

Quant à l'hyperbole, l'équation précédente y indique évidemment deux asymptotes toujours distinctes, dont l'intersection correspondrait aux coordonnées

^ae — bd 2crf— be

^ ~ é* — Aac' ^ ^ 6» — Aac'

que nous verrons bientôt convenir au centre, conformément aux exigences géométriques, qui ne sauraient permettre de placer ailleurs une telle rencontre. Cette diversité de limite entre les directions des deux parties de l'hyperbole séparées par chaque diamètre intérieur, constitue la principale diversité graphique propre à empêcher de confondre jamais l'aspect d'une parabole avec celui d'une demi-hyperbole, quelque grossier que puisse être leur tracé, pourvu qu'il soit judicieux.

Si maintenant on considère les courbes du second degré relativement aux diamètres, on y trouvera aisément, d'après notre seconde méthode, l'équation générale

fbm ■\- 2e\ (dm + ^\

fc*!i ■ ^

GÉOMÉTJUE PLANE.

qui indique, en tous sens, des diamètres rectilignes. Mais cette commune propriélé essentielle avait été ci-dessus prévue, indépendamment de toute théorie des diamètres. Nous avons aussi déjà reconnu le parallélisme nécessaire des diamètres de la parabole, que cette équation confirme facilement, en y remarquant que, d'après la relalion ô^= 4 oc, le coefGcient angulaire du diamètre devient indépendant de celui m des cordes correspondantes. Quant à Tellipse ou Thyperbole, on pourrait ainsi constater la convergence de tous leurs diamètres en un point unique ; mais elle sera mieux annoncée ci-dessous par la détermination du centre. Le plus heureux usage que Ton puisse faire ici de Téquation précédente, consiste à l'employer spécialement, d'après la nature rectiligne de tous les diamètres, pour trouver les aœes de la courbe, en évitant la transposition d'axes indéterminée qu'exige, en tout autre cas, une telle recherche, selon nos explications générales. 11 suffit, en effet, de disposer de m afin que le diamètre devienne perpendiculaire à ses cordes, suivant la condition ordinaire

2am + b bm + 2c'

ou m» + 2 (^-t-t) ^ — i = 0,

qui indique deux directions rectangulaires constamment possibles, et d'où résultent les deux droites autour desquelles toute courbe du second degré doit être symétrique. Cependant, en achevant le calcul, on remarquera que, dans le cas parabolique, l'une de ces valeurs est inadmissible, en tant que rendant infini le coefQcient linéaire du diamètre correspondant; en sorte que la parabole n'est symétrique qu'en un seul sens, comme l'exigeait évidemment sa figure générale. On pourra également constater ainsi que l'ellipse est rencontrée par ses deux axes, et l'hyperbole par l'un seulement, conformément aux conditions géométriques de continuité ou discontinuité.

fJSr-if

La méthode des centres conduirait ici aux coordonnées rapportées ci-dessus, qui sont toujours réelles, et d'ailleurs finies pour Tellipse ou Thyperbole. Devenant infinies pour la parabole, eUes y confirment Tabsence de centre qu'indiquait déjà sa figure générale, et vérifient en même temps le parallélisme précédemment reconnu entre tous ses diamètres.

Enfin, si Ton applique à deux courbes quelconques du second

degré

ay^ + bxy -(- car* + d'y + ^«2: =» i

aY +b'xy + c'x^ + d'y + e'x^i

notre théorie générale de la similitude, il faut substituer, dans la première équation,

X' cos X' — y ' sin X' -f a et x' sin X' + y' cos X* + ^

au lieu de x et y, afin de l'identifier avec la seconde, où l'on aurait d'abord changé x en mx* et y en my\ Mais, sans qu'il soit nécessaire d'exécuter ce long calcul, on voit aussitôt qu'il ne conduira qu'à une seule relation, comme nous l'avons depuis longtemps remarqué. Cela posé, la recherche de cette unique condition de similitude pourra, suivant nos principes généraux, s'accomplir directement sous diverses formes équivalentes, soit linéaires, soit angulaires, dont la plus convenable me semble être ici relative à l'égalité d'inclinaison des deux asymptotes, qui, envers chaque lieu, constituent certainement deuxlignes homologues. L'équation ci-dessus rapportée

donne, pour un tel angle, la formule tang Y ainsi la condition de similitude est

\/6» — 4ac .

