QUATRIÈME PARTIS, CHAPITRE CIN<?TJIÈME

OÙ l'on peut aisément véi ifier la constante possibilité de la question, cette formule ayant toujours une valeur, non-seulement réelle, mais inférieure à Tunité, suivant les conditions d'un tel mode.

Considérons enfin le cas de Thyperbole, envers laquelle il est facile de constater d'abord la permanence essentielle de toutes les notions précédentes au sujet des divers éléments géométriques qui lui sont communs avecTellipse, c'est-à-dire les deux axes et Texcentricité. La seule appréciation spéciale qui doive icinous arrêter concerne les asymptotes, dont il importe de sentir nettement l'interprétation conique. On y est naturellement conduit, soit par la figure, soit d'après Téquation, en remarquant que leur inclinaison sur l'axe transverse de l'hyperbole doit être la môme pour toutes les sections parallèles, qui, géométriquement, seront toujours semblables, ou, analytiquement, auront des axes proportionnels. Dès lors, en faisant graduellement rapprocher le plan coupant du sommet du cône^ sans jamais changer sa direction, on atteindra finalement une limite où la situation des asymptotes deviendra irrécusable^ quand la section se réduira à ces droites, d'après le passage du plan au sommet. Telle est donc l'origine conique des asymptotes del'hyperbole, toujours parallèles aux génératrices suivant lesquelles le cône est coupé par un plan mené de son sommet parallèlement à celui de la section. On peut d'aQIeurs vérifier cette construction, en reconnaissant, d'après la formule ordinaire des angles trièdres, que chacune de ces génératrices forme avec l'axe de l'hyperbole, un angle égal

à celui dont la tangente est - ou — -1/ sin a sin (a + 2€) : car,

a cosb ^ ' '

en considérant l'angle trièdre dont les arêtes seraient ces deux droites et Taxe du cAne, l'un de ses angles dièdres se trouverait droit, et compris entre deux faces, dont Tune serait

CÉONÉTRIB PLANE.

W, et l'autre consLiluerail l'iaclinsison cherchée f , la Tace étant fi ; il en résulterait donc

fi08 6=C03([.C0S (S + a— 180").

onclutuneexpression detangf exactement équivaprécé dente.

L ces notions, il esisle, sur chaque cdoe, une limite ! pour le degré d'ouverture des diverses sortes d'hya'on y peut tracer, puisque l'écartement des asymplurailninsi excéder jamais celui des génératrices ophyperbole la plus ouverte correspond donc toujours parallèle & l'axe du cAne; eu sorte que, en dépassant ttion maximum, l'hyperbole, au lieu de s'éloigner I de la Sgure parabolique, qui avait constitué son départ, s'en rapprocherait nécessiùrement. Cette directe est pleinement conforme aux conditions de ; qu'exige alors le problème, déjà résolu envers l'elsistant à placer, sur un cône donné, une courbe n effet, dans la détermination graphique, les triangles ;àANB etBRA ne serontplus toujours possibles, puisé opposé à l'angle connu s'y trouvera maintenant in- I côté adjacent. Lalîmile aura lieu quand tes triangles

>ntreclangles,cequiexigecos6=-, d'oîitangfits -;

lue l'angle ducâne doit être au moins égal au demiasymptotes de l'hyperbole, conformément à la règle ,e. La solution trigonométrique reproduirait, à sa la même condition, eu donnant alors, d'après le sut accoutumé de b"* en — A^ la formule

cos2(a + e) = 2cos»6(l + -) — i.

qui, sans cesser d'être réelle, peut maintenant acquérir une valeur supérieure à l'unité, si cos 6 y excède -.

Telles sont les diverses notions essentielles relatives à l'appréciation spéciale des courbes du second degré comme sections ducAne circulaire droit. Quoi qu'il ne convienne plus aujourd'hui de reprendre, de ce point de vue, suivant le mode antique, l'étude entière de ces lignes, il faut cependant y remarquer l'origine très-naturelle de plusieurs déterminations importantes. Cela est surtout sensible pour la théorie de la similitude, d'après la considération élémentaire de la constante ressemblance géométrique des diverses sections parallèles d'une pyramide, et par suite d'un cône : il en résulte aussitôt que deux paraboles sont constamment semblables, comme pouvant toujours se placer parallèlement sur un même cône; au contraire^ deux ellipses ou deux hyperboles ne le seront qu'autant que leurs plans pourront ainsi devenir parallèles, ce qui, d'après les formules précédentes, exige que leurs axes soient proportionnels ou leurs asymptotes également inclinées. On conçoit aussi que, sous cet aspect conique, la question des tangentes ne saurait jamais offrir, envers ces trois courbes, aucune autre difficulté réelle que celle de transformer une construction dans l'espace en construction plane ; puisque la tangente à la section se trouve alors déterminée spontanément, en chaque point, par l'intersection du plan de la com*be avec le plan tangent à la surface, aisément assignable d'après la tangente correspondante à la base circulaire du cône.

122. La destination propre à ce chapitre complémentaire a dû nous y réduire à l'examen du cône droit, comme étant la plus simple surface d'où puissent résulter les trois courbes du second degré. Mais il n'est pas inutile de remarquer,' en terminant, que l'artifice adopté conviendrait aussi au cône circulaire

quoique ce ne soit plus une surface de révolution, du Qous bornant à y considérer des sections perpendicu- 1 plan principal du cône, c'est-à-dire, à celui mené perpendiculairement au plan de la base, et contenant es deux génératrices maximum et miuimum. En protxaclement comme ci-dessus, on y trouvera, pour Q analogue de la section qui fait un angle a avec l'une ênératrices, d désignant toujours la distauce de son k celui du cane,

an a sin (y + 5 — a) . , sin « sin (y + Sj

sm Y sin S sin y sm S

lant alors délînidaprës les deux angles distincts -/etS eutces génératrices extrËmesavec le plan delabase. La ince la plus intéressante que Toumisse maintenant une ation, se rapporte k la détermination des sections cir- Ony voit que, pour obtenir un cercle, il faut supposer (y+! — a)=™sinY sinB; d'où résultent les deux solus Y, 01=3 S, dont l'une indique, à l'ordinaire, un plan

à la base, el l'autre correspond, par exception, à une section oblique, que les anciens qualifiaient judicieu- 'antî-paral/èle :cesde\ix directions ne sauraient coln- Butanl que le cône deviendrait droit.

)roposition remarquable, qu'il convient de noter ici à

son utilité spéciale en plusieurs occasions, surtout en ' lie, ne constitue d'ailleurs, comme on le reconnaîtra qu'un simple cas particulier de Ja propriété générale iquelle toutes les surfaces du second degré, à l'exceple seule, comportent toujours deux sortes de sections es, dont les plans ne se confondent que quand la surle révolution.