CHAPITRE IL

Théorie de la parabole.

97. L'équation y' = mXj la plus simple de toutes celles dont la parabole soit susceptible, est d'abord très-propre à donner une idée fort nette de la forme générale de^^ette ligne. Sa discussion directe montre que la courbe, symétrique autour de Taxe des a:, s'étend indéfiniment dans le sens des abscisses de même signe que la constante m, que nous supposerons habituellement positive, sans jamais pénétrer de l'autre côté de

'•'J-iïtFT???..

p ^: Taxe des*y, et en s'écartant de plus en plus des deux axes à la

•^ .: fois, mais moins rapidement du premier que du second.Ontre

que le degré indique déjà suffisamment la direction effective de

fît

la courbure, le coefficient angulaire de la tangente, tanga = — • ,

constate évidemment que la parabole est toujours concave vers son axe, auquel elle tend graduellement à devenir parallèle, quoiqu'elle n'y parvienne jamais exactement ; en sorte que ses deux branches divergent de moins en moins entre elles tout en s'écartant de plus en plus, et seraient parallèles à Tinfini. Cette tendance continue, et Tabsence correspondante d'asymptotes rectilignes, doivent empêcher de jamais confondre, même à Toeil, l'aspect d'une parabole avec celui d'une demi-hyperbole, quelque grossier que soit leur tracé respectif : la courbure totale est, par suite, plus prononcée dans la première figure que dans la seconde, puisque l'ensemble de son cours y fait varier davantage la direction de la tangente.

Si l'on voulait ainsi construire réellement les divers points du lieu, il suffirait de combiner avec chaque abscisse une ordonnée égale à la moyenne proportionnelle entre cette abscisse variable et la longueur constante m, qui caractérise individuellement chaque parabole, et qui, à ce titre, est spécialement qualifiée de paramètre. Réciproquement, on peut obtenir, sur une parabole déjà tracée, la grandeur effective de son paramètre, presque aussi facilement qu'on trouve graphiquement le rayon d'un cercle, en le concevant, d'après l'équation fondamentale y* = mx^ comme la distance à Taxe de l'extrémité de la corde menée du sommet sous un angle de 45**. Tout autre point du lieu déterminerait également cette constante,

suivant la loi w= — ; mais celui-ci offre l'avantage d'une construction beaucoup plus simple, qui mérite de devenir

amilière, pour que Timage du paramètre ne se sépare jamais de celle de la courbe.

Enfin, la parabole étant, après le cercle, la plus simple de toutes les courbes, il convient de remarquer, au sujet de cette équation, le mode facile d'après lequel on pourrait déduire Tune de Tautre, en se rappelant que les longueurs des diverses cordes circulaires menées d'un même point sont liées k leurs projections sûr le diamètre correspondant de la même manière que les ordonnéesparaboliquesdépendent de leurs abscisses. Si donc on prolongeait les ordonnées NP d'un cercle relativement à un diamètre quelconque OCA (fig. 70) de manière à les rendre égales aux cordes correspondantes ON, les points M ainsi obtenus formeraient une parabole, dont le paramètre serait égal au diamètre du cercle, et qu'un tel tracé étendrait seulement jusqu'au point D, qui, suivant l'indication précédente, sert à marquer commodément le paramètre. On conçoit d'ailleurs qu'une telle relation de la parabole au cercle, pleinement conforme à la commune absence de condition de similitude, ne contredit pas réellement notre notion sur le nombre de points déterminant ; puisque la position de la parabole doit alors exiger une constante de plus que celle du cercle, afin de fixer le point d'où procède cette construction.

98. Après cette interprétation directe de l'équation simplifiée de la parabole, considérons successivement les diverses propriétés caractéristiques qui, suivant nos méthodes générales, en constituent des conséquences plus lointaines, en commençant par les propriétés focales.

