CHAPITRE III

Théorie de l'ellipse.

i08. Une fois ramenée à la forme/) ^2 + ^^y^ =1, p et y étant positifs, l'équation deJ'ellipse indique très-clairement la figure générale de cette courbe, composée de quatre parties identiques, s'étendant d'un axe à l'autre, en se rapprochant du second à mesure qu'elle s'éloigne du premier. Entre ces

GËOMËTRIE PLAHK.

X limites, la distance au centre augmente ou diminue Bans le ; en sorte que les sommets de l'ellipse sont les points les 9 rapprochés ou les plus éloignes du centre, comme le conle d'ailleurs la marche des tangentes, d'après le coenicient

ulùro lang « = — —, nul ou infini aux extrémités de cha-

quart.Parce motif, les diamètres rectangulaires correspon- Is h ces sommets sont justement qualifiés de grand axe et t axe. On facilitera habituellement l'interprétation géoméue de l'Équation, en les y introduisant comme coeRlcienls,

place des constantes purement abstraites p et q. En désint leurs moitiés par a et b, qui indiquent donc les plus

ades valeurs des coordonm-es respectives, on aura ?>=■-;,

= ■Tj, et l'équation s'écrira

es deux dimensions caractéristiques, dont le rapport est le ne dans toutes les ellipsi^s semblables, sont nécessairement ;ales, à moins que l'ellipse ne devienne circulaire : nous poserons communément a> b.

i l'on voulait déduire de celle équation la description de la rbe par points, il suffirait de dégager y ^ - V a* — j^, pour

struire cette formule par les moyens ordinaires. Mais cette struction peut s'accomplir sous une forme également simple iimineuse, qu'il importe d'apprécier, en comparant l'ornf e de l'ellipse, à abscisse égale, avec celle z du cercle cirscrit, donlle grand axe serait le diamètre. Car, on aurait ainsi

y : z:: b : a; 1 il suit que l'ellipse dérive du cercle eny diminuant propop-

tionnellement toutes les ordonnées relatives à un même diamètre. Une telle réduction s'opère spontanément quand on projette le cercle sur un plan, que Ton peut toujours supposer, pour plus de facilité^ mené du centre : puisque, en rapportant les deux courbes au commun diamètre, résulté de Tintersectioa de leurs plans, les ordonnées de la seconde seront les projections de celles de la première sous une môme obliquité, dont le cosinus indiquera le rapport des deux axes de Tellipse ainsi produite. Le même cercle diversement projette peut donc faire naître des ellipses de toute forme, mais non de toute grandeur, leur grand axe étant toujours égal à son diamètre.

Si Ton comparait Tellipse au cercle inscrit, ayant pour diamètre le petit axe, on trouverait également, à ordonnée égale, un rapport constant entre les abscisses a: et ^ : en sorte que Tellipse dérive du cercle en y augmentant proportionnellement toutes les ordonnées relatives à un même diamètre, aussi bien qu'en les diminuant.

D'après cette double comparaison, la construction de l'ellipse par poinls,quand ses deux axes sont donnés, s'opère facilement à l'aide des deux cercles correspondants. Il suflit de prolonger chaque parallèle à l'un ou à l'autre des axes jusqu'au cercle circonscrit, et de projetter ensuite sur elle Tintersection du cercle inscrit avec le rayon mené de cette extrémité.

Une simple transposition de la proportion précédente,

y : y/a^—x^ : : ,i : a, conduit à une autre description de l'ellipse^ par un mouvement continu fort simple. Car, en l'écrivant

elle indique directement que, de chaque point de l'ellipse, où peut mener, entre les deux axes, une droite dont les deux parties seraient invariablement égales à 6 et a. Ainsi, réciproquement, quand une droite invariable glisse entre deux axes

Sr*---

rectangulaires, chacun de ses points décrit un quart d'ellipse, dont les demi-axes sont respectivement égaux aux parties opposées de sa longueur : il serait aisé de vérifier spécialement que le milieu décrit, en effet, un cercle.

