CHAPITRE V

Appréciation des courbes du second degré comme sections coniques.

119. Après avoir suffisamment étudié les principales propriétés de la parabole, de Tellipse, et de l'hyperbole, il nous reste à considérer ces trois courbes sous un dernier aspect commun, plus propre qu'aucun autre à faire nettement saisir l'ensemble de leur figure, en y voyant, suivant la notion initiale des anciens, les sections d*un cône ou d'un cylindre par un plan diversement situé. Toute ligne peut être envisagée, d'une infinité de manières, comme l'intersection de deux surfaces ; et, quand celles-ci peuvent être facilement conçues, en tant que résultant du mouvement de lignes plus simples, aucune description directe ne peut aussi clairement caractériser la forme d'une courbe qu'une telle pénétration : c'est ainsi, entre autres, que les courbes du n^ 22 sont surtout appréciables à titre de sections planes d'un tore. En partant de la ligne droite et du cercle, naturellement indiqués dans une foule de phénomènes journaliers, les premières courbes régulières que l'esprit humain ait réellement inventées furent, en effet, imaginées d'après ce mode, quand les géomètres grecs pensèrent à combiner entre elles les plus simples surfaces engendrées par ces deux lignes primordiales.

S'il s'agissait ici de considérer, en général, toutes les intersections de surfaces propres à produire les courbes du second degré, la question exigerait nécessairement la géométrie à trois dimensions. Mais, devant nous borner à la combinaison la plus

iropre i. perfectionner l'étude de ces lignes, celte appréciation omplémenlaire, sans appartenir spontanément à la géométrie liane, y peut aisëmeot rentrer, k l'aide d'un artifice spécial, [ui, généralisé autant que possible, s'étendrait également aux ections planes de toute surface de révolution. Nous l'appli- [uerons seulement au cylindre et au cdne considérés en gêomérie élémentaire, c'est-à-dire à la fois circulaires et droits, et [ui, comme on sait, deviennent alors esceptionnellement les ilus simples corps ronds. Quoique le premier cas soit facile- Dent compris dans le second, et malgré que le cylindre ne misse fournir que l'une de nos trois courbes, son image plus :laire encore et plus familière doit nous déterminer k l'eavîlager d'abord distinctement.

En concevant un cylindre engendré par une droite A.N fig. 78), autour d'un axe parallèle IL, les sections planes de ;ette surface sont immédiatement connues, comme envers tout lutre corps rond, quand elles sont perpendiculaires à l'axe : ir, c'est en partant de tels cercles, que, par une méthode spéciale, on peut découvrir la nature ou former l'équation de la ;oupe qui résulterait d'un plan quelconque, sans sortii" réelement du domaine de la géométrie k deux dimensions. Quel [ue soit ce plan, la section sera nécessairement toujours symé- Tique autour de sa trace AB sur le plan qui lui serait mené lerpendiculairement par l'axe de la surface : quant au cylindre iU particulier, la courbe aura d'ailleurs pour centre évidentle loint où son plan coupe cet axe. Plaçons donc en ce point l'oriçine de deux axes rectangulaires situés dans le plan de cette ;ourbe, et dont l'un coïncide avec cette trace. Afin de trouver a relation d'une abscisse quelconque OP à l'ordonnée corres- )ondanle, il suffit de mener par P, perpendiculairement à l'axe lu cylindre, un plan auxiliaire, qui coupera la surface suivant in cercle dont CPD sera le diamfetre : dès lors, cette ordonnée,

spontanément commune aux deux courbes, fournira, d'après la seconde, la relation constante y'=PD X PC, qu'on peut ici considérer comme Téquation naturelle de la section oblique. Pour en déduire Téquation déflnitive,il ne reste plus qu'à rapporter les facteurs PD et PC à l'abscisse OP ou Xy à l'aide des constantes du problème, qui sont le rayon r du cylindre et l'inclinaison a de son axe sur le plan coupant. Or, la somme de ces deux lignes étant connue, tout se réduit à calculer PD, d'après le triangle PAD, qui donne

PD=AP sina=(AO — a;)sina={ -; a;)sina=r— «sina.

\sina /

Il en résulte aussitôt Péquation de la courbe cherchée

Cette section est donc toujours une ellipse^ dont le petit axe équivaut constamment au diamètre du cylindre,le rapport des axes y étant égal au sinus de l'inclinaison de son plan sur l'axe de la surface. Tel est le mode le plus simple d'après lequel on puisse nettement se représenter une ellipse. On voit ainsi que, sur un même cylindre, on pourra concevoir des ellipses de toute forme, en changeant l'obliquité des coupes, mais non de toute grandeur. L'excentricité est ici égale à la projection OE du demi-grand axe OA sur l'axe du cylindre ; ce qui permettra de marquer aisément les foyers.

