f mm

ment l'équation du quatrième degré qui convient au lieu demandé. Dansle cas, seul utile à spécifier, où les tangentes sont rectangulaires, le dernier terme de l'équation précédente conduit aussitôt à y^+ a:» = «î4- 6', qui indique un cercle, dont le rayon est d'ailleurs superflu à retenir, puisque les tangentes aux sommets l'annoncent spontanément.

La considération de ce lieu circulaire rendrait très-facile la détermination spéciale des rectangles maximum et minimum circonscriptibles à Tellipse, et dès lors inscriptibles à un tel cercle. Car, sous ce dernier aspect, le maximum correspondrait évidemment au carré, si toutefois celui-ci peut être circonscrit à TeUipse : pour s'en assurer, il suffît de remarquer que, d'aprèsune symétrie nécessaire, ses côtés doivent être inclinés de 45° sur les axes; or, enfaisantm=Hildans Téquation de la tangente, son coefficient linéaire coïncide, en effet, avec le rayon du cercle précédent, ce qui décide la convenance de cette solution. Quant au minimum, il faut discerner, entre tous les rectangles circonscrits à l'ellipse et inscrits au cercle, celui dontlescôtés diffèrent leplus, ce qui revient à combiner les tangentes les plus éloignées du centre avec les plus rapprochées; d'où résulte aussitôt le rectangle construit sur les deux axes.

Pour résoudre ce double problème d'une manière vraiment analytique, susceptible d'imitation envers toute autre courbe,

il faudrait, à l'équation y = mx + V/ a*m* + 6* d'une tangente quelconque, Joindre les trois autres

y^mx S/ a^m^^ b\ y = — 1 a: + \/^^-\- b\

qui représentent celle qui lui est parallèle et les deux qui lui sont perpendiculaires. Dès lors, par un calcul facile, quoiqu'un peu long, on formulerait, d'abord les intersections mutuelles des quatre côtés du rectangle correspondant, ensuite leurs longueurs, et enfin l'aire de cette figure, relativement à la seule constante indéterminée m. Cette formule une fois obtenue, l'application, sous telle forme qu'on jugera convenable, de la théorie des maxima et minima y conduira aisé-

bt-'

ment à la solution demandée. La fonction se trouvant être ici du quatrième degré, mais bicarrée, on y pourra même appliquer la méthode algébrique primordiale, en résolvant d'abord la question plus étendue qui consiste à circonscrire, à une ellipse donnée, un rectangle équivalent à un carré donné.

Quelques autres lieux intéressants peuvent être déduits de la considération des tangentes à Tellipse, en y projetant, soit sur les tangentes, soit aussi sur les normales, les divers points singuliers^ tels que le centre^ les foyers, les sommets, etc. Je m^arrèterai seulement au cas delà projection du centre sur les normales. On y formerait aisément Téquation du lieu, d'après

réquation ordinaire de la normale y — y = t^^, [x — x') com-

b^x' binée avec celle du rayon perpendiculaire y = j-, x, en

éliminant les variables auxiliaires x' et y' par la relation ahj'^ 4- ô*2r'*a= a*6*. Mais il convient mieux d'y employer une nouvelle forme générale de l'équation de la normale, analogue à celle qui vient de nous servir pour la tangente, c'est-à-dire relative à son seul coefficient angulaire. En procédant par assimilation, comme je Tai indiqué déjà envers la parabole, on trouvera aisément que l'équation

y s» mx +

représente ainsi une normale quelconque à l'ellipse. Si l'on y

élimine m, d'après l'équation y = x du rayon perpendiculaire, on obtient aussitôt, pour le lieu cherché, l'équation du sixième degré

dont la discussion directe serait embarrassante, mais qui devient facilement appréciable par l'introduction des coor-

données polaires. On trouve ainsi finalement Técpiation polaire

c* sin2 9 C0S2 ç

Il ^— » ' *

a^sin2(p + 6*cos*<p'

très-propre à caractériser nettement la forme générale de chacune des quatre parties symétriques qui composent ce lieu remarquable. Le rayon vecteur, nul pour (p c=a 0 et <p = 90**, ce qui indique au centre deux tangentes confondues avec les axes

de Tellipse, atteint son maximum a — b quand tang 9 e

comme Tindique la résolution de cette équation en sens inverse.

