QUATRIÈME PARTIE, CHAPITRE DEUXIÈME. 319 M ■= : = — r-r- — r, U

1 — cos ((p' + a)' 1 — COS «*

d*où, en éliminant m, on conclura, pour l'angle a, Téquation

irigonométrique

i — cos a w"

1 — COS((p'+«) u'

dont la résolution se simplifiera beaucoup en introduisant les demi-angles, et fera connaître la double inclinaison de Taxe de la parabole sur un tel axe polaire.

Supposons maintenant que le foyer donné soit remplacé par la directrice; la solution graphique se renversera facilement, en construisant le foyer d'après l'intersection des cercles déjà considérés, et dont les rayons seront alors les distances des deux points à la directrice donnée. Il en résultera encore deux paraboles inégales, quoique parallèles. Quant aux cas d'impossibilité, ils y consisteraient d'abord dans le passage de la directrice à l'un des points donnés, ou dans sa perpendicularité à la droite qui les joint ; mais, outre ces hypothèses relatives à des conditions précises, la question comportera d'autres exceptions, de nature vague, lorsque, par exemple, la directrice tombera entre ces deux points, ou, en général, si ceux-ci sont trop écartés.

La solution analytique sera très-simple, si la disponibilité des axes permet de prendre la directrice donnée pour l'un d'eux, en dirigeant l'autre vers l'un des points donnés. Dans cette hypothèse, l'équation focale devient

etles deux passages y déterminerontaisément les coordonnées inconnues du foyer d'après les relations

a« + 6» — ^ax'— 26y ' + y'»= 0, a^+ 6»— 26y" + y"»= 0 ;

dont la soustraction fournirait une équation du premier degré

en a et 6, de manière à conduire promptement li une équation finale du second degré en a, par exemple, distance du foyer à la directrice. La première classe de cas dlmpossibilité s'y an* noncerait naturellement par des valeurs nulles, et la seconde parTimaginarité.

En supprimant Tun des deux points donnés, chacun des deux problèmes précédents deviendraitindéterminé,toutefoissuivant la juste mesure qui comporte la recherche des lieux géométriques ; en assignant, non des positionsflxes, mais d'invariables trajets, aux divers points inhérents à la parabole. Le lecteur pourra donc, à ce sujet, s'exercer à découvrir des l^eux plus ou moins remarquables, surtout ceux du sommet, ou du point paramétrique.

100. Considérons maintenant les propriétés de la parabole quant aux tangentes. En un point quelconque {x\ y*) de la courbe y^c=» mx^ la tangente aura pour équation, suivant la théorie générale.

Pour en déduire sa construction, il suffit d'y chercher, en faisant y = 0, Tabscisse du point où elle rencontre Taxe, et on trouve ar = — x'\ en sorte que ce point T (fig, 71), et le pied P de Fordonnée sont toujours équidistants du sommet. On énonce communément ce résultat en disant que, dans la parabole, IdiSouS'tangente TP est constamment double de Tabscisse du point de contact. Hais la forme la plus remarquablé^ sous laquelle il puisse être présenté, consiste à reconnaître que la sous-normale PN est toujours égale à la moitié du paramètre : car, en toute courbe, le triangle rectangle TMN montre que l'ordonnée est moyenne proportionnelle entre la sous-normale

et la sous-tangente, d'où PN «= ^ ; or ici TP = 2a?', donc

NP = ~-, =a — . De là résulte, en sens inverse, une nouvelle

manière d'envisager le paramètre de la parabole, ainsi rattaché à une tangente quelconque, comme double de la sous-normale.

Au sujet de ce théorème, il convient de remarquer une conséquence spéciale, relative àla première ébauche spontanée d*une importante notion géométrique, que Tanalyse transcendante peut seule d'ailleurs convenablement établir. En considérant une normale de plus en plus voisine de Taxe de la parabole, on voit ainsi que le point N où elle le coupe, quoique se rapprochant toujours du sommet, a pour limite le point G, deux fois plus éloigné que le foyer F ; cette extrême position deviendrait donc ici le centre du cercle qui, suivant Tindication générale du n^^ 44, aurait en 0 le plus intime contact avec la courbe. Sous un autre aspect, le chemin normal dirigé suivant Taxe, à partir d'un point situé dans la concavité de la parabole, serait un minimum ou un maximum selon que ce point de départ se trouverait avant ou après cette limite G.

