CHAPITRE VI

Application générale de l'étude des courbes planes à la construction des

équations déterminées.

123. En terminant Tétude élémentaire de la géométrie plane, d'abord générale, puis spéciale, il importe de caractériser sommairementrapplication naturelle de l'ensemble desnotions ainsi acquises à la construction des équations à une seule inconnue. Au début de ce traité, nous avons considéré la construction des formules proprement dites fournies par la résolution des équations, et consistant dans la simple substitution des opérations graphiques aux calculs arithmétiques indiqués pour l'évaluation de chaque résultat; Il s'agit maintenant d'une transformation, à la fois plus difficile et plus importante, où la figure doit suppléer à l'ensemble total de Télaboration abstraite, soit numérique, soit surtout analytique^ d'une équation qu'on ne saurait résoudre, et dont les racines réelles seront pourtant graphiquement assignables. Cette utile conversion, si souvent destinée à compenser, quoique incomplètement, l'extrême imperfection nécessaire de la résolution des équations, consiste à concevoir ces racines comme les abscisses propres aux intersections de deux lignes convenablement choisies, d'après deux équations à deux variables susceptibles de reproduire l'équation proposée ^ (a:) = 0 par l'élimination de la variable auxiliaire y. Une telle condition fondamentale peut être, analytiquement, remplie d'une infinité de manières : puisque, au couple quelconque d'équations qui y aurait satisfait, on pourrait toujours en substituer beaucoup d'autres équivalents, dus

ombinaisons distincles, mais d'ailleurs arbitraires, de LioQS primitives. 11 est même aisé de sentir quecette inlalioQ subsisterait encore après avoir choisi à volonté s deux équations auxiliaires f {x,y] = 0: cap, il par exemple, de prendre l'autre suivant le type / (x, y) + /(i) = 0, oùlesecond facteur >|< (jr, y) désigne tioa tout à Tait quelconque ; sans que ce mode analyt, à cet égard, le plus complet, il est assez étendu e ici hautement ressortir l'extrême diversité des sysconstruction propres k chaque cas. Sous l'aspect géo- !, cette variété est encore mieux évidente; outre la ^combiner les abscisses cherchées avec des ordonnées 6s, il est clair surtout que, après avoir Cxé les interproposées, on y peut faire passer, d'une infinité de i, toutes les sortes de lignes qui exigent un plus grand de points pour leur détermination.

ubleappréciationindiquesunisammeDlque toute ladircesconatruclionsconsisteessentiellement à y employer s les plus convenables au but que l'on se propose. Si, arrive souvent, la figure n'est introduite qu'à titred'arique, ce qui constitue, au fond, la haute utilité d'une Lsrormation, on tiendra moins à simplifier son tracé l'àrendresa conception plus directe et plus spontanée, essein, le meilleur mode consiste ordinaicement à comilignedroiteaveclacoarbecorrespondante à l'équation m considérant, par exemple, suivant la forme la plus s racines réelles de f{x] = 0 comme les abscisses des I la courbe y=/'(a:) rencontre l'axe des a:. Mais, quoi- )de soit constamment le plus naturel, il faudra presque l'écarter quand, au contraire, il s'agira d'utiliser flna- L figure dans la détermination effective des racines les: on préfère alors compliquer unpeul'unedesdeux

lignes introduites afin de pouvoir davantage simplifier l'autre, suivant une loi de compensation nécessaire ci-après expliquée. 124. Pour apprécier convenablement cette application fondamentale de Tensemble de la géométrie plane, il importe de la concevoir habituellement comme également convenable à tous les genres possibles d'équations déterminées, aussi bien transcendantes qu^algébriques. Soit à construire, par exemple, Téquation x tang a; = l. Au lieu du mode naturel, qui exigeraitla considération d'une courbe tropcompliquéey=xtang a:, on pourra d'abord combiner la courbe trigonométrique, facile à concevoii', y = tang a;, avec l'hyberbole équilatère xy =^i. Mais un peu de réflexion fait aisément sentir que cette dernière courbe pourrait être remplacée par une simple ligne droite,

sans que la première devînt réellement plus difficile à tracer :

car, il suffirait de considérer la courbe t/ = ^ = cot x

tang X

comme coupée par la bissectrice 2/ = a:; or, cette courbe n'est

autre, au fond, que la précédente, déplacée horizontalement

de 5, et tournée en sens contraire. Une telle ligne étant compo-

sée d'une infinité de filets identiques, compris chacun entre doux asymptotes verticales, et dont les centres ou inflexions se succèdent, à intervalles égaux, sur l'axe horizontal, la figure indiquera nettement une infinité de racines réelles, tendant de plus en plusàseconfondreavecles abscisses des asymptotes voisines, conformément à la discussion abstraite de l'équation proposée. Considérons encore, dans l'autre classe des équations transcendantes, le cas fort simple x log x es a^. Ici le mode le plus convenable consistera à combiner la logarithmique y == log a: avec l'hyperbole xy=a^ ; si on remplaçait, comme ci-dessus, cette dernière courbe par la droite y=a5, on serait alors forcé

d'employer la courbe transcendante y «=» -. , dont la com-

cation supérieure ferait plus que compenser la simplification lérente à cette substitution. En conservant donc le premier sterne, il sera facile de rcconndtre que l'équailon proposée net une seule racine réelle.