Cette ancienne génération de Tellipse doit être aujourd'hui envisagée comme un cas particulier d'une description remarquable, qu'il faut ici caractériser sommairement. Pendant qu'une droite invariable glisse entre deux axes rectangulaires, un point quelconque qui s'y trouve invariablement lié décrit aussi bien une ellipse que les deux points mêmes de la droite. Comme on peut toujours supposer ce point générateur déterminé par ses distances aux deux extrémités de la droite mobile, la question revient à trouver le lieu d'un sommet d'un triangle invariable dont les deux autres sommets décrivent deux lignes données, que nous supposons ici consister en deux droites rectangulaires, afin de nous borner au seul casintéressantd'une recherche analytique, d'ailleurs facile à généraliser. En prenant pour axes ces deux droites, d'après l'évidente symétrie de l'ensemble du lieu autour de chacune d'elles, et introduisant, comme coordonnées naturelles, ou à titre de variables auxiliaires, l'ordonnée 6 et l'abscisse a des extrémités de la base a du triangle donné on aura pour équation spontanée g*4-a*=*a*, d'oîi il faudra éliminer a et 6 d'après les distances 6 et c du point décrivant aux deux extrémités de cette base, suivant les conditions évidentes (a:— a)*+y«=ac^ (y— g)^+a:^ass6«. lien résulte sans difficulté l'équation rectiligne.

dont le second membre deviendrait monôme en introduisant l'angle au sommet, suivant la relation trigonométrique ordinaire. Cette équation prend ainsi la forme la plus commode

X v/c* — y^-^ y \/t^ — o;^ = 6c cos A.

La suppression des radicaux relèverait au quatrième degré : mais, comme chacun d*eux n'affecte qu'une seule variable, il sufDrait, pour la discussion, d'en écarter un seul, par exemple . le premier, ce qui donnerait l'équation

cV= t^b^ cos2 A 4. bY—'^bc cos Ay v/*^— x\ d'où l'on tire aisément la formule de l'ordonnée

c cos A i/é* — x^± \/c^x^ — c^x^ cos* A y ^ 1 .

11 importe ici de remarquer l'accident analytique survenu au second radical, qui devient évidemment rationnel, et égal à ex sin A. Cette circonstance indique algébriquement que notre équation du quatrième degré est réellement décomposable, contre la nature ordinaire des équations à deux variables, en deux facteurs du second degré ; d'où résulte géométriquement la duplicité du lieu cherché, qui, loin de constituer une véritable courbe du quatrième degré, ne se compose donc que de l'assemblage de deux ellipses. Un tel caractère, où réside le nœud principal delà question actuelle, y était d!ailleurs facile à prévoir, en pensant à la double situation que peut évidemment prendre le triangle donné autour de chaque position de sa base : en sorte que cette indication nécessaire eût sufTisamment annoncé un couple d'ellipses, aussitôt que le calcul avait pu signaler une équation finale du quatrième degré. En poursuivant l'aqalyse précédente, on trouve facilement

6*y* + c^a^ :tz ^bc sin kxy =*=» b'^c'^ cos^ A

pour la double équation elliptique. On en conclut^ d'après les règles établies dans le dernier chapitre de la troisième partie, que ces deux ellipses concentriques sont égales et symétriquement placées autour des axes coordonnés, conforméinent aux exigences géométriques d'une telle génération : la formule

GËOHÈTRIE PLANE.

■ ., 2ÔC sin A . ,, . , ,.

[g 2X s= ± — j — —, qm détermine les directions pespec-

es de leurs axe3 4>nncipaux, confirme directement c«ttedisiition mutuelle, en montrant que les deux couples de direc- Ds rectangulaires qui en résultent correspondent & des angles ituellementcomplémenlaires ou supplémentaires, selonle sens la comparaison. Le lecteur y retrouvera d'ailleurs aisément . indications déjà connues relativement aux deux casextrê- ;s,o(ile triangle devient reclani^le ou bien se réduit à sa base. Enfin, l'appréciation géométriquede l'équation fondamentale l'ellipse conduit, sous un nouvel aspect, i une relation trtsnarquable, qui la caractérise essentieUement, entre les diilions des deux cordes, dites supplémentaires, qui, partant m mËme point quelconque de la courbe, aboutissent à deux ints diamétralement opposés. Leur Rectangularité constante nsle cercle est remplacée, envers une ellipse arbitraire, par ivariabillté du produitdes tangentes de leurs inclinaisons sur n ou l'autre de ses axes. En. nommante', y' les coornnécs du commun point de départ, et x'\ y" celles de l'un s points d'arrivée, ces tangentes, estimées qua^l au grand e, et dès lors égales aux coeflicients angulaires des deux rdes, seront exprimées, suivant la i-isgle ordinaii'e, par les