Les variables se trouvant séparées dans l'équation y^ssmo:, il faut y appliquer la méthode subsidiaire expliquée & la fin du chapitre précédent, pour déterminer le foyer par substitution de y en a; ou, réciproquement, dans la fonction {x — a)*

+ (y—^)* ou

qui doit ainsi devenir un carré parfait. Par la première substitution, on a

ce qui montre d'abord que le foyer doit être sur Taxe, afin que (P soit' rationnel par Tannulation de 6. Cela posé, la fonction devient a:*+(m — ia)x-]-ofl ; et, en y appliquant la condition

connue pour les trinômes carrés, on trouve a =a - m. Il existe

donc, en effet, sur l'axe de la parabole, un unique foyer, à une distance du sommet égale au quart du paramètre. Sa

distance rationnelle à un point quelconque de la courbe devient

ainsi rf «a jî + -m; et^ en l'annulant, on voit que la direc-

trice est une perpendiculaire à Taxe, pareillement éloignée du

sommet, mais en sens inverse : le rapport spécifique \/jp*+ y* est ici évidemment égal à Tunité. Tel est le mode pleinement naturel suivant lequel, la notion générale de foyer une fois admise, l'analyse fait graduellement ressortir de l'équation des courbes du second degré limitées d'un côté et illimitées de l'autre leur conception géométrique comme engendrées par un point toujours équidistant d'un point fixe et d'une droite fixe.

Si, au contraire, on substituait x en y, on ne pourrait que confirmer, sous une autre forme, les résultats précédents. On aurait alors, en effet.

Quoique cette fonction soit spontanément rationnelle, la condition préalable € s» 0 n'y est pas moins indispensable pour qu'elle puisse devenir carrée : car, sa racine devant être du

second degré, doit d'aillears manquer du terme du premier degré, puisque le polynôme lui-même n'en contient pas du troisième. D'après cette première détermination, la fonction se

réduit au trinôme ^ + ( i — 2 — |.y> -|- a^, qui, en achevant

Topération, reproduira, aussi clairement que ci-dessus^ la

condition a =» - ?n. Ce second mode algébrique de la méthode

auxiliaire des foyers n'aboutit donc, comme on devait le prévoir, qu'au retour du premier résultat, sous une forme d'ailleurs peu convenable, puisque la fonction cf, étant alors du second degré, ne comporterait plus directement l'interprétation géométrique qui constitue la principale base d'une telle théorie.

Pour se mieux familiariser avec la position du foyer, et par suite de la directrice, il faut remarquer que son abscisse convient à une ordonnée parabolique qui en est le double, et d'ailleurs égale au demi-paramètre. De là résultent de nouvelles manières d'envisager le paramètre d'une parabole, soit comme la corde perpendiculaire à l'axe menée du foyer, soit comme la^double distance du foyer à la directrice.

Il serait superflu d'insister ici sur les facilités évidentes que procure la propriété focale de la parabole pour décrire cette courbe par points ou par un mouvement continu.

99. Parmi les nombreux problèmes relatifs à la détermination de la parabole d'après des conditions propres au foyer ou à la directrice, et dont la solution analytique ne saurait maintenant offrir aucune difGculté essentielle aulecteursufBsamment imbu de nos principes généraux, je me bornerai à considérer spécialement, soit à titre d'exemple caractéristique, soit à raison de son utilité réelle, celui où l'on donne, avec deux points de la courbe, son foyer ou sa directrice.

s 6É0MÉIBIE PLANE.

Dsns le premier cas, cette question de géométrie abstraite «porte une précieuse destination astronomique, pour dél«r^ ner le cours d'une comète d'après deux positions observées, adoptant l'heureuse approximation parabolique spécialeiiit appliquée par Newton à la seule partie de l'orbile qui isse être habituellement visible. Supposons donc qu'il s'agisse faire passer en deux points donnés une parabole ayant un 'er donné, qui, en une telle application céleste, serait le eil. La propriété focale fera trouver aisément une solution iphique, consistant àconstruire d'abord la directrice, comme igenle commune aux deux cercles qui, ayant leurs centres ipectifs en ces deux points, se couperaient à ce foyer : cette )ite une fois trouvée,l'axe,le sommet, et le paramètre delà rahole en résulteront sang difQculté. On obtiendra ainsi deux raboles, ordinairement très-différentes de position et même grandeur,entreleBquelles lesindications astronomiques diseraient facilement toute indécision. Cette construction in- |ue d'ailleurs, conformément k la nature du problème, que jnestionnesaurait offrir d'autres cas d'impossibilité que ceux i tiendraient h la coïncidence de l'un des points donnés avec foyer ou à la situation des deux points en ligne droite avec le rer et du même cdté.

