CHAPITRE PREMIER

Théorie des foyers et des directrices.

93. Avant de procéder directement à Tétude spéciale de chacune des trois courbes du second degré, il faut établir, sous un aspect commun, la seule théorie nouvelle que nous n'ayons pas encore traitée, et qui, étant réellement particulière à ces lignes, ne devait point, en effet, figurer parmi les théories vraiment générales auxquelles était consacrée la seconde partie de cet ouvi'age. Quand ce préambule immédiat sera convenablement construit, l'appréciation successive des principales propriétés de la parabole, de l'ellipse, et de l'hyperbole n'exigera plus qu'une simple application judicieuse d'un ensemble de méthodes pleinement élaboré.

302 GÉOMÉTRtE PLANE.

On ignore essentiellement quelle fût, dans l'étude originale des sections coniques, la véritable source des notions relatives aux foyers, qui durent constituer historiquement Tune des plus anciennes découvertes sur ce sujet et la base delà plupart des autres. La refonte analytique de cette étude a fait sentir aux géomètres modernes le besoin d'un point de vue commun propre à lier entre elles les idées, jusqu'alors trop diverses, que présentaient, à cet égard, la parabole d'une part, l'ellipse et l'hyperbole de l'autre. Telle est la principale destination de la définition, d'abord purement algébrique, qu'on applique maintenant au foyer d'une ligne du second degré, en appelant ainsi un point dont la distance à un point quelconque de la courbe est une fonction rationnelle des coordonnées variables de celuici (*). Mais, quoique cet artifice puisse immédiatement suffire pour procéder uniformément à la détermination des foyers dans les trois courbes, il ne saurait remplir assez les conditions essentielles d'une véritable définition, si, suivant un usage trop ordinaire, on ne s'attachait pas à faire convenablement ressortir l'interprétation géométrique de ce caractère analytique. Gomme cette corelation générale constitue le nœud principal de toute la théorie des foyers, il importe ici de l'établir soigneusement.

Quand la formule \/ (y — ^Y -h (jx: — a)2, exprimant la distance du foyer cherché à un point quelconque du lieu, sera devenue une fonction rationnelle des coordonnées variables, cette fonction ne pourra être que du premier degré, envers

(*) Cette définition est souvent altérée par une restriction vicieuse, consistant à imposer cette obligation de rationalité envers Tune des coordonnées seulement; ce qui ne convient, comme on le verra ci-dessous« qu'à certaines équations du second degré : la distance ne peut ôtrc généraiement rationnelle qu'en fonction des deux coordonnées à la fois.

une courbe du second, sous la forme px+qy+r. Or, une telle expres^on peut toujours être envisagée géométriquement comme représentant un multiple déterminé de la distance du point variable à une certaine droite Qxe j/^==hx+k. Car, cette distance serait exprimée, d'après la règle du n^ 29, par la

fonction > qui, multipliée par une constante m,

deviendrait exactement identique à la précédente, en prenant

en sorte que l'équation de la droite ainsi introduite, étant dès lorspa7+yy+r=0, se formerait en annulant l'expression rationnelle de la distance au foyer. D'après l'indispensable introduction d'une telle droite, ordinairement nommée dtm/rtc^, la dféflnition primitive du foyer devient vraiment géométrique, et consiste à concevoir toute courbe du second degré comme le lieu d'un point dont les distances variables à un point fixe et à une droite fixe demeurent constamment proportionnelles. Réciproquementr cette notion géométrique reproduit aussitôt le caractère analytique primordial, puisque cette proportionnalité indique évidemment que la première de ces deux distances est aussi rationnellement exprimable que la seconde.

Une telle explication fondamentale réduit la détermination générale des foyers et des directrices dans les courbes du second degré à mettre l'équation du lieu sous la forme

V (a:— a)«+(y— 6)« = px + qt/ + r, qui résulte immédiatement de cette définition, désormais à la fois analytique et géométrique. Or, cette transformation n'offre aucune difficulté en la concevant en sens inverse, c'està'dire, en ramenant ce nouvel état de l'équation au mode ordinaire

ay^+bxy+cx^+dy+ex'Bai^

GËOHËTtUB nAKC.