ictioDs^,~^„ et ^1^-., ilont le produit est ^.^■~-^,-.,. Or,

ayant maintenant égard à l'équalionde la courbe, qui donne i deux relations a'y'*+A*x'^=a'i', a''j/"'+b'x"*=xa*l>*, tia connaît aisément, d'après leur simple soustraction, que ce

rte de pléonasme, ou du moins un défaut réel d'élégance, h entionner expressément, dans l'énoncé habituel de ce théome, cette valeur du produit constant; car, aussitôt qu'on le

proclame invariable, sa valeur effective résulte nécessairement

d'un couple quelconque de cordes dont la direction soit facile^

ment appréciable, et surtout de celles qui joignent entre eux

les quatre sommets. Quand Tellipse devient équilatère, on a

tang 6 tang 6' = — 1 , conformément à la rectangularité connue

des cordes supplémentaires du cercle.

Dans une ellipse quelconque, leur inclinaison varie néces-

1 # 1 . ,T tangê — tangS' . ^

sairement, suivant la formule tang v = .--- ^^ — ^, dont

' l+tangôtangê

le dénominateur est constant, sans que son numérateur puisse Tètre. Les facteurs tang 6 et tang 6' étant ici toujours opposés de signe, le numérateur, et par suite tang V, varie proportionnellement à la somme de leurs valeurs numériques. Or, leur produit étant constant, le minimum de leur somme doit correspondre à leur égalité, en renversant un théorème élémentaire d'algèbre sur le maximum d'un produit de facteurs à somme constante. Comme cette égalité convient évidemment aux cordes qui joignent une extrémité de l'un des axes aux deux extrémités de l'autre, le losange des quatre sommets indique donc le plus grand angle obtus ou le plus petit angle aigu que puissent former, dans l'ellipse, deux cordes supplémentaires quelconques, dont l'inclinaison peut ainsi varier d'autant plus que la courbe s'écarte davantage de la figure circulaire.

106. Appliquons maintenant à l'ellipse notre théorie des foyers, sous la forme subsidiaire convenable à l'équation actuelle, comme pour la parabole. En substituant y en a: dans la

formule (P=y- + a:' ~ 26y + 2ax + (6* + a^), elle prendla forme

(P=-, (a*— x«) + a:^ — 2g - x/a^— a:* — 2aa: + (6* + a«) ;

ce qui exige préalablement 6 «= 0, afin qu'elle soit d'abord rationnelle. Ainsi devenue

elle ne sera carrée qu'autant que Ton fera « = ±: y/c^ — i^. n ei^iste donc, sur le grand axe de l'ellipse, deux foyers symétriquement placés, dont la commune distance au centre, ordinairement qualifiée ^txoenirxdié^ et communément désignée parc, forme, avec le demi-petitaxe, un triangle rectangle ayant pour hypothénuse le demi-grand axe ; ce qui permet de les marquer aisément. Si Ton eût, au contraire, substitué x en y, le résultat aurait été, par une évidente analogie, a =» 0,

6 = ^ 6* — a*, qui ne serait admissible qu'autant que h surpasserait a\ en sorte que les foyers de l'ellipse ne peuvent jamais être situés que sur son grand axe. Us ne coïncident entre eux, et avec le centre, que dans le cas circulaire.

En achevant l'opération précédente, leurs distances rationnelles à un point quelconque de la courbe sont exprimées par les deux formules

rf'= a 37, d"=3 a + - a:,

dont la confrontation fait aussitôt ressortir la principale propriété spéciale de l'ellipse, en montrant l'invariabilité de la somme de ces deux distances variables. La valeur effective de cette somme constante est d'ailleurs inutile à mentionner expressément, puisque les sommets du grand axe, et même aussi ceux du petit:, la déterminent immédiatement, dès que sa constance est reconnue. Il serait, du reste, superflu de s'arrêter ici aux moyens évidents que fpurnit spontanément un tel théorème pourdécrire commodément l'ellipse, soit par points, soit par un mouvement continu, qui peut ainsi recevoir diverses formes géométriques.