Le théorème fondamental que nous venons de remarquer, sous diverses formes, pour la tangente à la parabole, acquiert une nouvelle importance géométrique quand on le combine avec la propriété focale. Car, cette relation OT<=OP, donne aussitôt

FT ou OT -j- - m = FM ou a:' + - m : donc les angles opposés

FMT et MTF sont constamment égaux. Ainsi, la tangente à la parabole est la bissectrice de Tanglé formé par les deux droites menées du point de contact, Tune au foyer, l'autre perpendiculairement à la directrice. En remarquant d'ailleurs que ces deux droites MF et MQ sont constamment égales, il s'ensuit que la tangente est toujours perpendiculaire sur le milieu de la droite FQ, qui joint le foyer à la projection du point de contact sur la directrice : ce milieu devant sans cesse tomber

on voit attsù,comme noarelle fonne delà m£me reUtîoa, « projections du foyer sur les diverses tangentes forment gne droite, qui est la tangente au sommet, rsiquement envisagée, d'après la loi générale de la rén de la lumière ou de la chaleur, cette importante pro- : géométrique explique directemeotl'idéede concentraUon fique que n^pelle spontanément le nom de foyer. Car, 'ayon de lumière on de chaleur qui tomberait sur la pai, parallèlement à son axe, devrait ainsi se réfléchir touvers le foyer, pour maintenir l'égalité nécessaire entre igles de réflexion et d'incidence formés avec la tangente. L parabole, celte propriété s'étendndt évidemment an ololde résulté de sa rotation autour de son axe : en sorte tel miroir est propre à concentrer en un point unique ileur que reçoit sa concavité totale dans une même ion, sauf l'inévitable a&iblissement qu'occasionne tonte ion. En sens inverse, nn semblable réflecteur est souvent tyé, surtout pour les phares, à rendre parallèles tous les s qai divergent d'un même point; Ils peuvent d'ailleurs iltérieurement concentrés en an autre point, d'après une de réflexion analogue, conformément à une célèbre eipé- ! thermologlque.

mt à l'usage parement géométrique d'une telle propriété, 1^ directement l'avantage de s'adapter indifféremment à istruction de la tangente, dans les trois cas élémentûres f rapportent communément, selon que l'on donne le point Qtact, ou la direction, on un point extérieur. Pour le ier cas, U suffit d'élever une perpendiculaire sur le mi- [ de la droite FQ précédemment définie, n est aisé de ir spécialement, à la manière des anciens, qu'une telle ndiculaire aura, en effet, hors de la parabole tous ses s autres que U ; puisque Tan quelconque N d'entre eux,

se trouvant ainsi équidistant de F et de Q, sera nécessairement plus rapproché de la directrice que du foyer, et dès lors extérieur à la courbe.La détermination des tangentes à la parabole ne pouvait donc, sous cette forme^ offrir aux anciens aucune difBculté essentielle, aussitôt qu'ils ont pu procéder d'après la propriété focale, qui, dans leur mode d'étude, a dû consti-. tuer, à tous égards, le principal obstacle propre à la théorie des sections coniques.

Si maintenant on veut tracer une tangente parallèle à une droite donnée, la droite FQ se trouvera immédiatement déterminable, et par suite la construction précédente s'appliquera également, sans même que l'intervention graphique de la parabole soit indispensable pour marquer le point de contact, qui sera sufQsamment assignable d'après sa projection Q sur la directrice. Quant à la solution analytique du même problème, elle consisterait d'abord à trouver l'ordonnée, et dès lors l'abscisse, du point de contact, en renversant la loi primor-

ui

diale tang a = — . Mais on peut aussi traiter directement cette

question, d'après le principe des racines égales, en cherchant la relation du coefficient linéaire au coefficient angulaire qui rend la droite y <» âur + d susceptible de toucher la courbe

y2ea tnx : on trouve alors ô = — ; d'où résulte l'équation

qu'il importe de remarquer comme la plus propre à caractériser une tangente quelconque à la parabole, quand la nature des questions exigera que cette tangente soit surtout considérée suivant sa direction et indépendamment de son point de contact. Enfin, lorsque la tangente doit partir d'un point extérieur N, la droite FQ peut encore se retrouver aisément, puisque le

aÉOKËTRIE PLAHE.