eonant les cinq coodilions de colocideoce

2 [6 + qr) i(^ + py)

détermineront snrSsamment les cinq constantes inconnues p, g, r, relatives au foyer et à la directrice, ainsi qn'aa lorl \^ p'+ y', qui spécifie la courbe proposée. La distincprimordiale entre les trois courbes du second degré o&e »ympt6mes équivalents dans les deux formes de l'équation ; lecoerCcientcomposéi' — 4acéquivauticià4 (;)' + ?*— 1); orle que le lieu sera parabolique, elliptique, ou hyperque, selon que le rapport spécifique \/p*+ q' sera égal, rieur,ou supérieur à l'unité, conformëmentàladiscussion de et spéciale du n* 23.

i. Outre ce mode nalureldc la double théorie des foyers et directrices, il importe d'en concevoir un second, qui, ique moins propre ordinairement à l'usage effectif, offrira e grand avantage logique de familiariser déjà le lecteur avec des plus puissanisartifices généraux de l'analyse mathémale, communément réservé jusqu'à présent aux plus hautes lulations géométriques et surtout mécaniques, sous le nom iModedexmuUiplieateurs, essentiellement due à Lagrange. n considérant analvLiquement la question proposée comme Bistant i. rendre un carré parfait la fonction

irÈs la relation que l'équation primitive

ay'+bxy+cx'' + d}/+€x — 4<=0 )lit entre le» deux variables, la principale difficulté provient e qu'on ne saurait avoir ordinairement égard à cette liaison

parla simple substitution de y en rc ou x eny ; puisque la condition proposée ne peut être remplie, en général, qu'autant que la formule de distance continue à renfermer simultanément les deux variables, ainsi que j'^iurai lieu d'ailleurs de l'expliquer spécialement ci-après. Cependant, une telle substitution semble d'abord le seul moyen de prendre en suffisante considération la subordination fondamentale de ces variables. Dans cette perplexité, il devient indispensable de généraliser, à cet égard, les conceptions habituelles, en s'élevant à la notion du mode analytique le plus étendu que puisse comporter l'appréciation d'une semblable dépendance. Il consiste ici à ajouter à la fonction {x — a)^4-(y — 6)a, qui doit devenir un carré parfait, en prenant convenablemeut a et 6, un multiple indéterminé de celle qui doit être nulle en vertu de la liaison des deux variables, et à traiter ensuite celles-ci comme si elles étaient pleinement indépendantes, de manière à convertir la question proposée en ce simple problème d'algèbre : rendre un carré parfait le polynôme à deux indéterminées

f x — a)2 -h (y — 6)2 + k {at/* + bxy+ cœ^ + dt/ + ex -- 1),

d'après certaines valeurs des constantes a, S et A. Cette recherche algébrique pourrait s'opérer de plusieurs manières, comme dans le cas analogue très-connu envers un polynôme en X seul. Mais,, au lieu de procéder par l'extraction de la racine, il est préférable d'employer, surtout ici, la méthode des indéterminées de Descartes, en assimilant le polynôme proposé à un carré artificiel (jox-|-?y+'')2. Or, si l'on développe les six conditions ordinaires d'une telle coïncidence, on sentira aisément que, en y éliminant d'abord le multiple auxiliaire A:, géométriquement superflu, on retombe nécessairement sur les cinq relations directement établies au n"" précédent pour la détermination des constantes a, 6, et p, q, r. Ainsi, ce se-

GÂOKÊTBIB FUITE.

d mode équivaut fioalement «u premier, sauf un nouveau :uit analytique, étranger à la recherche géomélnque. Quoique, par ce motif, celte marche ne doive pas être ici ployée babitueliement, j'att^icbe beaucoup de prix k l'occa- 1 qu elle m'offre de caractériser, en un cas élémentaire suRiiment important, le grand artifice d'analyse qui lui sert de e. Cetarlifice,quin'ajamais été conçu directement jusqu'ici s son entière généralité, conâste à ramener, en tout prône analytique, le cas de la dépendance des variables à celui lenr indépendance, en ajoutant, à la fonction qui consUtne ujet de la condition proposée, un multiple indéterminé de e qui doit s'annuler d'après la liaison des variables considéi. D'abord introduite parEuIer danslaplus hante théorie des :imaelmmii?ui,cetteconceptiongénéraleesten5uitedevenue, r Lagrange, l'un des plus précieux moyens de la mécanique ly tique. Son légitime usage reposera parlout,comme ci-des- , sur ce qu'une teUeadjouclion, qui alorsn'altère pas l'étatâe inction proposée, confond en un seul mode toutes les ma- '68 possibles d'avoir égard à la relation donnée, et permet, lonséquence^ de traiter désormùs les variables comme inendantes.