(6« — \ac) {eC + c^ — (ô'» ^ 4a'c') [a -f cY= 0.

Elle devient constamment identique dans le cas parabolique; en sorte que deux paraboles sontnécessairement toujours sem-

fi

"•xi.

i G^^MÉTRIK PLANE.

bles. La similitude spontanée de deux cercles s'y vérifie aussi fment, d'après le double caractère correspondant, juoique la considération géométrique d'où dérives! commolent celte condition semble particulière à l'hyperbole, le illtat doit être étendu, sans aucun scrupule raisonnable, aux :x autres cas, puisque celui qu'on avait d'abord en vue ne lislingue analyliquement par aucune relation précise ten- .t à restreindre la généralité de l'équation. Même envers les ations elliptiques, où les coefficients angulaires des deux ites considérées deviennent imaginaires, si l'on interprète coefQcients en y changeant le signe du radical commun, ce ne saurait altérer la relation finale, on donnera naissance eux droites, qui, pour n'être plus alors des asymptotes, n'en isUtueront pas moins toujours, envers les deux courbes, des tes certainement homologues, dont la vraiedestination géotrique, indifférente à une telle appréciation, sera d'ailleurs JrieuFement expliquée.

O.-Ponr compléter la discussion spéciale des équations du and degré, il nous reste k considérer les divers cas singuliers, ntanément écartés ci-dessus, où, quoique offrant le caraci analytique de l'une des lignes précédemment examinées, s ne représentent réellement aucune courhe. Cette appréion complémentaire estici d'autant plus intéressante, qu'elle ipra indiquer les anomalies relatives à toutes les autres équais algébriques, envers lesquelles nous n'avions pu nullent ébaucher auparavant un tel examen.

Invisageonsd'abordles équations paraboliques,ofi, ffl — Aac mutant, l'ordonnée est exprimée par la formule

t/ ^^^W^ + éa v'2(4rf-2ae)x + (d»+4a).

it que bd — iae n'est pas nul, il en résulte une parabole.

suivant notre discussion fondamentale. Les cas exceptionnels doivent donc s'y rapporter à Tannulation de cette seconde fonction des coefficients, d'où résulte, en effet, une formule du premier degré

qïd ne saurait jamais convenir à une courbe, et qui indiquera deux droites parallèles, ou une. seule droite, ou Tabsence totale de lieu géométrique, selon que la troisième constante composée rf* +4 a sera positive, nulle, ou négative. A ces trois cas singuliers, correspondent, pour Téquation primitive, les formes

qui sont directement caractéristiques, comme rappelant la décomposition spontanée du premier membre de Téquation en deux facteurs du premier degré, dont les termes variables coïncident, et dont les termes constants sont tantôt inégaux, tantfttégaux, ettantôtimaginaires. Tous les degrés comporteraient évidemment, par de semblables motifs analytiques, des exceptions analogues, sauf les modifications plus variées relatives au nombre des facteurs.

Dans les équations elliptiques, où 6' — 4 ac est négatif, nous avons discuté la formule

(bx-^d)

quand les deux racines auxiliaires x' et :r'* sont réelles et inégales, c'est-à-dire lorsque le polynôme

a {ae^ -\- cd^ — bde + Aac — ô*),

formé de l'ensemble des coefficients, est positif : c'est le cas normal de Tellipse. Supposons donc maintenant que cette condi-

GÉOMÉmiB PLANE.

. De soit pae remplie, et d'abord que ces deux constantes dément égales, en vertu de l'annulation de ce polynôme. On i alors

ËqnaUon ne comportera d'antre solution réelle que celle tive 11 a: B3 a;', qui fait disparaître le radical imaginaire : en e que le lieu géométrique se réduira au seul point

