CHAPITRE IV

Théorie de Thyperbole.

111. L'équation simplifiée de Thyperbole, pa:*-f- Çy^ = *i ne diffère de celle de Tellipse qu*en ce que les deux coefficients p et y y sont nécessairement opposés de signe ; ce qui correspond géométriquement à ce que, des deux droites autour desquelles la courbe est symétrique, Tune continue à la rencontrer,mais l'autre ne la coupe plus ; en sorte qu'il n'existe alors qu'un seul couple de sommets, au lieu de deux. Nous supposerons habituellement que les abscisses x se rapportent à l'axe trans^ verse^ et les ordonnées y à Taxe non transverse. On pourra introduire algébriquement, comme dans l'ellipse, la longueur 2a

du premier, qui désignera pareillement la distance des deux

sommets, en posant p c=s ~. Mais c'est seulement par une pure

analogie algébrique, qui d'abord semble dépourvue d'interpré-

tation géométrique, qu'on fera aussi y = — tr-^, de manière à

donner à l'équation de l'hyperbole la forme habituelle

•^^ — ^«1 — 1, ou aV-.6«a:«c=. — a«ô^ 0^ or

qui ûe diffère de celle de l'ellipse que par le simple changement de 6* en — é^ : toutefois, on va reconnaître que, quoique moins directe que celle de a, la signification graphique de b est cependant tout aussi nette et précise.

En discutant cette équation, on reproduit aisément le contraste que nous a déjà présenté si souvent une telle opposition de signe,substituant un lieu illimité et interrompu aune courbe fermée et continue. Le sens de la courbure y est indiqué,outre le degré, par la marche générale du coefBcient angulaire de la

tangente tang a = — , qui, d'abord infini au sommet, diminue

ensuite constamment, comme le montre la substitution de y en rr, suivie de la commune division par x. Sa limite de diminution d: - annonce la direction des deux asymptotes, que Ton

sait d'avance assujetties à passer au centre : la méthode subsidiaire le confirme d'ailleurs clairement, d'après l'équation

yt=s±-^ a^ — a*. Cette détermination représente ces droites

comme coïncidant spontanément avec les diagonales du rectangle construit sur les deux axes de l'hyperbole, de manière à occuper ici la place qui, dans l'ellipse, est affectée aux diamètres conjugués égaux. Réciproquement envisagée, une telle construction fournit spontanément la meilleure interprétation géométrique de l'axe non transverse 26, dès lors égal àlapartie de la tangente au sommet comprise entre les deux asymptotes. Au reste, en mettant l'équation de l'hyperbole sous la forme

- a:* — y* =3 6^, on pourrait généraliser cette appréciation, en

regardant b comme une moyenne proportionnelle entre les

deux distances - x + y et - x — y d'un point quelconque de la

courbe aux deux asymptotes, estimées parallèlement à cet axe

fi*- .

non transverse : une pareille détermination conviendrait aussi envers Taxe transverse,mais sans offrir communément autant d'utilité.

L'angle variable des asymptotes, ainsi dépendant du rapport des axes, spécifie la forme de chaque hyperbole.Quand il est droit, Thyperbole se nomme e^ut7a^éré,puisque a et d sont alors égaux. Cette espèce remarquable remplirait, envers les autres hyperboles, le même office que le cercle à Tégard des ellipses quelconques, si elle pouvait nous être aussi connue : mais sa forme, guère plus facile à concevoir que celle d'une hyperbole non équilatère, doit aujourd'hui faire attacher peu d'intérêt à son étude spéciale, en sorte qu'il serait superflu d'insister ici sur Téquivalentde la comparaison qui nous a permis de déduire graphiquement l'ellipse du cercle. Suivant que Taxe 'transverse sera plus grand ou plus petit que l'axe non transverse, l'hyperbole se trouvera comprise dans l'angle aigu ou dans l'angle obtus des asymptotes, et dès lors, moins ou plus ouverte que l'hyperbole équilatère.

Comme il importe de se familiariser beaucoup avec la notion des asymptotes, dont l'image doit devenir inséparable de celle de l'hyperbole, il convient de les coûcevoir aussi sous un autre aspect géométrique, en tant que lignes naturelles de démarcation entre les droites qui, tirées du centre, rencontrent la courbe et celles qui ne la coupent pas. Si on cherche l'intersection d'un rayon quelconque?/ =mur avec rhyperbole,lescoor-

ab mab

et y = .-r:=z.<. IDL-

données communes, x =

V b^-aHn^

diqueront que la rencontre aura lieu quand il sera au-dessous de l'asymptote, et cessera lorsqu'il passera au-dessus, après s'être éloignée à l'infini pour l'asymptote elle-même.

Les deux autres courbes du second degré ayant été,dansles deux chapitres précédents, spécialement rattachées au cercle,

il n'est pas inutile de remarquer aussi que Thyperbole en dérive indirectement, par Tinterniédiaire de la parabole. Cette dérivation peut d'abord s'établir d'après le même mode suivant lequel la parabole a déjà été tirée du cercle. Il est aisé de constater, en effet, qu'une parabole se transformera en hyperbole, si on y prolonge les ordonnées de manière à les rendre égales aux cordes correspondantes menées du sommet. Mais on ne peut ainsi produire qu'une hyperbole équilatère, dont l'axe serait égal au paramètre de la parabole : il faudrait y redoubler de plus en plus la même construction pour en déduire d'autres hyperboles, de moins en moins èquilatères à mesure que ces modiflcations graphiques se multiplieraient davantage. A ce mode géométrique trop restreint ou trop indirect, il convient de joindre une autre génération qui, de la même parabole, fait aisémcntdécoulertouteslesespècesd'hyperboles.Elleconsisleà regarder l'hyperbole commelelieu du sommet d'un angle invariable dont les deux côtés touchent continuellement une parabole fixe. On obtient ainsi, envers les axes ordinaires de la parabole y*= mar, l'hyperbole