: Q, toujours situé sur la directrice, est d'ûlleurs à une ace de ce point N égale à NF; en aorte qu'il résultera de rsection de la directrice par le cercle décrit du centre N le rayon NF. Cette rencontre, nécessairement double, si lut donné N est vraiment en dehors, déterminera donc les droites sur les milieux desquelles doivent être perpendires les tangentes cherchées, dont la construction s'achëdës lors comme ci-dessus. On peut remarquer, à ce sujet, ù le point N appartenait à la directrice, ces deux droites iaires, et par suite les deux tangentes, seraient nécessaint rectangulaires : ce qui permet d'envisager la directrice ne décrite par le sommet d'un angle toujours circonscrit

solution analytique du m&me problème ne présente aucune ulté, d'après les explicaUons générales du a* 41, pour 'er les coordonnées du point de contact, en combinant les équations

y' — 6 = ^. («■- «). y'^~ *nx- .

si, sans opérer l'élimination, on voulait construire le ré- L en coupant la paraboledonnéeparle lieu qui corresponà la première équation où x' et y' deviendraient variables, idralt d'abord la transformer & l'aide de la seconde, afin. ,er le lieu parabolique qu'elle fournirait spontanément, réduite au premier degré, cette équation'

senteraitla droite qui joindrait les deux points de contact hés. 11 n'est pas inutile d'y remarquer : 1* que le point le rencontre l'axe de la parabole resterait invariable si le de départ des deux tangentes se déplaçait perpendiculaintàcetaxe.etanssienversnne autre parabole ayant mftme

axe et même sommet ; puisque Tabscisse -— a de ce point est indépendante de 6 et de m ; 2^ que son intersection avec l'axe des y ne changerait pas si le point de départ se déplaçait en ligne droite avec le sommet ; 3** que la direction de cette corde des contacts demeurerait la même si ce point donné se déplaçait parallèlement à Taxe. Ces petites remarques offrent, intrinsèquement, peu d'intérêt, et encore moins d'importance : mais elles peuvent servir à rendre plus sensible aux commençants Fexacte interprétation géométrique des résultats algébriques, considérés même relativement aux éléments qui n'y entrent pas.

Au sujet d*une telle construction des tangentes menées d'un point extérieur à la parabole, je dois signaler une propriété plus essentielle, commune aux trois courbes du second degré, et tendant à déterminer directement la corde des contacts, d'après deux sécantes quelconques tii*ées du point donné. En joignant, d'une part latéralement, d'une autre part diagonalement, leurs quatre intersections avec la courbe, il en résultera deux couples de droites, qui, par leurs rencontres respectives, détermineront finalement deux points, toujours situés sur cette corde, et dès lors suffisants pour la tracer, de manière à en déduire les tangentes cherchées : ce qui constitue certainement, à cet égard, la plus convenable de toutes les solutions graphiques où l'on fait intervenir la courbe. Gomme larencontre des ligîies transversales ne saurait jamais manquer, le théorème conserverait toute son efficacité si les lignes latérales devenaient parallèles, puisque la droite cherchée aurait alors la même direction. Je laisse au lecteur Texécution, et même l'institution, des calculs un peu longs qu'exige la démonstration analytique de cette proposition remarquable, dont Torigine effective est peu connue. Le principal embarras consistera à décider si, dans le choix des axes les plus propres à

k.7 '.'il-'

simplifier une telle opération, on doit préférer la pins simple équation des trois courbes du second degré y^ >» mx -j- nafl^ sauf à compliquer les équations des deux sécantes initiales ; ou, au contraire, avoir essentiellement en vue les simplifications relatives à ces deux droites, surtout en les prenant pour axes, à la charge d'employer envers la courbe Téquation la plus générale at/^ + bxy + car* + rfy + ^ar = 1. Si cette délibération préalable est heureusement accomplie, cet exercice analytique deviendra peu laborieux.