îoit enfin l'éqnalion x + sln a; = fl. Le meilleur mode y isislera évidemment à couper la courbe des sinusy^sin x, nposée d'une infinité d'ondulations égales et alternatives, Il les centres ou inflexions sont équidistants, par la droite =a — X, parallèle \ la seconde bissectrice, et qui déterminera linairement une seule intersection de part ou d'autre de l'axe 'izontal, sauf le cas du contact, qui ne pourrait avoir lien autant que le terme donné a serait un multiple impair deit, le dernière appréciation résulte aisément de la considération ^ciale de la tangente à l'origine, évidemment confondue ici !c la première bissectrice, d'après la limite naturelle du rap-

,^. Envers les équations algébriques proprement dites, les 'érents systèmes de construction sont nécessairement assu- Lîs à une condition fondamentale qu'il importe de connaître, près le théorème d'algèbre qui assigne, comme limite supéare du degré de l'équation finale, le produit des degrés des lations à deux inconnues entre lesquelles s'accomplit l'élimîion. Suivant cette notion générale, les degrés des deux lignes ployées à construire chaque équation déterminée doivent ic former toujours un produit au moins égal au degré de le-ci. Par conséquent, si l'une de ces lignes est droite, ttre sera nécessairement du même degré au moins quel'équa- 1 proposée. C'est pourquoi, afin d'obtenir une simpliQcatioD yenne, à peu près équivalente i. l'égard des deux lignes ■oduites, on doit communément préférer, quand il s'agit ne construction effective, d'élever le degré de l'une pour

pouvoir abaisser celui de l'autre . Appliquons maintenant ces notions générales aux équations des quatre premiers degrés.

Dans le premier, les deux lignes peuvent évidemment, suivant cette loi, être de simples droites, et ce cas correspond, en effet, à la construction des formules rationnelles, d'ailleurs entières ou fractionnaires, toujours réductible à un certain assemblage de quatrièmes proportionnelles, suivant les explications spéciales du n^ 15.

Quant à l'équation du second degré j:*+pa?+y = 0, Tune des deuxlignes devra nécessairement cesser d'être droite, et devenir au moins une section conique. Le mode le plus naturel consisterait à combiner la parabole y=x^-\-px avec l'horizontale y = — q. Mais cette courbe peut être aisément remplacée par un cercle, que couperait l'axe des ic. Car, en faisant y=0 dans l'équation générale du cercle [x — a)^+(y— ê)^ = r^, elle devient a;' — 2aar+(a'+ê*— 7^) = 0, de manière à pouvoir représenter, d'une infinité de manières, toute équation du second

degré, en posant « = —-;», r:= V/ô P*~" ^ + ^^ ^ restant

arbitraire, et pouvant toujours rendre r réel. Si l'on place le centre sur l'axe horizontal, la construction reproduit spontanément la formule algébrique ordinaire, pour le cas des racines réelles.

Considérons maintenant les équations du troisième et du quatrième degré, qui, suivant la remarque initiale de Descartes, peuvent, sous cetaspect, être simultanément appréciées, comme exigeant naturellement les mêmes moyens graphiques. On ne pourra plus les construire par la combinaison d'une droite et d'un cercle, ni par celle de deux cercles, qui, d'après une exception spéciale fondée sur la nature algébrique des équations circulaires, n'a pas,aufond, plus d'étendue analytique, puisque la soustraction de deux équations de ce genre en fournit une du

premier degré. Le mode le plus simple consistera donc ici dans l'intersection de deux sections coniques, dont Tune pourra être prise arbitrairement. Soit l'équation a^+px^ + qx^=r. On y peut employer, par exemple, la parabole j:*s==y, etPhyperbole xy -\- py + yx = r, ou l'hyperbole plus compliquée xy + px^ + qx=^r: en ajoutant ou retranchant entre elles les deux équations primitives, ou leurs multiples quelconques, on pourra d'ailleurs substituer à ces courbes une infinité d'autres couples de sections coniques. Il en serait de môme pour l'équation du quatrième degré cc^ + px^ + qx^ + ra: = 5, où, en posant d'abord x^ = y, on aurait ensuite y^ + pxy+qy -{■ rx^=s ou y^ + pyx -f qx^ + ra: =5.

126. A l'égard des équations du troisième et du quatrième degré, il faut maintenant apprécier spécialement le mode trèsremarquable suivant lequel Descartes a finalement constitué leur construction effective, en montrant que, du moins après quelques préparations faciles, elle peut toujours résulter de la combinaison d'une parabole donnée avec un cercle convenablement choisi, de manière à dépendre du tracé le plus praticable que puisse, évidemment, comporter un pareil cas. Cette explication n'est directement relative qu'aux équations du quatrième degré : mais il sera facile ensuite d'y ramener constamment celles du troisième, en y introduisant artificiellement un nouveau facteur arbitraire x — a, qu'on prend communément égal à x^ pour plus de simplicité : l'intersection factice ainsi surajoutée devra être soigneusement écartée de la figure définitive.