â. Après avoir établi, sous l'une ou l'autre forme généi, la théorie fondamentale des foyers et des directrices, il , la concevoir, en sens inverse, comme propre h formuler le condition géométrique relative soit an foyer, soit à ladirice,soità leur relation mutuelle :ce qui lèvera d'avance, ers les courbes du second degré, les dinicultés essentielles peuvent offrir les problèmes quelconques où l'on introduit Lelles conditions.

1 la courbe doit avoir un foyer donné, on supposera cons les coDstantes «et € dans les cinq équalions délermioantes l'dS, où réliminaUondep, q, r conduiradËBlorsauxdenx*

relations cherchées entre les coefficients a, 6, c, rf, é», communes à toutes les courbes de même foyer, et propres à déterminer chacune d'elles conjointement avecd*autres prescriptions quelconques. Mais, au lieu de formuler distinctement ces conditions, on n'aura souvent besoin que du type analytique qui leur correspond pour l'équation du lieu, ainsi réduite à ne contenir que trois constantes arbitraires. Or, ce type pourrait être directement formé, sans ce long calcul, d'après l'équation fondamentale

{X - «)«+ (y - 6)»= {px + q^y + r)^

relative à la propriété focale des courbes du second degré, et où il suffirait alors d'attribuer les valeurs convenables aux coordonnées a et. S du foyer^ en concevant indéterminées les autres constantes jd, g, r, propres à la directrice et au rapport spécifique.

Quand la courbe aura une directrice donnée y = Aa: -|- A, on joindra, aux cinq formules du n'^OS, les conditions — — = h ,

== A:, et l'élimination des cinq constantes a, 6, p, y, r,

fera découvrir les deux relations correspondantes entre les coefBcients de l'équation proposée. Si on veut directement constituer celle-ci d'après cette obligation géométrique, elle sera naturellement

[X — a)^+ (y — 6)«= m^y'-hx'- kf,

en supposant indéterminées les trois constantes a, S, m, relatives au foyer et au rapport spécifique.

Lorsque, au lieu d'être entièrement donné, le foyer devra seulement appartenir à une ligne connue / («, y)=0, il suffira de joindre aux cinq égalités fondamentales la condition correspondante /(a, 6)=0, pour que l'élimination des cinq con-

slantes a^ 6,p, g^r^ permette d'obtenir la relation convenable entre a, b,c, rf, e. Dans le second mode de solution, on emploierait la liaison proposée entre a et ê à rapporter l'une de ces constantes à l'autre ; ce qui permettrait de restreindre suffisamment l'équation focale, de manière à n'embrasser que les courbes susceptibles d un tel accident.

Pareillement, si la directrice jDrc+yy+r=0, sans être totalement donnée, devait toucher une certaine courbe, ou remplir telle autre condition équivalente, aboutissant à une relation spéciale entre/), q, r, cette nouvelle égalité rendrait possible rélimination des cinq constantes ordinaires,de manière à manifester laliaison correspondante descoefficientsprimitifs. Sous la seconde forme, une telle égalité permettrait de rapporter Tune des constantes p, y, r, aux deux autres, de manière à restreindre convenablement Téquation fondamentale.

On procéderait de môme envers des conditions qui, au lieu de se rapporter isolément au foyer ou à la directrice, concerneraient leur disposition mutuelle. Quelle que fût la prescription géométrique, aussitôt qu'elle serait directement formulée entre les constantes relatives au foyer et à la directrice, elle pourrait être ainsi convertie, soit en une liaison équivalente des coefficients primitifs, soit en une restriction correspondante du type focal. Il est superflu d'avertir que, si les axes sont disponibles, leur choix judicieux poiura faciliter beaucoup l'accomplissement de ces diverses opérations analytiques.