109. Nous devons maintenant considérer les propriétés de Tellipse relativement aux diamètres. En appliquant ici Tune ou l'autre de nos deux méthodes générales à ce sujet, on trouve

aisément Téquation y = r— x, envers un diamètre quel-

avn

conque, correspondant à des cordes dont le coefQcî en t angulaire est m. Cette équation montre aussitôt, conformément à nos indications antérieures, que tous les diamètres d'une ellipse sont des lignes droites qui convergent au centre. Mais sa spéciale appréciation géométrique fait, en outre, découvrir

une propriété remarquable, résultée de la liaison mm'«= 5,

ainsi établie entre les coefdcients angulaires simultanés d'un diamètre quelconque et de ses cordes. La symétrie analytique d'une telle relation indique géométriquement que les diamètres de Tellipse sont réciproques les uns des autres, ou, suivant l'expression usitée, d'ailleurs un peu vague, conjugués : car, si Ton mène du centre deux droites dont les coefficients angulaires soient ainsi liés, chacune d'elles passera aux milieux des cordes parallèles à l'autre. Cette constante réciprocité constitue, quant

aux diamètres, la principale différence entre Tellipse ou l'hyperbole et la parabole : elle est évidemment en harmonie nécessaire avec Texistence ou l'absence d'un centre.

Plus spécialement envisagée, cette liaison fondamentale des diamètres conjugués de l'ellipse reproduit de nouveau la relation d'abord observée quant aux cordes supplémentaires, et étendue ensuite à la subordination de chaque tangente à son rayon; en sorte quei d'après ce rapprochement, ces trois couples de droites peuvent toujours devenir parallèles et comportent les mêmes diversités d'inclinaison, déjà appréciées envers le premier . il en résulte surtout une construction fort simple pour déterminer, à l'aide de Tellipse, deux diamètres conjugués formant un angle donné, en cherchant des cordes supplémentaires qui leur soient parallèles, au moyen d^un cercle capable de cet angle et décrit sur un diamètre quelconque. Son intersection avec l'ellipse donnée, ailleurs qu'aux extrémités de cette base, marquera le point de départ des cordes cherchées, de manière à in^liquer aisément les diamètres demandés. Cette rencontre ne sera possible qu*autant que l'inclinaison proposée tombera entre les limites convenables qui, suivant la loi précédente, correspondent aux diamètres parallèles aux cordes des quatre sommets, et dès lors dirigés selon les diagonales du rectangle des axes : l'angle donné ne pourra donc s'écarter de 90* que jusqu'à l'angle aigu ou

obtusdont la moitié aurait - pour tangente ou pour cotangente.

Dans cet intervalle, la construction indiquera toujours deux systèmes symétriquement placés, qui ne coïncideront que lors des deux cas extrêmes, dont l'un se rapporte aux axes de l'ellipse, et l'autre à ce dernier couple de diamètres^ offrant le maximum d'obliquité.

La correspondance générale des diamètres conjugués aux

cordes supplémentaires, quoiqu'elle ne soit communément envisagée que comme le simple résultat d'unrapprochement algébrique, n'offre pourtant rien d'accidentel, et comporte directement une explication géométrique qu'il importe d*apprécier, parce qu'on y peut voir la vraie source spéciale de l'ensemble des notions relatives aux diamètres de l'ellipse, indépendamment de toute théorie générale. Il suffît de remarquer, d*après la déGnition des cordes supplémentaires, que la parallèle menée du centre à une corde quelconque passe nécessairement au milieu de sa conjuguée : or, le théorème primitif des cordes supplémentaires nous apprend que, si des cordes sont parallèles, leurs supplémentaires doivent l'être aussi; doncla droite menée du centre parallèlement à une corde arbitraire passe toujours aux milieux de toutes celles qui sont parallèles à sa supplémentaire ; d'où résulte aussitôt la démonstration simultanée de la nature rectiligne des diamètres de l'ellipse, de leur convergence au centre, et de leur réciprocité nécessaire. Ainsi, le théorème des cordes supplémentaires, qui, sous un aspect, nous avait déjà fourni la base essentielle delà théorie spéciale des tangentes à l'ellipse, est également propre, d'un autre point de vue, à y fonder entièrement la théorie des diamètres. Ce double rapprochement, inaperçu jusqu'ici, tend à représenter une telle notion comme étant peut-être la plus fondamentale de toutes celles qui concernent particulièrement l'ellipse : son office réel, dans l'ensemble de l'étude de cette courbe, est au moins aussi important que celui de la propriété focale.