Quant aux directrices correspondantes à ces deux foyers, l'annulation de cette double formule leur assigne, suivant nos

règles générales, la double équation a: «=» ± — , qui indique

deux perpendiculaires au grand axe, au delà des sommets, en une position facile à construire. Le rapport spécifique est ici - ,

et par conséquent inférieur à 1, conformément à la théorie fondamentale.

On voit que la principale différence entre Tellipse et la parabole relativement aux foyers ou aux directrices consiste dans leur dualité actuelle opposée à leur unité primitive ; ce contraste est naturellement en harmonie nécessaire avec Texistence ou Tabsence d'un centre ou d'un second axe.

En étendant à Tellipse le problème déjà résolu au n** 99 envers la parabole, et consistant ici à déterminer une ellipse d'après un foyer et trois points, il y acquiert encore plus d'importance astronomique, comme directement relatif à la véritable figure moyenne des orbites planétaires. Sa solution graphique, consistant toujours à construire d'abord la directrice correspondante, résultera de ce que les distances de cette droite aux trois points donnés sont alors proportionnelles à leurs distances connues au foyer donné. Or, chacune de ces deux proportions, isolément envisagée, détermine l'intersection de la directrice avec la droite de jonction des points respectifs : il est aisé de reconnaître, d'après un théorème élémentaire, déjà employé au n* 21, que cette rencontre se trouve sur la bissectrice du supplément de l'angle des deux droites qui vont de ces points au foyer. La directrice étant ainsi obtenue d'après deux de ses points, il sera facile d'achever la construction, en traçant d'abord l'axe focal, puis ses deux sommets et le centre, d'où résulteront aussitôt l'autre foyer, l'autre directrice, et l'autre axe. Quant aux cas d'impossibilité, ils ne pourraient ici tenir qu'à la confusion du foyer avec l'un des points, ou à la disposition de ceux-ci en ligne droite, soit entre tous trois, soit entre deux seulement et le foyer du même côté. Cette construC'

fiÉOHÉTRIE PLANE.

les manifeslerail par le passage de la directrice oblenae, 61 au foyer, tonltïtà l'un des points.

a. solution analytique de ce problème s'instituera aisément, ime dans la parabole, d'après l'équation focale

on place l'origine au foyer donné. En dirigeant d'aiUears e des X vers l'un des points, on aura, pour déterminer les 3 inconnues p, g, f , les trois relations

+ x'^={j}x' + qy'+ r)\ >/-*+ x"^ = (px'- + qy" + r)*,

x"'*={px"+ r)*, pourront aussi être ramenées au premier de^ré, sous les ues + jy' + r = m', px' H- qt/' + r — « ", pu"' + r = «'',

/', w", «"' désignent pareillement les distances dufoyer aux ils donnés. Si l'on choisit comme inconnue principale r, 1 résulterait encore, quoique moins directement qu'envers

arabole, la distance — ■ du foyer à la directrice, les

irs cas d'impossibilité, étant tous de nature précise, ne rront également se manifester que d'après des valeurs les inadmissibles, que l'examen de chacun d'eux ferait ment prévoir.

insiste peu d'aillem-s sur la discussion spéciale, soit gradue, soit algébrique, d'un tel problème, qui doit natureUeit être repris et complété au sujetdel'byperbole. C'est alors lement que sa nature deviendra pleinement appréciable, en 3ncevantcomme nécessairement commun aux trois courbes second degré.

.'emploi de l'équation polaire relative au foyer y doit pour- : être mentionné ici, comme envers la parabole, à cause de

son importance astronomique. Diaprés le n^ 23, cette équation

sera

1 — e cos (çp + a)

en comptant les angles à partir d'un axe incliné de a sur Taxe focal de l'ellipse, et nommant e, selon Tusage astronomique,

le rapport spécifique - : car, la distance d (*) du foyer à la di-

rectrice est ici — , en tant qu'égale à la différence de leurs

distances respectives - et c au centre. Si Ton a égard aux trois

points donnés, dont Tun peut être supposé sur Taxe polaire, cette équation permettra aisément de déterminer d'abord a, puis e, et enfin a^ qui caractérisent la direction, la forme, et la grandeur de Tellipse cherchée, sauf les embarras de Texécution trigonométrique.