Au sujet de ces questions composées, qui comportent une grande variété, je crois devoir seulement m'arrôter ici à une mention spéciale envers celles qui concernent les conditions de similitude ou d'égalité des courbes du second degré. Suivant nos principes généraux, la définition focale indique évidemment que deux courbes de ce genre ne seront semblables qu'autant que le rapport constant V^ JD^+?* Y ^^^^ ^^ même valeur ;

Bt c'est pourquoi je le qualifie hal)ituelleinent de spécifique. L'égalité des deux courbes exigera, en outre, la coïncidence des distances respectives du foyer à la directrice, représentées par

Oa -4- Q^ H- T

la formule "^ ■ — . D'après cela, si on voulait formuler

la similitude des deux courbes

ay^ + bocy + car* + rfy + ^x = 1 a'y^^ Vxy-^r c'ar»+ d'y+ e'x— 1,

il faudrait identifier les deux expressions correspondantes de P^ + ?^» préalablement déduites des cinq relations du n« 93, et on devrait ainsi reproduire la condition que nous avons déjà obtenue, au dernier chapitre de la troisième partie, par une voie beaucoup plus simple. Quant à Tégalité des deux courbes, il faudrait d'ailleurs exprimer aussi Tidentité des deux valeurs

Da -f- û'ê 4- r

correspondantes de la formule — ; et on retrouverait,

Vp'+q^

mais plus péniblement, les deux relations que fournirait directement la méthode générale pour la superposition analytique des courbes quelconques, d'après la coïncidence de leurs équations par une transposition d'axes convenable. En l'un ou l'autre cas, cette méthode spéciale conviendrait mieux sous sa seconde forme, par une juste restriction immédiate de l'équa-

tionfocale. Car, en posant \/p'+y3=n,et^ ' ±--111-. = m^ on formerait aussitôt l'équation

relative aux courbes semblables; ou envers les courbes égales, l'équation plus particulière

(a:— a)a+(y-6)a=(a:V/ n^—q'^+qy+imn- a V/ n^—q^- gé))\ 96. Pour compléter suffisamment la théorie des foyers et des

directrices, il reste à y apprécier une méthode subsidiaire, 'qui résulte spontanément d'une judicieuse modification de la méthode fondamentale envers certaines équations du second degré, d'autant plus importantes à considérer ici séparément qu'elles comprennent les cas usuels auxquels nous devrons spécialement appliquer une telle théorie dans les chapitres suivants.

En considérant l'équation focale

on voit que le terme en xy s'y trouvera communément taht que p et g ne seront pas nuls, c'est-à-dire, géométriquement quand la directrice ne sera parallèle à aucun des axes coordonnés. C'est pourquoi la distance au foyer ne peuC être généralement rationnelle qu'envers les deux variables à la fois, comme je l'ai ci-dessus annoncé afin de prévenir yne vicieuse routine. Mais, pour toute équation du second degré où les variables sont séparées, on voit ainsi que la directrice est toujours perpendiculaire à l'un des axes géométriques de la courbe, conformément à la discussion directe du no 23, et la distance de* vient rationnelle en fonction d'une seule coordonnée. D'après cela, on pourra procéder alors plus simplement à la détermination du foyer, et ensuite de la directrice, en ayant égard à l'équation de la courbe par la substitution naturelle àe yen x ou X en y dans la formule

qu'il s'agira finalement de rendre un carré parfait, quand on l'aura convenablement développée par rapport à l'unique variable conservée. Or, cette question algébrique ne saurait offrir aucune difficulté essentielle, ni exiger aucun calcul pénible.La fonction ainsi formée sera d'abord irrationnelle ordinairement :

QUATRIÈHE PARTIE, GHAnTRE DEUXIÈME. 311

il faudra donc y détruire préalablement un tel obstacle analytique, ce qui tendra à déterminer Tune des deux constantes a, S ; l'autre se déterminera ensuite d'après la condition élémentaire pour les carrés trinômes.

Cette méthode subsidiaire, dont nous ferons naturellement un grand usage, n'a d'autre inconvénientpropre que l'incertitude primitive sur le vrai sens de la directrice, que l'on sait seulement devoir être alors parallèle à l'un des deux axes coordonnés . Il en résulte algébriquement l'obligation d'exécuter alternativement les deux substitutions de y en â: et de a: en y, qui doivent d'abord sembler indifférentes, et. dont une seule pourtant convient à la solution actuelle^ laquelle pourrait donc échapper à l'adoption arbitraire d'une substitution unique. Mais, malgré cette double opération algébrique, une telle méthode n'en constituera pas moins habituellement, envers les cas qui s'y rapportent, une utile simplification de la marche générale.