101. Parmi les nombreux problèmes auxquels peut donner lieu la considération des tangentes à la parabole, je me bornerai à signaler spécialement, comme types, la détermination d'une parabole d'après deux tangentes, ou une seule et un point, conjointement avec le foyer ou la directrice. La solution graphique consistera surtout, de même qu'au n^ 99, à construire d'abord la directrice ou le foyer. Si la parabole, ayant un foyer donné, doit toucher deux droites données, il est aisé de voir que chacune d'elles indiquera un point de la directrice, en prenant, par rapport à elle, le point symétrique du foyer ; si l'une de ces tangentes était remplacée par un point, la directrice devrait toucher le cercle qui, y ayant son centre,passerait au foyer : on aura donc, en Tun ou l'autre cas, la directrice, et par suite tout ce qui concerne la parabole, en joignant deux points, ou en menant d'un point une tangente à un cercle ; l'impossibilité proviendrait, dans la première question,de conditions précises, tendant à faire passer la directrice au foyer, et, dans la seconde, elle pourrait, en outre, résulter de conditions vagues, relatives à la situation du point intérieurement au cercle. Quand la parabole devrait, au contraire, admettre une directrice donnée, chaque tangente indiquerait un lieu du foyer, savoir la droite formant avec elle un angle égal à celui qu'elle-même ferait avec cette directrice ; et dès lors le foyer

résulterait aisément ou delà rencontre de deux pareilles droites, ou de l'intersection de Tune d'elles par le cercle tangent à la directrice qui aurait pour centre un point donné de la courbe. La solution analytique de ces problèmes ne saurait maintenant offrir aucune dif&culté d'institution, d'après nos principes généraux, ni même aucun embarras d'exécution,en choisissant convenablement les axes : les indications précédentes y feront d'ailleurs aisément prévoir la nature algébrique des divers symptômes d'impossibilité,que les commençants pourront utilement vérifier. Si, par exemple, la directrice est donnée, et qu'on y place l'axe des y, l'équation de la parabole sera, comme au n* 99,

ya 2gy — 2our + (6« + a») c= 0.

Dès lors, pour y formuler le contact d'une droite y =aax sur laquelle on aurait choisi l'origine, le principe des racines égales fournira la relation

En écartant toute autre condition, la parabole serait indéterminée, mais susceptible de lieux, parmi lesquels cette relation indique spontanément celui du foyer : il est aisé d'y reconnaître la droite ci-dessus introduite. Ce cas est remarquable par la nature uniformément rectiligne de tous ces lieux ; comme le lecteur peut facilement le constater en passant analytiquement de ce lieu immédiat du foyer à ceux qui en dériveraient, plus ou moins indirectement, pour le sodimet, le point paramétrique, etc. Une remarque générale, utile à signaler ici, à cause de son efficacité en divers autres cas analogues,explLque aussitôt cette particularité, d'après le principe géométrique qui sert de meilleure base à la théorie analytique de la similitude des courbes : car, les courbes ici comparées étant toujours semblables, d'ailleurs placées parallèlement à cause de la di-

rectrice commune, et ayant, en outre, pour centre évident de similitude ou d'homologie Tintersection de cette directrice avec la commune tangente, tous les lieux qui s*y rapporteront seront nécessairement des droites dirigées vers ce point.

Le plus intéressant, à tous égards, des lieux très:multipliés que produirait la parabole considérée quant à ses tangentes, consiste dans la cissoïde, résultée de la projection du sommet sur les tangentes.Ën discutant directement une telle définition, il est d'abord aisé d'y reconnaître une courbe nécessairement symétrique autour de Taxe de la parabole, commençant au sommet où elle touche cet axe, et finissant à la directrice quilui est asymptote : cette dernière condition résulte de ce que, la projection d'une distance étant au plus égale à sa longueur^la projection du sommet sur une tangente quelconque ne peut jamais s'écarter de celle diï foyer, que nous savons appartenir toujours à la tangente au sommet, que d'une quantité au plus égale à la distance du sommet à la directrice ; une telle prévision est d'ailleurs en harmonie avec la notion de la directrice comme lieu des intersections des tangentes rectangulaires. Si maintenant on cherche l'équation du lieu proposé, soit d'après l'équation de la tangente relative au point de contact, soit d'après celle qui se rapporte à sa direction, on trouvera très-

facilement l'équation y*

, où Ton reconnaît aussitôt

la cissoïde annoncée. En renversant cette importante liaison entre deux courbes que l'on croit d'ordinaire fort hétérogènes, on pourrait déduire la parabole de la cissoïde, comme tangente au système des perpendiculaires menées, en chaque point de celle-ci, aux cordes parties de l'origine : mais cette inversion où il faudrait analytiquement revenir de l'équation générale

des tangentes paraboliques y = aa: + j- à celle de la courbe

correspondante exigerait nécessairement l'analyse transcen* dante. Au reste, une telle connexité mutuelle doit peu étonner entre des courbes qui, au fond, découlent d'une môme source géométrique; puisque nous avons remarqué, au début de ce chapitre, que la parabole peut dériver du cercle tout aussi directement que la cissolde, quoique suivant une tout autre loi.

