TROISIÈME PARTIE, GHAnTRE CINQUIÈME

veapx axes demeuraient rectangulaires, ainsi que Texige ordinairement la simplification de Tétude géométrique, quoique cette obligation ôte la faculté d'enlever à Téquation un terme de plus. Hais, afin de compléter ici l'appréciation générale des réductions que comportent les équations du seconddegré d'après un choix convenable des axes coordonnés^ il faut examiner enfin les modifications plus profondes qu'y pourrait produire la double disponibilité de leurs directions, suivant les formules

j:ta=»x'cos X'+y'cosY', y=ar'sinX'+y'sinY',

qui permettraient d'annuler simultanément deux des trois termes du second degré. Ces termes ne sauraient être que les deux carrés ; sans quoi Téquation serait parabolique, auquel cas une telle réduction aurait déjà été mieux accomplie, avec des axes rectangulaires. Or, quand les deux carrés auront disparu, Téquation présentera nécessairement le caractère hyperbolique. Ainsi, une telle réduction est impossible pour Tellipse, dont Téquation ne peut jamais admettre moins de trois termes. Mais elle convient évidemment à Thyperbole, à cause de ses asymptotes. Car, en dirigeant Tun des axes coordonnés parallèlement à Tune d'elles, on sait que l'équation doit manquer du carré correspondant ; en sorte qu'on éliminera simultanément les deux carrés, en prenant, autour d^une origine quelconque, des axes parallèles aux deux asymptotes. Il est aisé de vérifier, en 'effet, par Texécution de la substitution indiquée, que les deux équations, d'ailleurs naturellement idenlicjues, qui détermineront les angles X' et Y' d'après cette double condition, assigneront à leurs tangentes des valeurs exactement égales à celles ci-dessus rapportées quant aux coefficients angulaires des asymptotes. Si, en outre, on place l'origine au centre, l'équation de l'hyperbole sera finalement réductible à la forme

annonçant aussitôt une courbe asymptotique aux deux as^es, qui ne seraient rectangulaires qu'autant qu'on aurait en d'abord c sa — a. Quoique leur obliquité ordinaire doive s'opposer à remploi habituel d'une telle équation, il n'en est pas moins très*remarquable que l'hyperbole soit susceptible, comme la parabole, mais suivant im tout autre mode analytique ou géométrique, d'une équation simplement binôme, tandis que l'équation de l'ellipse doit toujours être au moins trinôme. Cette différence nécessaire, ipiparfaitement appréciée jusqu'ici, conduira peut-être un jour, dans la constitution rationnelle de la géométrie comparée, à rapporter l'elUpse et l'hyperbole à des familles de courbes vraiment distinctes, malgré la grande analogie que vont nous offrir, à beaucoup d'égards, leurs propriétés respectives.