1 fti^

y^— tang-2 V a:^ — - m (-2 -f tang*^ V) a: = — tang^ V,

m» lu

qui convient également à l'angle V et à son supplément, en sorte que cette génération permet d'obtenir la totalité de la courbe. Il est d'ailleurs facile d'en construireles sommets, soit d'après son équation, soit en cherchant les points de Taxe où la tangente & la parabole forme avec lui un angle moitié de Y ou de son supplément. L'inclinaison de ses asymptotes sur cet axe commun des <leux courbes est évidemment égale à l'angle donné. On voit par là, conformément à la théorie générale de la similitude, que les hyperboles de-tnême espèce correspondront au mouvement du môme angle autour de diverses paraboles : chaque parabole, au contraire, donnera naissance à

toutes les flgures hyperboliques en y faisant mouvoir différents angles, quoique les axes de ces hyperboles doivent d'ailleurs, à raisoii d'une telle communauté d'origine, conserver entre eux quelque relationconstanle, inutile à déterminer ici.

Au reste, il faut peu s'étonner que les trois courbes du second degré puissent ainsi, directement ou indirectement, dériver du cercle, puisqu'elles en sont historiquement issues, sous leur nom antique de sections coniques, par une construction en relief il est vrai, mais pourtant fort simple, comme nous le reconnaîtrons au chapitre suivant : il fallait bien que cette source primitive trouvât quelque équivalent plan.

112. Quoique l'étude de l'hyperbole, si elle était immédiate, dût naturellement offrir un peu plus de difficulté que celle de l'ellipse, elle se simplifie beaucoup quand on ne l'aborde qu*a* près celle-ci, puisque l'analogie des équations dispense alors de reproduire les divers calculs relatifs aux recherches vraiment communes, ensebornant à en modifier les résultats parlesimpie changement de 6* en — 6*, pour n'insister spécialement que sur les modifications géométriques correspondantes. Appliquons d'abord cette marche didactique au théorème des cordessupplémentaires, dont nous avons reconnu, envers l'ellipse, la haute importance, et qui doit ici persister essentiellement, à titre de conséquence directe de la commune équation.

La modification qu'il y éprouve consiste en ce que le produit constant des deux coeincienls angulaires devient alors positif: comme le losange des sommets disparaît, on doit maintenant

mentionner expressément la valeur propre — de ce produit,

qu'aucun couple particulier ne pourrait plus indiquer assez aisément, sicen'estàla limite. Ce changement de signe annonce que les deux angles correspondants sont ici simultanément aigus ou obtus, tandis que, dans l'ellipse, ils étaient toujours

d'espèce différente : on voit sans peine qu'une telle distinction est en harmonie spontanée avec la diversité fondamentale des deux figures. Il en résulte que maintenant Tundes deux facteurs

est supérieur et l'autre inférieur à - ; d'où il suit, géomé-

triquement,que,dedeux cordes supplémentaires quelconques, l'une est plus oblique à l'axe transverse et l'autre moins oblique que les asymptotes. Cette différence est la suite nécessaire delà distinction spontanément établie entre les cordes intérieures, joignant deux points de la même branche d'hyperbole, ou comprises dans la concavité, et les cordes extérieures, allant d'une branche à l'autre, ou tracées dans la convexité. On voit dès lors que l'inclinaison mutuelle des cordes supplémentaires n'est plus assujettie, pour l'hyperbole, à aucune limite : en partant de deux cordes rectangulaires, qui sont parallèles aux axes, on pourra, sur la même base, poser des couples offrant tous les degrés d'obliquité, jusqu'au parallélisme rigoureux, relatif aux cordes parallèles à l'asymptote : il est facile de vérifier, en effet, que le cercle d'après lequel on obtiendrait ici, comme envers l'ellipse, deux cordes supplémentaires formant un angle donné, ne pourrait jamais cesser de rencontrer la courbe.

Si l'hyperbole devient équilatère, ce théorème subit une modification, beaucoup moins remarquable qu'à l'égard del'ellipse, mais pourtant digne de mention : elle consiste en ce que les inclinaisons de deux cordes supplémentaires quelconques sur l'axe de la courbe sont alors toujours complémentaires.

Pour mieux caractériser, envers l'hyperbole et l'ellipse, la vraie nature, trop peu sentie aujourd'hui, d'un tel théorème, il faut maintenant le convertir en définition directe de ces courbes,ainsidécritespar unpointdont les lignes de jonction à deux points fixes forment, avec une droite fixe, deux angles ayant toujoursdestangentesinversement proportionnelles. En