Quant aux lieux, en quelque sorte inverses^ résultés, au contraire, du déplacement de la parabole elle-même envers certaines tangentes, je me bornerai à considérer, comme type, celui qui correspondrait au sommet d'une parabole invariable mue de manière à toucher constamment deux droites fixes, que je supposerai, pour simplifler, rectangulaires. L'appréciation directe d'une telle définition indique aisément une courbe symétrique autour de ces deux droites, et même de leurs bissectrices, surtout en considérant que la directrice doit, àraison de la perpendicularité de ces tangentes, passer toujours à leur intersection : un examen plus attentif démontre aussi que ces deux droites doivent être asymptotes du lieu cherché, puisque, leur rectangularité ne permet à chacune de contenir le sommet qu'autant que l'autre s'en éloigne à l'infini. Pour trouver l'équation du lieu, la marche la plus analytique consisterait à partir de l'équation focale de la parabole, afin d'y formuler les deux contacts et ensuite le paramètre. On abrégera un peu l'opération si, plaçant les axes selon les deux droites fixes, on remarque le passage nécessaire delà directrice à l'origine : l'équa^ tion sera ainsi

{x — a)2 + (y - 6)î c= {px + qyf

en y supposant p^+ y' = 1, vu le caractère parabolique. Il suffira dès lors d'y exprimer le contact avec l'un des axes, ce qui donnera la rela tion (1 — p^)6'=j3^a*.Quantau paramètre donné

GÉOMÉTHIB PLANE.

ouble de la distance du foyer & la direc-

velle condition pa + ç6= - m, qui, com-

)pécédentes, permettra d'éliminerp et g, . Le lieu du foyer étant ainsi trouvé, on sommet, en regardant ce point comme ourbe el sur la perpendiculaire menée du

oins complètement analytique que le prénple, et d'ailleurs assez général ponr Être lire courbe invariable mue autour de deux îrail à procéder par inversion, en suppolobile, alin de chercher, d'aprËs sa plus i-elation constante entre les distances de foyer, ou de tout autre point singulier, à igulaires quelconques. En prenant, pour Dn y = aa- + T- ^ alors éminemment contre serait donc y =■ x — . Leurs

l'origine, qui deviendraient finalement, . indiqués, les coordonnées du lieu du

irimées par les deux formules

lination du coefficient variable a fourniion cherchée.

tion, dontle principal avantage consiste à ent de formuler l'invariabilité delà courbe

présentée sous une autre forme, esseulé, d'après les formules relatives k la a, en exprimant, dans l'équation ^=:mjc

ainsi généralisée, les deux conditions de contact envers les nouveaux axes; ce qui permettrait, par réliminalion des trois constantes auxiliaires, d'obtenir une équation finale entre les nouvelles coordonnées d'un point quelconque dont les anciennes seraient connues. Mais cette transformation analytique du mode précédent diminuerait sa simplicité, sans pouvoir,' au fond, rien ajouter à sa généralité réelle.

102. Tous les problèmes sur les tangentes peuvent suggérer autant de nouvelles questions enverslesnormales. Quoique ces dernières recherches soient nécessairement assujetties aux mêmes principes que les premières, ce qui dispense d'y insister beaucoup ici, leurs résultats seront cependant plus compliqués; ainsi, par exemple, tandis que le lieu des intersections des tangentes rectangulaires est, pour la parabole, une ligne droite, celui qui correspond aux normales respectives est une courbe, que j'engage le lecteur à chercher. Je me bornerai à considérer spécialement le plus important de ces nouveaux problèmes, consistant à mener une normale par un point quelconque du plan. Sa solution analytique revient à déterminer le point correspondant de la parabole, d'après l'équation de cette

— 2y' courbe combinée avec la condition xf — 5 = ^ ix' — a), qui

exprime le passage de la normale au point donné oc, 6. On trouve ainsi, pour l'ordonnée d'incidence, l'équation du troisième degré

qui indique algébriquement l'existence d'une seule normale ou de trois, selon les relations des données a, S. Ces deux cas ordinaires seront séparés par le cas exceptionnel de deux normales, correspondant à l'égalité de deux des racines de cette équation. En cherchant la relation entre a et ê nécessaire pour