120. Considérons maintenant le cas du cône, principal objet de ce chapitre, en concevant cette surface comme engendrée par la rotation d'une droite G'SG invariablement liée à l'axe fixe CSC, qu'elle rencontre toujours en S : chaque cône sera suffisamment défini par l'angle constant 6 de cette génératrice avec cet axe. En supposant que la figure 79 soit tracée dans le plan mené par l'axe du cône perpendiculairement à celui de la section cherchée, nous rapporterons cette courbe à deux axes

GËOMÉTRiE PL\NE.

ingulaires, dont l'un AX coïncide, de même qu'envers 'lindre, avec l'iDlerseclion de ces deux plans : nous plans d'allIeurB, pour plus d'uni formilê, l'origine au point A, on peut aisément constater que la tangenteàla courbe sera ;lamment perpendiculaire à son axe géométrique AX.Cela !, en menant, comme ci-dessus, par l'extrémité P d'une isse quelconque, une section auxiliaire, perpendiculairet à l'axe de la surface,on aura pareillement ys=PDX PE; à exprimer en x ces deux facteurs variables, à l'aide des lées, linéaire et angulaire, qui délînissent le plan coupant, rës la distance d du sommet de. la courbe au sommet du i et l'inclinaison n de son axe géométrique sur la généra- : SA. Or, le triangle APD fournit immédiatement l'expres-

de PD = ir — ;. Quant à PE, on le rapportera ppovisoire-

t à PB ou AB — T, dans le triangle PBE, qui donne

' ' cos €

igle BAS : ce dernier triangle permet ensuite d'éliminer

= -: — ■ — ^, Il en résulte finalement, pour la courbe

sm (it + e)

chée, l'équation

sin Ht sin (a + 251 , o. ■ . . tf* H ^ ■ X* — 2rf sin a tang 6.x = 0.

ectioD d'un cône parun plan est donc toujours une courbe econd degré : c'est en cela que consiste ici notre proposiprincipale ; car, d'après cette notion, l'inspection directe i figure permet aisément de caractériser les situations proà fournir successivement la parabole, l'ellipse et l'hyper- . D'après la rfegle analytique ordinaire, ces trois cas corjndrontk« + 26=]80', a + 26 <180°, «4-26> iSO"; û indique le plan coupant, soit comme parallèle à la gé-

nératrice opposée, soit comme la renconlranl au-dessous du sommet S, soit enfin comme la rencontrant au-dessus de ce

point : on voit, en effet, que le lieu sera dès lors limité d*ui^ côté et illimité de l'autre, ou fermé de toutes parts, ou enfin illimité et discontinu entre les deux nappes du cône. En concevant ainsi les trois courbes du second degré, Tellipse se présente d]abord spontanément, puis la parabole, et ensuite l'hyperbole, en s*écartant graduellement de la section perpendiculaire à Taxe, qui constitue ici le point de départ naturel : la situation parabolique devient alors la commune limite des situations elliptiques et des situations hyperboliques. Pour les anciens, qui ne considéraient habituellement que des sections perpendiculaires aux génératrices, ces trois lignes exigeaient chacune un cône différent : la parabole correspondait au cône rectangle, où Tangle des génératrices opposées est droit, l'ellipse au cône acutangle, et Thyperbole au cône obtusangle.

On peut envisager Téquation précédente comme représentant aussi les sections cylindriques, en y supposant nul Tangle du cône 6 ; mais il faut alors transformer le dernier coefficient, afin d'éviter Tindétermination qu'y produit d'abord l'hypothèse simultanée de d infini, en remplaçant cette longueur par une autre qui doive rester finie, telle qu€ la distance r du sommet de la section à Taxe de la surface, laquelle équivaut à d sin ê. En faisant ensuite 6==0,on obtient l'équation y^+ sin' a.x^ — 2r sina.x = 0, qui ne peut plus représenter qu'une ellipse, conformément au n** précédent, où l'origine, maintenant au sommet, était au centre.

Quoique l'artifice employé dans ces deux cas doive être bientôt remplacé par les méthodes générales que fournit spontanément la géométrie à trois dimensions pour toutes les intersections de surfaces quelconques, cependant, comme il est toujours utile, au moins logiquement, de généraliser

OéOHÉmiB PLANE.

que possible chaque procédé scientifique, il convient Lir que celaî-ci est pins étendu qu'on ne le suppose irement et qu'il devient essenliellement applicable à s corps ronds, d'après la connaissance préalable deleur méridienne. Pour s'en mieux convaincre, le lecteur .'appliquer à quelque autre surface de révolution sufË- !nt simple, en étudiant ainsi, par exemple, les sectioas du paraboloïde.

