CHAPITRE PREMIER

Notions fondamentales.

127. Notre élude élémentaire de la géométrie analytique n'en caractériserait point suffisamment le véritable esprit fondamental, sinous ne consacrions pas lafln de ce traité à apprécier sommairement sonindispensable extension àlathéoriegénérale des surfaces courbes, en tant qu'elle reste accessible à l'analyse ordinaire. Outre sa propre importance scientifique, ce dernier ordre de conceptions doit exercer spontanément une heureuse réaction logique sur l'ensemble de la géométrie plane, dontles principales notions, ainsi considérées finalement d'un point de vue supérieur, deviendront à la fois plus simples et plus systématiques. Quoique cette étude des surfaces n'ait été méthodiquementinstituéeque depuisun siècle environ, et qu'elle doive être jusqu'ici beaucoup moins développée que celle des lignes; elle constitue évidemment, par sa nature, un sujet bien plus

DÉOMÉTiaE DANS L'ESPACB.

Q même temps que plus dirGcile, puisque les snrfaces 'lent nécessairement plus de variété que les lignes. i, en effet, résultant du mouvement d'un simple point, leul différer entre elles que par la loi d'un tel déplacetandis que, outre cette source de diversité, qui alors mËme plus étendue, les surfaces se distinguent surtout s des autres d'&près la nature des lignes génératrices. issor plus récent de cette partie de la géométrie, sous ipllssement essentiel de la grande rénovation cartésienne, abord y faire ordinairement prévaloir de meilleures halogiques, et y restreindre aussi les études actuelles aux .lions les plus générales; en sorte que, malgré sa comn et sa fécondité supérieures, nous pourrons ici la caer suflîsammenl k l'aide d'un développement beaucoup e que celui qu'a exigé la géométrie plane. Ses concepi constituent d'ailleurs, à divers égards, qu'une simple an de ceUes qui sont propres à la théorie des lignes ; or, ixposition en ayant fait directement ressortir l'esprit j le lecteur n'éprouvera aucune grave difficulté k les rspontanémentd'aprèscettenouvelledestination. Ainsi, u des avantages inhérents au plan qui caractérise ce jette dernière étude géométrique y devient naturelleisceplible d'une forte condensation, en nous bornant k uer rapidement tout cequi est essentieUemenl analogue Jons déjà établies, et réservant nos explications spéour les seules considérations qui soient vraiment prola géométrie à trois dimensions, juela théorie des surfaces constitue son principal objet, aussi destinée nécessairement i compléter et à générathéorie des lignes, que nous avons dû réduire jusqu'ici irbes planes. Or, l'importance et la simplicité de cescas ent pas empêcher de recomialtre combien il est parti-

culier dans Tensemble total des figures curvilignes. Car, si les courbes cylindriques, par exemple, étaient étudiées aussi spécialement que celles qu'on peut tracer sur un plan, elles offriraient certainement autant de diversité au moins : il en serait de même parmi les courbes coniques, ou sphériques,etc. Toutes ces formes si Variées restent encore enveloppées sous la commune dénomination de courbes à double courbure^ relative au caractère fondamental qui les sépare des courbes planes : en partant de Tétat rectiligne d*un fil parfaitement flexible en tous sens, celles-ci résulteront d'une simple /7e.Tt(m proprement dite, laissant tous les éléments du fil dans un même plan; tandis que les autres, s'écartant davantage de la figure initiale exigeront, en outre, une véritable torsion^ changeant, en chaque point, la direction du plan de deux éléments consécutifs. Malgré que Tusage de ce terme expressif tende habituellement à dissimuler Textrème diversité naturelle des lignes correspondantes, on sent néanmoins qu'il existe nécessairement parmi elles bien plus de variété qu'entre les courbes planes, quoique les géomètres s'en soient jusqu'ici beaucoup moins occupés. L'étude même des lignes ne saurait donc acquérir, en géométrie plane, toute la plénitude et la généralité convenables, outre que les seules figures qu'on y considère ne peuvent d'ailleurs y être envisagées dans leurs plus vastes relations mutuelles. Néanmoins, l'appréciation des courbes n'est presque jamais qu'accessoire en géométrie à trois dimensions, où la plupart des conceptions analytiques, soit élémentaires, soit transcendantes, ne concernent directement que les surfaces, à l'étude desquelles on rattache les spéculations sur les lignes. Toutefois, on ne doit pas oublier que, dans le développement historique de la géométrie moderne, ce dernier ordre de considérations a constitué, entre la géométrie plane et la géométrie à trois dimensions, unesorte de transition

GÉOKÉTRIE DANS L'ESPACS.

e, dont la première ébauche remonte jusqu'à Des- !t qui tendrait k se reproduire spontanément dans la générale de l'initiation individuelle, si l'essor direct laides pensées géométriques n'y permettait aujourd'hui luUoQ plus rapide.

U faut d"abord établir ici, comme en géométrie plane, option préliminaire des systèmes de coordonnées, sans , departnid'anlre, les idées géométriques ne sauraient réductiblesàdes idées numériques, seul sujet immédiat ;ulation6 analytiques.