Zae — bd Icd—be

—^ ' "* é* — 4ac' ^ ^ i' — Àoc'

uivant les explications fondamentales placées au début de .raité, il serait plus exact de regarder l'équation comme ne vaut Être sufBsamment représentée, par suite du défaut de ilore des solutions imaginaires : car ce point unique pourra lleurs conserver la même position dans une inftnilé d'hypoles différentes sur les coefOcients, (11,6, c,(/,«, ainsi assujetlis lementà trois relations pour chaque situation donnée de ce tendulieu. En remontant àlacomposition correspondante de nation primitive, on y reconnaît la forme

borne directement les solutions réelles au seul point comn aux deux droites y 4-;).r +y = Oety -|-;)'x-j-y'=0. Lien de pareil ne saurait avoirlieudansancun degré impair, près la notion algébrique relative à l'existence nécessaire ne racine réelle en toute équation de degré impair à une le inconnue. Mais tous les degrés pairs comporteront des idents analogues, et avec plus de vuiété, d'aprfes le type éral

, manifestant l'impossibilité de détruire l'on par l'autre deux

groupes toujours positifs, indiquera, comme seules solutions réelles, les coordonnées communes aux deux lignes/ (or, ^)ssO et cp (a:, y) e» 0. Dans le second degré, où ces lignes doivent être droites, il n'en peut résulter qu'un point unique. En un degré plus élevé, où elles pourront devenir courbes, ces points isolés pourront se multiplier davantage, jusqu'à une limite toujours déterminée par le nombre des intersections possibles* Ainsi, par exemple, une équation du quatrième degré pourrait ne fournir géométriquement qu'un seul point, ou bien en donner deux^ trois et même quatre, suivant les relations des deux courbes / (a:, y) = 0, cp (^, y) = 0, alors du second degré, et pouvant offrir jusqu'à quatre points communs sans se confondre.

Nous pouvons ensuite supposer que, dans une équation elliptique, les constantes auxiliaires x' et x" soient imaginaires, c'est-à-dire que le polynôme a [aé^ + ^^^ — ^d^ + 1 ac — 6*), positif pour le cas normal, devienne négatif. En reprenant la formule

on sait, parla théorie algébrique des équations du second degré, que la fonction [x — x') (a:— x") reste alors constamment positive, quelle que puisse y être la valeur de x. Donc, b^ — A ac étant négatif, on voit que maintenant l'ordonnée sera toujours imaginaire; en sorte que l'équation n'aura plus aucun lieu géométrique, mais suivant un tout autre mode analytique que dans les équations paraboliques ci-dessus assujetties à la même anomalie. Ce cas, géométriquement exceptionnel, pourra être algébriquement aussi fréquent que le cas normal, en prenant des coefficients au hasard, puisqu'il n'exige entre eux aucune relation précise, et qu'U se distingue seulement par le sens, d'abord imprévu, d'une certaine inégalité. La composition cor-

respondante de Téquation primitive est nettement représentée par la formule

{y +px + qf + [y +p'^t + qy+ *«= o,

qui montre directement l'impossibilité d^aucune solution réelle, même en annulant les deux parties variables.

Toutes les équations de degré pair comporteraient évidemment une semblable anomalie géométrique, suivant le type

{f[^. y)y^+ (? (^, y))^ + {^ {X. y)^+ etc... + A>= o.'

Considérons enfin les cas singuliers propres aux équations hyperboliques, où 6' — A(ic est positif. D'aprèslamême formule,

nous avons reconnu l'hyperbole quand les constantes x' et x" sont réelles et inégales. Supposons-les maintenant égales, selon l'hypothèse a (ac* -{-ciP — bde+^ac — 6*)=»0. La formule devient, comme ci-dessus,

[bx + d] ,[x—x').. 7= T—

y ^—±-—-yt^-iac.

Mais le changement de signe de b^ ^ \ac y produit un effet géométrique très-différent, quoique pareillement singulier; car, l'ordonnée est alors, au contraire, toujours réelle; en sorte que l'équation admet encore un véritable lieu, à la fois continu et indéfini. L'anomalie consiste donc ici en ce que ce lieu, cessant d'être curviligne, se compose de deux droites, qui concourent nécessairement, au point dont l'abscisse esta:'. En remontant àTétat correspondant de l'équation primitive, on y reconnaît la forme

{y + px + qY -{x + p'y -f- qj^ 0,

qui indique aussitôt une décomposition exceptionnelle en deux

facteurs du premier degré, relatifs à deux droites non parallèles. Tous les autres degrés, pairs ou impairs, seraient évidemment susceptibles d'accidents analogues.