374 GÉOHÉTRIE PLANE.

nommant 9 et 4» ces deux angles variables, Téquation naturelle du lieu serait donc tang (p tang ^j; = A:. Quel que soit le signe de ce produit constant, la discussion préalable indique d'abord une courbe ayant toujours pour centre le milieu entre les deux points fixes, et même nécessairement symétrique autour de la parallèle et de la perpendiculaire qui y sont menées à la droite fixe. La distinction des deux cas s'y présente ensuite spontanément, selon que k est négatif ou positif. Car, dans la première hypothèse, la courbe, qui coupera toujours Tun de ses axes, poun'a également couper Tautre; les deux angles <p et<}/ étant alors d'espèce différente,les deux droites mobiles ne pourront jamais devenir parallèles, et le lieu sera fermé aussi bien que continu. Si, au contraire, k est positif, ces angles seront toujours de même espèce, et susceptibles d'égalité; en sorte que le lieu, nécessairement illimité, sera, en outre, discontinu, comme ne pouvant plus rencontrer à la fois ses deux axes. Quant au passage à l'équation rectiligne, il ne peut offrir aucune difficulté, surtout envers de tels axes. En appelant p etgr les coordonnées correspondantes de l'un des points

y — 9 y + ^ fixes, on aura tang <p = , tang ^ = ; ce qui con-

duit à r équation y*— Aa;'= y^— Ap" où l'on reconnaît aussitôt l'ellipse ou l'hyperbole, et qui d'ailleurs indique le passage du lieu aux deux points donnés, déjà géométriquement expliqué au sujet de l'ellijgse.

il3.L'application de la théorie des foyers àl'équation simplifiée de l'ellipse nous a fourni les deux systèmes 6=aO, a= \/a^ — 6^, et a=0, 6=^ b^ — a^, dont chacun est tour à tour seul acceptable, selon la grandeur relative des deux dimensions a et b. Pour l'hyperbole, le changement de 6 en — 6' indique, au contraire, que le second ne peut jamais convenir, et que le premier subsiste toujours, quel que soit l'ordre de grandeur

QUATRIÈHE PARTIE, CHAPITRE QUATRIÉHE. 375

des axes. Les deux foyers sont donc ici constamment placés sur Taxe transverse et non sur le grand axe. En général, tout ce qui, pour Tellipse, s'appliquait au grand axe, convient, pour l'hyperbole, à Taxe transverse, et de même envers le second axe respectif. Quand on a besoin d*une dénomination commune afin de désigner la droite qui, dans l'hyperbole, joint les deux sommets, et, dans l'ellipse, constitue le plus long diamètre, le nom d'axe focal se présente donc naturellement, comme seul également propre aux deux cas.

Suivant la modification précédente, l'excentricité c vaut

ici V^ a' + é*, et représente la distance du centre de l'hyperbole au point où l'asymptote coupe la tangente au sommet : les foyers se trouvent donc situés au delà des" sommets, tandis que ceux de l'ellipse les précédaient. Mais cette diversité ne fait que maintenir une conformité plus essentielle, consistant en ce que, de part et d'autre, les foyers tombent toujours dans la concavité de la courbe, suivant les conditions nécessaires de la notion primitive. Une telle différence ne constitue donc qu'une nouvelle conséquence, facile à prévoir, du contraste fondamental des deux figures.

En formulant les distances rationnelles,

du foyer à un point quelconque de la courbe, il faut ici renverser, envers la première, Tordre de soustraction convenable à l'ellipse^ puisque c eix sont alors supérieurs à a. 11 en résulte que la différence de ces distances variables devient maintenant constante au lieu de leur somme, conformément à notre distinction primordiale des deux courbes. La position des directrices est également déplacée, puisque leur commun écar-

tement du centre — est ici moindre que a ; en sorte qu'elles

ibent entre les sommets, et non au delà. Mais, comme eas les foyers, celle naodîûcalioo maintient une conformité essaire, afin que, des deux parts, les directrices i-ésidenl is la convexité de la courbe, qu'elles ne doivent jamais cou-

. Enfin, le rapport spécifique - surpasse désormais l'unité,

iformément au contraste déjà apprécié au n' 23. ii nous reprenons, envers l'hyperbole, le problème, d'abord té pour l'ellipse, qui consiste à déterminer la courbe d'après foyer et trois points,nous en pourrons maintenant compléter solution, soit grapbique, soit analytique, toujours assujettie i m(me marcbe. Quant à la première, la construction déjà iliquée supposait tacitement que la directrice cherchée de- L constamment laisser les trois points donnésd'unmémec<>té, ame l'exige nécessairement rellipse,et aussi la parabole. s, pour l'hyperbole, il en peut être autrement, et dès lors Lracé ne donne pas toutes les solutions admissibles : il faut envers chacun des points de la directrice ainsi déterminés, epter en outre la position comprise entre les deux points inés correspondants, et que marque, sur la droite dejonc- 1, la bissectrice de l'angle dont nous avions considéré seulent le supplément. 11 en résulte finalement quatre sofulions : trois nouvelles ne peuvent jamais convenir qu'à des byperes ; la première seuleserahyperbolique, elliptique, ou même ■abolique, selon que la directrice obtenue se trouvera plus prochée, plus éloignée, ou aussi écartée des points donnés s l'est le foyer.

/appréciation analytique ne semble pas d'abord susceptible reproduire cette inévitable pluralité, surtout quand on rane au premier degré les trois équations de condition, comme is avons dû le faire au n° 106. Mais, avec plus d'attention, reconnaît aisément l'exacte correspondance nécessaire des

deux modes de solution, en considérant que, dans cette utile réduction, chacun des membres connus u\ u'\ u'" pouvait également être pris avec le signe — , et que le choix spontané du signe + n'était nullement motivé. Si donc, sans altérer les formulesobtenues,onaconvenablementégardàunetelleambigu!té, il sera facile de leur procurer toute Textension convenable à la pleine appréciation du problème proposé. On pourrait même craindre d'obtenir ainsi huit solutions au lieu de quatre, s^il n'était évident que, cette ambiguïté devant être essentiellement relative, elle se trouvera suffisamment représentée par le signe alternatif de deux des trois distances données, u\ u'\ ti", en attribuant arbitrairement à l'autre un signe fixe.