Ldispensabte préambule consiste maintenant à- déternpointdansrespaceparl'intersection de trois surfaces, nature et le mode de variation caractérisent lesyslème louuées adopté, etdont une seule condition restée arbiidique, en chaque cas, la coordonnée correspondante, le système rectiligne proprement dit, qui, encore plus r la géométrie plane, mais d'après de pareils motifs, tre presque exclusivement employé, ces trois surfaces jours des plans respectivement parallèles à trois plans' le nous supposerons ordinairement rectangulaires, et oupent selon troisdroites, dès lors rectangulaires aussi, désigne également sous le nom d'axes. Les coordoncbaque point sont ses distances à chacun de ces plans nés, mesurées suivant l'axe extérieur, et le plus sou- ' ce même axe, où elles représentent d'ailleurs les ans respectives de la distance du point à Vorigine comïs plansou axes fixes : on peut en outre, les former par ojections successives du point proposé M (Jlg.SO), sur plans coordonnés, et decetteprojection N surl'un des ce plan ; ce qui est surtout propre à mieux indiquer la nutuelle des trois coordonnées. Quant à la manière rs valeurs combinées déterminent la position du point

correspondant, elle revient à concevoir celui-ci comme le sommet opposé à l'origine dans le parallélipipède construit sur les axes avec des côtés égaux aux coordonnées respectives : en s'aidant de la construction analogue en géométrie plane, on peut aussi employer les coordonnées x et y, que nous supposerons habituellement horizontales, à déterminer, suivant le mode ordinaire, la projection horizontale N du point cherché, dont la hauteur verticale sera indiquée ensuite par la troisième coordonnée z. Ces trois coordonnées sont évidemment susceptibles de signe, et il est indispensable d'y avoir égard, afin de distinguer suffisamment les huit régions dans lesquelles Tespace est divisé par les trois plans fixes indéfiniment prolongés en tous sens, et dont chacune pourrait également convenir à un même groupe de valeurs de a;, y, z, si la considération du signe ne dissipait Tambiguïté géométrique propre à chaque distance.

L'unique système qui, à défaut du précédent, soit quelquefois employé, commeengéom6trieplane,maisencore plus rarement, sous le nom dejDo/aire, consiste à déterminer un point, dans l'espace, d'après sa distance w à un point fixe 0 [fig, 81) et les deux angles <p et ^ formés par cette droite variableavecdeuxaxes fixes 0 <p, 0 1|/, que nous supposerons communément rectangulaires et horizontaux. Chaque point M résulte alors de l'intersection d'une sphère, à centre fixe, dont le rayon variable est indiqué par la valeur de la coordonnée linéaire w, avec deux cônes circulaires droits, ayant respectivement pour axes fixes les deux axes polaires, et dont les angles variables sont égaux aux valeurs correspondantes des deux coordonnées angulaires 9 et ^. On adopte quelquefois, surtout en mécanique, dans la théorie analytique des rotations, un système, que l'extrême pénurie de notre langage géométrique conduit aussi à qualifier ordinairement de polaire, et qui pourtant diffère beaucoup du précédent, quoiqu'il soit, comme lui, réellement analogue au système

GÉOMÉTRIE DANS L'kSPACE.

nsi nommé. Il consiste à déterminer d'sbord la projecirizoDtale N du point proposé d'après ses coordonnées s planes r et a, pour aboutir ensuite au point H h l'aide :linalson 6 de son rayon vecteur sur un axe perpendicu- Li plan correspondant : cette troisième coordonnée est la vraiment commune aux deux systèmes, en tant qu'elle .lit aussi le point à faire partie d'un cône dont l'axe est lais les deux premières correspondent k de nouvelles !s, l'une indiquant un cylindre vertical au lien d'une , et l'autre un plan vertical au lieu d'uncône.Tontesles lés que pourrait, en général, présenter l'exacte apprécomparalive des divers systèmes de coordonnées dans e seront tonjoursfacilesàdissiperdelaméme manière, judicieux examen respectif de la nature et du mode de on des surfaces introduites.

ecessystèmesde coordonnées, seuls usités, la géométrie que à trois dimensions en pourrait évidemment adopter inité d'autres, dont la variété y est nécessairement encore «ndue qu'en géométrie plane, vu la multiplicité et la cation supérieures des lieux ainsi combinés. Si, par le, on déterminait un point d'après ses dislances à trois il résulterait de l'intersection de trois sphères à centres t à rayons variables. De mSme, en introduisant les disde chaque point à trois axes donnés, il se trouverait à la itre des trois cylindres variables construits autour de ces Hais il serait superflu d'insister ici sur des explications imeul dépourvues de toute utilité scientifique, et dont logique est déjà rempli spontanément par l'enlière génélue le lecteur a imprimée babituellement à une telle no-

Cette conception préliminaire permet d'apprécier immëlent la correspondance fondamentale entre les surfaces

et les équations, instituée d'abord par Clairaut, ^uivi d'Euler, d'après une heureuse extension de la grande idée mère que Descartes avait fondée un siècle auparavant.

Quand un point se déplace arbitrairement dans l'espace, ses trois coordonnées constituent des variables entièrementindépendantes. Mais si, sans avoir un trajet déterminé, il se trouve assujetti à rester sur une certaine surface quelconque, celle-ci tiendra lieu naturellement de l'une de celles qui correspondent aux coordonnées adoptées, dont deux seulement suffiront alors à rentière détermination de chaque position, en sorte que la troisième résultera nécessairement des autres, suivant une équation correspondant à la propriété commune aux divers points de la surface proposée, et dès lors susceptible de représenter analytiquement cette surface, dont les moindres variations géométriques, mèixieles plus simples déplacements, affecteront plus ou moins une telle équation, où d'égales valeurs des deux variables indépendantes devraient procurer des valeurs nouvelles à la variable dépendante. C'est le même principe fondamental que dans la géométrie plane, avec une innovation capitale, relative à l'indépendance simultanée de deux variables, qui résulte ici de l'indétermination supérieure des lieux considérés : l'étude des surfaces constitue habituellement la première source historique et le meilleur type dogmatique d'une telle pluralité, qui a tant agrandi l'ensemble des spéculations analytiques. Toute surface rigoureusement définie d'après une propriété commune à tous ses points est donc représentée analytiquement par une équation à trois variables entre leurs coordonnées quelconques. Dans le système rectiligne, nous supposeronshabituellement, pour simplifier le discours, de manière même à faciliter accessoirement la pensée, que les deux coordonnées horizontales :tr et ^ soient les variables indépendantes, et que la fonction proposée s6 rapporte à l'ordonnée verticale z. 85

> GÉOMÉTRIE DANS l'ESPACB.