En rapportant l'équation de l'ellipse à un couple quel conque de diamètres conjugués, il est aisé de prévoir qu'elle conservera nécessairement la même forme qu'envers les axes primitifs, qui ne se distinguent, à cet égard, que par leur rectangularité caractéristique ; car, l'équation ne pourra dès lors contenir la première puissance d'aucune des deux coordonnées, afin que

^rr a-

chacune d'elles puisse admettre deuic valeurs égales et coutraires pour une même valeur de l'autre, conformément à leur commun attribut géométrique. On vérifie effectivement cette prévision, par la substitution des formules ordinaires de transposition,

x=a:' cos X' + y' cos Y\ y = a:' sin X' + y' sin Y*, pourvu qu'on y ait égard à la relation nécessaire

tang X' tang Y' «= -,,

sans laquelle les deux diamètres ne seraient pas conjugués^ et

qui annulera spontanément le coefficient total du seul terme

contenant à la fois la première puissance de rtme et de l'autre

if' variable. Quant aux coefficients des termes restants, ilspeuvent

toujours devenir analogues à ceux de l'équation primitive

en introduisant aussi les distances du centre aux intersections de la courbe avec les nouveaux axes, sous les noms semblables de a' et 6', de manière à former, envers un système quelconque de diamètres conjugués, l'équation finale a'V*+ 6'*^'*==a**i'*. L'exécution du calcul de transposition déterminerait spontanément les expressions de ces constantes linéaires a' et V en fonction des constantes angulaires correspondantes,

y»» en

a*sin*X'+6*co8»X' a» sin» Y' + ô« cos» Y'"

Mais ces formules, nécessairement similaires, peuvent d'ailleurs être directement obtenues, comme devant coïncider, par leur nature, avec l'équation polaire de l'ellipse relative au centre.

D'après la relation fondamentale tang X' tang Y' = ^,

tandis que l'un des diamètres conjugués se raccourcit en s'éloîgnant du grand axe, Tautre s'allonge en s'écartant du petit axe ; en sorte qu'il existe une situation intermédiaire où leurs longueurs sont égales : elle correspond évidemment au cas où les deux angles X' et Y' sont supplémentaires; les deux diamètres s'y trouvent symétriquement placés, et dès lors dirigés suivant les diagonales du rectangle des axes ; c'est-à-dire qu'ils coïncident avec ceux où nous avons déjà,reconnu le maximum d'obliquité. Ce système remarquable, le plus important de tous après celui des axes proprement dits, présente donc, envers celui-ci, un parfait contraste, soit quant à Tinclinaison, soit quant au rapport des longueurs. Sa position dans l'ellipse représente exactement celle des asymptotes dans l'hyperbole, comme on le confirmera spécialement au chapitre suivant, quoiqu'il n'existe d'ailleurs aucune analogie géométrique entre les deux couples dedroites.Le seul rapprochement analytique auquelilspuissent donner lieu, consiste en ce quel'équation de la courbe peut, àleur égard, être réduite, de part et d'autre, à ne plus contenir qu'une seule constante arbitraire : mais la diversité nécessaire des deux équations respectives, dont l'une a la forme x* -f y* = r\ et l'autre a:y =m^ empêche une telle conformité d'avoir aucun efifet géométrique de quelque importance. Néanmoins, il convient de noter ici que l'ellipse est susceptible d'une équation analogue à celle du cercle, mais envers un système unique d'axes qui ne peuvent jamais y devenir rectangulaires, et dont le degré d'obliquité caractérise naturellement l'espèce d'ellipse dont il s'agit ; celle-ci différera d'autant plus du cercle que cette inclinaison s'écartera davantage de l'angle droit, en exacte conformité avec les notions antérieures sur la condition de similitude, puisque la tangente de la moitié d'un tel angle représente