Cette considération est la seule qu'il importât ici d'indiquer expressément, au sujet des divers problèmes relatifs aux foyers, et qui d'ailleurs se résoudront, pour l'hyperbole, de la même manière qu'envers l'ellipse, sans exiger maintenant aucune nouvelle explication, analytique ou géométrique.

114. Relativement aux tangentes, les propriétés de l'hyperbole sont essentiellement les mêmes que celles de Tellipse, le changement fondamental de 6* en — 6* ne pouvant exercer, à cet égard, qu'une influence très-secondaire. L'équation ordi-

naire de la tangente est ici y — y's= -^-7 {x — ar') : il en résulte

comme dans l'ellipse, a: = — . , pour son intersection avec Taxe

focal ; seulement x' étant maintenant supérieur à a, et pouvant croître indéfiniment, ce point tombe toujours entre le sommet adjacent et le centre, en se rapprochant continuellement de celui-ci, avec lequel il se confond quand le contact a lieu à l'infini , conformément aux indications fournies par l'asymptote.

Entre la direction de chaque tangente et celle du rayon cor-

GÉOUÉTRIS PLANE.

)Ddani, il existe ane relatioa analogue à celle de l'ellipse, H tang ii'^=-^: mais les deax facteurs de ce produit constant

lors le même ûgne, et deviennent susceptibles d'exacte idence, quand les deux droites se conrondentavecVasympen tout autre cas, le coefficient angulaire de la tangente ipérienr et celui du rayon est inrérieur au coefDcient anre de l'asymptote. La comparaison aux cordes supplémeni subsiste essentiellement, et comporte la même prévision te, ainsi que des conséquences équivalentes, sous de pas modiflcations respectives. A la disUnction de ces cordes térieures et extérieures, correspond l'existence actuelle nites, inférieure ou supérieure, pour les inclinaisons de la inte ou du rayon sur l'axe focal: la tangente ne peut être lële qu'aux cordes intérieures et le rayon anx antres. , la possibUité d'une obliquité quelconque, reconnue ici ■s le premier couple, peut être également constatée et ]uée h l'égard du second.

ant k la propriété de la tangente à l'ellipse par rapport aux a, elle n'éprouve, sons sa forme la plus usuelle, d'autre fication réelle, dans l'hyperbole, que celle qui y résulte sairement de la nouvelle figure générale exigeant ici a tangente tombe toujours entre les deux foyers, au lieu i laisser du même calé ; en sorte qu'elle devient alors la jtrice de l'angle même des deux rayons vecteurs, et la aie celle de son supplément ; les positions de ces droites ainsi échangées, comparativement au cas primitif. Il ', superflu de s'arrêter expressément aux conséquences iques de cette propriété, pour tracer la tangente, quand inne successivement son point de contact, sa direction i point extérieur : ces trois constructions sont spontanéanalogues à celles du chapitre précédent. Au sujet da

dernier cas, il peut seulement devenir utile de déduire, soit d'une telle figure, soit de la solution analytique, la distinction des deux modes d'incidence des deux tangentes menées du point donné, qui tomberont sur la même branche d'hyperbole ou sur les branches opposées, selon que ce point sera compris dans ceux des angles des asymptotes qui contiennent la courbe ou dans leurs suppléments. Enfin, la situation actuelle de la tangente entre les deux foyers modifierait notablement les suites physiques de cette propriété, relativement à la réflexion, par l'hyperbole ou par l'hyperboloïde correspondant, des émanations issues de l'un des foyers ; la convergence vers l'autre foyer n'affecterait plus alors les droites elles-mêmes, mais leurs simples prolongements : cette diversité, qui n'aurait aucune influence quant à la lumière, ferait disparaître la concentration caustique, qui exige un concours réel, et non purement géométrique.

Sous la seconde forme essentielle, la plus spontanément analytique, ce 'théorème ne peut subir ici aucune modification, puisque l'équation y^ -f- a;*= a* du lieu des proj ections des foyers sur les tangentes dans l'ellipse ne contient pas 6'. Ce lieu est donc toujours un cercle, ayant encore pour diamètre l'axe focal : seulement, au lieu d'être circonscrit à la courbe, il lui est maintenant inscrit : le calcul et la figure s'accordent à cet égard. En considérant les asymptotes comme des tangentes, on y peut aisémentconslater la confirmation spéciale de leur commune participation à cette loi.

La troisième forme géométrique de cette propriété n'éprouve réellement aucune modification dans l'hyperbole : la valeur effective du produit constant des distances des deux foyers aune tangente quelconque y est pareillement indiquée par les sommets, et en outre par l'asymptote, seule tangente qui soit alors équidistante des deux foyers.