Si les constantes x' et x" deviennent imaginaires, en supposant négatifle polynôme a (atf*-)-ccP — bd€-\-Aac — ô'), il est aisé de reconnaître que ce cas n'est nullement singulier envers les équations hyperboliques, quoiqu'il ait dû Têtre pour les équations elliptiques. Car^rinvariabilité du signe de la fonction placée sous le radical de y constitue alors l'ordonnée en état constant de réalité, de manière à faire également naître une courbe indéfinie. On pourrait seulement craindre d'abord que ce lieu ne cessât ici d'être discontinu, puisque l'interruption horizontale, primitivement constatée entre x*=^x' eix ^^x'\ disparaît ainsi nécessairement. Mais il suffit de penser à la significationgéométriquedesconstanteso:' et x" pour reconnaître que cette diversité n'indique réellement aucune modification de forme, et ne tient qu'à un simple accident de situation. En effet, ces racines déterminant les intersections de la courbe avec le diamètre correspondant aux cordes verticales, leur imaginante actuelle montre que ce diamètre, et par conséquent ses parallèles trop rapprochées, cessent de rencontrer le lieu, dont la discontinuité se retrouve alors suivant les perpendiculaires à cette droite. Il n'existe donc géométriquement aucune différence effective entre ce cas et celui qui nous a servi de type fondaiAental. On voit que toute leur diversité consiste en ce que la courbe coupe ou ne coupe pas un certain diamètre. Gomme la forme générale de l'hyperbole indique évidemment que, du centre placé dans sa convexité, partent indifféremment des diamètres propres à rencontrer la courbe et d'autres qui ne sauraient l'atteindre, suivant les directions des cordes correspondantes, il est clair que cette distinction reste purement relative à la situation de l'hyperbole envers

Gf^^OMÉTRIE PLANE.

les axes actuels. Ainsi, ce troisième cas des équations hyperboliques n*est réellement pas plus singulier que le premier. Leur distinction est tellement insignifiante, qu'ils pourront aisément coexister, en comparant les deux modes de résolution de Téquation, où a: et y peuvent être alternativement dégagés. Car, dans la formule analogue.

^^Èy±Û±^y(b^^^ac){y-y)(y-y^'),

il est aisé de constater que le polynôme d'où dépend la réalité ou Timaginarité des nouvelles constantes auxiliaires y' et y" ne diffère de celui que nous avons considéré envers x' et a:" que par le changement du facteur monôme a en c, le facteur complexe n'éprouvant aucune modification : or, « et c pourraient ici être opposés de signe, en sorte que Timaginarité de Tundes couples coïnciderait avec la réalité de l'autre ; tandis que, si réquation était elliptique, ez et c auraient nécessairement le même signe, et ces deux hypothèses ne sauraient coexister, comme Texigeait d'avance leur incompatibilité géométrique.

En résumant l'ensemble de cette discussion complémentaire, on voit que, selon des caractères déterminés : i** les équations paraboliques comportent trois anomalies distinctes, où elles représentent deux droites parallèles, ou bien une seule droite, ou enfin n'admettent aucun lieu ; 2"^ les équations elliptiques offrent deux cas singuliers, suivant que le lieu s'y réduit à un point, ou disparaît totalement; 3^ enfin, les équations hyperboliques ne présentent qu'une seule exception géométrique, où le lieu dégénère en deux droites convergentes.

91. Il ne nous reste maintenant qu'à considérer les équations du second degré sous un dernier aspect général, en y étudiant les simplifications qui peuvent y résulter d'un heureux choix des axes rectangulaires. Nécessairement plus prononcées qu'en

tf'

TROISIÉICE PARTIE, CHAPITRE aNQUIÊMB.

aucun autre cas, comme je Tai indiqué, en principe, au n^ 30, ces réductionsconstituerontd'ailleurs la préparation immédiate de l'élaboration spéciale à laquelle doit être consacrée la quatrième partie de ce traité, envers les trois courbes que ce chapitre a caractérisées.

Pour mieux apprécier ces modifications analytiques, il faut les partager en deux classes : Tune, relative au déplacement des axes rectangulaires autour d'une même origine quelconque, est essentiellement commune à tous les cas ; l'autre, qui se rapporte au simple changement d'origine, produira des 'effets distincts selon que Téquation sera ou non parabolique.