:1 seiail superflu d'expliquer formeUement, & ce sujet, que, nme en géométrie plane, l'équation de chaque lieu sera reive h la nature des coordonnées employées, mais d'ailleurs inement indépendante, pour ch&que système, de la diversité ) définitions.

4ous recoDnatlroDs bientôt que, la géométrie comparée étant ourd'huibeaucoupplusavancéeenyersles surface s qu'en vers courbes, l'art de former les équations propres aux diverses Taces est déjà susceptible de certaines règles générales, dont ude constituera le principal objet de notre élaboration aclie, et qui ne comportaient aucun équivalent dans la géotrie à deux dimensions. C'est pourquoi nous pouvons dé- ;er cette introduction de toute série d'exemples préliminaires itive à cette formation, qui doit être ensuite soigneusement iréciêe. J'en indiquerai seulement ici, pour fixer lesidées, un <-pctit nombre, directement résultés delà formule élémene, d'ailleurs indispensable II connaître, qui détermine la :ance de deux points dans t'espaced'aprës leurs coordonnées Lilignes.

li les axes sont rectangulaires, ce qui constitue le seul cas iment usuel, il suffira de concevoir, du point le plus bas, ! horizontale menée h la rencontre de la verlicale de l'autre at : le triangle rectangle ainsi construit, et dont la distance rchée sera l'hypoténuse , présentera deux côtés connus, i égal àladifférencedesordonnées verticales des deux points, l'autre à la distance de leurs projections horizontales, Etlablement assignable d'après la formule analogue de géo- Lrie plane. Conformément au théorème de Pythagore, la ance de deux points est donc exprimée, dans l'espace, ime sur un plan, par la racine carrée de la somme des ■es des différences de leurs coordonnées respectives : seuleit cette formule se compose ici de trois parties au lieu de

deux. En supposant les axes obliques, la formule devrait être beaucoup plus compliquée, et deviendrait

+ ^[x'—x'){y''—y') cosXY + 2(a?"— a;') (:&"— a ') cos XZ

+ 2 (y"— y') (:5"-:5')cosYZ,

suivant une application très-simple du principe des projections, que j'aurai bientôt lieu d'indiquer spécialement.

D'après la formule précédente, on peut immédiatement former l'équation de la sphère, si l'on définit cette surface, selon sa plus simple propriété, comme le lieu des points équidistants de son centre. Il en résulte aussitôt l'équation

[x — a)« + (2/ -^ bf +{% — c)«= r*,

envers des axes rectangulaires, par rapport auxquels û, 6, c, désignent les coordonnées du centre : tel est le type analytique fondamental qui doit faire invariablement reconnaître la sphère, quelle que puisse être la diversité de ses définitions géométriques.

On pourrait ainsi, par exemple, manifester aisément la nature sphérique de la surface qui comprend tous les points de l'espace éclairés par deux lumières, en généralisant la recherche du n* 21. En plaçant l'origine à l'un des points fixes, et dirigeant Taxe des z vers l'autre, cette définition fournit immédiatement, d'après la formule des distances, l'équation

a (x* + 2/2 -f (x — df) = b[(x?'^y-{- %^),

qui, comparée à la précédente, fait aussitôt reconnaître la sphère indiquée à la fin du n° cité.

La même formule conduirait aussi facilement à Téquation du quatrième degré

[x" + yîjâ -h 2 (x^ + î/) (»2 + d«) + (î6» — d^)^— w*.

38 GÉOHÉTRIE DANS L'eSPACK.

our le lieu des points de l'espace donl les distances k deuK i^les sont inversement proportionnelles, en généralisant la éfinilioa du n" 22.

130. Quant k la représentation analytique des lignes dans espace, notre principe fondamental, sur l'exacte appréciation a degré d'indépendance des variables propre à chaque cas, Smontre directement qu'elle doit ici s'accomplir suivant im lut autre mode qu'en géométrie plane. Car, le trajet du point écrivant se trouvant alors fixé, une seule de ses trois cooronnées reste arbitraire, et les deux autres en résultent néissairement à la fois, la ligne donnée suppléant naturellelent aux deux surfaces qui leur correspondent ordinairement. r,une équation unique ne pouvant jamais déterminer qu'une u'iable unique, ce lieu plus restreint ne pourra donc Ctre 1,'ilytiquemenl caractérisé que par un couple d'équations, 9nt chacune, à cet égard, serait isolément insunisante, et qui ibordonneront, par exemple, les deux coordonnées borizonles X eiyh l'ordonnée verticale z, que nous y supposerons ibiluellement indépendante. Ce dualisme indispensable, qui mslitue une profonde différence entre la géométrie & trois diensions et la géométrie plane relativement à la théorie analique des lignes, correspond géométriquement à la considéition de toute lig:ne comme l'intersection de deux surfaces, ispectivement résultées de l'interprétation séparée de chaque ément d'un tel couple analytique. Rien n'est plus propre que :ttenotion fondamentale à fairedéjàsenlirnettementque l'élude !s surfaces constitue surtout le sujet naturel de cette seconde oitié de la géométrie générale, où l'analyse ne peut exprimer s idées de lignesque d'après une combinaison indirecteel comiquée. Si jamais les divers ordres de courbes & double courire, soit cylindriques, soit coniques, soit sphériques, etc., intAussi spécialement étudiés queles courbes planes.il faudra,