, ici le lieu de mentionner un problème intéressant, que is envers l'ellipse, afin d'éviter toute répétition superals qui, par sa nature, convient également aux deux s, et mSme, en certains cas, k la parabole. Il consiste miner une courbe du second degré d'après son foyer et ingénies. Sa solution analytique, ne présente aucune djfet n'exige aucune explication nouvelle. Quant à la so- ;raphique, elledépend de la considération des projections îr donné sur les tangentes. Lorsque ces trois projections exceptionnellement eu ligne droite, lu courbe sera une le, dont la détermination ultérieure a déjà été explîa son Ueu. En tout autre cas, on tracera le cercle cordant, et, selon que le foyerdonné s'y trouvera intérieur prieur, on aura une ellipse ou une hyperbole : son axe tant ainsi obtenu, de grandeur et de position,il sera aisé fer la construction, conformément i. la nature de la . Si l'ensemble des données était disposé de manière à asser ce cercle auxiliaire par le foyer connu, cette indise rapporterait évidemment à un nouveau cas d'impos- , autre que ceux relatifs au parallélisme des trois tan- , ouàleurconcoursenuQ mëmepoint, ou & la situation ip sur l'une d'elles.

lujetdes lieux plus on moins remarquables qui résultent onsidération des tangentes à l'ellipse, il faut seulement envers l'hyperbole, la modification de celui qui se rapux intersections des tangentes rectangulaires. Son équa- !vient ici x^+ y^=a^ — 6*, en sorteque sa nature géoméreste lamûme, le rayon du cercle étant seulementchangé. ! changement se trouve tel que, si l'hyperbole est plus ilatère, ce lieu n'existe plus, aprës s'être réduit au pour l'hyperbole équilatère elle-même. On peut aiséixpliqaex' ces résultats, en considérant que, lorsque l'by-

perbole est contenue dans Tangle obtas des asymptotes, aucun poînlilu plan ne saurait fournir de tangentes rectangulaires : puisque les deux tangentes qui en émanent forment toujours un angle supérieur à celui-là ou inférieur à son supplément selon la situation de ce points d'après laremarque déjà signalée sur les incidences respectives des deux tangentes correspondantes : rhyperbole équilatère ne comporte d'autres tangentes rectangulaires que celles tirées du centre, c'est-à-dire les asymptotes.

115. La nature des diamètres, et leur réciprocité ou conjugaison, n'éprouvent aucun changement essentiel en passant de l'ellipse à l'hyperbole, soit qu'on les découvre analytiquement, soit qu'on les déduise spécialementduthéorèmedes cordes supplémentaires. Seulement^ la relation fondamentale entre les directions de deux diamètres conjugués quelconques subit ici la modification que nous avons déjà appréciée envers les cordes supplémentaires, et ensuite à l'égard d'une tangente comparée à son rayon. Par rapport aux diamètres, elle indique que les deux droites de chaque couple, alors contenues dans la même région du plan, sont toujours situées, l'une au-dessous, l'autre au-dessus, des asymptotes : en sorte que l'une d'elles rencontre la courbe et l'autre ne peut la couper, conformément aux exigences géométriques de sa figure générale. Les deux coefficients angulaires tendantainsi versPégalité, les deux diamètres comportent une obliquité quelconque, et se rapprochent continuellement l'un de l'autre en s'écartant des axes correspondants, de manière à admettre Fasymptote comme leur limite commune. Il est d'ailleurs évident que la distinction des diamètres en transverses et non-transverses correspond spontanément à celle de leurs cordes en intérieures et extérieures.

D'après les motifs déjà expliqués pour l'ellipse, en rapportant l'hyperbole à deux diamètres conjugués quelconques^ son

prendrafinalement la mËme forme qn'enver i''a;'*= — a''i'',le9con8tanle3a'*elé'*ét Lprimées par les formules

cos' X' — a* sin* X' ' a* sin* Y' —

ent, soil da calcul de transpositioa, soit de ilative au centre. Le coefficieut 6',propreai iverse, n'a d'abord, comme b Inî-mème, qi rement abstraite : mais elle devient tout anss' le d'interprétation concrète, à l'aide des as équation ne pouvant Être affectée par l'obi i. toujours, envers un système quelconque <

iroques, !/'=-± -73:', et donnera semh

è, pourx ="«' : en sorte que la longueur a transverse équivaudra encore à la partie rallèle qu'interceptent les asymptotes. Oi continuer aussi à regarder sa moiUé ci proportionnelle entre les distances d'un p e l'hyperbole aux deux asymptotes, estimé 1 diamètre cherché.

lieux lier les notions géométriques relativ ngueurs des diamètres non Iransverses, il c ;r la courbe résultée de leurs extrémités. L le de i' en fournit spontanément l'équati* ertie.suivant le mode ordinaire, enéquation infin à a' y* — i*a:' = a'i'. Ce résultatindlq lommée quelquefois la cotijugufe de la prem les mêmes, mais en sens inverse, conform . Elles ont donc tes mêmes asymptotes, doi cupelesanglesinterdits à l'autre: leurfigun

tuellement opposée, et elles ne coïncident que dans le cas équilatère. On peut aisément constater que ces deux courbesont nécessairement les mêmes diamètres , mais touj ours par contraste : en sorte que leur office spontané pour représenter distinctement les longueurs des diamètres non transverses se trouve nécessairement mutuel. Si Ton s'habitue à ne pas séparer de l'image d'une hyperbole, celle, non moins naturelle, de sa conjuguée, les deux sortes de diamètres deviendront également intelligibles.

Les longueurs des deux diamètres conjugués étant chacune illimitée et d'ailleurs croissant à la fois, il est impossible que le premier théorème d'ÀppoUonius ne soit pas profondément modifié envers rhyperbole, où il devient, en effet, «'^—6'*= a*— 6*, suivant le changement accoutumé. lien résulte que jamais a' et b' ne peuvent être égaux, à moins que a ne soit égal à 6, auquel cas a' équivaut toujours à b\ Ainsi, en aucun sens, il n'existe, dans Thyperbole, un système spécial de diamètres conjugués, caractérisé par une égalité de longueur qui n'est jamais possible qu'autant que la courbe devient équilatère, et qui alors a lieu indifféremment. On sait déjà, en effet, que la position des diamètres égaux de l'ellipse correspond à celle des asymptotes de l'hyperbole, lesquelles ne sauraient constituer mutuellement aucun couple de diamètres conjugués, puisque chacune d'elles représente à la fois les deux éléments d'un tel couple.