GÉOMÉTBIE FLANB.

e égalité, soit d'après lu méthode employée au a" 43, soit HDt tout auli'e mode algébrique, on trouvera, plus ou ns commodément, l'équation

16 / my

lieu géomélrique déterminera une courbe d'un côté de la* lie il pourra parlîp trois normales, tandis que de l'autre on L pourra mener qu'une seule: il est d'ailleurs Tacile d'éviter e méprise à cel égard, même indépendamment des notions briques spéciales, en considérant que si € était assez petit, urtout nul, on pourrait certainement tirer trois normales, si, la première région est située entre les deux branches de c courbe auxiliaire, et tout le reste du plan présentera tre cas. La courbe, aisée k reconnallre, appai'tient au sième genre de la famille générale des paraboles {n" 79), ique l'équation devient binôme en transportant l'origine en tg. 71], oh commence nécessairement le lieu HGH' : il est e de constater que sa rencontre avec la parabole correspond le abscisse OL octuple de celle du loyer, ne suRisanle appréciation de la définition précédente peut duire naturellement à lapins importante propriété de celte rbe auxiliaire, consistant en cequ'elle touche toutes les nores de la parabole, comme l'indique déjà l'équation envers remière d'entre elles, ou l'axe. Car. si l'une d'elles péné- L dans sa concavité, il partirait évidemment plusd'une nore de tous les points qui s'y trouveraient compris ; puisque, 'e celle-là, il en existerait au moins une autre, corresponte à la moitié adjacente de la parabole : or, cette coexis* :e deviendrait directement contraireà la destination géoméae d'un tel lieu, de la concavité duquel nous venons de itater qu'il ne saurait émanerjamais qu'une seule normale.

Au reste, il serait aisé de vérifier analytiquement une telle propriété, en cherchant d'abord la relation entre a et b propre à rendre une droite indéterminée y =âric+6 normale à la parabole yî=ma;, d'après Tassimilation à Téquation primitive de

la normale y — y' = ^ {x — x% en procédant comme au

n^ 43 pour les tangentes. L'équation générale des normales à

la parabole deviendrait ainsi finalement, envers Torigine G,

yssxox — -ma^\ et dès lors on pourrait sans difficulté consta-

1er, par les voies ordinaires, que, quel que soit a, cette droite

touche constamment la courbe auxiliaire y-= — — a?.

D'après une telle propriété, chaque point de ce lieu pourrait être conçu comme Fintersection de deux normales infiniment voisines, conformémentà ce que nous savions déjà pour le seul point initial (n* 100). Il en résulterait donc aussi, envers un point quelconque de la parabole, la détermination du cercle le plus tangent possible, précédemment obtenu à Tégard du sommet seulement. C'est ainsi que l'analyse ordinaire peut ébaucher, en certains cas, une éminente recherche géométrique, d'ailleurs essentiellement réservée, par sa nature, à l'analyse transcendante, sans laquelle cette question ne saurait ordinairement acquérir la netteté et la précision qu'elle a pu ici présenter exceptionnellement au sujet de la parabole.

103. Il faut maintenant apprécier une troisième série de propriétés essentielles de la parabole, celles qui concernent ses diamètres : les principales d'entre elles ont déjà été signalées, dans la troisième partie de ce traité, d'aprèsTéquation la plus générale; en sorte qu'il suffira dlndiquer ici comment elles ressortent, d'une manière plus simple et plus nette, de l'équation spéciale y^^^mx. En y appliquant notre seconde méthode

!s diamètres, ou même la première, elle conduit enta l'équation 2ou™m, pour un diamètre qi rrespondant à des cordes dont le coefficient an^ul 1 voit ainsi dircclemenl que tous les diamÈtres de 1: nt des lignes droites, parallëtes à son axe. Rëcipn ute parallèle à l'axe est un diamètre, relatif ii des i llëles & la tangente menée de son unique inlersecti

urbe; cara=s, indique le coefficient anguli

ngente qui correspond à une ordonnée u. L'axe e: ul diamètre perpendiculaire h ses cordes, et tous nt de plus en plus obliques aux leurs k mesure ignent de lui.