sans doute, en revenir, à leur égard, comme pour celles-ci, à Tusage d'une seule équation à deux variables, envers des coordonnées convenablement choisies, en chaque cas, d'après la nature de la commune surface considérée : telles seraient, par exemple, quant aux courbes sphériques, des coordonnées sphériques analogues à celles employées en géographie et en astronomie. Mais, tant que toutes les sortes de lignes resteront assujetties, dans Tespace, à une même appréciation analytique, on ne saurait éluder la nécessité de représenter analytiquement chacune d'elles par la coexistence de deux équations à trois variables, quels que doivent être évidemment les graves inconvénients d'un mode aussi pénible et aussi détourné.

Un tel dualisme analytique comporte nécessairement, envers chaque ligne, une infinité de formes différentes dans un même système de coordonnées ; car, les deux équations primitives n'étant alors considérées que relativement à leurs solutions communes, on en pourra déduire une foule de combinaisons distinctes, dont deux quelconques constitueraient un couple équivalent au premier, quoique composé d'éléments différents. Géométriquement, cette diversité nécessaire devient encore plus sensible, puisque la même ligne pourra toujours résulter d'une infinité d'intersections de surfaces, celles-ci n'étant assujetties qu'à faire partie de celles sur lesquelles on peut tracer la ligne considérée. On utilisera souvent unetelle variété, conçue suivant toute son extension, en choisissant les surfaces dont les équations peuvent être le plus simplement formées : c'est ainsi, par exemple, que, de toutes les combinaisons géométriques propres à produire le cercle, celle de la sphère avec le plan s'adaptera mieux qu'aucune autre à l'expression analytique de cette courbe dans l'espace. Mais, quels que soient les avantages réels de cette multiplicité, elle devient, sous un nouvel aspect, la source nécessaire d'une fâcheuse ambiguïté,

particulière à la géométrie à trois dimensions, où Ton est ainsi exposé fréquemment à juger distinctes des lignes qui pourtant coïncident, quand les deux équations de la première, quoique séparément différentes de celles de la seconde, constituent pourtant un couple, géométrique ou analytique, pleinement équivalent.

D importe donc d'apprécier maintenant, avec toute la généralité convenable, le procédé fondamental, trop étroitement conçu jusqu'ici, d'après lequel on peut réparer cet inévitable inconvénient, en organisant un mode invariable propre à faire toujours reconnaître, sans aucune équivoque, chaque ligne spéciale dans un mêmesystèmedecoordonnée&. En considérant d*abordce procédé sous le simple aspect analytique, il consiste, en général, à séparer, par une double élimination, les deux fonctions que contiennent simultanément les deux équations primitives, /\ [x\ y, 2) «=0 et /i [x, y, z) =0, de la ligne proposée. Puisque, en effet, les valeurs de z déterminent alors celles de x et y, on conçoit que Tambiguïtc n'existe qu'en vertu du mélange de ces deux fonctions, qui peut s'opérer d'une infinité de manières. Si on les sépare, en éliminant, tantôt y, tantôt X, entre les deux équations données, ces deux résultats a; = <p (z) et y =vj/ (z), ou <p [x, js) = 0 et ij^ (y, z) = 0, se retrouveront nécessairement toujours les mêmes, du moins au fond, quel que soit celui des divers couples équivalents d'où ils aient pu être successivement tirés : toute différence réelle, soit envers tous deux, soit m/^rae quant à un seul, constaterait certainement la discordance effective des combinaisons con*espondantes.

Pour mieux apprécier .la destination de cette double élimination, il nous reste à concevoir son interprétation géométrique, qui varie inévitablement selon le système de coordonnées adoptr. Dans le système rectiligne, l'équation débarrassée de

Tune des variables doit convenir, non-seulement aux divers points de la ligne proposée, mais aussi à tous ceux des droites indéfinies quisV dirigeraient parallèlement à cette coordonnée, et dont Tensembie formerait la surface cylindrique qui servirait à projeter la ligne sur le plan des deux coordonnées que renferme exclusivement une telle équation. Ainsi, ce mode analytique consiste, géométriquement, àchoisir uniformément parmi l'infinité de surfaces contenant chaque ligne donnée, les deux cylindres correspondants à ses deux projections verticales; leur combinaison sera toujours pleinement caractéristique, puisque, constamment uniques pour une même ligne, ils ne peuvent d'ailleurs nullement varier sans la faire aussi changer nécessairement. On voit que la préférence spontanément accordée à ce couple géométrique, entre tous ceux qui auraient pu également caractériser chaque lieu, doit surtout résulter de la plus grande facilité qu'on trouve à y aboutir analytiquement, de quelque autre combinaison qu'on soit d'abord parti. Telle est la principale destination de ce système, primitivement suggéré par la considération des deux projections, d'où Descartes faisait dépendre la détermination de chaque courbe à double courbure. Mais, en conservant cette appréciation initiale, il importe desentirtoujoursque chacune de ceséquations à deux variables <p [x, z) = 0 et ij; (y, z) = 0, représente, à proprement parler, l'ensemble du cylindre projetant, et non la seule projection correspondante, qui exigerait, en outre, que, par une restriction expresse ou tacite, on supposât nulle, la variable qui n'y entre pas. A quelques Abréviations de langage qu'on puisseètre graduellement conduit. Une faut jamais oublier que, dans l'espace, toute équation isolée, môme à une variable unique^ représente nécessairement une surface, et qu'aucune ligne ne peut s'exprimer que par la combinaison de deux équations.