le rapport des deux axes de Tellipse. On peut d'ailleurs calculer

aisément, parles formules précédentes, en y faisant tang X'= - ,

la valeur de Tunique constante r que contiendrait alors l'équation de l'ellipse, et que l'analogie conduirait à nommer spécîale-

ment le rayon de cette courbe : on trouve ainsi r^= - (a^ + b^) ;

ce qui lie directement ce rayon à la corde du quart d'ellipse^ suivant la même loi que dans le cercle.

Les longueurs variables des diamètres conjugués de l'ellipse, comparées, soit entre elles, soit à l'obliquité correspondante, donnent lieu à deux importants théorèmes spéciaux, qui méritent de conserver le nom de leur immortel auteur Apollonius, le plus grand géomètre de l'antiquité après Archimède. Quant au premier, le point de vue moderne y conduirait très naturellement s'il était encore ignoré. Car, les longueurs a' et 6', subordonnées, suivant les formules précédentes, aux angles X' et Y', ne sauraient être indépendantes Tune de l'autre qu'autant que ces deux angles le seraient aussi : mais la liaison nécessaire de ceux-ci indique évidemment,'' entre a' et V , une relation constante, qu'on découvrira aisément en substituant,

dans la condition angulaire tang X' tang Y' = j, les exprès-

sions de tang X' et tang Y' en a* et h\ L'exécution normale de ce calcul, sans aucun vain artifice, conduit finalement à

Ainsi, le premier théorème d'Apollonius consiste en ce que, dans l'ellipse, la somme des carrés de deux diamètres conjugués quelconques est constante. Sous forme graphique, cet énoncé revient à dire que, si, à l'extrémité de chaque demidiamètre, on élève une perpendiculaire égale à son conjugué, le point correspondant appartiendra toujours au cercle déjà re*

connu pour être le lieu des intersections des tangentes rectangulaires.

Quant au second théorème d'Apollonius, il faut, ce me semble, avouer avec franchise que la marche moderne n'y conduirait point spontanément, s'il n'était pas préalablement découvert : en sorte que la démonstration analytique doit ici consister en une pure vérification, qu'il convient alors de simplifier le plus possible, en vue de la relation à constater, qui est a'b' sin Y'X' = ab, 11 suffit, pour cela, de multiplier entre elles les expressions précédentes de «'* et 6'" afin d'y transformer ensuite le dénominateur d'après la condition fondait mentale tang X' tang Y' = ^, mise d'abord sous la forme

a* sin X' sin Y' + i* cos X' cos Y' = 0, et ensuite élevée au carré. Le théorème ainsi vérifié consiste donc géométriquement dans la constance remarquable de l'aire du parallélogramme construit sur deux diamètres conjugués quelconques, quoique ses angles et ses côtés varient sans cesse.

Ces deux relations spéciales a'*-f-6'*= a'4-i^a'6'6inV=aé, peuvent être utilisées, en sens inverse, pouf déterminer commodément la longueur des axes de l'ellipse d'après un système arbitraire de diamètres conjugués, donnés à la fois de grandeur et d'inclinaison. ïl serait d'abord facile d'en déduire directement a et ô, en résolvant une équation bicarrée. Mais il convient mieux, par un artifice aisément inspiré, d'y prendre spécialement pour inconnues a - b et a -\- b, dont les valeurs y résulteront de combinaisons très-simples, suivant les formules

(flr-ft)tû'«+6'«4-2a'6'sinV, (a-\-b)^=a'^-hb'^—2a'b's\nY,

dont la construction est surtout commode, si on les compare à la relation connue qui détermine un côté de triangle d'après les deux autres et l'angle compris. On trouve ainsi a — b comme

GLOMETRIE PLANE.

rf-

constituant le troisième côté d'un triangle facile à tracer, où les deux côtés a' et 6 comprennent un angle complémentaire de Tinclinaison donnée \; a-hb s'obtient ensuite en remplaçant cet angle par son supplément, afm de changer le signe du cosinus correspondant.