Afin d'éclaircirautant que possible la notion des courbes ind degré comme secUona coniques, il faut maintenant 'ersarle cône les principaux éléments géométriques us a successivement offerts l'étude spéciale de cbacune

i appréciation finale est d'abord très-facile envers ia le, dont l'équation est ici y' =" 4rf sin* €.x, d'après hèse caractéristique « + 26 = 180*. De celte expression

paramètre, on peut aisément déduire la construction e de son foyer, où l'on doit ainsi voir la projection, sur le la parabole, de la projection du sommet de cette

sur l'axe du cûne. Il en résulte, réciproquement, un brt simple pour ti'ansporter, sur un cfine donné, une le donnée : car, en y regardant la distance du foyer au 'À comme la base d'un triangle rectangle dont l'angle 1 soit égal à celui du cône, l'hypoténuse de ce triangle irala distance du sommet de la parabole àl'axe du cône, permettra de placer facilement la section, it à l'ellipse, on déterminera ses axes en comparant ion générale du n' précédent à celle de celte courbe tée BU sommet.

ce qui donne

** sin a sin (a + âê) b^ . , . • .

-, = hs • 1 - = a sm a tang €.

fl* cos*b a

De la combinaison de ces deux relations, il résulte les formules

d sin 6 cos 6 . , . ^ . / sin a « = -: — ■ -— , ^ = asmb

V sin (a

sin (a + 26)' V sin (a + 26)'

La première indique que le grand axe de l'ellipse est toujours la droite AB, résultant de rintersection de son plan avec celui qui lui est mené perpendiculairement par Taxe du cône, suivant les évidentes indications du sujet. Quant à la seconde, Tinterprétation conique en est moins directe ; mais il est aisé d'y reconnaître le demi-petit axe comme une moyenne proportionnelle entre les distances des deux extrémités A et B du grand axe à Taxe du cône. En combinant convenablement ces deux déterminations^ on en déduirait la construction conique des foyers : mais on peut aussi l'obtenir immédiatement avec plus de simplicité, de manière à mieux éclaircir l'ensemble d'une telle concordance. Ilfaut remarquer que, d'après ces notions^ la distance des foyers est toujours égale à la partie AN ou BR delà génératrice comprise entre les deux plans perpendiculaires àl'axe du cône, qui circonscrivent l'ellipse considérée: cette relation résulte d'un théorème élémentaire, peu connu et d'ailleurs peu utile, constituant une conséquence indirecte du théorème de Pythagore, et consistant en ce que, dans tout trapèze isocèle tel que ANBR, le carré de la diagonale équivaut au carré du côté égal plus le rectangle des côtés inégaux. Si donc on porte sur AB, de part et d'autre de son milieu, la moitié de AN, on y marquera les deux foyers de Tellipse.

En renversant les relations précédentes, il devient facile, réciproquement, de placer, sur un cône donné, une ellipse

GEOMtTRIE PLAKB.

îe. Graphiquement, oopeuld'abordreproduire aiséroenl, le plandel'ellipse.les triangles ANB et BRA, en prenant )a8e commune la distance entre les- foyers, et ponr angle ;nt le complément de l'angle ducAne ou le supplément de nplément, le ciïté opposé étant d'ailleurs égal au grand les troisièmes câtés ainsi obtenus indiqueront les doubles stances de l'axe du cùoe aux deux sommets A et B de se proposée ; ce qui permettra de la placer Tacitement, construcliou monlrela question comme toujours possible que soient l'ellipse et le ci3ne, puisque ces triangles ne ont jamais offrir le cas d'impossibilité, le cAté opposés îdonnéyétant constamment supérieur su câté adjacent. Smecfine quelconque peut donc fournirtoutee lesellipses nables: autour d'un sommet fixe A, il présentera tous ;rés d'ellipticilé, en y faisant varier l'inclinaison a, de- L direction circulaire du plan coupant jusqu'à sasituation ilique : ensuite, pour chacun de ces degrés, les dimenvarierontà volonté en transportant parallèlement la a à une distance convenable du sommet du c6ne. ïu lieu d'accomplir graphiquement cette double déterion, on veut l'opérer algébriquement, il suRlra de reaies deux relations fondamentales, en y concevant donnés , afin d'y chercher « et rf. La seconde inconnue résultejément de la première, qu'il s'agit donc de dégager dans

,- . ■ A,- siUŒ sin{« + 26) ft* „ , .

Uon trigonométnque ~ : ^ -. On lasim-

cos'6 ,(-

1 beaucoup en y transformant le numérateur, d'après un me connu, en - (cos' 2€— cos2 (« + 6}), ce qui donnera angle auxiliaire 2(o-f-€}, le résultat fort simple cos2(- + 6) = 2co.'fi('l--*\l.