QUATRIÈME PARTIE, CHAJ>ITRE QUATRlliME

équation sera, d'après le type focal, et eu égard à Tasymptotisme,

d désignant la distance du foyer à Tasymptote, et p le coefQcient variable de la directrice. On introduira ici le sommet

comme étant à la fois sur Thyperbole et sur la perpendiculaire

y= - [x — d), menée du foyer à la directrice; ce qui, par Té-

limination de p, conduira aisément à l'équation cherchée

y*=— ^ i, déjà discutée dans la troisième partie de ce traité.

La description spéciale, dont cette courbe serait encore plus facilement susceptible que la précédente, confirmerait clairement la forme résultée de cette équation, qui pourrait d'ailleurs être ainsi obtenue très-simplement.

Si, dans ce dernier problème, on remplaçait le foyer donné par une directrice, il serait superflu de chercher aucun des lieux correspondants ; car, la théorie de la similitude indique d'avance, envers toutes les hyperboles ayant une asymptote et une directrice communes, qu'il n'en pourra jamais résulter que des lieux rectUignes, convergeant tous vers Tintersection de ces deux droites.

118. Il ne nous reste plus maintenant à considérer l'hyperbole que relativement à sa quadrature. En partant de l'équa-

tion aux axes y z= -y a? — a^ la mesure du segment hyper-

bolique ne deviendrait accessible à nos méthodes élémentaires que sous forme de série : seulement on aperçoit aussitôt, comme dans l'ellipse, d'après le principe de WalJis, la réduction spontanée du cas général à celui de l'hyperbole équilatère, dont il sera dès lors permis de s'occuper exclusivement, quoique cette simplification n'offre ici aucun avantage impor-

tant. Mais, en considérant Téquation asymptotique ocy «= m', on peut y découvrir une loi très-remarquable pour Taire correspondante SDMP {fig, 77), comptée du sommet. Si Ton transporte Torigine en D, conformément à nos habitudes de

m* quadrature, cette équation devient y «= — ■ — , et le dévelop- ^ tn-f- z

pement du quotient en série, donne aisément

t/c=sm — xH 5 + etc.

U en résulte, pour Taire cherchée, la série très-simple

où Talgèbre apprend à reconnaître le développement du loga-

rithme népérien de i 4- - . On trouve ainsi finalement, en re-

venant à Tancienne origine des abscisses, la formule

S = w'/ (- 1, d'après laquelle ce segment hyperbolique, d'où

tout autre pourrait dériver, croît comme le logarithme du rapport de ses deux abscisses extrêmes.

Cet important résultat peut être essentiellement confirmé, indépendamment de notre théorie générale des quadratures, par une appréciation spéciale de la somme des rectangles élémentaires qu'on substituerait d'abord au segment SDMP, en y considérant divers points intermédiaires M', M", etc., dont nous ne fixons pas encore la répartition. Sia:',y' eta;",y", etc., désignent les coordonnées de ces sommets auxiliaires, les rectangles successifs auront pour mesure r «= y' [x' — m), r'=y"(x"— a:'), r"=t/'' (a:'"— a:"), etc. En y rapportant les ordonnées aux abscisses, d'après l'équation an/ ea m*, on aura finalement

(l^). r-=m«(l-|), r-=m'(i-|;.),etc.

Or, ces expressions montrent que tous ces rectangles partiels deviendraient équivalents, en faisant croître les abscisses intermédiaires, ou décroître les ordonnées correspondantes, en progression géométrique, comme pour notre première méthode élémentaire de quadrature, quelle que fût d'ailleurs la raison de cette progression. Dans une telle hypothèse, un second segment hyperbolique MPNQ équivaudrait nécessairement au premier, si son ordonnée finale NQ était en progression géométrique avec les ordonnées extrêmes SD et MP de celui-ci ; puisqu'on y pourrait ainsi inscrire un pareil nombre de rectangles égaux à ceux de la série primitive, en tant que leurs hauteurs prolongeraient la même progression, la relation constante de ces deux sommes analogues devant d'ailleurs s'étendre jusqu'à leurs limites respectives. L'aire SDMP augmente donc en progression arithmétique, quand son abscisse finale OP croît en progression géométrique ; ce qui est exactement conforme à la loi analytique obtenue ci-dessus, suivant la correspondance fondamentale entre la marche des logarithmes et celle des nombres. Toutefois, cette considération spéciale est moins complète que notre appréciation générale, en ce que la loi de variation des aires hyperl)oliques n'y assigne pas la mesure propre de chaque segment, mais seulement son rapport effectif à un segment initial, dont la détermination resterait alors inaccomplie.

On voit ainsi comment la quadrature de l'hyperbole ordinaire, que nous avons vue, au n^ 80, échapper, au moins directement, à la règle analytique qui convient à toutes les autres hyperboles, est assujettie à une loi distincte, qui rentre pourtant, à sa manière, 4ans cette commune formule, quand on y applique les moyens propres à l'évaluation des symboles

^ff

GÉOKÉTRIE PLANE.

niDés. Si I'od considère l'ensemble de l'aire hyperboepuis le sommet jusqu'à l'une ou h l'autre asymptote, : démonslratloQs précédentes annoncent pareillemenl deux aires, actuellement égales, sont toutes deux in- )il comme proportionnelles au logarithme d'un nombre mt grand, soit comme augmentant indériniment par quivalenls ; tandis que, envers toute hyperbole d'un it degré, nous avons reconnu que l'une d'elles est TiDie e infinie.

théorie des quadratures fournit aisément la mesure imes résultés de la rotation de l'hyperbole autour de de ses axes. Si l'on considère d'abord l'hyperboloïde au, produit autour de l'axe transverse, il faudra, pour ronbler nos habitudes analytiques, porter l'origine au , où seulement commence le segment générateur, en

t l'équation y*= -, (a:»+ 2aa;). D'après la règle ordi-

ji ramènera cette cuhature à la quadiature d'une parafe* '^ \

trouvera ainsi la formule V = it - x'I ;; x4-a ,ana-

celle du segment sphérique. Quant a 1 h.pjibololde , correspondant à la révolution de la courbe autour de non transverse, on pourra conserver l'équation ordiy'— ô'a;^= — a'A*, en y dégageant œ au lieu d'y, puis- )tation se fait maintenant dans l'autre sens. Le résultat, int encore de la quadrature de la parabole, sera dbs