Quant au second théorèjoûe d'Apollonius, a*b' sin Veaûé, il ne peut subir ici aucune modification, d'après la compensation des changements simultaùés qu'y éprouvent b et b\ Cette persistance analytique s'explique géométriquement, malgré Tillimitation commune des longueurs a' et b\ par la suppression nécessaire de toute limite d'obliquité : à mesure que les deux diamètres s'allongent à la fois en se rapprochant tous deux de

ptote, la dimmutton, non moins indéfinie, de leur angle, t de concevoir que l'aire du parallélogramme corresponemeure invariable, quoique sa constance soit alors encore tmarquable que dans l'ellipse.

ujet de ces deux théorèmes, il convient de noter ici que lilîcatjon nécessEÙre du premier y interdit l'emploi de ;e spécial qui, pour l'ellipse, nous avait conduits à simbeaucoup la détermination, soit algébrique, soit surtout que, de la longnenrdes axes d'après deux diamètres con-

quelconqnes.donnês de grandeur et de position. Hais, urnaot un peu cette solution, de manière h pouvoir y fer le nouvel ordre de propriétés, éminemment caractée, que présente Thyperbole envers ses asymptotes, on laltra ci-dessous que l'ensemble de cette recberche, com- Inalement encore plus de simplification dans l'hyperbole ins l'ellipse, quand on y emploie judicieusement, de part lire, les moyens les plus convenables.

En considérant l'équation des asymptotes de l'hyperapportées à deux diamètres conjugués quelconques,

z —, a;',on aperçoit d'abord l'entière généralisation de leur

uction primitive, en reconnaissant, d'après l'hypothèse ', qu'elles coïncident toujours avec les diagonales du pagramtne construit sur ces diamètres. Mais, une pins ïte appréciation géométrique de laméme équation conduit e ik un théorème très-remarquable, qui constitue réellea plus importante propriété spéciale de l'hyperbole. On y m effet, que chaque valeur de l'une des coordonnées x' lonne toujours à l'autre deux valeurs égales envers les isymptotes. Cela posé, toute transversale tirée an hasard ) plan de l'hyperbole pouvant y être regardée comme paà quelque diamètre, transverse ou non transverse, le

conjugué de celui-ci passera donc constamment au milieu de la partie de cette droite comprise entre les asymptotes : or, le milieu de la corde, extérieure ou intérieure, que cette même droite forme dans l'hyperbole étant aussi situé nécessairement sur ce dernier diamètre, il s'ensuit que les deux portions de la transversale interceptées, des deux parts, entre la courbe et Tasymptote, telles queMN et M N' [fig, 75) ou LD et L'D', ont sans cesse une égale longueur.

Cette belle propriété fournit spontanément le moyen le plus simple pour décrire par points une hyperbole, d'après les asymptotes, et un point donné M, d'où il suffira de mener une transversale quelconque NN' entre les deux asymptotes, afin d'y reporter, à partir de Tune, sa portion MN marquée par fautre, de manière à obtenir le second point M' de la courbe qui s'y trouve situé : chacun des points ainsi marqués pourra d'ailleurs devenir, à son tour, le centre d'une pareille construction, pour éviter la confusion graphique inhérente à l'accumulation d'un trop grand nombre de lignes autour d'un même point.

Quoique une telle description doive, par sa nature,être jugée caractéristique, il importe cependant de le constater expressément, en déduisant l'équation de l'hyperbole de cette seule propriété. Mais, auparavant, il convient de simplifier ici l'équation naturelle M'N'=MN,soit pour sa discussion directe, soit pour le passage à Téquation rectiligne, en la remplaçant parla relation, évidemment équivalente, M'E=NB, entre deux longueurs dont la direction est invariable, et que déterminent les parallèles menées respectivement de M et M' aux asymptotes opposées. Sous cette forme mieux appréciable, cette définition indique d'abord que la distance M'£ du point décrivant M' à la droite donnée OX peut diminuer autant qu'on voudra, sans cependant s'annuler autrement qu'à l'infini.

GËONËTRIE PLANE.

la longueur NB elle-même, à mesure que la transverr tend vers la direction OX : ainsi, indépendamment : notion antérieure, le lieu cherché doit être asymplochacune des deux droites fixes. On voit aussi que le >nné H en doit Mre partie, en considérant la transqui 7 aurait son milieu, et qui dès lors y deviendrait ;ente, d'après la coïncidence spontanée des deux points

transformer cette équation naturelle, H'E = NB, en a rectiligne, il convient de diriger les axes suivant les oites ïxes OX et OY, en vertu de leur asymptotisme. ^ant par x' et y\ les coordonnées correspondantes dn iriable M', et para et fi celles du point donné M, l'équa- La transversale sera