Quand il s'agit de déterminer la parabole d'après )ns relatives aux diamètres, il faut considérer qi

amètre donné, isolément de ses cordes, indique sei ^^..„

rection de l'axe ; en sorte que la multiplicité de tels diamètres saurait constituer aucune restriction nouvelle. Mais il n'en l plus ainsi lorsqu'on donne en m&me temps la direction des rdes correspondantes : alors, chacun de ces diamètres fournit

connu et l'obliquité a de ses cordes; une seconde relation

mbiable tang a' ^^ ^r-, déterminerait aisément m, aussi bien

e het h', dont la différence est connue, et égaie à la dis* ace des deuxdiamèlres donnés. Après avoir ainsi oblenul'axe le paramètre de la parabole, il ne resterait d'arbitraire que position spéciale de son sommet, que de telles conditions ne liraient jartiais fixer; puisque toutes les paraboles égales icéessurlemémeaxeontnécessniremenltousleursdiamètres dimuns envers les mêmes systèmes decordes:si,dansce cas.

on donnait, en outre, un point de la parabole, ou une tangente, il serait aisé de compléter sa détermination.

On peut facilement prévoir la forme que prendrait Téquation deila parabole, en choisissant pour axes un diamètre quelconque et la tangente correspondante. Car, cette condition devant exclure tous les termes contenant la première puissance de l'ordonnée, le caractère parabolique b^ — Aac = 0 exigerait d'ailleurs que, vu l'absence des x' y\ les x'^ manquassent aussi; enfin, la position de l'origine sur la courbe supposerait la disparition du terme constant. Parmi lés six termes propres aux équations du second degré, il n'en pourrait donc subsister que deux, et l'équation conserverait nécessairement la même forme y^ = m'x' qu'à l'égard des axes, qui ne se distinguent, à cet égard, que par leur rectangularité. Il serait d'ailleurs facile de prolonger cette prévision jusqu'à déterminer d'avance la valeur du paramètre variable m* d'après la position du diamètre correspondant^ indépendamment de tout calcul de transposition d'axes : car, il suffirait ainsi de connaître les nouvelles coordonnées d'un seul point; or, cela ne présente aucune, difflculté envers le sommet, à l'égard auquel la construction des tangentes donne aussitôt a:'=a, et

y' ss y/ 6*+ 4a^ a et i désignant les anciennes coordonnées de l'origine actuelle; d'où m' = m + 4«. Toutes ces indications seront aisément vérifiées en exécutant, suivant les formules ordinaires, le passage des anciens axes aux nouveaux, dont

l'un donne X' = 0, et l'autre tang Y' = r^. La loi relative à la

variation du paramètre m' revient évidemment à le concevoir toujours comme quadruple de la distance de l'origine correspondante au foyer ou à la directrice ; en sorte que le paramètre principal m est le moindre de tous, en tant qu'il correspond à l'origine la plus rapprochée du foyer : il fallait bien

GËOHÉTHie PLANE.

que raugmentalion continue de ce coefScientcom- 3liquîté croissanle des axes qni s'y rapporteot. luvelle équation de la parabole doit nécessairemeiit lUX mËDoes résultats que l'ancienne, pour toutes les lions qui n'exigent pas la rectangularité des axes. Il at le remarquer envers la tangente, quant à t'esten- ;qnierl ainsi le théorème fondamental : la sous-tanlouble de l'abscisse. La possibilité de l'appliquer désjn diamètre quelconque, facilitera la construction de Le, d'abord quand le point de contact est donné, et tns les deux autres cas élémentfûres. Mais la loi lie propre à la sous-normale ne comporte pas une énéralisalioD, parce qu'elle suppose des ordonnées [ilaires .

résumer commodément l'ensemble des principales de la parabole, il convient de les appliquer à une d'ailleurs utile, dont toute la difficulté réside dans ieuse combinaison. Elle consiste h reconstruire tons its géométriques d'une parabole d'après une portion sa circonférence. Quel que soit cet arc, on y pourra nenep deux cordes parallèles, dont les milieux dent d'abord un diamètre, et par suite la direction de iorte qu'il suffirait de trouver un point de celui-ci. er peut être aisément obtenu ; car, la parallèle i ces inée h l'intersection de ce diamètre avec l'arc donné ■e tangente, la propriété caustique de la parabole inussitôt une droite allant au foyer cherché : une ingente, et dès lors un second lieu semblable, sera instruire, soit de la même manière, soit parla sous- Le foyer étant ainsi trouvé, on en déduira aisément, )mmet, la directrice, et le paramètre, ur compléter l'étude de ïa parabole, il ne reste plus