Enfla, quanta celte DoiîoD fondamenlale. qui n'a pu trouver l'analogue en géométrie plane, il convient, pour en mieux ^sirl'e&prit géométrique, d'en considérer aussi l'interprélaiou d'après unautre système de coordonnées, aflnd'en écarter e caractère absolu qui l'altère communément. Dans le ppemier les deux systèmes polaires, par exemple, la double éliminalîoa i-desBUsexpliquée,et qui aura toujours le m^me onice analyique, conduira à deux équations /i (u, f) = 0. /, (u, ■^] = 0, lontchacune,pouvantégalemenlcoDvemràtoutes les positions ■ésultées de la rotation d'un point quelconque de la ligne pro- )oséeautourderaxe polaire correspondant, représentera, non ïlus un cylindre, mais une surface de révolulion, La séparadon analytique des deux fonctions angulaires 9 et ^i de la cariable linéaire u, consistera donc alors, gt^ométriquement, !t concevoir chaque ligne comme l'intersection des deux corps ronds qu'elle produirait en tournant successivement autour les deux axes polaires. Si l'on eût au contraire, éliminé u, l'éqnation entre lesdeux angles eût indiqué uncdne ayant pour base la courbe proposée et dont le sommet resterait uniformément fixé au pdie.

Telles sont les notions fondamentales qui démontrent que, quoique, dansl'espace, comme surua plan, la pensée géométrique de ligne corresponde toujours & la conception analytique d'une seule variable indépendante, ces deux cas généraux diffèrent profondément en ce que la ligne, d'abord caractérisée par une fouction unique, ne peutl'étre maintenant que par un couple de fonctions de cette commune variable, mutuellement solidairesà cet égard, et dont chacune isolément conviendrait & une certaine surface, de nature appropriée à celle du systètne de coordonnées adopté.

131. Réciproquement envisagée, l'idée mère de la géométrie analytique ii trois dimensions conùste à concevoirla représen-

lation nécessaire de toute équation à trois variables, en chaque système de coordonnées, par une surface déterminée, que cette première définition abstraite caractérise toujours suffisamment. En considérant,par exemple,le système rectiligne ordinaire,il est d'abord aisé de concevoir quelelieu géométrique doitêtre alors plus étendu qu'une simple ligne, pour correspondre à Tindétermination supérieure d'une telle équation, où deux des variablesrestentindépendantes,ce qui permet au point décrivant de tenir une routeentièrementarbitraire suivant chacun des deux axes horizontaux, sa hauteur verticale étant seule fixée d'après sa projection horizontale. Mais on peut établir plus clairement cette notion fondamentale, et de manière à caractériser la marche générale propre à la discussion géométrique des équationsà trois variables, en s'aidantconvenablement des discussionsdéjà accomplies engéométrie plane.

Supposons, en effet, que, dans l'équation quelconque f [^^ y»^) = 0, on attribue à l'une des variables, z par exemple, une certaine valeur constante c, elle se réduira ainsi à deux variables, sous la forme /'(^, y, c)= 0, dès lors restreinte aux points du lieu que contiendrait le plan horizontal z^= c : or, en cet état elle représentera une certaine ligne, que la géométrie plane nous fera connaître, et qui changera nécessairement, au moins de position, quand cette constante c, quiy figure àtitre de paramètre plus ou moinsinfluent, prendraune nouvelle valeur. Le lieu géométrique de l'équation proposée se montre donc composé, non d'une ligne, mais d'une infinité de lignes, régulièrement superposées par couches horizontales, et constituant, dans leur ensemble, une véritable surface, d'ailleurs fermée ou illimitée, continue ou discontinue, suivant que les valeurs constantes de 2 seront ou non assujetiiesà certaines limites, supérieuresouinférieures,hors desquelles l'équation /(x, y, c)=0 ne comporterait aucune ligne, comme n'ayant plus de solutions

if " f

GÉOMÉTRIE DANS L'eSPAGE.

réelles, selon nos explications antérieures. Toute surface pouvant être engendrée par une ligne déterminée mais mobile,quc nous qualiflerons habituellement dep^w^ra^nc«,glissant, d*après uneloi donnée, sur une autre ligne flxe, que nous nommerons directrice, le lieu géométrique de Téquation proposée résultera du mouvement delà ligne f [x^ y, c) = 0, dont la nature dépend surtout du mode suivant lequel cette équation contient x et y, et dont le genre de variation se rapporte à sa composition enj5 : ilsuflîrad'assujettircetteligne à rencontrer toujours, par exemple, Tune des traces verticales de la surface cherchée, qu'on déterminera en annulant y ou a;. Si les trois variables n'entrent pas semblablement dans Téquation, les trois sortes de coupes de la surface correspondante par des séries de plans parallèles aux trois plans coordonnés ne seront pas également propres à donner une idée claire de sa génération, et il faudra faire entre elles un choix plus ou moinsimportant. Quelquefois, d'ailleurs, les plus simples sections résulteraient de plans parallèles dirigés obliquement aux axes coordonnés. Il pourra môme arriver que les coupes les mieux comparables correspondent àdes plans non parallèles, dont la succession serait réglée, par exemple, comme tournant autour d'une certaine droite, ou selon toute autre loi. Enfin, pour indiquer déjà, à cet égard, la plus vaste conception géométrique, il faut considérer, en général, que la série de surfaces auxiliaires la plus propre à fournir des sections nettement appréciables pourra, quoique rarement, ne pas se composer de plans, mais plutôt de sphères ou de cylindres, ou de cônes, etc., suivant la nature de la surface cherchée. Mais, quel que soit le mode de réduction de la discussion des surfaces à celle des lignes, on voit ainsi que le lieu géométrique de toute équation à trois variables se présentera toujours, plus ou moins clairement, comme engendré par une ligne déterminée, ordinairement plane,