idra exprimer que la valeur dey — 6 qui y correspond équivaut constamment k y'. On trouve ainsi l'équa- 'sscig, qui annonce évidemment l'hyperbole. nsidérant directement la forme que doilprendre l'équal'hyperbole par rapport à ses deux asymptotes, il est prévoir, comme je l'ai indiqué au n'91, qu'elle couse ulement le terme en xy et le terme constant, puisque termes propres à chaque variable doivent k la fois dis- , d'après l'asymptotisme de l'axe correspondant. Cette 1 xy=w} indique géométriquement que le parollélo- I MPOB, construit sur les coordonnées asymptotiqnes int quelconque M de l'hyperbole, a une aire invariable: is cette forme que les anciens connaissaient, à leur maatle relation nécessaire. Si l'on considère en particulier \% ainsi formé au sommet, et dont le côté équivaut évi-

demment, d'après les notions antérieures, & la demi-distance du foyer au centre, on reconnaît que cette constante m représente ici la demi-excentricité. L'ensemble de ces prévisions est aisément confirmé par l'exécution du calcul de transposition qui, en partantde Téquation primitive, ah/^ — 6'ar^= — a^i*, relative aux axes de Thyperbole, fournit, par rapport aux asymptotes,

a* H- b^ Téquation xy = — -— , suivant les formules ordinaires

a «= a;' cos X' -f j/' cos Y', y = x' sin X' + y' sin Y', en ayant égard aux hypothèses actuelles,

tangY'=-, tangX' = — -.

Cette équation xy=^nt? serait plus propre qu'aucune autre, à raison de sa simplicité supérieure, \ Tétude spéciale de la courbe, si les axes correspondants étaient rectangulaires : mais cela n'a lieu, comme on sait, que pour l'hyperbole équilatère, dont l'étude particulière ne mérite plus aujourd'hui une attention séparée. Envers tout autre cas, les inconvénients attachés à l'obliquité de tels axes font plus que compenser ordinairement l'aptitude algébrique d'une telle équation, sauf envers les recherches géométriques où la rectangularité des axes ne constitue aucun avantage important. On peut remarquer ici cette exception au sujet des tangentes, dont le coefficient angulaire, ainsi

devenu — ~ , fournira un résultat fort simple relativement à la

sous-tangente correspondante, maintenant égale à l'abscisse asymptotique du point de contact. Toutefois, il faut reconnaître que cette notion ne constitue, au fond, qu'une conséquence facile du théorème des transversales, qui, poussé jusqu'à sa limite, indique aussitôt l'égalité constante des deux parties de la tangente comprises entre le point de contact et les deux

>totes : en sorle que celte propriété caractéristique de scbole y fournit spontanément la meilleure solution spéio problème dee tangentes. Nous allons bientôt apprécier, la question plus importante des quadratures, l'avantage liel que présente, à certains égards, la simplicité snpé- I de l'équation asymptotique de l'hyperbole, judicieux emploi des propriétés relatives aux asymptotes plus facile envers l'hyperbole qu'envers l'ellipse la conion finale suivant laquelle on détermine graphiquement es éléments géométriques de la courbe, d'après une por- ;ueIconque de sa circonférence. On commencera, comme l'ellipse, par tracer, à l'aide de deux couples distincts de s parallèles, un système de diamètres conjugués, dont la eur se trouvera spontanément connue ainsi, quant à celui sra transverse, et ensuite aisément assignable pour l'autre, le d'un des points de l'arc donné, selon nos explications eures. Mais, après ce préambule graphique commun aux courbes, tout le reste de la construction pourra prendre e marche plus simple que dans l'ellipse, en déterminant M les asymptotes, par les diagonales du parallélogramme spondant aux deux diamètres obtenus. Cela posé, la din des axes de l'byperbole résultera immédiatement de la :tion des deux angles asymptotiques, et la longueur de nsetrouverafiualement sous plusieurs formescommodes, it comme moyen proportionnel entre les distances d'un de l'arc aux deux asymptotes, mesurées parallèlement e cherché, ou entre la coordonnée correspondante de ce et celle de l'intersection de sa tangente avec cet axe, etc., anière à fournir aisément divers modes de vérification l'ensemble du tracé.

. Parmi les nombreux problèmes, déterminés ou indé- Qés, que suggère naturellement la théorie de l'hyperbole.

il suffira d'en choisir ici quelques-uns, qui permettront au lecteur de multiplier spontanément ces utiles exercices.

Considérons d'abord la détermination d'une hyperbole d'après une asymptote et trois points. La loi des transversales y indique aussitôt une commode solution graphique, fondée sur la construction préalable de la seconde asymptote, dont ce théorème fournit aisément deux points, à l'aide des deux cordes qui joignent l'un des points donnés aux deux autres, prolongées d'abord jusqu'à l'asymptote connue. Quant à la solution analytique, on la simplifiera beaucoup, si les axes sont disponibles, en prenant pour axe des y l'asymptote, et faisant passer l'axe des x par deux des points : l'obliquité de tels axes n'apportera d'ailleurs aucun obstacle à cette recherche, d'après la nature des conditions proposées. L'équation de l'hyperbole sera ainsi, en vertu de l'asymptotisme,

bxy + ex' + ex = 1.