qu'à y considérer ce qui concerne sa quadrature, à laquelle nos méthodes conviennent dirtectement. D'après la règle générale du n^ 71, le segment parabolique OMP(/î^. 72) sera les deux tiers du rectangle OMPQ, formé par les coordonnées extrêmes, et le segment OMQ en sera le tiers. Sous cette dernière forme, ce résultat pourrait être directement obtenu, sans recourir à la méthode analytique, à Taide d^une comparaison spéciale que je dois signaler. Elle consiste à remarquer que, les abscisses croissant ici comme les carrés désordonnées) les éléments rectangulaires du segment OMP suivent la même loi que les éléments prismatiques d'une pyramide d'égale hauteur, pareillement décomposée en tranches équidistantes. Il suffît d'étendre cette constante analogie aux limites respectives des deux sommes élémentaires, pour en conclure que la quadrature du segment parabolique équivaut numériquement à la cubature d'une pyramide de môme hauteur et de base numériquement équivalente : dès lors, la règle connue sur la mesure de la pyramide conduit aussitôt à celle de ce segment, d'après le tiers du produit de sa base par sa hauteur, conformément à la théorie analytique.

Archimède a découvert cetimportant résultat sous une forme qui mérite d'être conservée, en considérant l'aire ONM, comprise entre l'arc parabolique OM et sa corde. Cette aire se dé-

duit aisément du segment OMP = - xy^ en retranchant le

triangle OMP ou - xy. Or, au lieu de comparer le reste

- a:y au rectangle OMPQ, Archimède avait été naturellement

conduit à introduire le triangle NOM, de même base OM que le segment, et dont le sommet N était placé au point où la tangente est parallèle à cette base commune, c'est-à-dire à Tinter-

GtOHÉmB PLAIIK.

3 de la parabole avec le diamètre correspondant à la OH ; ce point N était alors assez justement nommé le ■i propre da segment paralxiliqne OMf . En opérant celte inûson, le leetenr reconnaîtra sans difficnlté qne ce seg-

el énoncé consiste dans son extension spontanée à l'aire imprise entre nn arc quelconque de parabole et sa corde. : que soit l'origine H de cet arc, il suffit, en effet, de conla courbe rapportée au diamèlre et à la tangente qui j it : comme l'équation conserve alors la Tonne primitive IX, le rapport déduit de celle-ci reste encore applicable, le la méthode des quadratures n'exige d'ailleurs nullela rectangularité des axes. Ainsi, le segment parabolique

Bl toujours les - du triangle HIL de mftme base et de

sommet.

re théorie des quadratures fournit uisémeril la mesure des paux volumes produits par la révolution de la parabole, le le segment OMP tourne autour de OX, ou le segment lUtour de OY. Suivant la loi de réduction z=y*, la precubature dépend de la quadrature de la ligne z='mx ;

résulte, d'après la r&gle ordinaire, V ;= —^. En compa-

e volume à celui du cylindre produit par la révolution tangle OMPQ, on énonce géométriquement ce résultat iant que le pa{^boloTde est la moitié du cylindre de base et de même hauteur. Quant au volume engendré segment convexeOMQ autour de la tangente au sommet, rient, afin de ne pas altérer sans motif la notation habidc notre règle, où l'axe de révolution était supposé jer avec celui des x, de renverser la situation et l'équa-

lion de la parabole. Dès lors, d'après Téquation ar^=-my, la loi

de réduction donne ici s -= — ; pour la courbe auxiliaire, dont la quadrature doit déterminer le volume cherché, qu^on trouve ainsi exprimé par V c=« — ^. Pareillement comparé au cylindre

circonscrit, il en est seulement le cinquième.

De ces deux cubatures, également accessibles à nos méthodes actuelles, la première avait seule été accomplie par Archimède, et Ton peut assurer que la géométrie ancienne ne permettait pas de trouver la seconde : ce qui est très-propre à faire sentir la supériorité de la marche analytique, qui, même avec des ressources aussi boi'nées que celles ici employées à cet égard, comporte spontanément une variété d'application géométrique, nécessairement interdite aux plus éminents efforts du génie antique.

La combinaison de ces deux résultats permettrait de déterminer aisément, d'après la règle de Guldin, le centre de gra-

vite du segment OMP, dontles coordonnées serontainsiari=-^,