glissant, suivant une loi connue, sur une certaine directrice. La seconde partie de ce traité élémentaire de géométrie analytique à trois dimensions montrera bientôt que Félaboration naissante de la géométrie comparée d'après la grande conception de Monge a déjà permis de soumettre aujourd'hui à quelques véritables règles cette discussion générale des équations de surfaces,aussi bien que leur formation ; ce qui doit ici nous dispenser essentiellement, sous Tun et l'autre aspect, des deux séries d'exercices qui ont été indispensables, en géométrie plane, pour caractériser suffisamment un ordre de considérations qui n'y est point réductible encore à de vrais principes rationnels. Je vais donc me borner maintenant, quant à la discussion, comme je l'ai fait ci-dessus quant à la formation, à des exemples fort simples, uniquement destinés à éclaircir ce que les explications précédentes pourraient offrir de trop abstrait.

Soit, d'abord, l'équation a:* + y* + -' = ^i qui,quoique évidemment comprise dans un type connu, doit être actuellement considérée indépendamment de toute notion antérieure. En y supposante constant, il en résulte la courbe x^-\-f/^=i — c^; ainsi les coupes horizontales du lieu sont toujours dos cercles ayant leurs centres sur l'axe vertical, et dont les rayons décroissent à mesure qu'on s'éloigne du plan des xi/, jusqu'à la hauteur 1, où le cercle se réduit à son centre, après quoi la courbe n'existe plus, de manière à indiquerleslimites verticales de la surface,d'ailleurs symétrique autour du plan horizontal. Ces caractères annoncent clairement une surface de révolution autour de Taxe des z, en sorte qu'il ne reste plus qu'à déterminer son méridien, servant à diriger le mouvement du cercle générateur : il suffit, pour cela, de faire y = 0, ce qui donne à la trace verticale de la surface cherchée, x^ -{' z^ = 1, une figure également circulaire, ayant aussi son centre à l'origine.

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L'ensemble de ces indications Successives ne permet pas de méconnaître la nature sphérique du lieu proposé.

Considérons ensuite Téquation 2*= ary. Des coupes horizontales y fgurniraient des hyperboles équilatères, dont le centre resterait sur Taxe verlical, et dont les asymptotes demeureraient parallèles aux axes horizontaux : leurs sommets, toujours contenus dans le plan bissecteur, y = a:, de l'angle des deux plans verticaux^ formeraient une parabole, ayant son sommet à l'origine, son axe confondu avec celui des z, et un paramètre égal à 2, d'après sa projection verticale .t3= 2. Mais la nature de l'équation proposée indique aussitôt que des sections parallèles aux autres plans coordonnés seraient ici préférables, puisqu'elles consisteraient en de simples lignes droites j5=ca:, pour y=c : cette nouvelle génératrice, constamment parallèle au plan des xz^ quoique sa directioit soit variable, rencontre d'ailleurs toujours l'axe des y. On déterminera la meilleure directrice correspondante en cherchant la trace de la surface sur un plan parallèle à celui des yz, par exemple le plan x = d, qui donnera z = rfy, d'où il résulte également une droite. La plus simple génération de cette surface consiste donc, en résumé, à faire mouvoir, sur deux droites fixes qui ne se rencontrent pas, une droite parallèle à un plan fixe. Ce mouvement peut d'ailleurs s'opérer, évidemment, de deux manières différentes, puisque, l'équation étant symétrique entre x et y, ce qui a été remarqué ci-dessus envers l'un des plans verticaux convient également à l'autre.

Examinons enfin la surface 2^=xy. Ses sections horizontales seraient encore des hyperboles équilatères,analogues aux précédentes : mais le lieu de leurs sommets, qui correspondent toujours au plan bissecteur y = a:, se compose maintenant de deux droites menées, à l'origine, sous un angle de 45'', autour de l'axe vertical, comme l'indique la nouvelle

projection verticale z = :tx. L'ensemble de cette appréciation indique déjà sufGsamroent un cône droit, à base hyperbolique horizontale, et dont le sommet se trouve à Torigine. Mais la nature de ce lieu, que n'éclairciraient pas des coupes parallèles aux deux autres plans coordonnés, ressortira surtout de Texamen des sections verticales opérées en tous sens autour de Taxe de z : car, Tun quelconque de ces.plans, analytiquement caractérisé d'après sa trace horizontale y = ax, déterminera toujours deux lignes droites passant constamment à Torigine, conformément à la seconde projection 2 = ± a? \/ a.