La solution analytique ne peut présenter aucun embarras, isqu'elle se rapporte à des conditions déjà spécialement forilées.Si les axes sontdispoaibles, on la simplifiera beaucoup plaçant leur origine au foyer donné, et dirigeant l'un d'eux rs l'un des points donnés. On aura alors l'équation

lecaractère parabolique donne d'abord la relation p*+ j*=l. [ant aux deux autres conditions propres à déterminer les astaotes inconnues p, g, r, elles seront, d'après les deux pasfes,

Comme les premiers membres de ces équations, relatifs aux distances u' ett^" de ces points au foyer, sont entièrement connus, on pourra ramener ces deux équations au premier degré,

sous la forme

px* + qy'-\- T^=^u'

et dès lors ony rapporterafacilement p et ^ à r, qui se déterminera finalement par une équation du second degré, résultée de la condition primordiale p* + jr» b= i.

A Toccasion de ce problème, je crois devoir établir sommairement une importante notion de philosophie mathématique, jusqu'ici très-confuse, sur la nature des divers sympU^mes analytiques de l'impossibilité, qu'une aveugle routine algébrique conduit trop souvent à croire indistinctementannoncée par l'imaginarité des inconnues, quoique le mode doive nécessairement varier suivant les cas. D'après Tharmonie fondamentale qui doit toujours régner, en mathématique, entre les appréciations concrètes et les indications abstraites, on peut constamment prévoir de quelle manière l'impossibilité devra être analytiquement manifestée, suivant une judicieuse discussion spéciale, destinée à discerner si les conditions quilà caractérisent sont vagues ou précises; c'est-à-dire, en d'autres termes, si elles correspondent à une simple inégalité ou aune véritable relation d'égalité. L'analyse conduira nécessairement, dans le premier cas, à des valeurs imaginaires, à moinsque les valeurs négatives ne fussent pareillementinadmissibles, ce qui arrive rarement en géométrie. Quant au second cas, le symptôme analytique devra changer de nature, et consistera en certaines valeurs réelles spécialement exclues du sujet; le plus souvent

8 OÉOHÊTRIE PLANE.

tteezclnsion déterminée, se bornera aux valeurs nulles ou Snies. Tel est le principe philosophi^e quidoittoujours doinerla discussion effectivedessolntionsanalyliqnes relatives on ordre quelconquede recherches concrètes. En l'appliquant à la question actuelle, on reconnaît aussitôt le tous les cas d'impossibilité y sont dénature prédse, et que, T conséquent, leur indication algébrique doit résulter de vaurs réelles inadmissibles. Si l'inconnue principale est r, qui isigne géométriquement la distance dufoyerà la directrice, il yaurad'exclusion que pour les valeursO et oo .C'est donc par ined'elles quel'imposBÎbilitésera toujours annoncée,et jamais après rimaginarité, quoique l'équation en r soit du second !gré. L'examen de la solution graphique montre d'ailleurs le cette indication résultera ici de valeurs nulles, et non de leurs in&uies. J'engage le lecteur à confirmer algéhriqueent une telle prévision rationnelle.

Relativement à, ce premier problème, il convient de remai^ ler, mais uniquement pour l'application astronomique, l'ne simplification que recevrait la solution analytique, si l'on y Q ployait l'équation polaire de la parabole autour du foyer, ablie au n'SS, et qui dispenserait spontanément de formuler conditionlaplusdifQcile. Avec les notations actuelles, cette Tiatioa serait

1 — COS {f + «)'

lia modifiant, suivant l'esprit de la question, de manière à riger arbitrairement l'axe polaire. Le passage de la courbe IX deux pointsdonnés fournira aisémentla détermination des iux constantes, linéaire et angulaire, propres à ce type analy- ]ue, etqui fixent, runelagrandeur.l'autre la direction, de parabole cherchée. En conduisant l'axe polaire vers l'un de & points, on aurait ainsi les deux relations