En ayant égard aux abscisses x" et or'" des deux premiers points donnés, lesquelles devront devenir les racines de l'équation ca:*+ ea:«=l, et formulant ensuite le passage à l'autre point x\ y\ on obtiendra finalement

^"" x"x"" ^~ x"x'^''' "■ xy'x'x"'

D'après ces formules, tous les cas d'impossibilité seront nécessairement de nature précise, conformément aux indications géométriques ; elleâ deviendraient infinies, si x" ou x'" s'annulaient, ce qui placerait l'un des deux premiers points sur l'asymptote; en outre, la troisième pourrait l'être aussi, d'après l'annulation de x' ou y\ d'où résulterait la situation de l'autre point ou pareillement sur l'asymptote ou en ligne droite avec les précédents. On doit enfin remarquer le cas de 6 ■» 0, qui

pas plus admissible que ceux-là : il y Taal considérer le irateur comme équivalent au produit(£' — w") {x' — x "), irtc que celte hypothèse revient à x'b=x" ou x' ^ x ", à-dire que Tune des deux cordes menées du dernier point leux premiers deviendrait parallèle à l'asymplole donnée. nalo^es graphiques de ces divers symptûmes d'impossisont facUes h apprécier.

pposoas maintenant que deux des points qui précèdent it remplacés parle sommet. Eale considérant comme équintdesdeuxasymptotes,!aconslructlonreslerapresqu 'aussi ipourtrouverd'abord la seconde asymptote, ainsi tangente cercle aisément assignable, et passant encore en un point u : seulement, ce tracé signale ici, outre les cas précis possibilité déj& remarqués, un casvaguetenantàlasituale ce point dans ce cercle. La solution analytique devra tenant Taire préférer des axes rectangulaires, l'asymptote . perpendiculaire au sommet. En partant de la môme tion que ci-dessus, l'abscisse d de ce dernier point, et les lonnées x\ y' du premier, y fourniront d'abord les deux itions

cd^ + ed^l, bx'y' + ex'* +ex' = i,

faudra compléter en caractérisant analyliquement le som- Pour cela, le mode le mieux en harmonie avec l'ensemble question actuelle, consiste à exprimer l'équidistance aux asymptotes, comme dans la solution graphique. Car, ici,

Jthode subsidiaire conduit aussildt, par une division mo-

!, à Téqualion de la seconde asymptote y = — rx — t,

la distance au sommet donné fournit aisément la troisième ition cherchée 2c</ + e* = 6*d'. Les deux premières perdaient sans difficulté la réduction préalable de c et e k la

seule inconnne 6, dès lors déterminée par une équation du second degré, que j'engage le lecteur à discuter.

En supprimant, dans cette question, le second point donné x\ y\ elle devient indéterminée, mais suivant la juste mesure que comporte la recherche des lieux. Proposons-nous de trouver celui des foyers. Les axes précédents restent très-convenables, d'après l'évidente symétrie d'un tel lieu. Mais, quoique Téquation ci-dessus permit, sans doute, suivant nos principes généraux, ou conformément à la construction spéciale, l'introduction du foyer, il est préférable d'employer un autre type analytique, directement fondé sur l'équation focale

où les conditions d'asymptotisme donneraient d'abord 9^ = 1, fesa — 6, pour la suppression nécessaire des termes en y seul. Ainsi devenue, comme précédemment,

le passage au sommet donné y fournirait une première condition [p^ — 1) rf> + 2 (a — p^) ûf ■= a*, qu'il resterait à compléter d'après le caractère d'un tel point. Parmi les divers modes qu'il comporte, le plus simple consisterait ici dans la rectangularité entre la tangente correspondante et la droite qui va de ce

point au centre x=0, y = 6 . Cette seconde relation étant

une fois formée,elle permettrait d'éliminer p à l'aide de la première, de manière à fournir l'équation cherchée y^= — ^ — -r- ,

par un calcul dont je laisse l'exécution au lecteur.

La définition de ce lieu indique naturellement, en ayant égard aux notions spéciales, une description par points, qui conduirait plus simplement à l'équation précédente, et qui d'ailleurs annonce déjà la figure générale d'une telle courbe.

fe

ii-*. '•

tf'-

Car, en considérantrasymptote donnée comme le lieu spontané du centre, chaque position C de ce point déterminerait la position correspondante du foyer F (fig, 76) par l'intersection de la droite CD qui le réunirait au sommet fixe D avec un cercle décrit de C et passant en E, où la perpendiculaire DE à Taxe variable de rhyperbole coupe Tasymptote OY. D'après celà,quand cet axe CD tend vers sa limite horizontale OX, l'ordonnée FP, toujours inférieure à DO ou d, tend à lui devenir égale, suivant la constante similitude des triangles FDP et EOD, dont les hypoténuses tendent alors vers l'égalité. Ainsi, la partie droite de la courbe cherchée est symétriquement comprise entre deux asymptotes horizontales, BG et B'G^ menées à la distance d de son axe OX. Une comparaison analogue montrera ' en sens inverse, que ces asymptotes conviennentaussiàlapartie gauche, correspondante au second foyer F', dont l'ordonnée F' F' décroîtra simultanément, en tendant vers sa limite inféférieure d. Si maintenant on rapproche, au contraire, l'axe variable DC de sa limite verticale DI, on voit que le foyer F tendra vers le sommet donné D, tandis que l'autre foyer s'avancera continuellement vers la verticale opposée D'L', qu'il ne cessera pourtant de dépasser qu'à Pinfini ; en sorte que la seconde poïtion du lieu, interrompue de OY à rL',se trouvera* symétriquement comprise entre des asymptotes rectangulaires. Le lecteur reconnaîtra facilement la conformité de l'équation ci-dessus obtenue avec la figure générale que notre définition graphique assigne ainsi à cette courbe remarquable du troisième degré.

En renversant la question précédente, on est conduit à chercher le lieu des sommets de toutes les hyperboles ayant une même asymptote et un foyer commun. Si, par un motif évident de symétrie, on rapporte encore l'hyperbole à l'asymptote donnée et à la perpendiciilaire menée du foyer donné, sou