Une telle construction dissipe d'avance la seule, grave difficulté graphique que pût offrir le problème essentiel par lequel nous terminerons Tétude de Tellipse aussi bien que celle de la parabole, en tant que très-propre à y rappeler le souvenir des principales propriétés, dont il exige uniquement la judicieuse application collective. Qu'il s'agisse donc, comme pour la parabole, de reconstruire tous les éléments géométriques d'une ellipse d'après un arc quelconque. Deux couples distincts de cordes parallèles y détermineront d'abord le centre par l'intersection des diamètres correspondants, presqu'aussi commodément que dans le cercle. On pourra ainsi avoir deux diamètres conjugués, dont Tun sera naturellement connu de longueur comme de position d'après sa rencontre spontanée avec l'arc donné; quant à l'autre b\ un seul point de cet arc le déterminera facilement, suivant l'équation correspondante de la courbe

a'Y^ + b'^x'^ = a'^b'\ d'où résulte la formule é' ~ ^

facile à construire. Cela posé, la construction d'Apollonius conduira, comme ci-dessus, à trouver les longueurs des axes a et ô. Dès lors, la considération dulieu des projections des foyers sur les tangentes permettra d'achever aisément la solution, d'après la détermination des foyers ; puisque le cercle circonscrit, qui contient toutes ces projections, peut être maintenant décrit, et qu'il est d'ailleurs facile de tracer les deux tangentes indispensables, en menant de l'extrémité de chaque diamètre une parallèle à son conjugué.

110. Il ne nous reste plus à considérer dans l'ellipse que les

propriétés relatives à la théorie des quadratures. L'application directe de nos méthodes élémentaires à réquationay+**^*=

a^ô', ou y => - \/ a*— x\ ne pourrait nous fournir qu'en série

l'expression générale de Taire du segment elliptique. Mais, en supposant connue la mesure du cercle; au moins en totalité, cette équation ramène aussitôt, d'après le principe de Wallis, la quadrature de l'ellipse à celle du cercle circonscrit ; puisque les segments respectivement compris entre les mêmes limites auront alors, aussi bien que les ordonnées correspondantes, un rapport constant, égal à celui des axes de l'ellipse. Ce rapport est d'ailleurs spécialement conforme ici à la considération de l'eUipse comme projection du cercle, eu égard à la règle ordinaire pour projeter une aire plane : au reste, ces deux manières d'élaJblir une telle comparaison sont essentiellement équivalentes. Ainsi, l'aire du cercle circonscrit étant exprimée par ic a^, celle de l'ellipse entière se mesurera par ic aé ; en sorte que l'ellipse est moyenne proportionnelle entre les deux cercles inscrit et circonscrit, ou équivaut à un cercle dont le diamètre serait moyen proportionnel entre ses deux axes. Il est aisé d'en conclure la détermination d'une ellipse semblable à une ellipse donnée et équivalente à un cercle donné.

Notre théorie des quadratures fournit aisément la mesure des deux ellipsoïdes, l'un allongé, l'autre aplati, produits par la révolution d'une ellipse autour de ses axes. Autour du grand axe, suivant la loi z = y^^ la courbe auxiliaire sera la parais ft* / x^\ bole z «= — a (a* — 3?)^ dont l'aire S = -, ( a^x — - ) , donne a* . a* \ 3 /

aussitôt ia formule V =s ir -^ ( a^x — ^ j , pour le volume du

segment d'ellipsoïde, compris entre deux plans perpendiculaires à l'axe, menés, l'un du centre, l'autre à la distance x. En y faisant x^ssa^ on trouve finalement que Tellipsoïde entier

est mesuré par - ic 6^a. Un calcul semblable conduirait à un

résultat analogue - ^ a'6 envers Tautre ellipsoïde. On voit

que Tellipsoîde allongé est moindre que Tellipsoîde aplati, suivant le rapport du petft axe au grand. Ces deux volume^ ne coïncideraient que pour une ellipse équilatère^ en reproduisant spontanément la cubature connue de la sphère.