En remplaçant le foyer donné par la directrice, le problème précédent ne sera pas plus difficile à résoudre, soit analytiquement, ce qui est évident, soit même graphiquement, que dauE la parabole. Car, afin de trouver le foyer correspondant, chacune des deux combinaisons binaires des trois points donnés fournira encore spontanément, quoique d'une autre manière, un lieu circulaire, d'après la proportionnalité des distances respectives du foyer cherché à ces divers points, comparées avec leurs distances connues à la directrice donnée : la construction

(*) Par analogie avec la théorie de la parabole, le double de cette distance est quelquefois qualifié aussi de paramétre de l'ellipse, comme constituant le

coefficient du terme du premier degré dans l'équation y* = — x — -, a*,

OÙ roriginc est placée au sommet. Ce paramètre est, de part et d^aulrc,

toujours égal à la double ordonnée relative au foyer. Ses deux caractères,

analytique et géométrique, conviennent pareillement à Thyperbole.

Iquée à la fin du n° âl déduira ainsi des deux points cornés un cercle ayant pour diamètre la parlje de la droite de ction comprise «ntre la directrice et le point, aisément a&lable, qui divise leur intervalle proportionnellement à leurs tances respectives à celte ligne. Le Foyer une fois obtenu par encontre de deux pareils cercles, la construction s'achèvera si facilement que ci-dessus. Outre les cas précis d'impossité tenant au passage de la directrice kl'un des trois points, à la disposition rectiligne de ceux-ci, cette solution indi- Tait d'ailleurs, comme dans la parabole, des cas vagues respondants à la non-intersection de ces cercles : la solution .lytique devrait reproduire les uns et les autres, suivant mature respective.

07. Considérons maintenant les propriétés de l' ellipse qnant L tangentes, d'après l'équation

! notre théorie générale assigne ici à la droite qui touche la

irbe en un point x\ y'. On en déduit aisément x = —„

ir l'abscisse du point ofi la tangente rencontre l'axe; d'oti altérait une construction facile, que l'on rendra plus simple ore, et surtout plus élégante, si l'on remarque que ce altat, indépendant de b et de y, resterait identique, envers les les ellipses de mCme grand axe, en y considérant des Qts de contact situés sur la mOme ordonnée : l'une d'elles ni un cercle, la construction spéciale de sa tangente conra k celle de toutes les autres. Ainsi, en prolongeant l'orinée MP(/Î*/. 73)dupointdonné jusqu'au cerclecirconscrit, nenant de cette extrémité N la perpendiculaire NT au rayon respondant, le point T oti plie rencontrera l'axe, conviendra

également à la tangente cherchée MT : la figure confirme, en effet, que la distance OT équivaut à — .

De cette première détermination, résulteront la sous-tangente TP «== ; — , et la sous-normale PQ = -^ x\ Au lieu

d'être constante, comme dans la parabole, celle-ci est maintenant proportionnelle à Tabscisse du point de contact; sa limite

- sera toujours ]a moitié du paramètre : elle indiquera pareil-

lement le rayon du cercle qui aurait en A le plus intime con-

tact possible avec Tellipse ; on trouverait de même -j- pour le

rayon d'un tel cercle à l'autre sommet B, où Ton voit ainsi que la courbure est moindre.

L'appréciation géométrique du coefTicient angulaire de la tangente conduit à un théorème remarquable, en généralisant envers une ellipse quelconque la loi relative au cercle. Car, la

simple confrontation du coefficient — ^— à celui ^ du rayon

correspondant montre aussitôt que leur produit est toujours

— 6* égal à — j- : ici Tindication de constance ne suffirait pas, et

il convient de mentionner habituellement la valeur effective du produit, qu'aucun cas particulier n'indiquerait aisément. Quand l'ellipse est équUatère, ce théorème reproduit spontanément la perpendicularité connue de la tangente au rayon.

Cette relation devient à la fois plus importante et plus lumineuse, si on la rapproche de la loi analogue relative aux]cordes supplémentaires. Le produit constant ayant, des deux parts, la même valeur, il s'ensuit que les deux couples ainsi formés, soit par deux cordes supplémentaires quelconques, soit par une tangente et son rayon, peuvent toujours être rendus parallèles.

et doivent offrir d'égales variétés d'inclinaison. Il en résulte aussitôt un moyen très facile pour tracer la tangente d'après le point de contact ou d'après sa direction, du moins en faisant intervenir Tellipse dans la construction.