La première simplification, qui est évidemment la plus importante^ comme affectant les termes du plus haut degré, doit surtout consister à séparer les variables. Outre que le terme où elles sont mêlées est ordinairement le plus gênant, il pourra disparaître sans queFéquation cesse de représenter indifféremmentles trois courbes, tandis que, si Fun des carrés manquait, b^ — 4ac étant dès lors toujours positif, Téquation ne pourrait jamais être qu'hyperbolique. Substituons donc, au lieu de X et y, dans Téquation générale

ay^ + bxy + ca:^ + ^y + ^^ =" li les formules

a: sa a;' cos X' — y' sin X', y = a:' sin X' + y* cos X',

afin de disposer de Fangle X' de manière à annuler le coefBcient total du terme en x' y\ Il en résulte la condition

2 (a — c) sin X' cos X' + * cos» X' — 6 sin« X' = 0,

ou, en introduisant la tangente,

tang» X'— 2 l^Lzi} tang X'— 1 = 0.

s -tri

Cette équation montre que la transformation sera toujours

>le, el que le eystème rectangulaire propre à y satisfaire nécesBairemeot unique, puisque les deux valeurs de K" conviendront évidemment à deux droites perpendicu-

enlre elles : il n'y aurait indétermination que dans le cas îpcle, où le double caractère A = 0, a = c, rendrait ition totalement identique, couformément aux exigences étriqués. Si, sans accomplir immédiatement cette réducon en voulaitseulement constater la possibilité constante,

pourrait parvenir, d'une manière moins directe, mais Mmmode, en introduisant d'abord l'angle 2X', à l'égard alla condition primitive donnerait aussitôt

tang 2X' = — ^, ° c—a

lie simple, el facile à retenir, qui d'ailleurs reproduirait lent celle de tangX', d'après la règle trigonométrique aire.

reste, la seule appréciation géométrique d'une telle 'ormation sucrait pour la représenter d'avance comme ble et déterminée. Car, quand les variables sont séparées, !UX diamètres immédiatement résultés de la résolution de ilioE par rapport à y ou à a;, et qui correspondent à des s parallèles aux coordonnées respectives, deviennent néiremenl parallèles aux axes opposés, el dès lors perpendies k leurs propres cordes. Ainsi, les axes rectangulaires plibles d'une telle propriété doivent Cire parallèles aux géométriques de la courbe, dont l'existence constante, au ) pour l'un d'eux, et la détermination unique, sauf envers cle, garanlissaient !t priori qu'il existerait toujours, aul'une origine quelconque, un seul système d'axes rectan- ■es susceptible de permettre la séparation des variables.

Toute équation du second degré étant ainsi constamment réductible à la forme

ay2 + cx^ -{- dy + ex t^ i,

considérons les simplifications ultérieures que pourra lui faire éprouver, envers les termes inférieurs, un changement convenable d'origine, sans altérer désormais la nouvelle direction des axes. 11 faut, à cet effet, distinguer deux cas, selon que Téquation est parabolique ou non parabolique, c'est-à-dire suivant que la courbe manque de centre ou en admet un. Dans le premier cas, le caractère invariable b^ — Aac=^0 indique d'abord que le terme en xy ne peut s'annuler sans queTun des carrés ne doive spontanément disparaître. Envers les nouveaux axes rectangulaires, Téquation est donc alors, par exemple,

Le déplacement d'origine n'y peut tendre qu'à supprimer le terme du premier degré en y et le terme constant, afin que les deux variables continuent à y coexister. On peut aisément vérifier, en exécutant cette facile opération analytique, qu'une telle réduction est, en effet, toujours possible, à moins que a ou e ne soit nul, ce qui n'aurait lieu que dans l'un des cas singuliers appréciés au n** précédent. L'interprétation géométrique indique clairement cette possibilité permanente : puisque la disparition du terme dy suppose qu'on a pris pour axe des abscisses l'axe géométrique de la parabole, et celle du terme constant que l'origine est placée sur la courbe ; en sorte que les deux conditions seront à la fois remplies en transportant l'origine à l'unique sommet que comporte alors le lieu. C'est ainsi que toute équation parabolique du second degré est finalement réductible à la forme

y2 ess mx.

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OÉOMÉTJUE PLANE.

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