Soitdoncseulementàconstniirc, de cette manière, l'équation

X* -f px^ + qx'^-\- rx = s.

Comme la généralité du mode proposé ne doit évidemment, dépendre que de la disposition relative des deux courbes, et non de la situation de chacune envers les axes coordonnés, on

QUATRIÉIIE PARTIE^ CHAPITRE SIXIÈICE. 415

pourra toujours adopter la forme la plus simple de Téquation parabolique, pourvu que Téquation circulaire reste pleinement générale. Toutefois, il faut remarquer que la parabole doit pouvoir s'étendre horizontalement dans les deux sens, afin que toutes les racines réelles de Téquation proposée puissent être pareillement construites, quel que soit leur signe. Il faudra donc employer, pour Téquation parabolique, la notation inusitée x^ = my. Sa combinaison avec le type circulaire {x — a)^-f- {y — 6)*«=R^ fournit Téquation finale

a:* + (m«— 26m) a?— 2in«aa; 4- m^(a>+ ^ — R*) = 0.

Or, en la confrontant à la proposée, on reconnaît aussitôt que leur identification ne saurait devenir possible tant que celle-ci contient le terme en a:*, qui manque à l'autre . Ce mode graphique exige donc une certaine préparation algébrique, d'ailleurs peu gênante, consistant à faire d'abord disparaître ce

terme, par le changement de a? en rc — -, qui équivaut géomé-

triquement à déplacer l'origine de - vers la gauche. Ainsi, la

construction relative à l'équation convenablement préparée conviendra aussi à l'équation primitive, à l'aide d'un égal déplacement inverse de l'origine correspondante.

En supposant maintenant que l'équation proposée soit déjà privée de son second terme, la comparaison précédente donne, pour les éléments géométriques du cercle cherché, les formules

Les coordonnées du centre resteront toujours réelles et finies, quel que soit m :1e rayonpourral'êtreaussi, quand même 5 serait négatif, sans qu'il en résulte, pour ce paramètre, aucune autre restriction que celle relative à une certaine limite inférieure. A

GÉOMÉTRIE PIANB.

parabole quelconque, on pouiïadonc constamment adapter ercle, de manière à construire toute équation du quatrième 'é convenablement préparée. Quand cette équation résuld'une équation primitive du ti'oisième degré, il convient ^marquer que, suivant le mode le plus ordinaire, le cercle era toujours k l'origine, qui constitue alors Tin terseclion ce, 6nalement superflue, d'après la multiplication préalable r : on pourra donc, en ce cas, borner la construction kla rmination du centre, sans aucun besoin de calculer spécia- !nt le rayon, de manière à rendre inutile la plus compliquée es trois formules.

ms l'usage matériel d'un tel procédé graphique, )a faculté hoisir à volonté le paramètre de la parabole acquerrait icoup d'importance réelle, en permettant de dispenser d'a- I de la plus pénible partie de chaque construction particu- I par l'uniforme introduction d'une seule parabole soigneuent exécutée d'avance, et qui, diversement combinée avec cercles convenables, pourrait également convenir à toutes quations successives du troisième ou du quatrième degré, intersection des deux courbes aura lieu habituellement en >u deux couples de points, ou sera totalement impossible, trois cas, pareillement normaux, seront séparés par deux es de cas exceptionnels relatifs au contact, et comportant seule rencontre ou trois. 11 est aisé de sentir la concor- ;e spontanée de ces diverses indications géométriques avec otion algébrique sur la conjugaison nécessaire des racines binaires.

ppliquons, par exemple, ce mode spécial à l'équation de la iction de l'angle x*~ - a: + j = 0, où * désigne le sinus de

;le donné, etxceluideson tiers. En l'élevantau quatrième ■é, par l'introduction du facteur x, la réduction préalable

s'y trouve spontanément établie, et les coordonnées du centre

du cercle sont6=3 -, a = — ~, si l'on prend le paramètre delà

parabole égal à Tunilé, c'est-à-dire au rayon trigonométrique. Envers une parabole tracée d'avance, celte relation servira,' au contraire, à ajuster convenablement ce rayon, et, par suite, la ligne donnée 6, d'après le mode que j'ai expliqué en son lieu pour la détermination graphique de ce paramètre.

Soit encore l'équation très-simple a:' = 2a', qui se rapporte directement au problème de la duplication du cube. La préparation algébrique y* est pareillement spontanée, et l'on trouve

alors ^ = - w, a = — • en sorte que le cercle sera très-facile à

construire, môme en laissant m quelconque par rapport à a. En multipliant de tels exercices, le lecteur devra s'attacher, soit ày comparer judicieusementcemode spécial aveclesdivers autres systèmes graphiques, soit aussi à y faire sufflsamment concorder les indications particulières de la figure avec celles que fournit directement l'appréciation algébrique de chaque cas. Sous ce dernier aspect, il serait aisé, par exemple, de constater, envers les deux équations précédentes, que la construction y confirme l'existence nécessaire de trois racines réelles dans la première, et de deux racines imaginaires dans la seconde, quelles que soient les données respectives.