Au sujet de ce rapprochement, il convient de remarquer que le théorème propre à la tangente ne constitue, au fond, qu'un simple cas particulier de celui des cordes supplémentaires, qu'il sufQt, en effet, de pousser jusqu'à sa limite naturelle. Que les points d'arrivée des deux cordes demeurant flxes, on fasse indéfiniment rapprocher de l'un d'eux leur commun point de départ; le produit des coefBcients angulaires devant rester invariable, sa valeur ne saurait changer lorsque, par la coïncidence finale, Tune des cordes se confondra avec la tangente et l'autre avec le rayon. On voit ainsi comment le théorème des cordes supplémentaires, dont l'importance spéciale est communément trop peu sentie, conduirait sans peine à l'équation de la tangente à l'ellipse, indépendamment de toute méthode générale.

La relation de la tangente aux foyers, éminemment naturelle pour les anciens, ne ressort pas ici de l'équation aussi directement, à beaucoup près, qu'envers la parabole; et si notre étude analytique de l'ellipse était historiquement originale, peut-être ignoreraît-on encore cette propriété, faute d'avoir été conduit spontanément à la combinaison algébrique correspondante, queles modernes n'emploient réellement qu'àla vérifier. Cette vérification est du reste aisément exécutable, sous les trois formes géométriques, essentiellement équivalentes, que comporte un tel théorème. Son acception la plusconnue, et la plus directe chez les anciens, consiste en ce que la tangente à l'ellipse est égalementinclinée sur lesdeux droites qui joignent le point de contact aux deux foyers. 11 est aisé de le constater d'après les coefDcients angulaires de ces droites : car, on trouvera ainsi, réduction faite, pour l'une des inclinaisons, l'expression

lang V = — ,, qui, changeant de signe et non de valeur envers

l'autre foyer par le changement de c en — c, indiquerait trèsnaturellement une telle relation, si un tel rapprochement était assez motivé. Gomme dans la parabole, ce théorème, physiquement interprété; explique aussitôt, quant à la lumière ou à la chaleur,ou môme ici au son, la propriété de concentration par réflexion que rappelle spontanément le nom de foyer : les émanations de Tun des foyers seront ainsi réfléchies vers Tautre, soit sur Tellipse, soit sur Tellipsoïde allongé résultant de sa rotation autour de Taxe focal.

Sous sa seconde forme, cette propriété consiste en ce que le lieu des propriétés des foyers d'une ellipse sur ses tangentes est un cercle. Il est aisé de saisir la filiation géométrique des deux relation8,en considérant que,d'après la notion précédente, une tangente quelconque MT (fig. 74), devant être la bissectrice de l'angle NMF formé par l'un des rayons vecteurs avec le prolongement de l'autre, sera perpendiculaire sur le milieu de FN, qui joint l'un des foyers au point N obtenu en prolongeant le rayon vecteur MF' d'une longueur égale à MF. Or, la propriété mutuelle des deux foyers indique aussitôt que la projection K du foyer F sur la tangente tombe à une distance/ constante du centre, puisque cette distance OK est évidemment la moitié de F'N, ainsi toujours égale à 2 a.

Gomme cette seconde forme constituerait, sans doute, du point de vue moderne, la source la plus naturelle du théorème dont il s'agit, je crois devoir en indiquer distinctement l'explication analytique. Il convient d'y préférer, pour la tangente.

l'équation y = mx + \/<jhm? + 6^, que fournit directement le principe des racines égales, et qui, indépendante du point de contact, et mieux adaptée que notre équation primitive à toute spéculation étrangère à la position spéciale de ce point. La

perpendiculaire menée du foyer sera donc représentée par Té-

c[uation.y=3 (^— c), qui permettra d'éliminer aisément m,

tu

de manière à former l'équation du lieu des projections du foyer sur les tangentes. On la trouvera ainsi du quatrième degré^ mais bicarrée ; en y dégageant y*, on y reconnaîtra, après les réductions convenables, le produit de deux équations du second degré y* + -^^^ — ^^= ^^ ^^ y* + (or — c)* «±= 0 ; celle-ci ne fournissant aucune ligne, l'autre indique seule la courbe cherchée, qui est évidemment le cercle circonscrit à Tellipse.