Sans multiplier davantage de tels exemples, j'engage le lecteur à s'exercer spontanément & ces discussions de surfaces, en partant d'équations un peu plus compliquées, mais pourtant assez simples pour que l'élaboration analytique n'absorbe pas l'attention principale, qui doit alors rester concentrée sur Tappréciation combinée des divers documents géométriques empruntés à l'étude des figures planes. Ce genre d'exercices, dont l'utilité logique dépend surtout de leur spontanéité, i^st encore plus propre que la discussion des équations à deux variables à faire convenablement ressortir le véritable esprit de la géométrie analytique, en régularisant l'interprétation géométrique du mode de composition de ces équations, même envers chacun des paramètres qu'on y supposait d'abord constants.

Après avoir considéré, en général, l'appréciation géométrique de toute équation à trois variables, il serait superflu de s'arrêter formellement au cas d'un couple quelconque de pareilles équations, puisque la ligne, qui en constitue nécessairement le lieu, y est aussitôt définie par l'intersection des deux surfaces séparément résultées de chacune des deux équations proposées .L'interprétation concrète ne saurait être directe qu'à l'égard d'une seule équation. Un tel assemblage ne peut exiger,

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en géométrie analytique, d'autres principes propres que les notions déjà étahlies sur la manière de dissiper régulièrement Tambiguïté fondamentale qui s'y rattache. Toute la discussion géométrique de chaque couple spécial n*y doit offrir d'autre difficulté nouvelle que le choix des plus simples surfaces susceptibles de contenir la ligne considérée, et qui peuvent différer souvent de celles qu'indiquent les deux équations primitives, dès lors ultérieurement remplacées par d'heureuses combinaisons mutuelles.

132. Dans Tespace, comme sur un plan, notre système de géométrie analytique se trouve nécessaireitaent assujetti à des imperfections fondamentales, à la fois g^^ométriques et analytiques, qu'il conservera probablement toujours, mais envers lesquelles il suffit ici d'indiquer sommairement la simple extension des remarques déjà soigneusement expliquées au n**8, et qui n'ont maintenant besoin d'aucune élaboration nouvelle.

Sousl'aspect géométrique,rinstitution actuelle des équations esi radicalement vicieuse, pour les surfaces aussi bien que pour les lignes, en ce qu'elle ne permet point de représenter analytiquement une portion de lieli, ni par suite un lieu discontinu, composé de diverses parties de figures distinctes.il en résulte quelquefois une imparfaite harmonie entre nos équations et les définitions correspondantes, qui devient surtout fâcheuse envers les phénomènesnaturellement relatifs à de tels assemblages, comme, par exemple, quand on étudie l'équilibre ou le mouvement des températures dans un polyèdre quelconque.

Du point de vue analytique, la représentation géométrique des équations à trois variables est souvent incomplète, puisqu'on n'y tient aucun compte des solutions imaginaires, qui fréquemment y prédominent, et qui même y peuvent être exclusives. Outre les conséquences ordinaires d'une telle imper-

feclion, lorsqu'une équation ne fournit aucun lieu quelconque ou indique seulement des points isolés, il faut ici remarquer une nouvelle anomalie, consistant en ce quelelieu géométrique, cessant d'être une surface, suivant le principe fondamental, peut devenir une simple ligne, si Téquation est constituée de manière à se décomposer en deux autres, auxquelles doivent simultanément satisfaire toutes ses solutions réelles. Tel serait le type

(cp {X, y, z) )2^' + [^ (X, y, <i)2/'= 0,

dont l'analogue en géométrie plane, ne fournissait que quelques points incohérents, mais qui maintenantsemble comporter un véritable lieu géométrique, la ligne commune aux deux surfaces 9 (ar, y, 2) = 0 et »j/ (a:, y, z) «=- 0. Il faut toutefois remarquer que ce prétendu lieu n'est pas plus caractéristique que l'autre de l'équation d'où il provient; puisque la même ligne pourrait évidemment résulter d'une infinité d'autres équations de cette nature , analytiquement très-distinctes, quoiqu'admettant les mêmes solutions réelles.

Outre cette double imperfection radicale, qu'on peut justement reprocher à notre système de géométrie analytique, où elle altère, à divers égards, la relation fondamentale entre le concret et l'abstrait, quoiqu^il soit d'ailleurs presqu'impossible d'y remédier convenablement, une critique exagérée a quelquefois conduit à attribuer vicieusement à ce système une impuissance logique dont il ne doit pas philosophiquement répondre, en tant que certainement inhérente à la nature du sujet, et non à l'insuffisance de nos conceptions mathématiques. J'ai surtout en vue le défaut de représentation géométrique des équations assez indéterminées pour contenir au delà de trois variables, et envers lesquelles la géométrie ne saurait fournir aucune exacte interprétation concrète, qu'il faudrait alors

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emprunter à des phénomènes plus compliqués, et par suite plus variés, tels que ceux du mouvement, si cette complication supérieure ne devait pas, au contraire, être plutôt considérée comme constituant un obstacle insurmontable à TefBcacité logique d'une telle peinture, qui ne saurait vraiment éclaircir des relations dès lors destinées à rester exclusivement abstraites. Toutefois, on a fait quelques tentatives partielles sur l'interprétation géométrique des équations à quatre variables, en les concevant relatives, non plus à des surfaces, mais à des volumes, suivant le progrès naturel d'une telle indétermination. Il n'est pas inutUe ici d'apprécier sommairement de tels efforts pour vérifier spécialement qu'ils ne sont susceptibles d'aucun succès vraiment fondamental, et que le nombre trois, indiqué par les dimensions nécessaires de l'étendue commepar les coordonnées propres aux positions les plus indéterminées, limite inévitablement le degré d'indépendance des variables qui peuvent régulièrement coexister dans les équations purement géométriques.