Enfin, la troisième forme géométrique de cette relation des tangentes aux foyers consiste en ce que les distances des deux foyers à une tangente quelconque sont inversement proportionnelles, sans qu'il faille mentionner expressément la valeur effective de leur produit constant, spontanément évidente aux quatre sommets, surtout à ceux du petit axe, où les deux facteurs sont égaux. Pour voir comment ce théorème, d'ailleurs facile à constater analytiquement, dérive du précédent, il suffit de mener du centre une parallèle 01 et une perpendiculaire OH ou q sur la tangente ; alors, en nommant p et jd' les distances FK et F'K' des deux foyers à cette tangente, une proposition élémentaire bien connue, suite immédiate du théorème de Pythagore, donnera aussitôt, dans le triangle OF'K*, envers le côté OF' ou c, la relation

puisque le côté OK' est maintenant reconnu toujours égal à a : or, la distance auxiliaire q étant la moyenne entre jo et/)', cette relation devient finalement jop ' = a' — d^ — ô*, suivant l'énoncé ci-dessus,

De ces trois formes équivalentes d'une même loi, lapremière est la mieux adaptée à la construction de la tangente, soit d'à-

près le point de contact, soit d'après sa direction,, soit enfin d'après un point extérieur. Quant au premier cas, il suffit, comme on Ta vu plus haut, de mener du point donné M une perpendiculaire sur la ligne FN, précédemment définie. On peut aisément constater, à la manière des anciens, que tous les autres points de cette droite seront extérieurs à Tellipse, en tant qu'équidistants de F et N ; puisque la somme de leurs distances aux deux foyers, ainsi équivalente, pour chacun d'eux K', à K'F' + KN, surpassera évidemment le grand axe, que cette construction représente par F'N, Cette conséquence est tellement spontanée que, dansTellipse comme dans la parabole, la découverte d'une pareille propriété des tangentes a dû être facile aux anciens, une fois qu'ils ont connu le théorème fondamental sur les foyers.

S'il faut mener une tangente parallèle aune droite donnée,le renversement de cette construction fera retrouver sans difficulté le point N d'où tout découle, comme situé sur une perpendiculaire menée à cette droite et l'un des foyers et sur le cercle décrit de l'autre avec le rayon 2«. De même, quand on donnera un point extérieurK', ce cercle servira pareillement à déterminer ce point N, par l'intersection d'un autre cercle décrit de K'avec le rayon K'F. En ces deux caB,laconstructionpouiTa s'achever, y comprismêmela détermination des points de contact, sans aucune participation delà courbe.

La solution analytique de ces deux problèmes ne mérite pas de nous arrêter. J'y indiquerai seulement, quant au dernier, une transformation analogue^ celle déjà remarquée envers la parabole, et tendant aussi à déterminer la corde qui joint les deux points decontact cherchés. Si, dans l'équation

fe?'

qui, combinée avec ay * + i*«2r'* == «*6*, doit alors fournir les coordonnée&inconnuesx'et^'d'après les coordonnées connues ot et ^, on considérait les premières comme variables, le lieu correspondant serait naturellement elliptique, et dès lors graphiquement inadmissible. Mais, en ayant égard à la seconde condition, la première peut s'abaisser au premier degré, et devient, sous la forme a^y'+ i*aa:'=a*6^ Tutile équation de la corde de contact, dont la construction conduirait aisément à la solution graphique du problème, si on y admettait la participation de Tellipse. La direction de cette corde et ses rencontres avec les axes peuvent suggérer diverses propositions secondaires, analogues à celles déjà signalées envers la para* bole, et que le lecteur développera aisément.

108. Parmi les nombreux problèmes relatifs aux tangentes de Tellipse, il convient spécialement de remarquer ici celui qui concerne le lieu du sommet d'un angle invariable dont les oAtés touchentconstammentla courbe, surtout quand cet angle

est droit. L'équation y •= mx + \/ a^^+ b^ est très-propre à cette recherche, en y considérant les deux valeurs de m qui correspondraient à des valeurs données de x et y, ce qui lui fait prendre la forme

Si, d'après ses racines, on formule rinclinaison des deux tan-

gentes, suivant la loi

tang V, on en déduira aisé-