En considérant la quatrième variable comme un paramètre susceptible de valeurs successives, l'équation f{x^ y, z, /)== 0 représentera, en coordonnées rectilignes et rectangulaires, par exemple, une certaine surface, de nature déterminée ; mais dont la position changera, ainsi que la grandeur ordinairement, à l'imitation de ce que nous avons remarqué ci-dessus- en passant de deux variables à trois. Le lieu géométrique de l'équation proposée se montrera donc formé d'une suite de couches superficielles, régulièrementdisposées, selon la composition de l'équation par rapport à ^, que Ton pourra compter suivant un quatrième axe, alors purement factice, également incliné sur les trois premiers, pour simplifier Timage. Mais ce sera seulement dans quelques cas particuliers qu'un tel ensemble de surfaces constituera un véritable volume, exactement circon-

scrit, et non une masse confuse, le plus souvent même remplissant l'espace entier. Cet assemblage ne saurait devenir suffisamment net qu'autant que les surfaces partielles seront fermées et que les valeurs de la quatrième coordonnée se trouveront limitées. Telle serait, par exemple, l'équation ^*+y'+^*+^'=^i qui, mise souslaforme a:^-|-y*4"^*=i — /", indique une suite de sphères concentriques, dont le rayon décroîtra de 1 à 0, à mesure que / augmentera de 0 à 1, et deviendrait ensuite imaginaire : on pourrait donc, en effet, se représenter l'ensemble des solutions réelles de cette équation, comme géométriquement relatif au volume total de la plus grande de ces sphères, qui enveloppe toutes les autres ; le rayon de chaque couche sphérique et la valeur du paramètre variable /, se correspondraient ici suivant une construction assez facile pour que cette peinture comportât quelque efficacité, scientifique ou logique, si ces cas étaient plus fréquents. Mais, en considérant l'équation analogue a;+y+^+^==li î^i paraît encore plus simple, les diverses valeurs de t, dès lors nullement restreintes, en feraient sortir une série indéfinie et continue de plans parallèles entre eux, qui, pouvant ainsi passer en un point quelconque, ne sauraient constituer d'autre assemblage que l'espace entier, de quelque manière que t pût être géométriquement apprécié. On sent que la même confusion résulterait uniformément de la plupart des équations de ce genre, qui, par conséquent, ne comporteraient aucune véritable peinture géométrique.

Cette nécessité fondamentale, qui limitera toujours à deux variables indépendantes le degré d'indétermination analytique que la géométrie peut régulièrement apprécier, est, en réalité, d'autant moins regrettable que toute correspondance ultérieure, lors même qu'on la jugerait possible, deviendrait naturellement presque aussi inutile, comme artifice logique, à la pure

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analyse, qu'elle le serait d'abord évidemment, comme moyen scientifique, à Tinvestigation géométrique. On peut remarquer, en effet, que la peinture des fonctions à deux variables indépendantes, quoique pleinement praticable, comporte déjà, en vertu de sa complication supérieure, beaucoup moins d'efficacité logique pour faciliter les spéculations analytiques correspondantes que ne le permet Theureux usage des lieux géométriques envers la théorie abstraite des fonctions d'une seule variable.

133. Afin de compléter cette introduction fondamentale à l'ensemble de la géométrie à trois dimensions, ilfaudrait maintenantmotiver la préférence unanime qu'on a toujours accordée spontanément au système des coordonnées rectilignes et même aux axes rectangulaires. Mais cette préférence repose ici nécessairement sur les raisons générales déjà examinées, à cet égard, en géométrie plane, et qui n'exigent maintenant aucune nouvelle appréciation, sauf l'importance supérieure des moyens de simplification envers une étude naturellement plus difficile. Cet évident surcroît de motifs deviendrait surtout sensible en opposant au système adopté l'un ou l'autre des deux systèmes polaires, que des convenances spéciales conduisent quelquefois à lui substituer temporairement^ malgré la fâcheuse complication des constructions élémentaires qui s'y rapportent. En géométrie pure, la formation des équations de surfaces, aussi bien que leur discussion, ne s'opérera donc jamais qu'avec des coordonnées rectilignes, à moins que la science ne parvint à ce degré de spécialité, qui n'existe point encore, et qui peutêtre sera toujours écarté, où l'on étudierait particulièrement des formes, analogues à celles des spirales, dont les types analytiques ne deviendraient suffisamment simples qu^à l'aide des coordonnées polaires. Quant à la rectangularité des axes rectilignes, les mômes motifs la représenteront spontanément

au lecteur comme étant ici encore plus convenable que dans la géométrie plane, où nous avons quelquefois employé utilement des axes obliques, ce qui n'a réellement lieu, en aucun cas important, dans la géométrie à trois dimensions.

n ne nous reste donc plus maintenant qu'à constituer, envers cette nouvelle étude générale, les théories préliminaires ana« logues à celles de la géométrie plane, et qui deviennent aussi indispensables envers les surfaces qu'à l'égard des courbes. Ces théories, d'ailleurs naturellement plus difficiles, seront ici au nombre de trois ; car, entre la théorie de la ligne droite et celle de la transposition des axes, la géométrie à trois dimensions exige nécessairement qu'on interpose la théorie analytique du plan. Telles sont les destinations respectives des trois chapitres qui vont successivement compléter cette introduction générale.